电磁场研学报告

1、分离变量法计算与电磁场数值计算方法的应用研究 电磁场与电磁波研究型论文 姓名: 姜梦磊 班级：思源1301学号：13274011 指导教师：王国栋摘要本文阐述了静态电磁场边值问题的一种求解方法一有限差分法的基本原理。通过该原理进行MATLAB编程计算电磁场电位问题，通过具体实例利用MATLAB编写程序将这种求解方法的结果可视化处理。以分离变量法的计算结果作为准确的解析解，分析有限差分法的近似计算误差，通过误差分析显示有限差分算法的精确程度。AbstractIn this paper, the basic principle of a finite difference method for s

2、olving the boundary value problem of static electromagnetic field is presented. Through this principle, the problem of electromagnetic field potential is calculated by MATLAB programming. The convergence factor of different acceleration is selected to compare the iteration number of successive super

3、 relaxation method, and then select the optimal accelerating convergence factor. The result of this method is visualized by using MATLAB program. The accuracy of finite difference method is analyzed by error analysis, and the accuracy of finite difference method is demonstrated by error analysis.一、引

4、言通过边值条件求解坐标系内的静态电场分布，是电磁场当中的常见问题之一。求解方法一般为泊松方程或拉普拉斯方程，对于满足下列条件之一的边界面S，则电位函数在该区域中除了任意常数外是唯一确定的：1、在全部S上电位已知；2、在全部S上电位的法向导数已知；3、在一部分S上电位函数已知，在其余S上电位的法向导数已知。利用唯一性定理求解边值问题，分为解析法和数值法两大类，常用的解析法有分离变量法、镜像法、复变函数法、保角变换法、格林函数法等，通常可以得到解析函数表示的闭合解，适于求解各种形状规则的边界下的电位函数。解析法的优点是：1、可用一数学公式将所求问题表示出来，从而得到对该问题的精确描述；2、根据所得

5、的公式，可以对该问题进行深入的分析研究，找到该问题中各参数之间的内在联系和变化趋势；3、可作为近似计算和数值解的检验标准。解析法的缺点是具有一定的局限性，不是每一个电磁问题都能找到与其匹配的解答公式。随着大型快速计算机的广泛应用，近似解析计算和数值法的发展迅速。目前，分析电磁工程常用的数值法有矩量法、有限元法和有限差分法。还有解析和近似计算结合的一些近似解析算法，如逐步逼近算法、微扰法、变分法、几何光学法、物理光学法、几何绕射方法和物理绕射方法等。数值法的主要缺点是不能用一数学公式将所研究的电磁问题和各参数之间的内在关系及变化趋势表示出来。2、 算法介绍2.1、解析法利用解析法求解静态场边值问

6、题主要是解决已知场量在场域边界上的值，求场域内场的分布。一般是从MaxWell方程出发，结合具体实例根据边界条件求解出标量函数位函数来表示场的分布。其他场量可以通过位函数再进一步求出。其结果是一个解析表达式，而且往往是一个复杂的级数表达式。不能形象的体现场的分布。但是，得出的结果描述了场域中每一点的值是连续，即：能够精确的表示场域中任何一点的场量。所以也叫精确解。为了形象地表达场的分布，我们将位函数的自变量离散化带入位函数表达式，求出位函数的离散值；通过MATLAB绘图画出等位线。2.2、有限差分法有限差分法（FDM），是一种微分方程数值方法，是通过有限差分来近似导数，从而寻求微分方程的近似解

7、。由泰勒展开式可得有限差分法的基本形式。首先假设要近似函数的各级导数都有良好的性质，依照泰勒定理，可以形成以下的泰勒展开式：其中n!表示是n的阶乘，Rn(x)为余数，表示泰勒多项式和原函数之间的差。可以推导函数f一阶导数的近似值：设定x0=a，可得：除以h可得：求解f'(a)：假设相当小，因此可以将"f"的一阶导数近似为：局部截尾误差为,其中现在，以静电场边值问题 （3.2.1）（3.2.2）为例，说明有限差分法的应用。f(s)为边界点s的点函数，二位场域D和边界L示于图3.2-1中。 图3.2-1 有限差分的网格分割通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距

8、离为（步距）,节点上的电位分别用和表示。设函数在处可微，则沿方向在处的泰勒公式展开为 （3.2.3）将和分别代入式（3.2.3）,得 （3.2.4） （3.2.5）由（3.2.4）-（3.2.5）得 （3.2.6）（3.2.4）+（3.2.5）得 （3.2.7）同理 （3.2.8） （3.2.9）将式(3.2.7)、（3.2.9）代入式（3.2.1），得到泊松方程的五点差分格式 当场域中得到拉普拉斯方程的五点差分格式： （3.2.10）从这个公式我们可以看出，当我们将一个二维无源区场域剖分为一系列正方形网格时，场域内任何一个节点的电位都等于它周围四个节点电位的算术平均值。这就是规则正方形网格内

9、某点的电位所满足的拉普拉斯方程的差分格式，或差分方程8。对于场域内的每一个结点，关系式（3.2.10）式都成立，都可以列出。2.3、有限差分法的求解 求解差分方程组的解可使用高斯-赛德尔迭代法及改进的超松弛迭代法。2.3.1、高斯-赛德尔迭代法网格节点一般按“自然顺序”排列，即从左到右，再从下到上顺序排列。迭代也按自然顺序进行。图1 网格节点排列方法首先对节点取迭代初值。再按下式反复迭代其中上角标（k）表示k次近似值，下脚标i，j表示节点所在位置，即第i行第j列的交点。（在迭代过程中遇到边界点式，需将边界条件带入。）所有内节点满足以下条件时迭代停止W是预定的最大允许误差2.3.1、逐次超松弛法

10、高斯-赛德尔迭代法德变形。为加速收敛，相应的迭代公式为称为“加速收敛因子”，且1 <2。（逐次超松弛法收敛的快慢与有明显关系。如何选择最佳，是个复杂问题。）查阅资料了解到最佳值的计算方法，其值为（21）3、 问题简述如图所示，有一长方形的导体槽，a = 20，b = 5，设槽的长度为无限长，槽上有两块与槽绝缘的盖板，电位分别为100V和50V，其它板电位为0V，求槽内的电位分布。 4、 问题求解4.1、思路 此问题选用高斯-赛德尔迭代法，首先列出所有边值条件，选择合理的步长，根据高斯-赛德尔迭代法列出循环表达式，进而求出空间内各点的电位值，画出图像，并通过解析法算出理论精确解，并与数值解

11、进行误差分析。判断数值解法的实用性。4.2、数值法高斯-赛德尔迭代法 4.2.1、仿真程序 程序流图程序代码%应用高斯-赛德尔迭代法求矩形导体槽内的电位分布clc %清除命令行窗口clear %清除工作区close allh=input('您所选择的步长为：');hx=20/h+1;col_x=hx-2; %计算设置x方向网格节点数hy=5/h+1;line_x=hy-2; %计算设置y方向网格节点数 v1=ones(hy,hx); %设置二维数组，且赋初值v1(hy,:)=ones(1,hx)*100; % 给定y=a的边界条件值v1(1,:)=ones(1,hx)*50;

12、% 给定y=0的边界条件值for i=1:hy;v1(i,1)=0; % 给定x=0的边界条件值v1(i,hx)=0; % 给定x=a的边界条件值end%m=10;%w=2/(1+sqrt(1- cos(pi/m)*cos(pi/m); %计算松弛因子maxt=1; t=0; %设置误差和最大误差参量v2=v1;n=0;while(maxt>1e-6) %由v1迭代算出v2，迭代精度为10-6n=n+1; %计算迭代次数maxt=0;for i=2:hy-1 ; %从2到hy-1行循环for j=2:hx-1 ; %从2到hx-1列循环% v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+

13、1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(.i,j)*w/4; %超松弛差分方程v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)/4;% .高斯-赛德尔差分方程t=abs(v2(i,j)-v1(i,j); % 收敛精度判据if(t>maxt) maxt=t; endendendv1=v2;endn %打印迭代次数 11v2 %打印场域内网格点电位的计算结果表figure(1);subplot(1,2,1),mesh(v2);title('三维曲面图'); %画三维曲面图subplot(1,2

14、,2),contour(v2,25); title('等电位线图'); %画等电位线图 4.2.2仿真结果 4.3、解析法分离变量法4.3.1、分析过程下面应用静电场中的分离变量法进行解析计算，可以得到问题的精确解设，为满足 和的条件，取其中需满足故有，则又由，可得区域内电位通解可表示为利用边界条件对上述方程两边同时乘以，并对从到积分，得为奇数时可得同理，应用边界条件可得将以上两式联立可解得所以电位解析解（21）其中4.3.2、仿真程序对此解析解进行画图，与数值解对比计算误差程序代码v_analysis=v2; % 定义v_analysis矩阵存放解析解各点数值error=ze

15、ros(hy,hx); % 定义error矩阵存放各点误差值err_max=0; % 记录解析解与数值解误差的最大值M=80; % M为表达式中代替级数的上限值for i=2:hy-1for j=2:hx-1x=(j-1)*h;y=(i-1)*h; % 将矩阵位置转化为直角坐标phi=0;for m=1:2:MCm=200/(m*pi);Bm=(400/(m*pi)-Cm*cosh(m*pi/4)/sinh(m*pi/4);phi_i=(Bm*sinh(m*pi*y/20)+Cm*cosh(m*pi*y/20)*sin(m*pi*x/20);phi=phi+phi_i; %phi为解析解表达式

16、，手工算出endv_analysis(i,j)=phi;error(i,j)=v_analysis(i,j)-v2(i,j);if err_max<abs(error(i,j)err_max=abs(error(i,j);err_x=x;err_y=y;endendendfprintf('(%.2f,%.2f)',err_x,err_y);err_maxfigure(2);%subplot(1,3,1) mesh(v2);%subplot(1,3,2)surf(v_analysis);%subplot(1,3,3) mesh(error);4.3.3仿真结果4.4、误差分

17、析 通过对两种计算结果相减，取绝对值，得到误差4.4.1分析源代码v_analysis=v2; % 定义v_analysis矩阵存放解析解各点数值error=zeros(hy,hx); % 定义error矩阵存放各点误差值err_max=0; % 记录解析解与数值解误差的最大值M=80; % M为表达式中代替级数的上限值for i=2:hy-1for j=2:hx-1x=(j-1)*h;y=(i-1)*h; % 将矩阵位置转化为直角坐标phi=0;for m=1:2:MCm=200/(m*pi);Bm=(400/(m*pi)-Cm*cosh(m*pi/4)/sinh(m*pi/4);phi_i

18、=(Bm*sinh(m*pi*y/20)+Cm*cosh(m*pi*y/20)*sin(m*pi*x/20);phi=phi+phi_i; %phi为解析解表达式，手工算出endv_analysis(i,j)=phi;error(i,j)=v_analysis(i,j)-v2(i,j);if err_max<abs(error(i,j)err_max=abs(error(i,j);err_x=x;err_y=y;endendendfprintf('(%.2f,%.2f)',err_x,err_y);err_maxfigure(2);%subplot(1,3,1) mesh

19、(v2);%subplot(1,3,2) mesh(v_analysis);%subplot(1,3,3)mesh(error);4.4.2、分析结果五、结论 本文在讨论电磁场边值问题求解时，将电磁场进行了理想化处理，以一简单边界条件的电磁场边值问题为例，建立相应的数学模型，将场域离散为一些网格，运用差分原理，对场域内偏微分方程及边界上的边界条件进行差分离散化处理，在通过差分运算求出场域内电位值。可以通过上述分析得到这样一些有意义的结论：（1）使用有限差分法求解电磁场边值问题是可行的，只要将网格取得足够小，是可以将离散的点看成连续的。求出离散的数值解，更符合实际应用的需要，而且随着计算机技术的发展，求解差分方程的过程变得简单，使得有限差分法在电磁场问题计算中更具有优势。（2）场域内取的节点越多，计算结果就越精确，当节点划分足够多的时候，离散的点