《余弦定理》ppt课件

1、 在三角形中在三角形中, ,知两角及一边知两角及一边, ,或知两或知两边及其中一边的对角边及其中一边的对角, ,可以利用正弦定可以利用正弦定理求其他的边和角理求其他的边和角, ,那么那么, ,知两边及其夹知两边及其夹角角, ,怎样求出此角的对边呢怎样求出此角的对边呢? ?知三边知三边, ,又又怎样求出它的三个角呢怎样求出它的三个角呢? ?导入：导入：余弦定理是什么？怎样证明？余弦定理是什么？怎样证明？集体探求学习活动一：集体探求学习活动一：RTX讨论一：讨论一： 在正弦定理的向量证法中，在正弦定理的向量证法中，我们是如何将一个向量数量化的？我们是如何将一个向量数量化的？还有什么方法将一个向量数

2、量化还有什么方法将一个向量数量化吗？吗？22222cos2cos2)(cAbcbABAABACACABACABACBCBCa即即Abccbacos2222同理可证同理可证Baccabcos2222Cabbaccos2222如下图，根据向量的数量积，可以得到如下图，根据向量的数量积，可以得到cabBAC数学建构数学建构 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。2bccosA2bccosAc cb ba a2 22 22 22accosB2accosBc ca ab b2 22 22

3、 22 2a ab bc co os sC Cb ba ac c2 22 22 2余弦定理余弦定理数学建构数学建构RTX讨论二：讨论二： 回想正弦定理的证明他还有回想正弦定理的证明他还有没有其它的证明余弦定理的方法？没有其它的证明余弦定理的方法？1坐标法坐标法2直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系3正弦定理三角变换正弦定理三角变换 证证 明明 方方 法法RTX讨论三：讨论三： 知三角形三边，由余弦知三角形三边，由余弦 定理定理能求三个角吗？请给出余弦定理能求三个角吗？请给出余弦定理的变方式。的变方式。2 2b bc ca ac cb bc co os sA A2 22 22 22 2a a

4、c cb bc ca ac co os sB B2 22 22 22 2a ab bc cb ba ac co os sC C2 22 22 2余弦定理变方式：余弦定理变方式：数学建构数学建构1.利用余弦定理可以处理哪两类解斜三利用余弦定理可以处理哪两类解斜三 角形的问题？角形的问题？2. “知两边及其中一边对角能用知两边及其中一边对角能用 余余弦定理求解吗？弦定理求解吗？集体探求学习活动二：集体探求学习活动二：RTX讨论四：讨论四： 利用余弦定理可以处理哪两利用余弦定理可以处理哪两类解斜三类解斜三 角形的问题？角形的问题？数学建构数学建构总结：利用余弦定理，可以处理以下两总结：利用余弦定理，

5、可以处理以下两 类解斜三角形的问题：类解斜三角形的问题：(1)(1)知三边，求三个角知三边，求三个角(2)(2)知两边和它们的夹角，知两边和它们的夹角， 求第三边和其它两个角求第三边和其它两个角例例1. 如图，在如图，在ABC中，知中，知a=5，b=4，C=120，求，求c.解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得2222cos120cabab因此因此221542 5 4 ()612c 120 abcCBA数学运用：数学运用：知在ABC中，根据以下条件解三角形。sin1sincBCb解：（）由正弦定理，得 1113 332,60 ,12032CC11160906CAa当时，112120303CAa

6、当时，26c,22b2,a (2);30B,33c3,b (1)变式训练：变式训练：22212cos63bacacBaor a解：（）法2 由余弦定理，得 解得 1116sin26sin13 90 ,60aBaAbAC当时，由正弦定理，得=2233,30120aabABCAC当时，为等腰三角形 ，26c,22b2,a (2);30B,33c3,b (1)变式训练：变式训练：知在ABC中，根据以下条件解三角形。RTX讨论五：讨论五： “知两边及其中一边对角知两边及其中一边对角能用余弦定理求解吗？其中蕴含能用余弦定理求解吗？其中蕴含什么数学思想？什么数学思想？ 2222cos2bcaAbc由余弦定

7、理，得2222 26223 22 2 2622cos 30 ,45 ,1052BABC同理，26c,22b2,a (2);30B,33c3,b (1)知在ABC中，根据以下条件解三角形。变式训练：变式训练：解解课堂练习课堂练习课本第课本第15页练习第页练习第1、3题题探求：余弦定理有哪些方面的运用？探求：余弦定理有哪些方面的运用？集体探求学习活动三：集体探求学习活动三：例例2. 利用余弦定理证明，利用余弦定理证明， 在在ABC中，中，222222 ; . CabcCabc当为锐角时，当为钝角时，22222222cos0, 2cosCCcabbcC ababc证明：当为锐角时，由余弦定理，得，即

8、 222 . Cabc 同理可证，当为钝角时，数学运用：数学运用：例例3.如下图，有两条直线如下图，有两条直线AB和和CD 相交成相交成80 角，交点是角，交点是O，甲、乙两人同时从点甲、乙两人同时从点O分别沿分别沿OA，OC方向出发，速度分别方向出发，速度分别是是4km/h，4.5km/h。3时后两人相距多远准确到时后两人相距多远准确到0.1km？ODAQCBP80解解 经过经过3时后，甲到达点时后，甲到达点P，OP=43=12km，乙到达点，乙到达点Q，OQ=4.53=13.5km。依余弦定理，知。依余弦定理，知16.4(km)16.4(km)13.5cos8013.5cos8012122

9、 213.513.51212POQPOQOQcosOQcos2OP2OPOQOQOPOP2 22 22 22 2PQ数学运用：数学运用：例例4.在长江某渡口处，江水以在长江某渡口处，江水以km/h的速度的速度向东流。一渡船在江南岸的码头出发，预定向东流。一渡船在江南岸的码头出发，预定要在要在0.1h后到达江北岸码头，设为正北后到达江北岸码头，设为正北方向，知码头在码头的北偏东方向，知码头在码头的北偏东，并与码头相距并与码头相距1.2km该渡船应按什么方向该渡船应按什么方向航行？速度是多少千米小时？角度准确到航行？速度是多少千米小时？角度准确到0.1 ，速度准确到，速度准确到0.1km/hACD

10、BN15数学运用：数学运用：解：如图，取方向为水流方向，以为解：如图，取方向为水流方向，以为一边、为对角线作平行四边形，一边、为对角线作平行四边形，其中其中1.2(km),AC=50.1=0.5(km),船按方向开出船按方向开出ACDBN15数学运用：数学运用：在在中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得，1 1. .3 38 8) )1 15 50 0. .5 5c co os s( (9 90 01 1. .2 22 20 0. .5 51 1. .2 2B BC C2 22 22 2所以所以km)因此，船的航行速度为因此，船的航行速度为1.170.1=11.7(km/h)在中，由正弦定理，得

11、在中，由正弦定理，得0.41280.41281.171.170.5sin750.5sin75BCBCBACBACACsinACsinABCABCsinsin所以所以所以所以 答：渡船按北偏西答：渡船按北偏西 的的方向，并以方向，并以km/h的的速度航行速度航行ACDBN15数学运用：数学运用：.试判断该三角形的形状222sin,cossin2AaabcCBbab解：由正弦定理和余弦定理，得 222 22aabcbab22bc整理，得 0,0bcbcABC 为等腰三角形思索：想想看有无其它的方法？思索：想想看有无其它的方法？2sinBcosC,inA在ABC中，已知s例5.例5.数学运用：数学运

12、用：变式训练：变式训练： 在在ABC中，假设中，假设b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判别三角形的外形。，试判别三角形的外形。解：由正弦定理，解：由正弦定理，R为为ABC的外接圆半径，将原式化为的外接圆半径，将原式化为2sinsinsinabcRABC4R2sin2Bsin2C+4R2sin2Csin2B =8R2sinBsinCcosBcosC， 所以所以8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC， 由于由于sinBsinC0，所以，所以sinBsinC=cosBcosC， 即即cos(B+C)=0， 从而从而B+C=90，A=90，故故ABC

13、为直角三角形。为直角三角形。 解解2：将知等式变形为：将知等式变形为b2(1cos2C)+c2(1cos2B)=2bccosBcosC，由余弦定理得由余弦定理得变式训练：变式训练： 在在ABC中，假设中，假设b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判别三角形的外形。，试判别三角形的外形。222222222222()()22abcacbbcbcabac222222222acbabcbcacab即得，即得， 2222222222()()4abcacbbca得得b2+c2=a2，故故ABC是直角三角形。是直角三角形。 变式训练：变式训练： 在在ABC中，假设中，假设b2sin2C+

14、c2sin2B=2bccosBcosC，试判别三角形的外形。，试判别三角形的外形。例例6.如图，是三角形中边上如图，是三角形中边上的中线，求证：的中线，求证：. .) )2 2( (2 21 1A AMMB BC CA AC CA AB B2 22 22 2证：设证：设ABM ，那么，那么AMC 在在ABM中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得BMcosBMcos . .2AM2AMBMBMAMAMABAB2 22 22 2在在ACM中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得2222cos(180).AMMCACMCAM由于由于cos(180 cos ,BM=MC=1/2BC,所以所以, ,2 21

15、12 2B BC CA AMMA AC CA AB B2 22 22 22 2因此，因此，. .) )2 2( (2 21 1A AMMB BC CA AC CA AB B2 22 22 2数学运用：数学运用：RTX讨论六：讨论六：余弦定理的运用表达在哪些方面？余弦定理的运用表达在哪些方面？本节课我有什么收获？本节课我有什么收获？RTX讨论七：讨论七：对本三连堂内容学生个人小结和集体小结：对本三连堂内容学生个人小结和集体小结：教师课堂总结教师课堂总结三角形中的边角关系余弦定理定理内容定理证明定理运用课堂总结课堂总结(1)(1)知三边，求三个角知三边，求三个角(2)(2)知两边和它们的夹角，知两

16、边和它们的夹角， 求第三边和其它两个角。求第三边和其它两个角。2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC课堂作业：课堂作业：1. 第第16-17页习题页习题1、4、5、6、7题题;2.学习与评价第学习与评价第5、7页。页。拓展思想作业拓展思想作业在在ABC中，中，1假设假设 求求A；2假设假设 求最大的内角。求最大的内角。 sin:sin:sin( 31):( 31): 10ABC 222sinsinsinsinsinABCBC解：解：1由正弦定理得由正弦定理得a2=b2+c2+bc， 即即b2+c2a2=bc，所以，所以2221cos,22bcaAbc 故故