专题7 导数的应用—函数中恒成立、若存在问题中参数范围的研究(答案)

1、专题7 导数的应用函数中恒成立、若存在问题中参数范围的研究  以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题解决的主要途径：（1）利用“参变分离法”，将含参数不等式的存在性或恒成立问题转化为或或或结构形式，利用导数在求解函数最值的优越性，从而轻松、简捷地解决相应问题；（2）将含参数不等式的存在性或恒

2、成立问题根据其不等式的结构特征，恰当地构造函数，等价转化为含参函数的最值讨论  一、利用参变分离法求参数的取值范围 典例1 已知函数（1）时，求在处的切线方程；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，设函数，若，求证：.典例2 已知函数在上是增函数，上是减函数（1）求函数的解析式；（2）若时，恒成立，求实数m的取值范围；（3）是否存在实数b，使得方程在区间上恰有两个相异实数根，若存在，求出b的范围，若不存在说明理由典例3 已知函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性；（3）若对任意的恒有成立，求实数的取值范围.典例4 已知函数 （1）若函

3、数在区间其中上存在极值，求实数的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.典例5 已知函数 (为实常数) （1）当时，求函数在上的最大值及相应的值；（2）当时，讨论方程根的个数；（3）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围.典例6 已知函数，f '（x）为f（x）的导函数，若f '（x）是偶函数且f '（1）=0.（1）求函数的解析式；（2）若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值；（3）若过点，可作曲线的三条切线，求实数的取值范围二、等价转化为含参函数的最值讨论求参数的取值范围典例7 已知函数，.（1）若恒成立，求实数的值；（2）若方程有一

4、根为，方程的根为，是否存在实数，使？若存在，求出所有满足条件的值；若不存在，说明理由.典例8 已知函数,().(1)求函数的单调区间；(2)求证:当时,对于任意,总有成立典例9 设函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）在（2）的条件下，设函数，若对于 1，2， 0，1，使成立，求实数的取值范围典例10 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数上是减函数，求实数a的最小值；（3）若，使（）成立，求实数a的取值范围. 典例11 已知函数，（1）求函数的极值点；（2）若在上为单调函数，求的取值范围；（3）设，若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围三、利用

5、“洛必达法则”将等价转化为含参函数的最值讨论求参数取值范围转化为参变分离法求参数取值范围典例12 (10年全国新课标)设函数.（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围.原解：（1）时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（2）由（1）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当时，对任意实数a,均在；当时，等价于令(x>0),则，令，则，知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，故 综上，知a

6、的取值范围为。典例13 （11年全国新课标）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求、的值；（2）如果当，且时，求的取值范围.原解：（1）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。（2）由（1）知，所以。考虑函数，则。（i）设，由知，当时，h（x）递减。而故当时， ，可得；当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设0<k<1.由于=的图像开口向下，且，对称轴x=.当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故 （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。（iii）设k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。 综合得，k的取值范围为（-，0原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：（II）由题设可得，当时，k<恒成立。令g (x)= (),则，再令()，则，易知在上为增函数，且；故当时，当x