考研数学高等数学强化习题-导数(应用)

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2、）（A）单调增加 （B）单调减少（C）恒等于零 （D）非单调函数7、函数在（ ）（A）单调增加 （B）单调减少（C）为常数 （D）有两个单调区间8、设为可导函数，且严格单调递增，则在内（ ）（A）有极大值 （B）有极小值 （C）单调减少 （D）单调递增 9、设在上可导，至少存在一点使（ ）（A） （B） （C） （D）10、设函数在定义域内可导，的图形如右图所示，则导函数的图形为（ ） 11、设，在内的驻点为 问为何值时，最小？并求出最小值.12、设函数由方程确定，试判断曲线在点附近的凹凸性.2不等式的证明13、证明不等式.14、证明不等式.15、设，且，证明.16、证明：当时，有.17、设，

3、常数，证明：18、设，证明.19、设，证明：.20、设，证明：.21、设在上连续且，证明不等式：.22、设在上连续，证明不等式：.3方程根的个数23、设常数，函数在内零点个数为（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 24、设在上可导，当时，有，且对于区间内所有的有，则方程在内根的个数为（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）325、试确定方程实根个数.26、讨论曲线与的交点个数.三极值与拐点1直接考查27、设,则下列选项正确的是( )(A) 是的极大值(B) 是的极大值(C) 是极小值(D) 是曲线的拐点28、设，下列命题中正确的是（ ）（A）是极大值，是极小值 （B）是极小值，是极大

4、值（C）是极大值，也是极大值 （D）是极小值，也是极小值29、设处连续且严格单调增，设则在处（ ）（A）没有驻点 （B）有唯一驻点且为极大值点 （C）有唯一驻点且为极小值点 （D）有唯一驻点但不是极值点30、设两函数及都在处取得极大值，则函数在处（ ）（A）必取极大值 （B）必取极小值 （C）不可能取极值 （D）是否取极值不能确定31、求函数的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线.32、求函数的极值和拐点.33、设函数由方程所确定，求的极值.34、设函数，试判断在处是否取极值，是否为拐点.35、设函数，求的极值.2图像与方程36、已知函数当时满足，且，则（ ）（A）是函数的极大值（B）是函数

5、的极小值（C）是曲线的拐点（D）不是函数的极值，也不是曲线的拐点37、设在上可导，满足，证明：不可能取到极大值.38、设在上可导，且，证明：(1)在的极大值不能为正，极小值不能为负；（2）在内恒为零.39、设在上连续，分如下两种情况，求函数的极值点和拐点个数：（1）下图是的图像；（2）下图是的图像。40、设在上连续，分如下两种情况，求函数在上的极值点和拐点个数：（1）下图是的图像；（2）下图是的图像。3极限41、假设函数三阶可导，且满足，试判断在处是否取极值，是否为拐点.42、假设函数四阶可导，且满足，试判断在处是否取极值，是否为拐点.43、假设函数三阶可导，且满足，试判断在处是否取极值，是否

6、为拐点.44、假设函数三阶可导，且满足，试判断在处是否取极值，是否为拐点.四导数的经济学应用（*数学三）45、设某商品的收益函数为，收益弹性为，其中为价格，且，则46、设某种商品的单价为时,售出的商品数量可以表示成,其中均为正数,且.(1) 求在何范围变化时,使相应销售额增加或减少；(2) 要使销售额最大,商品单价应取何值？最大销售额是多少？47、设企业生产一种产品，其成本，平均收益，当边际收益需求价格弹性时获得最大利润，求获得最大利润时产品的产量及常数的值.48、某商品产量关于价格的函数为，求：（1）当时的边际需求，说明其经济意义；（2）当时的需求价格弹性，说明其经济意义；（3）当时，若价格

7、提高，总收益是增加还是减少，收益变化率是多少？49、设某产品的需求函数为,收益函数为,其中为产品价格,为需求量(产品的产量),为单调减函数.如果当价格为,对应产量为时,边际收益,收益对价格的边际效应,需求对价格的弹性.求和.五多元函数的极值1无条件极值50、设是由确定的函数，求的极值点和极值.51、求函数的极值点与极值.52、求函数的极值.53、设函数。试问参数满足什么条件时，函数有唯一极大值？有唯一极小值？2条件极值54、求坐标原点到曲线的最短距离。55、求原点到曲面的最短距离.56、已知函数的全微分，并且。求在椭圆域上的最大值和最小值。57、试求上的最大值与最小值.58、设某工厂生产甲、乙

8、两种产品，当这两种产品的产量分别为（吨）与（吨）时，总收入函数为（万元）.设生产吨甲产品要支付排污费万元，生产吨乙产品要支付排污费万元.（1）如不限制排污费支出，这两种产品产量分别为多少时总利润最大？最大利润是多少？（2）若排污费总量为万元时，这两种产量分别为多少时总利润最大？最大利润是多少？59、求二元函数在由直线、轴和轴所围成的闭区域上的极值、最大值与最小值.参考答案一切线与法线1、【答案】：2、【答案】：【解析】：由极限与无穷小的关系易得 于是：，故由于在处连续，所以由得在点的切线方程为 3、【答案】：0【解析】：曲线在点处的切线斜率，所以，曲线的切线方程为，令得，因此，既得4、【解析】

9、：由已知条件可知， 故所求切线方程为5、【解析】：因为在处可导，所以在处连续，因此有，即又故，即，再由得.由于切点为且斜率，则切线方程为：，法线方程为：二单调性和凹凸性6、【答案】：（B）【解析】：令，再由，得，于是故在上为单调减函数7、【答案】：（C）8、【答案】：（D）【解析】： 因严格单调递增，所以，从而，即在内递增 9、【答案】：（C）【解析】：由于，不妨设由及保号性知，存在的右领域且时，不是在上最小值，同理可证也不是在上最小值，所以在上的最小值点，由极值的必要条件知：10、【答案】：(D)【解析】：根据原函数与导函数关系来判断：时，原函数单调递增，故；时，原函数：增减增，故：正负正，

10、故选(D)11、【解析】的驻点即满足的一阶导数为零的点，它是关于的函数由，得唯一驻点求的最小值，即求函数在时的最小值，得唯一驻点当时，从而，这时单调递增；当时，从而，这时单调递减. 因此当时为最小值，此时为极小值，也是最小值12、【答案】：凸【解析】：要判断曲线在点附近的凹凸性相当于要判断在点处的正负。故对方程两边同时对求一阶导数：，可得；上式同时对求导数：，可得，故曲线在点附近为凸函数。13、【证明】：略14、【证明】：略15、【证明】：略16、【证明】：略17、【证明】：略18、【证明】：略19、【证明】：此等价于证明当时， 经计算， 记，有，从而知，当时，既有因，所以当时，又因，所以当时

11、，证毕20、【证明】：要证明，只需要证明设函数，则，故单调递增，又由，故，即.要证明，只需要证明设函数，则，故单调递减，又由，故，即.综合得时有.21、【证明】：略22、【证明】：略23、【答案】：（C）【解析】：当时，当时，在和内分别至多有一个零点，又，故在内有两个零点.24、【答案】：（B）【解析】：设，在时可导从而连续，由零点存在定理，在内至少有一个零点，因，所以，时，因此在内单调，由此在内最多有一个零点，综得：在内有且仅有一个零点25、【解析】：将方程变形得：，此时令，令，得当时，单调增当时，单调减，且 则1） 当时，原方程有两个实根；2） 当时，原方程有唯一实根；3） 当时，原方程无

12、实根26、【解析】讨论曲线与的交点个数等价于讨论方程在区间内的零点问题，为此对函数求导，得可以看出是的驻点，而且当时，则，而，有，即单调减少；当时，则，而，有，即单调增加，故为函数的惟一极小值即最小值. 当，即当时，无零点，两曲线没有交点； 当，即当时，有且仅有一个零点，即两曲线仅有一个交点； 当，即当时，由于；由连续函数的介值定理，在区间(0,1)与内各至少有一个零点，又因在区间(0,1)与内分别是严格单调的，故分别各至多有一个零点. 总之，有两个零点 综上所述，当时，两曲线没有交点；当时，两曲线仅有一个交点；当时，两曲线有两个交点三极值与拐点27、【答案】：(D)【解析】本题主要考查极值点

13、和拐点的概念及判定方法.方法一：排除法.例如,显然显然不是的极大值点,而是极小值点,则(A)不正确；而既不是的极大值点也不是极小值点,则(B)和(C)也不正确,故应选(D).方法二：直接说明(D)正确.事实上,由导数定义知.由极限的保号性可知,存在的某去心邻域,在此去心邻域内,由此可见在的左半邻域,曲线是凸的；在的右半邻域,曲线是凹的.因此为曲线的拐点.故应选(D).28、【答案】：（B）【解析】：，显然，再由，且所以：是极小值，是极大值29、【答案】：（A）【解析】：由于严格单调递增，可知，故在处无驻点30、【答案】：（D）【解析】：取，二者都在处取极大值，但在处不取极值，排除(A)(B)；

14、取，二者都在处取极大值，但在处取极小值，排除(C).31、【解析】：原函数对求导，所以 令，得驻点.列表-10+0-0+注：表示函数值大于0，表示函数值小于0；表示在这区间内单调递增；表示在这区间内单调递减.所以由以上表格可以得出函数的大概形状，有严格单调增的区间为与；严格单调减的区间为.为极小值, 为极大值.以下求渐近线. 通过对函数大概形状的估计，所以此函数无水平渐近线；同理，也没有铅直渐近线. 所以令所以，渐近线为及，共两条.32、【解析】：极小值：；拐点：.33、【解析】：极大值：；极小值：.34、【解析】：不取极值，为拐点.35、【解析】：极小值：.36、【答案】：（C）【解析】：，

15、 （注：一般的判别法则：若，当为奇数时，则是曲线的拐点；当为偶数时，若，是的极小值点，若，是的极大值点）37、【解析】：略.38、【解析】：（1）记，假设 在内能取到正的极大值，记该极大值点为，于是，即，所以：在方程中令得，故应是极小值，这与假设矛盾，（2）若在内可取正值，由于故在内存在最大值且为正，从而知在内存在正的极大值，与（1）中的结论矛盾，故在内不可能取正值。同理可证在内也不可能取到负值，故在内恒为零.39、【解析】：（1）1个极大值，2个极小值，2个拐点；（2）3个拐点，极值无法判断.40、【解析】：（1）1个极大值，2个极小值，3个拐点；（2）3个拐点，极值无法判断.41、【解析】

16、：不取极值，是拐点.42、【解析】：取极小值，不是拐点.43、【解析】：不取极值，是拐点.44、【解析】：取极大值，不是拐点.四导数的经济学应用（*数学三）45、【答案】：【解析】：由弹性的定义得：，两端积分得又，所以得，故，即.46、【答案】：【解析】(1)设售出商品的销售额为,则,令,得 .当时,所以随单价的增加,相应销售额也将增加.由于,故.因此,当时,有.所以随单价的增加,相应的销售额将减少.(2)由(1)可知,当时,销售额取得最大值,最大销售额为.47、【解析】：收益函数，当获得最大利润时，边际收益等于边际成本，即.又，即，故. 又因此当时，此时企业利润取得最大值.又因为，即，得.由

17、，因此当时有，可得.当时，得，不满足的条件，故舍去.综合分析：时企业利润最大，此时.48、【解析】：（1）边际需求函数为，因此当时边际需求为.其经济意义为：在价格时，若价格提高一个单位，则需求量相应减少个单位.（2）需求价格弹性函数为，当时需求价格弹性为其经济意义为：在价格的基础上，若价格变动，则产品的需求量变动.（3）由（2）的结论知，当时，若价格提高，因为，因此该商品缺乏弹性，企业的收益是增加的.又因为，所以故当价格提高，企业的收益变化率是.49、【解析】：本题的关键在于和之间存在函数关系,因此既可看作的函数,也可看作的函数,由此分别求出及,并将它们与弹性联系起来,进而求得问题的解.由是单

18、调减函数知,从而需求对价格的弹性,这表明题设应理解为.又由是单调减函数知存在反函数且.由收益对求导,有,从而 ,得.由收益对求导,有,从而 ,于是.五多元函数的极值50、【解析】：因为 每一项对求导，看作的函数，得 ， （1） 每一项对求导，看作的函数，得 。 （2） 令 得 故 将上式代入，可得 或 把（1）的每一项再对求导，和看作的函数，得 ， 把（1）的每一项再对求导，和看作的函数，得 ， 把（2）的每一项再对求导，和看作的函数，得 ， 所以， 故 ，又，从而点是的极小值点，极小值为。 类似地，由， 可知，又，所以点是的极大值点，极大值为。51、【解析】： 偏导数存在的点为极值点，其必为

19、驻点，故先求驻点.对函数变形，可使求解较简单，令 ，与有相同的极值点，令 解得驻点或，判断驻点是否为极值点.，.当时，为极大值点，当时，为极大值点，极大值为，.52、【解析】：先求驻点：求得驻点为.又.在点处，且，故为极小值；在点处，且，故不是极值；在点处，且，故不是极值；在点处，且，故为极大值.53、【解析】：根据取得极值的必要条件，得方程组，系数行列式，所以当时，有唯一驻点：.记，有.当有极值；当时有极小值；当时有极大值.综上分析，得 当时有唯一极小值；当时有唯一极大值.54、【解析】：设曲线上点到坐标原点的距离为，令，约束条件，用拉格朗日乘子法，令 （1） （2） （3） （4） （5）

20、 首先，由（1），（2）可见，如果取，则，由（3）可知，再由（4），（5）得， 解得 这样得到两个驻点，其次，如果取，由（3）得，再由（1）（2）得，这样（4）成为，是矛盾的，所以这种情形没有驻点. 最后，讨论，情形，由（1）（2），（3）可得 ，代入（4），（5）消去得此方程无解，所以这种情形也没有驻点. 综合上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是1，由实际问题一定有最短距离，可知最短距离为1. 另外，由于为双曲线，所以坐标原点到的最大距离不存在。55、【解析】：设曲面上达到最短距离的点为(x, y, z), 则 达到最小值.令 , 由(3)若l = 1代入(1), (2)得, 解得. 代入曲面方程, 得到 , 由(3)若由(3)解得. 由(1),