《气体动理论》 ppt课件

1、 气体中个别分子的速率和方向完全是偶气体中个别分子的速率和方向完全是偶尔的，大量分子的整体在一定的条件下速率尔的，大量分子的整体在一定的条件下速率分布服从一定的统计规律。分布服从一定的统计规律。lHg金属蒸气金属蒸气显示屏显示屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵一、实验一、实验llvv2分子速率分布图分子速率分布图N 分子总数分子总数vvv)/(vNNovSNNS表示速率在表示速率在 区间的分子区间的分子数占总分子数的百分比。数占总分子数的百分比。vvvN 为速率在为速率在 区间的分子数。区间的分子数。vvv山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论二、速率分布函数

2、二、速率分布函数 vvvNNf0lim)(定义分布函数定义分布函数v)(vfovvvNN0lim1vdd1NN 一定量的理想气体，分子总数为一定量的理想气体，分子总数为N 。在。在一定的平衡态下，速率分布在区间一定的平衡态下，速率分布在区间 v v+v 内的分子数为内的分子数为N, 那么那么N /N 表示分布在此表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率区间内的分子数占总分子数的比率 (或百分或百分比比 ) 。山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论表示在温度为表示在温度为T 的平衡的平衡形状下形状下, 速率在速率在 v 附近附近单位速率区间的分子单位速

3、率区间的分子数占总数的百分比。数占总数的百分比。vvdd1)(NNfv)(vfovv)(vfovvv dSd 速率在速率在 区间的分子数占总分子区间的分子数占总分子数的百分比数的百分比:vvvdvv d)(dfNNSd山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论1d)(d00vvfNNN归一化条件归一化条件SfNNdd)(dvvvv d)(dNfN 速率位于速率位于 内分内分子数子数vvvd由由 得得 vovv dNd)(vfNv山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论vvvvd)(21fNN速率位于速率位于 区间的分

4、子数区间的分子数21vv vvvvd )(21fNNS 速率位于速率位于 区区间的分子数占总数的百分间的分子数占总数的百分比比21vv vo1vS2v)(vfvo1vN2v)(vfN山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论vvvd24d22232kTekTNN三、麦克斯韦气体速率分布定律三、麦克斯韦气体速率分布定律 麦克斯韦根据气体在平衡态下麦克斯韦根据气体在平衡态下,分子热运分子热运动具有各向同性的特点动具有各向同性的特点,运用统计实际提出：运用统计实际提出： 速率在速率在 区间的分子数占总分区间的分子数占总分子数的百分比子数的百分比:vvvd 上式反

5、映了理想气体在热平衡条件下上式反映了理想气体在热平衡条件下, 各各速率区间分子数占总分子数的百分比的规律。速率区间分子数占总分子数的百分比的规律。即即 vvvvvdd24d22232fekTNNkT 2223224vvvkTekTf其中其中 称为麦克斯韦速率分布函数。称为麦克斯韦速率分布函数。 分子速率在分子速率在 v 附近附近,单位速率区间的分子单位速率区间的分子数占总分子数占总分子数的百分比的规律。数占总分子数占总分子数的百分比的规律。vvdd)(NNfv)(vfo 1dd00vvfNNN归一化条件归一化条件山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论0

6、)(vf(3) 对对v 求微分：求微分：0d)(dvvf为极大值为极大值 2223224vvvkTekTf由麦克斯韦速率分布函数由麦克斯韦速率分布函数 四、麦克斯韦速率分布曲线四、麦克斯韦速率分布曲线 (1) 当当v 0 时时, (2) 当当v 时时, 0)(vfkT2pv得得 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论pvmaxfv)(vfo 曲线中有一极大值曲线中有一极大值, 对应速率对应速率 vp 称为最称为最概然速率概然速率 (最可几速率最可几速率)，表示在，表示在vp附近，单附近，单位速率间隔内的相对分子数最多。分子分布位速率间隔内的相对分子数最

7、多。分子分布在在vp附近的概率最大。附近的概率最大。对一定量的理想气体对一定量的理想气体kT2pv 121p8ekTfv山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论v)(vfopvpvT1T2T2 T1。温度越高，大部。温度越高，大部分分子速率加大分分子速率加大,vp右移，右移，曲线变扁曲线变扁.pv T 和和 对速率分布的影响对速率分布的影响 vp 随随 T 升高而增大，随升高而增大，随 增大而减小。增大而减小。 pvv)(vfo12 。 大，大，vp 减小，减小，左移，曲线变陡。左移，曲线变陡。21山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十

8、章 气体动理论气体动理论五、三种统计速率五、三种统计速率 1. 最概然速率最概然速率 MRTkT22pv vvvvvdd00fNNMRTkT88vNNNNNN2211dddvvvv2. 平均速率平均速率 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论 vvvvvvddd02222fNNNNNiiikT32vMRTkT332vkT2321 2v或由温度公式或由温度公式 3. 方均根速率方均根速率 得得 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论pvvv2三种统计速率比较三种统计速率比较 f (v )vf (vP)2vvpv研

9、讨碰撞研讨碰撞 讨论分布讨论分布 计算平均平动动能计算平均平动动能 O山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论1Hmolkg002. 0M1Omolkg032. 0M11molKJ31. 8RK300TMRT32v132sm1093. 1v氢气分子氢气分子12sm483v氧气分子氧气分子例例1计算在计算在 27oC时，氢气和氧气分子的方均时，氢气和氧气分子的方均根速率。根速率。 解解 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论例例2知分子数知分子数N ,分子质量分子质量 ,分布函数分布函数 f (v). 求求: (1

10、) 速率在速率在 vp 间的分子数间的分子数; (2) 速率在速率在vp 间一切分子动能之和间一切分子动能之和. vvv d)(dNfN 速率在速率在 间的分子数间的分子数vvvd解解: : vvvvpd)(Nf(1) pd)(212vvvv Nf(2) 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论例例3如图示两条如图示两条 f (v) v 曲线分别表示氢气和曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线, 从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率。从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率。kT2pv)O()H(22)

11、O()H(2p2pvvm/s2000)H(2pv4232)H()O()O()H(222p2pvvm/s500)O(2pvH2O2)(vf1sm/vo2000ms-1 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论理想气体物态方程理想气体物态方程假设分子总数为假设分子总数为 NRTMmpV RTNNpVA玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数123AKJ1038. 1NRk那么那么 NkTpV nkTp 或或 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论 处于平衡态的理想气体，分子的平均平处于平衡态的理想气体，分子的平均平动动能与气体的温度

12、成正比。动动能与气体的温度成正比。kTk23212v温度的微观本质温度的微观本质 knP32比较比较 nkTp 与压强公式与压强公式 得得 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论 (3) 在同一温度下，各种气体分子平均平在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均相等。动动能均相等。 (1) 温度是分子平均平动动能的量度。温度是分子平均平动动能的量度。( )Tk (2) 温度是大量分子的集体表现，对个别温度是大量分子的集体表现，对个别分子无意义。分子无意义。kT23212kv讨论讨论 反映热运动的猛烈程度反映热运动的猛烈程度 微观量的统计平均值微观量的统计

13、平均值宏观可丈量量宏观可丈量量山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论例例1 有一容积为有一容积为 10 cm3 的电子管，当温度为的电子管，当温度为 300 K时用真空泵抽成高真空，使管内压强为时用真空泵抽成高真空，使管内压强为 510-6 mmHg。求。求 (1) 此时管内气体分子的此时管内气体分子的数目；数目； (2) 这些分子的总平动动能。这些分子的总平动动能。 解解3001038. 1103 .1331052356kTpVN121061. 1(1) 由理想气体形状方程得由理想气体形状方程得(2) 每个分子平均平动动能每个分子平均平动动能kT23

14、N 个分子总平动动能为个分子总平动动能为8310 J2NNkT山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论A温度一样、压强一样。温度一样、压强一样。B温度、压强都不同。温度、压强都不同。C温度一样温度一样,但氦气的压强大于氮气的压强。但氦气的压强大于氮气的压强。 D温度一样温度一样,但氦气的压强小于氮气的压强。但氦气的压强小于氮气的压强。 nkTp 解解:TmkkTVN)He()N(2)He()N(2pp例例2 一瓶氦气和一瓶氮气密度一样一瓶氦气和一瓶氮气密度一样,分子平均平分子平均平动动能一样动动能一样,而且它们都处于平衡形状而且它们都处于平衡形状,那么它

15、们那么它们山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论例例3 理想气体体积为理想气体体积为V ，压强为，压强为 p ，温度为，温度为 T ，一个分子，一个分子 的质量为的质量为 ， k 为玻尔兹曼常量为玻尔兹曼常量, R 为摩尔气体常量，那么该理想气体的分子数为摩尔气体常量，那么该理想气体的分子数为：为：nVNnkTp 解解:pVRTpVkTpVTpVA B C D kTpV山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论kTk2321 2v知温度公式知温度公式 理想气体分为单原子分子，双原子分子，理想气体分为单原子分子，双原

16、子分子，多原子分子气体。气体分子除平动外，还有多原子分子气体。气体分子除平动外，还有转动和分子内原子之间的振动。转动和分子内原子之间的振动。一、自在度的概念一、自在度的概念山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论分子在各方向的运动概率均等分子在各方向的运动概率均等kTzyx21212121222vvv 分子的平均平动动能有三个独立的速度分子的平均平动动能有三个独立的速度二次项，且都相等。二次项，且都相等。222231vvvvzyx 分子能量中独立的速度和坐标的二次方分子能量中独立的速度和坐标的二次方项数目叫做分子能量自在度的数目，简称自项数目叫做分子能量

17、自在度的数目，简称自在度，用符号在度，用符号 i 表示。表示。山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论t 平动自在度；r 转动自在度。v 振动自在度。 vrti自在度数目自在度数目kTzyx21212121 222vvv1. 单原子分子单原子分子 ( 看作质点看作质点) t = 3. i = 3 yzxo单原子分子平均能量单原子分子平均能量kT213山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论既有平动，又有转动。既有平动，又有转动。平动可看作质心的平动。平动可看作质心的平动。2. 刚性双单原子分子刚性双单原子分子 两个

18、被看作质点的原子被一质量不计的两个被看作质点的原子被一质量不计的刚性杆相连。刚性杆相连。xyz12C平动三个方向平动三个方向 kTCzCyCx21212121 222vvv山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论分子平均平动动能分子平均平动动能222kt212121CzCyCxvvv 转动也有三个方向转动也有三个方向,但绕本身转动的但绕本身转动的 J 很很小，其转动动能可忽略，只剩两个。小，其转动动能可忽略，只剩两个。kTJJzzyy21212122平均转动动能平均转动动能22kr2121zyJJ山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章

19、 气体动理论气体动理论平均能量平均能量 kT215t = 3 , r = 2，i = 5。 除了刚性双原子分子的平动和转动外除了刚性双原子分子的平动和转动外, 还还可看作是一维谐振子可看作是一维谐振子, 还有一项振动动能和一还有一项振动动能和一项振动势能。项振动势能。3. 非刚性双原子分子非刚性双原子分子 平动三个方向平动三个方向 kTzyx21212121 222vvv12Cyzx山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论1m2mCyzx转动二个方向转动二个方向kTJJzzyy21212122振动二个方向振动二个方向kTxkcx21212122v非刚性双

20、原子分子平均能量非刚性双原子分子平均能量 kT217 是折合质量是折合质量 t = 3 , r = 2, v = 2. i = 7 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论刚性分子能量自在度刚性分子能量自在度 6 3 3多原子分子多原子分子 5 2 3双原子分子双原子分子 3 0 3单原子分子单原子分子 i 总总 r 转动转动 t 平动平动分子分子 自在度自在度 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论二、能量按自在度均分定理二、能量按自在度均分定理 气体处于平衡态时气体处于平衡态时, ,分子任何一个分子任何一个自

21、在度的平均能量都相等自在度的平均能量都相等, , 均为均为 kT21 1. 是统计规律，只适用于大量分子组成的是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。系统。 2. 是气体分子无规那么热运动的结果。是气体分子无规那么热运动的结果。 3. 经典统计物理可给出严厉证明。经典统计物理可给出严厉证明。 分子的平均能量分子的平均能量kTi2讨论讨论 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论三、理想气体的内能三、理想气体的内能ANE 1mol理想气体的内能RTMmiE2质量为质量为m 的理想气体的理想气体 理想气体的内能只是温度的函数，与热力理想气体的内能只是温度的函

22、数，与热力学温度成正比。学温度成正比。kTiN2ARTi2山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论内能变化内能变化TRiMmEd2d TCMmEddvm 2mRiCv比较，得比较，得四、气体的摩尔热容四、气体的摩尔热容由由 RTMmiE2而而山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论 vmpmRCCvmpm CCRRi 2 2Riiii2RiiC2 pmii2摩尔热容比摩尔热容比 得得山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论例例1 在容积为在容积为2.010-3m-3的容器中，

23、有内能为的容器中，有内能为6.75102J 的刚性双原子分子理想气体。的刚性双原子分子理想气体。 求求: : 1. 气体的压强气体的压强; 2. 假设分子的总数为假设分子的总数为5.41023个个,气体的温气体的温度和分子的平均平动动能为多少度和分子的平均平动动能为多少?解解: : 1. 由理想气体的内能和物态方程由理想气体的内能和物态方程 RTMmiE2RTMmpV 得得 iVEp2Pa1035. 1100 . 251075. 62532山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论2. 分子数密度分子数密度 326323m107 . 2100 . 2104 . 5VNn气体温度气体温度 nKpT K1062. 31038. 1107 . 21035. 1223265分子的平均平动动能分子的平均平动动能 kT213J1049. 721山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第十章第十章 气体动理论气体动理论例例2 设氢气和氦气的压强设氢气和氦气的压强,体积和温度相等体积和温度相等,求求它们的它们的 质量比质量比: : )()(e2HmHm和内能比和内能比: : )()(e2HEHE解：解： 由理想气体物态方程由理想气体物态方程 RTMmpV 得得 R