《换元积分法》 ppt课件

1、 一、第一类换元法一、第一类换元法 二、第二类换元法二、第二类换元法 三、小结三、小结 思索题思索题问题问题 xdx2cos,2sinCx 处理方法处理方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一、第一类换元法在普通情况下：在普通情况下：设设),()(ufuF 那那么么.)()( CuFduuf假设假设)(xu 可微可微dxxxfxdF)()()( CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得换元法定理由此可得换元法定理设设)(uf具具有有原原函函数数， dx

2、xxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式凑微分法第一类换元公式凑微分法阐明阐明运用此公式的关键在于将运用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()( dxxxf察看重点不同，所得结论不同察看重点不同，所得结论不同.)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 1例例1 1 求求.2sin xdx解一解一 xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解二解二 xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解三解三 xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 例例2 2 求求.23

3、1dxx 解解,)23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 duu 121Cu ln21.)23ln(21Cx dxbaxf)( baxuduufa)(1普通地普通地例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.)ln21ln(21Cx 例例4 4 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 例例5 5 求求.122dxxa

4、解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 例例6 6 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 例例7 7 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 例例8 8 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 例例9 9 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxx

5、x 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 例例10 10 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 例例11 11 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin3

6、1753Cxxx 阐明阐明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例12 12 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 例例13 13 求求解一解一 dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.)cotln(cscCxx 运用了三角函数恒等变形运用

7、了三角函数恒等变形解二解二 dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似地可推出类似地可推出.)tanln(secsec Cxxxdx解解例例14 14 设设 求求 . .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 例例15 15 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin

8、2arcsin1xdx .2arcsinlnCx 问题问题?125 dxxx处理方法处理方法改动中间变量的设置方法改动中间变量的设置方法.过程过程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin 运用运用“凑微分即可求出结果凑微分即可求出结果二、第二类换元法其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数. .证证设设 为为 的原函数的原函数,)(t )()(ttf 令令)()(xxF 那那么么dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t 设设)(tx 是单调的、可导的函数，是单调的、可导的函数， )()()()(xtdtt

9、tfdxxf 那么有换元公那么有换元公式式并且并且0)( t ，又又设设)()(ttf 具具有有原原函函数数，定理定理2 2第二类积分换元公式第二类积分换元公式 CxFdxxf)()(,)(Cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 说说明明)(xF为为)(xf的的原原函函数数,例例16 16 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,2t例例17 17 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxco

10、s2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 例例18 18 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 阐明阐明(1)(1) 以上几例所运用的均为三角代换以上几例所运用的均为三角代换.三角代换的目

11、的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式.普通规律如下：当被积函数中含有普通规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 阐明阐明(2)(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换换外还可用双曲代换.1sinhcosh22 tttaxtaxcosh,sinh 也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中, 令令dxax 221taxsinh tdtadxcosh dxax 221 dttatacoshcosh CtdtCaxar sinh.ln22Caaxax 积

12、分中为了化掉根式能否一定采用积分中为了化掉根式能否一定采用三角代换或双曲代换并不是绝对的，需三角代换或双曲代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定根据被积函数的情况来定.阐明阐明(3)(3)例例19 19 求求dxxx 251三角代换很繁琐三角代换很繁琐21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解例例20 20 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,

13、1ln2 tx阐明阐明(4)(4) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用倒代换可采用倒代换.1tx 例例21 21 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解例例22 22 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dxttt 22411111分母的阶较高分母的阶较高dttt 231222121dttt 2tu duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx

14、 阐明阐明(5)(5) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 其中其中 为各根指数的最小公倍数为各根指数的最小公倍数 lkxx,ntx n例例23 23 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 根根本本积积分分表表 (2)(2);coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cot

15、ln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa ;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 三、小结两类积分换元法：两类积分换元法： 一凑微分一凑微分二三角代换、倒代换、根式代换二三角代换、倒代换、根式代换根本积分表根本积分表(2)思索题思索题求积分求积分.)1(ln)ln(dxxxxp 思索题解答思索题解答dxxxxd)ln1()ln( dxxxxp)1(ln)ln( )ln()ln(xxdxxp 1,)lnln(1

16、,1)ln(1pCxxpCpxxp一、一、 填空题：填空题：1 1、 若若CxFdxxf )()(而而)(xu 则则 duuf)(_；2 2、 求求 )0(22adxax时，可作变量代换时，可作变量代换_ _，然后再求积分；，然后再求积分；3 3、 求求 dxxx211时可先令时可先令 x_；4 4、 dxx_)1(2xd ；5 5、 dxex2_ _ _ _)1(2xed ；6 6、 xdx_ _ _ _ _)ln53(xd ；练练 习习 题题7 7、 291xdx = =_ _ _ _ _)3arctan(xd；8 8、 21xxdx_ _ _ _ _)1(2xd ；9 9、 dtttsi

17、n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；1 10 0、 222xadxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、 求求下下列列不不定定积积分分： （第第一一类类换换元元法法）1 1、 dxxaxa； 2 2、 )ln(lnlnxxxdx；3 3、 221.1tanxxdxx； 4 4、 xxeedx；5 5、 dxxx321； 6 6、 dxxxx4sin1cossin；7 7、 dxxxxx3cossincossin； 8 8、 dxxx2491；9 9、 dxxx239； 10 10、 )4(6xxdx；1111、 dx

18、xxx)1(arctan ； 12 12、 dxxexxx)1(1；1313、 dxxx2arccos2110； 14 14、 dxxxxsincostanln. .三、三、 求下列不定积分：求下列不定积分： （第二类换元法）（第二类换元法）1 1、 21xxdx；2 2、 32)1(xdx；3 3、 xdx21；4 4、 dxxaxx2；5 5、设、设 xdxntan, ,求证：求证： 21tan11 nnnIxnI , , 并求并求 xdx5tan. .练习题答案练习题答案一、一、1 1、CuF )(; ;； 2 2、taxsec 或或taxcsc ； 3 3、t1； 4 4、21； 5 5、-2-2； 6 6、51； 7 7、31； 8 8、 ； 9 9、Ct cos2； 10 10、Cxaaxaxa )(arcsin22222. .二二、1 1、Cxaaxa 22arcsin； 2 2、Cx lnlnln； 3 3、Cx )1ln(cos2； 4 4、Cex arctan； 5 5、Cx 233)1(92； 6 6、Cx