第二章-数列导学案

1、优秀教案欢迎下载§2.1 数列的概念与简单表示法(1)反思 ：所有数列都能写出其通项公式？学习目标1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的一个数列的通项公式是唯一？关系；2.了解数列的通项公式， 并会用通项公式写出数列的任意一项；数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？3. 对于比较简单的数列， 会根据其前几项写出它的个通项公式 .学习过程5数列的分类：一、课前准备数列和数列；1）根据数列项数的多少分（预习教材 P28 P30 ，找出疑惑之处）复习 1：函数y3x ，当 x 依次取 1，2，3，时，2数列，）根据数列中项的大小变化情况分为其函数值有什么特点？数列，数列和数列

2、. 典型例题例 1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数： 1， 1，1， 1；复习 2：函数 y=7x+9，当 x 依次取 1，2，3，时，234其函数值有什么特点？1， 0，1，0.二、新课导学 学习探究探究任务 ：数列的概念 数列的定义：的一列数叫做数列 .变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4 数列的项： 数列中的都叫做这项分别是下列各数：14916个数列的项 .，；反思：251017 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，1， 1，1， 1；那么它们是相同的数列？ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3.数列的一般形式： a1 , a2 , a3 , an ,

3、 ，或简记为an ，其中 an 是数列的第项 .4.数列的通项公式： 如果数列an 的第 n 项 an 与 n小结 ：之间的关系可以用来表示，那么就叫做这个数列的通项公式 .优秀教案欢迎下载例 2 已知数列 2， 7 ，2，的通项公式为4anan2b ，求这个数列的第四项和第五项 .cn变式：已知数列5， 11， 17，23 ，29 ，则5 5是它的第项 .小结： 动手试试练 1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 1，1 ， 1， 1 ；357 1，2 ，3，2.练 2. 写出数列 n 2n 的第 20 项，第 n 1 项 .三、总结提升 学习小结知识拓展数列可以看作

4、是定义域为正整数集的特殊函数.思 考 ： 设 f (n) 1 1111N * ）那么 f (n 1)233n（ nf (n ) 等于（）A.1113n2B.3n13nC.11D.1113n13n23n3n13n2学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：1. 下列说法正确的是（） .A. 数列中不能重复出现同一个数B. 1， 2， 3， 4 与 4， 3， 2， 1 是同一数列C. 1， 1， 1， 1不是数列D. 两个数列的每一项相同，则数列相同2. 下列四个数中，哪个是数列 n(n1)

5、中的一项（ ） .A. 380B. 392C. 321D. 2323. 在横线上填上适当的数：3， 8， 15， 35， 48.n (n1)4.数列 ( 1) 2的第 4项是.5. 写出数列1，1，1，1的一个21222324通项公式.课后作业1. 写出数列2n 的前 5 项 .2221 ， 522. （ 1）写出数列 21 ， 31 ， 41 的2345一个通项公式为.（2）已知数列3，7， 11， 15， 19， 那么 311 是这个数列的第项 .优秀教案欢迎下载§2.1 数列的概念与简单表示法(2)学习目标1. 了解数列的递推公式， 明确递推公式与通项公式的异同；反思 ：所有数

6、列都能有四种表示方法吗？2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法 . 典型例题学习过程a11例 1设数列 an满足1写出这个一、课前准备1an(n1).（预习教材 P31 P34 ，找出疑惑之处）an 1复习 1：什么是数列？什么是数列的通项公式？数列的前五项 .复习 2：数列如何分类？二、新课导学 学习探究探究任务 ：数列的表示方法问题：观察钢管堆放示意图，寻找每层的钢管数 an 与层数 n 之间有何关系？1.通项公式法：试试：上图中每层的钢管数an 与层数 n 之间关系的一个通项公式是.2.图象法：数列的图形是，因为横坐标为数，所以这些点都在y 轴的侧，而点的个

7、数取决于数列的从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势变式：已知 a12 ， an 12an ，写出前 5 项，并猜想通项公式an .小结 ：由递推公式求数列的项，只要让n 依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项.例 2 已知数列 an满足 a1 0 ， an 1an 2n ，那么 a2007 （） .A. 2003× 2004B. 2004× 2005C. 2007× 2006D. 2004 23. 递推公式法：an变式 ：已知数列 an 满足 a1 0 ， an 1 an2n ，递推公式：如果已知数列的第 1 项（或前几求 an .项）

8、，且任一项 an 与它的前一项an 1 （或前 n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 .试试 ：上图中相邻两层的钢管数an 与 an 1 之间关系的一个递推公式是.4. 列表法：小结 ：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形试试：上图中每层的钢管数an 与层数 n 之间关系与化归及归纳猜想都是常用方法 .的用列表法如何表示？优秀教案欢迎下载 动手试试练 1.已 知 数 列 an 满 足 a11 ， a22 ， 且3an 1 anan an 12an 1 an 10 （ n 2 ），求 a3 , a4 .练 2.（ 20XX 年湖南）已知数列an满足 a10

9、 ，an3（ nN * ），则 a20an 1（）3an 1A 0B. 3C.3D.32练 3. 在数列an中， a1 2， a1766 ，通项公式是项数 n 的一次函数 . 求数列an的通项公式； 88 是否是数列an中的项 .学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测 （时量：5分钟 满分： 10分）计分：1.已知数列 an 1an30 ，则数列an是（）.A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列2.数列 an中， an2n29n3 ，则此数列最大项的值是（） .A. 3B. 131D. 12C. 1383.数列 an满

10、足 a11 ， an 1an2（ n 1），则该数列的通项 an（） .A. n(n1)B.n(n1)n(n1)D.n( n 1)C.224.已知数列an满足 a11 ，an( 1)n2an 1（ n3 2），则 a5.5.an满足 a11 ， an 111已知数列（ n 2），2an则 a6.三、总结提升 学习小结 知识拓展n 刀最多能将比萨饼切成几块？意大利一家比萨饼店的员工乔治喜欢将比萨饼切成形状各异的小块，以便出售 . 他发现一刀能将饼切成两块，两刀最多能切成4 块，而三刀最多能切成 7 块（如图） .请你帮他算算看， 四刀最多能将饼切成多少块？ n 刀呢？解析：将比萨饼抽象成一个圆，

11、每一刀的切痕看成圆的一条弦 . 因为任意两条弦最多只能有一个交点，所以第 n 刀最多与前 n 1 刀的切痕都各有一个不同的交点，因此第 n 刀的切痕最多被前 n 1刀分成 n 段，而每一段则将相应的一块饼分成两块.也就是说n 刀切下去最多能使饼增加n 块 . 记刀数为 1 时，饼的块数最多为a1 ，刀数为n 时，饼的块数最多为an ，所以 an = an 1n .由此可求得an =1+ n(n1) .课后作业1. 数列 an 中， a1 0， an 1 an (2n 1) (n N)，写出前五项，并归纳出通项公式 .2. 数列 an满足 a12an(n N ) ，写1 ， an 1an2出前

12、5 项，并猜想通项公式an .2优秀教案欢迎下载§2.2 等差数列（ 1）若一等差数列 an 的首项是 a1 ，公差是 d，则据其定义可得：学习目标a2a1，即： a2a1a3a2， 即： a3a2d a11. 理解等差数列的概念，了解公差的概念， 明确一aa，即：aad a个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一44331个数列是等差数列；2.探索并掌握等差数列的通项公式；由此归纳等差数列的通项公式可得：an3.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运已知一数列为等差数列， 则只要知其首项a1 和用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定公差 d，便可求得其通项 an .的

13、项 .学习过程 典型例题一、课前准备例 1 求等差数列8， 5， 2的第 20 项；（预习教材 P36 P39，找出疑惑之处） 401 是不是等差数列 -5，-9，-13的项？如复习 1：什么是数列？果是，是第几项？复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、新课导学 学习探究探究任务一 ：等差数列的概念问题 1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？ 0， 5， 10， 15， 20， 25， 48， 53， 58， 63 18， 15.5， 13， 10.5， 8， 5.5 10072， 10144， 10216， 10288，10366新知：1.等差数列：一般地，如果一

14、个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列， 这个常数就叫做等差数列的， 常用字母表示 .2.等差中项：由三个数a， A， b 组成的等差数列，这时数叫做数和的等差中项，用等式表示为 A=探究任务二 ：等差数列的通项公式问题 2：数列、的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？变式 ：（ 1）求等差数列3， 7，11，的第10 项.（ 2）100 是不是等差数列 2， 9， 16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：例 2 已知数列 an 的通项公式 an pn q ，其中 p 、 q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？

15、优秀教案欢迎下载变式：已知数列的通项公式为 an 6n 1 ，问这个数列是否一定是等差数列？若是， 首项与公差分别是什么？小结： 动手试试练 1. 等差数列 1， 3， 7， 11，求它的通项公式和第 20 项 .练 2.在等差数列 an 的首项是 a5 10, a12 31 ，求数列的首项与公差 .三、总结提升 学习小结 知识拓展1.等 差 数 列 通 项 公 式 为 ana1(n1)d 或anam(nm) d . 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线ya1(x1)d 上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列， 且已知和时， 可设这三个数为 a d , a,a

16、 d . 若四个数成等差数列，可设这四个数为 a 3d , a d , a d , a 3d .学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：1.等差数列1， 1， 3， 89的项数是（）.A. 92B. 47C. 46D. 452.数列 an的通项公式an 2n5 ，则此数列是（ ） .A.公差为2 的等差数列B.公差为5 的等差数列C.首项为2 的等差数列D.公差为n 的等差数列3. 等差数列的第 1 项是 7，第 7 项是 1，则它的第5项是（）.A.2B.3C.4D.64. 在 ABC

17、中，三个内角 A， B， C 成等差数列，则B.5. 等差数列的相邻 4 项是 a+1， a+3， b， a+b，那么 a， b.课后作业1. 在等差数列 an 中，已知 a12 ， d 3， n 10，求 an ；已知 a13 ， an21 ， d 2，求 n；已知 a112 ， a627 ，求 d；已知 d 1， a78 ，求 a1 .32. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm ，75cm，把梯形的两腰各 6 等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度 .优秀教案欢迎下载§2.2 等差数列（ 2）变式：在等差数列an中，若 a56 ， a815

18、，学习目标求公差 d 及 a14 .1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 .学习过程一、课前准备（预习教材P39 P40，找出疑惑之处）复习 1：什么叫等差数列？复习 2：等差数列的通项公式是什么？二、新课导学 学习探究探究任务 ：等差数列的性质1. 在等差数列 an 中， d 为公差， am 与 an 有何关系？2. 在等差数列an 中， d 为公差， 若 m, n, p ,q N且 m n pq ，则 am ， an ， ap ， aq 有何关系？ 典型例题例 1 在等差数列an中，已知 a510 ， a1231 ，求首项 a

19、1 与公差 d .小结 ：例 2在等差数列an 中， a2a3 a10 a11 36 ，求 a5a8 和 a6a7 .变式 ：在等差数列 an 中，已知 a2 a3 a4 a534，且 a2 a5 52 ，求公差 d.小结 ：优秀教案欢迎下载 动手试试学习评价an 中， a1a4 a739 ，练 1.在等差数列 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.a2a5 a833 ，求 a3 a6a9 的值 .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测 （时量：5分钟 满分： 10分）计分：1.一个等差数列中， a1533 ，a2566 ，则 a35（） .A. 99B. 49.5C. 48D.

20、 492.等差数列an中a7a916 ， a41 ，则a12 的值为（） .A.15B. 30C. 31D. 643.等差数列an中 ， a3， a10是 方 程x23x 5 0 ，则 a5a6 （） .A. 3B. 5C. 3D. 54.等差数列an中， a25 ， a611，则公差 d练 2.已知两个等差数列 5，8，11，和 3，7，11，.5.若 48， a， b， c， 12 是等差数列中连续五项，都有 100 项，问它们有多少个相同项？则 a， b， c.课后作业1. 若 a1 a2a5 30 ， a6 a7a10 80 ，求 a11 a12a15 .三、总结提升 学习小结1.在等

21、差数列中， 若 m+n=p+q，则 am an apaq2. 成等差数列的三个数和为9 ，三数的平方和为35，求这三个数 .注意： am an amn ，左右两边项数一定要相同才能用上述性质 .2.在等差数列中，公差amand.mn 知识拓展判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：（ 1） an1and ；（ 2） anpn q ( p 0) ；（ 3） Snan2bn .优秀教案欢迎下载§2.3 等差数列的前 n 项和 (1)学习目标1. 掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路；2. 会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题 .学习过程一、课前准备（预

22、习教材P42 P44，找出疑惑之处）复习 1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？复习 2：等差数列有哪些性质？二、新课导学 学习探究探究：等差数列的前 n 项和公式问题：1. 计算 1+2+ +100=?2. 如何求 1+2+ +n=?新知：数列 an 的前 n 项的和：一般地，称为数列 an 的前 n 项的和，用 Sn 表示，即Sn反思： 如何求首项为 a1 ，第 n 项为 an 的等差数列 an 的前 n 项的和 ? 如何求首项为 a1 ，公差为 d 的等差数列 an 的前 n 项的和 ?试试 ：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 an 的前 n 项和 Sn . a14， a8

23、18，n8； a1 14.5， d 0.7， n 15 .小结：1.用 Snn(a1an )，必须具备三个条2件：.2.用 Snna1n(n1)d ， 必 须 已 知 三 个 条2件：. 典型例题例 1 2000 年 11 月 14 日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的统治 . 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从20XX 年起用10 年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网 . 据测算， 20XX 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元 . 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50 万元 . 那么从 20XX年起的未来 10 年内，该市在“校校通

24、”工程中的总投入是多少？小结 ：解实际问题的注意：优秀教案欢迎下载例 2 已知一个等差数列 a 前10项的和是，n310前 20 项的和是 1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项和的公式吗？变式：等差数列 an 中，已知 a1030 ， a2050 ，Sn 242 ，求 n.学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：1. 在等差数列 an 中， S10120 ，那么a1a10（）.A. 12B. 24C. 36D. 482. 在 50 和 350 之间，所有末位数字是1 的整数

25、之和是（） .A 5880B 5684C 4877D 45663. 已知等差数列的前 4 项和为 21，末 4 项和为 67，前 n 项和为 286，则项数 n 为（）A. 24B. 26C. 27D. 284.在等差数列 an 中，a1 2 ，d1，则 S8.5.在 等差数列 an 中， a125 ， a5 33， 则S6.课后作业1. 数列 an 是等差数列，公差为3， an 11，小结：前 n 和 Sn 14，求 n 和 a3 . 动手试试练 1.一个凸多边形内角成等差数列，其中最小的内角为 120°，公差为 5°，那么这个多边形的边数n为（） .A. 12B.16C

26、.9D.16 或 9三、总结提升 学习小结. 知识拓展1. 若数列 an 的前 n 项的和 Sn An2 Bn（ A 0 ，A、B 是与 n 无关的常数） ，则数列 an 是等差数列 .2. 已知数列 an , 是公差为 d 的等差数列， Sn 是其前 n 项和，设 k N , Sk , S2k Sk , S3k S2 k 也成等差数列，公差为 k 2 d .2. 在小于100 的正整数中共有多少个数被3 除余2? 这些数的和是多少？优秀教案欢迎下载§2.3 等差数列的前 n 项和 (2)学习目标变式 ：已知数列 an 的前 n 项为 Sn1n22n 3 ，43求这个数列的通项公式.

27、1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2. 了解等差数列的一些性质， 并会用它们解决一些相关问题；3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 Sn 的最大（小）值 .学习过程小结 ：一、课前准备（预习教材 P45 P46，找出疑惑之处）复习 1：等差数列 an 中， a4 15， 公差 d 3，24求S5 .例 2 已知等差数列， .的前 n 项和为5 4377Sn ，求使得 Sn 最大的序号 n 的值 .复习 2：等差数列 an 中，已知 a31 ， a511，求an 和 S8 .二、新课导学 学习探究问 题 ： 如 果 一 个 数 列an的 前n项 和 为Sn

28、pn2qn r ，其中 p、q、r 为常数，且p 0 ，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ 典型例题21例 1 已知数列 an 的前 n 项为 Sn nn ，求这2个数列的通项公式 . 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？变式：等差数列 an 中， a4 15， 公差 d 3，求数列 an 的前 n 项和 Sn 的最小值 .小结 ：等差数列前项和的最大（小）值的求法.（ 1）利用 an : 当 an >0，d<0 ，前 n项和有最大值，可由 an 0，且 an 1 0，求得 n的值；当 an <0，d>0 ，前 n项和有

29、最小值，可由an 0，且 an 1 0，求得 n的值（ 2）利用 Sn ：由 Snd n2(a1d )n ，利用二次22函数配方法求得最大（小）值时n的值 .优秀教案欢迎下载 动手试试练 1. 已知 Sn3n22n ，求数列的通项an .练 2. 有两个等差数列2，6，10， 190 及 2，8，14， 200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列， 求这个新数列的各项之和 .三、总结提升 学习小结 知识拓展等差数列奇数项与偶数项的性质如下：1°若项数为偶数2n，则S偶S奇 nd ；S奇an( n 2) ；S偶an12°若项数为奇数 2n 1，则S奇S偶a

30、n 1 ； S偶nan 1 ； S奇( n1)an 1 ；S偶 nS奇 n 1 .学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测 （时量：5分钟 满分： 10分）计分：1.下列数列是等差数列的是（） .A.ann2B. Sn2n 1C.Sn2n21D.Sn2n2n2.等差数列 an 中，已知 S1590 ，那么 a8（ ） .A.3B.4C.6D.123. 等差数列 an 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为100，则它的前 3m 项和为（）.A. 70B. 130C. 140D. 1704. 在小于100 的正整数中共有个数被 7除余

31、 2，这些数的和为.5. 在等差数列中，公差d 1， S100145 ，2则 a1 a3a5 . a99.课后作业1. 在项数为 2n+1 的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为 150，求 n 的值 .2. 等差数列 an ， a10，S9S12 ，该数列前多少项的和最小？优秀教案欢迎下载§2.4 等比数列（ 1）学习目标1 理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；3. 体会等比数列与指数函数的关系.学习过程一、课前准备（预习教材P48 P51，找出疑惑之处）复习 1：等差数列的定义？3.

32、 等比数列中任意两项an 与 am 的关系是： 典型例题例 1 （ 1） 一个等比数列的第9项是 4，公比是91 ，求它的第 1 项；3（ 2）一个等比数列的第 2 项是 10，第 3 项是 20，求它的第1 项与第 4 项.复习 2：等差数列的通项公式 an，等差数列的性质有：二、新课导学 学习探究观察： 1， 2， 4， 8， 16，1，1，1，1， 1 ，24816 1，20， 202 ， 203 ， 204 ，思考以上四个数列有什么共同特征？新知：1. 等比数列定义： 一般地，如果一个数列从第项起，一项与它的一项的等于常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的，通常用字母

33、表示（ q 0），即：an =（ q 0）an 12. 等比数列的通项公式：a2a1；a3a2 q ( a1q )q a1；a4a3q (a1q 2 )q a1； anan 1 qa1等式成立的条件小结 ：.例 2 已知数列 an 中， lg an3n 5 ，试用定义证明数列 an 是等比数列 .小结 ：优秀教案欢迎下载 动手试试练 1. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的 84 . 这种物质的半衰期为多长 (精确到 1 年 )?练 2. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q（） .3355151A.B.2C.D.222学习评价

34、自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：1. 在an为等比数列，a112 ， a224 ，则 a3（ ）.A. 36B. 48C. 60D. 722. 等比数列的首项为9，末项为 1 ，公比为2 ，这833个数列的项数n（） .A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知数列 a， a（ 1 a）， a(1 a )2 ，是等比数列，则实数 a的取值范围是（） .A. a 1B. a 0 且 a 1C. a 0D. a 0 或 a 14.设 a1 ， a2 ， a3 ， a4 成等比数列，公比为2，则2a1a2 .2a3a45.在等比数列 an 中， 2a4a6 a5 ，则公比 q.课后作业在等比数列 an 中，a427 ， q 3，求 a7 ；a218 ，