高等数学课件：1-1 函数的概念及其初等性质

1、础础非非常常重重要要的的一一门门理理论论基基高高等等数数学学是是工工科科各各专专业业课课，,本本课课程程共共上上两两个个学学期期根根据据教教学学大大纲纲的的要要求求，个个学学分分，11)56( 17690()86 学学时时。共共业业考考研研必必考考课课程程，是是工工科科各各专专。多多后后续续专专业业课课程程的的基基础础也也是是工工科科各各专专业业许许数数学学的的基基本本内内容容，法法，熟熟练练地地运运用用它它的的基基本本方方因因此此，牢牢固固地地掌掌握握高高等等深深刻刻,理理解解它它的的基基本本思思想想续续专专是是学学好好工工科科各各专专业业的的后后业业课课的的关关键键和和保保障障。量量非非初

2、初等等函函数数）（主主要要是是初初等等函函数数或或少少其其主主要要内内容容包包括括：究究内，用极限的方法，研内，用极限的方法，研高等数学是在实数范围高等数学是在实数范围函数函数性性质质.的的一一门门课课一一元元函函数数微微积积分分.常常微微分分方方程程 函函数数与与极极限限，导导数数、微微分分及及其其应应用用，应应用用，不不定定积积分分与与定定积积分分及及其其.广广义义积积分分,空空间间解解析析几几何何:多多元元函函数数微微积积分分.无无穷穷级级数数多多元元函函数数的的极极用用，偏偏导导数数、全全微微分分及及其其应应数量值函数量值函限限与与连连续续，数的积分数的积分 重积分，重积分，第第一一型

3、型曲曲线线、曲曲面面积积分分;用用数数量量值值函函数数积积分分学学的的应应向量值函数的积分向量值函数的积分分分），（第第二二型型曲曲线线、曲曲面面积积学学习习方方法法：. 1上上课课纪纪律律：. 2好好习习惯惯。题题的的学学习习中中，要要养养成成多多想想问问容容后后，再再去去做做作作业业，在在学学内内习习，基基本本掌掌握握了了课课堂堂教教急急于于完完成成作作业业，通通过过复复不不要要要要注注意意以以听听为为主主。课课后后必必须须记记适适当当的的笔笔记记，但但题题来来听听课课，上上课课前前先先预预习习，带带着着问问课课，不不迟迟到到，不不早早退退，不不旷旷累累计计缺缺课课超超过过该该课课程程授授

4、，不不得得参参加加期期末末考考试试；课课学学时时的的31上上课课必必须须关关闭闭手手！机机，严严禁禁上上课课玩玩手手机机作作业业：. 3题题，练练习习册册上上的的习习题题为为必必做做均均为为选选做做题题，不不交交。）拟拟题题、课课本本上上的的练练习习题题模模期期中中期期末末考考试试题题、期期末末一一章章的的测测验验题题、往往年年的的（其其中中每每记记入入期期末末总总评评成成绩绩。业业成成绩绩以以作作细细的的登登记记，并并给给出出平平时时和和完完成成情情况况有有一一个个较较详详。作作业业的的收收交交业业总总数数的的一一次次，每每次次重重点点批批改改作作业业书书写写工工整整！每每周周收收交交作作作

5、作业业要要按按数数学学排排版版格格式式1031辅辅导导答答疑疑：. 4电话：电话：答疑疑室室答答疑疑。在在南南堂堂：除除周周五五、六六外外每每晚晚112009007 1.1 1.1 函数的概念及其初等性质函数的概念及其初等性质 1.2 1.2 数列极限数列极限 1.3 1.3 函数极限函数极限 1.4 1.4 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 1.5 1.5 函数连续性函数连续性 1.6 1.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 1.1.一些常用的符号一些常用的符号 .“至至少少有有一一个个”：表表示示“存存在在一一个个”或或.”，则则若若“：表表示示“可可推

6、推出出”或或.或或“等等价价”“充充分分必必要要”：表表示示“当当且且仅仅当当”或或.:“对对每每一一个个”表表示示“对对任任意意一一个个”或或 2.2.常用数集常用数集, 2 , 1 , 0* N自自然然数数集集：, , 3 , 2 , 1)( NZ正正整整数数集集：,1, 2 ，负负整整数数集集：Z，整整数数集集：101 Z,全全体体有有理理数数有有理理数数集集： Q,全全体体无无理理数数无无理理数数集集： I.IQR 实实数数集集：3.3.常用不等式常用不等式: : .0,0,xxxxxRx.0,.1 xRxo绝对值绝对值 :)0(.3 hhxo.hxh )0(.4 hhxo.hxhx

7、或或.,.2xxxRxo .yxyxyx ,.5Ryxo三角不等式三角不等式更一般地，更一般地，有有, )1(niRxi .2121nnxxxxxx .6o( 平均值不等式平均值不等式 )则则设设., 2 , 1, 0niai naaaaaaaaannnnn 212121111( 调和平均值调和平均值 )( 几何平均值几何平均值 )( 算术平均值算术平均值 )（证明略）（证明略）4.4.邻域邻域: :,0为邻域的中心为邻域的中心点点 x., 0 为为邻邻域域的的半半径径 ),(00 xUxO空空心心邻邻域域：的的点点),(:00 xUx实心邻域实心邻域的的点点.),(000 xxxxxx0 x

8、 0 x 0 x.),(),(000000 xxxxxxxx0 x 0 x 0 x称称为为对对应应的的数数数数yx函函数数值值的的集集合合：一一. 函数的定义函数的定义定义.MD 和和设设给给定定两两个个非非空空实实数数集集对对应应按按照照某某种种对对应应法法则则若若,fDx 唯唯一一确确定定,My 的的一一个个实实数数上上的的函函数数，是是定定义义在在则则称称Df)(:xfyxMDf 表表示示为为：的的定定义义域域，称称为为函函数数fD;)(xfyx 的的函函数数值值，记记作作RMDxxfyyDf ),()(.的的值值域域称称为为函函数数f函数传统的习惯符号：函数传统的习惯符号：.)(Dxx

9、fy ，注意：，可可以以多多对对一一，但但绝绝定定义义中中的的对对应应法法则则f.不不能能一一对对多多 一个函数也可以在其定义域的不同部分分别一个函数也可以在其定义域的不同部分分别用不同的解析式子表示，则称之为用不同的解析式子表示，则称之为分段定义的函数分段定义的函数，简称简称分段函数分段函数 . .0,1,0,21,0,)(:2xxxxxxf例例如如oxy 121)(xfy 有些特殊的函数有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则只能用语言来描述对应法则 ，并用约定的符号予以表示并用约定的符号予以表示:f.,1的的最最大大整整数数”是是不不超超过过对对应应的的“例例xyRx .,Rxxy 记记作

10、作：称为称为取整函数取整函数例如：例如：5.3= - 4.9=.1,xxxRx 有有显然，显然，（求极限时有用求极限时有用） 1 2 3 4 5 -2-4 -4 -3 -2 -1 -1-3xyo1234xy 阶梯曲线阶梯曲线，5.5 时时，当当)(1Znnxn xn .,2”对对应应的的“例例xxyRx .,Rxxy 记记作作：., Rxxxxy 即即称为称为非负小数部分函数非负小数部分函数.,10,xxxxRx 有有显然，显然，oxy11xy 2341 2 3 4 例例3 符号函数符号函数 .0,1,0,0,0,1sgnxxxx当当当当当当,sgn xxx .sgn的符号的作用的符号的作用起

11、了起了 xx .,0,1)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxD例例4 狄利克莱狄利克莱 函数函数德德国国）（,18591805,Dirichlet 1-1xyo xysgn 有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo)(xDy 三三. 函数的初等性质函数的初等性质.,)(Dxxfy 设设1函数的有界性函数的有界性,MxfDx,MMM )(0)3(若若,)(,0)1(MxfDxM 若若.)(上上有有界界在在则则称称DxfpxfDxRp )(,)2(若若.)(界界上上有有上上在在则则称称Dxf,)(qxf )( q)(下下.)()(上既有上界又有下界上既有上界又有下界在在函数函

12、数上有界上有界在在函数函数DxfDxf定理定理.上上无无界界在在则则称称Dxf)(2函数的单调性函数的单调性,2121时时当当如果如果xxDxx .)(的的单单调调递递增增上上是是在在区区间间则则称称函函数数Dxf),()(:21xfxf 恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoD( )（减）（减）.,)(Dxxfy 设设x)(xfy )(1xf)(2xfyoD时时，上上单单调调递递增增或或单单调调递递减减在在当当Dxf)(;)(的的单单调调上上是是在在则则称称Dxf.)(单单调调函函数数上上的的为为Dxf)(xfy )(1xf)(2xfxyoD,2121时时当当如果如果xxDxx ),

13、()(:21xfxf 恒恒有有.)(单单调调不不减减上上是是在在区区间间则则称称函函数数Dxf)( )(xfy )(1xf)(2xfxyoD)( 增增3函数的奇偶性函数的奇偶性),()(,)1(xfxfDx 若若),()(,)2(xfxfDx 若若,)(关关于于原原点点对对称称上上定定义义，且且在在设设DDxf.)(称称为为非非奇奇非非偶偶函函数数否否则则，xf.),()(),()(5数数的的和和内内能能表表成成奇奇函函数数与与偶偶函函在在内内的的任任意意函函数数，证证明明为为定定义义在在设设例例llxfllxf 证证,)()(21)(xfxfxF 令令,)()(21)(xfxfxG 偶函数偶

14、函数奇函数奇函数. )()()(xGxFxf 显显然然为为偶偶函函数数；则则称称)(xf.)(为为奇奇函函数数则则称称xf4函数的周期性函数的周期性为周期函数，为周期函数，则称则称)(xf.)(的的一一个个周周期期称称为为xfl,)(上上定定义义在在设设函函数数Dxf,0 l若若)()(xflxf 有有定义,DlxDx 且且.为为无无穷穷区区间间说说明明周周期期函函数数的的定定义义域域D2l 23l 2l23l.xyo)(xfy 的的所所有有周周期期中中存存在在在在周周期期函函数数若若)(xf最最小小的的正正，周期周期T.)(的的为为则则称称这这个个最最小小正正周周期期xfT基基本本周周期期.

15、周周期期都都是是指指基基本本周周期期通通常常我我们们所所说说的的函函数数的的，有有一一个个周周期期若若)(xf.)(必必有有无无穷穷多多个个周周期期则则xf则则的的一一个个周周期期为为事事实实上上，若若,)(xfl)()(lxfxf )(llxf )2(lxf . )(nlxf .)()(的的周周期期也也是是xfNnnl ,2cos,sin)( Txxxf的的周周期期为为,cot,tan)( Txxxf的的周周期期为为,2)sin()( TCBxAxF的周期为的周期为,2)cos()( TCBxAxF的周期为的周期为,)tan()( TCBxAxF的周期为的周期为,)cot()( TCBxAx

16、F的周期为的周期为则则的周期的周期是是，而，而若若,)()()(1xfTxfxFiinii ,)(,21的的周周期期是是的的最最小小公公倍倍数数xFTTTTn 常常 用用 结结 果果 !)(的的最最小小正正周周期期不不一一定定是是但但xFT以以任任意意正正有有狄狄利利克克莱莱函函数数例例 .,0,1)(6IxQxxD.小小正正周周期期理理数数为为周周期期，但但没没有有最最, Qr事事实实上上，若若Ix )(rxD. )(xD 的的周周期期，即即任任意意正正有有理理数数是是)(xD但但正正有有理理数数中中不不存存在在最最小小值值，若若Qx ，则则Qrx ，Qx ，Qrx ,1，则则Irx . I

17、x , Irx ,0.)(无无最最小小正正周周期期故故xD1. 复合函数复合函数 .),(, )(AxxuBuufy 和和设设 )(BxAxxD 且且若若. BA ）（或或 ,)(,BxuDx 对对应应唯唯一一一一个个先先通通过过法法则则即即.RyDx 都都对对应应唯唯一一一一个个.,)(Dxxfy 定义.Ryf 对对应应唯唯一一一一个个再再通通过过法法则则.)()(复复合合而而成成的的复复合合函函数数与与称称为为由由函函数数ufyxu 作作：义义了了一一个个新新的的函函数数，记记上上定定于于是是在在 D称称为为外外函函数数，其其中中：)(ufy 称称为为内内函函数数，)(xu .称称为为中中

18、间间变变量量u注意注意: :,arcsinuy 例如例如;22xu 没有意义！没有意义！则则)2arcsin(2xy ，和和给给定定两两个个函函数数AxxuBuufy )(, )(.10 .)(xfy 算算：不不一一定定都都能能进进行行复复合合运运 )(BxAxxD 且且. BA ）（或或 可可以以复复合合的的条条件件是是：,)2cot(:xy 例如例如,uy 由由,cotvu .2 复复合合而而成成xv .20进进行行复复合合运运算算意意有有限限个个函函数数也也可可以以在在满满足足相相应应条条件件时时，任任2. 反函数反函数则则若若给给定定函函数数,)(Dxxfy 都都对对应应通通过过 fD

19、x, 唯唯一一确确定定.)(Dfy 的的，也也有有是是否否通通过过某某对对应应法法则则反反之之，),(Dfy 唯唯一一一一个个与与之之对对应应呢呢？Dx 不一定！不一定！定义对应对应通过某一法则通过某一法则如果如果),(Dfy 唯唯一一一一个个,)(成成立立）（使使xfyDx .)(,)(1Dfyyfx 一一个个新新的的函函数数，上上定定义义了了则则称称在在)(Df的的反反函函数数，记记作作称称它它为为)(xfy .存存在在反反函函数数只只有有一一一一对对应应函函数数，才才结论：结论：的的反反函函数数，则则是是如如果果)()(1xfyyfx 的的反反函函数数，也也是是)()(1yfxxfy 或

20、或者者说说，.)()(1互为反函数互为反函数与与yfxxfy 的的定定义义)(xf，的的值值域域域域就就是是)(1yf )()(1yfxf 的的值值域域就就是是，且且的的定定义义域域.,)(Dxyxf )()(11 ffx .)(,)(1Dfyxyf )()(ffy 表表示示因因变变量量，表表示示自自变变量量，习习惯惯上上，总总是是用用yx的的反反函函数数一一般般记记作作：，所所以以，Dxxfy )(.)(,)(1Dfxxfy .)(,)(1Dfyyfx 关系关系相相同同函函数数注意：求反函数的方法：.)(,)()(1Dfyyfxxfy 中中解解出出先先从从再再按按习习惯惯写写成成：.)(,)

21、(1Dfxxfy ).0()()()(1 abaxfxfx反反函函数数的的互互为为反反函函数数，求求与与设设例例 154习习题题练练习习册册P解解互互为为反反函函数数，与与)()(xfx 有有对对一一切切x)(xf .x , )(baxfy 设设则则)()(baxfy ,bax )(1byax .)(abay .)()(的反函数的反函数为为故故baxfabaxy .)()(1对对称称关关于于直直线线的的图图形形和和它它的的反反函函数数函函数数xyxfyxfy )(xfy xyo),(xyM ),(yxM)(1xfy )(1yfx xy 定理.)()(,)()(1也也严严格格单单调调增增加加数数

22、在在，且且反反函函则则必必存存在在反反函函数数，严严格格单单调调增增加加在在若若DfDfyyfxDxfy （或或减减少少）（或或减减少少）证明略证明略基本初等函数（基本初等函数（6类）：类）：常值函数、幂函数、指数常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数函数、对数函数、三角函数、反三角函数. 1.常值函数常值函数.Cy 2.幂函数幂函数).(是是常常数数 xy 3. 指数函数指数函数),1, 0( aaayx.xey 4.对数函数对数函数),1, 0(log aaxya.ln xy 5. 三角函数三角函数,sin xy ,cos xy ,tan xy ,cot xy ,sec

23、 xy .csc xy 6. 反三角函数反三角函数,arcsinxy ,arccosxy ,arctan xy cotarc. xy 由基本初等函数经过由基本初等函数经过有限有限次四则运算和次四则运算和有限有限次次复合运算所构成的并且可以用复合运算所构成的并且可以用一个式子一个式子表示的函数表示的函数 ,统称为统称为初等函数初等函数 .)1ln(2)1sin(:232xexyxx 例例如如,2sinhxxeex 双双曲曲正正弦弦,2coshxxeex 双双曲曲余余弦弦,coshsinhtanhxxxxeeeexxx 双双曲曲正正切切.sinhcoshcothxxxxeeeexxx 双双曲曲余余

24、切切双双 曲曲 函函 数数都是初等函数都是初等函数 :幂幂指指函函数数都都是是初初等等函函数数时时，与与当当)()(xxf .)(ln)(也也是是初初等等函函数数xfxe 复合而成）复合而成）（由（由)(ln)(,xfxueyu )0)()()( xfxfyx .,2 , 1,)( nnfxn数列是整标函数数列是整标函数:注意注意：,21nnxxxx：表表为为数数列列的的通通项项1x2x3x4xnxxo ,21nxxx 数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列. 可看作一动可看作一动点在数轴上依次取点在数轴上依次取.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn.1)1

25、(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn .0)1(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时同理，当同理，当nxnnn ”限接近于限接近于无无无限增大时无限增大时当当存在常数存在常数对数列对数列“.,axnaxnn以上例子反映了以上例子反映了:一一类类数数列列的的某某种种共共性性.,为为它它的的极极限限称称这这类类数数列列为为收收敛敛数数列列 a都不收敛，都不收敛，而数列而数列)1(,2nn 无限增大无限增大当当事实上事实上n,.11)1(,2上跳动上跳动和和的变化在的变化在随随而而也无限增大也无限增大时时 nnn.)1(2个确定常数个确定常数都不能无限地接近于某都不能

26、无限地接近于某与与nn 问题问题:意味着什么意味着什么? 如何用如何用数学语言定量数学语言定量地刻划它地刻划它 . axnaxn 任意小，就能保证任意小，就能保证只要只要 ,”的的自自然然数数可可以以超超过过任任何何一一个个给给定定“Nn充充分分大大”，的的含含义义就就是是：“ n亦亦即即”无限接近于某确定常数无限接近于某确定常数无限增大时无限增大时当当“axnn,.axn无无限限接接近近任任意意小小，从从而而就就能能保保证证”无限接近于某确定常数无限接近于某确定常数“axn”无无限限增增大大“n,Nn .为为某某个个确确定定的的自自然然数数其其中中 N用用数数学学式式子子表表示示为为：用用数

27、数学学式式子子表表示示为为：.1) 1(1,1无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当例例nxnnn 1nxnnn11)1(1 ,1001 取取,10011 n由由,100时时只只要要 n,100111 nxn有有,10001 取取,1000时时只只要要 n,1000111 nxn有有,100001 取取,1000011 nx有有,10000时时只只要要 n, 0 ,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx定义定义1）（N .为定数为定数，设有数列设有数列axn, 0 若若 NnNN,. axn.的极限的极限称为数列称为数列定数定数，收敛于收敛于则称数列则称数列nnxaax.)(li

28、m naxaxnnn或或记记作作：定义定义2，不存在极限不存在极限若数列若数列nx都都不不是是即即R ，的极限的极限nx.发散或不收敛发散或不收敛则称数列则称数列nx:收收敛敛数数列列的的几几何何意意义义, 0 NnNN, axn axnnlim. axan即即从几何上看就是：从几何上看就是：收敛于收敛于数列数列,axn, 0 , NNnxN 的的项项所所有有下下标标大大于于),(21 NNxx即即内内，都都落落在在),( aax 2 a aa2 Nx1 Nx.),(项项）项项（前前的的有有限限之之外外最最多多只只有有而而在在Nxaan Nx2x3x1x注意注意:，”出出发发从从结结论论“ a

29、xn用用 定义定义” 验证数列极限，验证数列极限，关关键是如何由任意给定的键是如何由任意给定的 寻找寻找 N ？, 0 N “，的的式式子子关关于于解解不不等等式式，得得 n则则 N的的式式子子关关于于 具体方法：具体方法：, 0 对对任任意意给给定定的的例例1.32312lim nnn证明证明证证)31(3)31(2632312nnnnn 由由, 0 ,1 n,1 N,Nn n932 n99 n1 . .32312 nn有有.32312lim nnn例例2.21521lim22 nnnn证明证明证证, 0 2152122 nnn由由nnn104252 nnn104252 nnnn 3452n

30、nn552 . ,5 n ,5 ,3max N取取,Nn .2152122 nnn有有.21521lim22 nnnn注意注意）（3 n注注: :.很不方便很不方便要得到要得到有时直接解不等式有时直接解不等式 axn的的式式子子关关于于 n,nnax ，使得，使得适当放大适当放大因此，通常先将因此，通常先将axn )(0, nnn 且且较较为为简简单单的的式式子子放放大大的的原原则则：使使放放大大后后！从而确定所要找的从而确定所要找的再解不等式再解不等式Nn, ,件件考考虑虑到到这这个个前前提提条条的的值值时时并并在在最最后后确确定定必必须须大大于于某某个个正正数数时时要要限限定定有有简简单单

31、为为使使式式子子在在放放大大过过程程中中另另外外Nn .5 ,3max2 N中中取取如如例例)32( n中中例例例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证0 ,0 nnqq由由,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则则Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq;,0上上式式恒恒成成立立时时当当 Nnq,10时时当当 q,lnlnqn , )10( .)0(1lim4 aann证证明明例例证证,1)1时时当当 a恒恒有有, Nn.0111 na.1lim nna,1)2时时当当 a,1 na则则),0( ,1 nnna 令令,11)1(nnnnnnnna ,)1(0nan na

32、1 ,0 . ,1 an解得解得,Nn 1 nanna 1, N)1( a.1lim nna, 0 .1lim nnn同理可证：同理可证：.1,1,1 nbbba则则令令nnbb1 所所证证，由由 )2综合之，故综合之，故,10)3时时当当 a1 na1 nb,0 ,Nn , N)1( b.1 nb从从而而. 1 na1 nb.1lim nna.)0(1lim aann定理定理1 1（唯一性唯一性） .收收敛敛，则则其其极极限限必必唯唯一一若若数数列列nx证证,limaxnn 设设,limbxnn 另外又设另外又设由定义由定义,使得使得, 021 NNN ;1 axNnn.2 bxNnn ,m

33、ax21NNN 取取上述二式同时成立，上述二式同时成立，则则,Nn ba )()(bxxann bxaxnn .2 .ba 的的任任意意小小性性，可可知知由由 证毕证毕定理定理2 2（有界性有界性） .必必有有界界收收敛敛，则则若若数数列列nnxx.,0MxNnMn 有有，即即反反之之不不然然！.)1(:有界但它却发散有界但它却发散例如例如n 证证,limaxnn 设设由定义由定义,1 对对,1, axNnNNn则则aaxxnn 从从而而aaxn .1a ,1,max1 axxMN令令.,MxNnn 有有则则., 0MxNnMxMnMn 有有无无界界.2发散发散无界，则无界，则若数列若数列定理

34、定理nnxx ,5,41,3,21,1:1)1(无无界界例例如如 nn.它它发发散散证毕证毕中中从从在在数数列列,:21nnxxxx定义定义 左向右左向右任意任意选取选取无穷多项无穷多项，并按它们在原数，并按它们在原数列中的次序排成一个列中的次序排成一个新的数列新的数列，表为：，表为：,:21kknnnnxxxx 121,kkknnnnNn且且其其中中：的的一一个个子子数数列列，为为则则称称nnxxk简称简称子列子列 .项项中中是是第第数数列列项项，在在原原中中的的第第在在子子列列表表示示knnnknxkxxnkk又又子子列列是是按按它它们们在在成成的的，原原数数列列中中的的次次序序排排列列而

35、而 21nn即即 1kknn.knk 故故有有特特别别，若若选选取取, 12 Nkknk,:123112 kkxxxx的奇子数列；的奇子数列；称为称为nx有有若若选选取取,2 Nkknk,:2422kkxxxx.的偶子数列的偶子数列称为称为nx axknklim,0KkNK . axkn定理定理 3 3axn收收敛敛于于数数列列的的任任一一子子列列nx.axkn都都收收敛敛于于证证),limaxnn ,0 , NN. axNnn，由于由于knk ,NK 取取,NKk 则则,Nknk 必有必有. axkn.limaxknk 即即).显显然然证毕证毕推论推论 1的的某某一一个个子子列列发发散散若若

36、nx或或某某两两个个子子列列都都收收敛敛但但极极限限不不相相等等，.发发散散则则nx推论推论 2 axnnlim.limlim212axxkkkk 证证).3，显显然然成成立立由由定定理理),limlim212axxkkkk ,0 ,11KkNK .12 axk,22KkNK .2 axk,2,12max21KKN 取取,Nn ,12时时当当 kn,12121 Kk,1Kk axn ,2时时当当kn ,222Kk ,2Kk axn 证毕证毕66习题习题练习册练习册P.limaxnn ; axk 12; axk 2. axn故故定理定理4 4（四则运算四则运算） 则则，若若,limlimbyax

37、nnnn ).0(limlimlim)3(;limlim)lim)2(;limlim)lim1 bbayxyxbayxyxbayxyxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn（）（证证明明略略）注意注意: : 四则运算只对四则运算只对有限有限个个收敛收敛数列而言，否则数列而言，否则不能用不能用 . . )21(lim:222nnnnn 例如例如,lim2lim1lim222nnnnnnn 000 .0 无穷多个收敛无穷多个收敛数列数列 这是错误的这是错误的. . )21(lim:222nnnnn 正确做法正确做法221limnnn 22)1(limnnnn 211limnn .21 例例5

38、求下列极限求下列极限,lim)1(11101110kkkkmmmmnbnbnbnbanananaI .0, 0),1,0,1,0(,00 bankjmibaNkmji无关的常数，无关的常数，均为与均为与其中：其中：解解)()(lim11101110kkkkkmmmmmnnbnbnbbnnananaanI kkkkmmmmkmnnbnbnbbnananaan 11101110lim ,km ,00ba,km ,0.km , 121sinlim)2(22 nnnnn210 ;21 )1(lim)3(nnnn nnnn 1lim1111lim nn.21 定理定理5 5（迫敛性迫敛性或或两边夹定理两

39、边夹定理） NnNN ,若若,limlimnnnnnnnzlxzyx 且且有有.limlynn 则则证证,limlimnnnnzlx , 0 ,11NnNN . lxln有有,22NnNN . lzln有有,max21*NNNN 取取,*时时当当Nn nnnzyx l. l. lyn即即.limlynn 证毕证毕例例6 6. )2211(lim222nnnnnnnnn 求求解解由两边夹定理，由两边夹定理，,1212 nnnxn nnnn221则则,2211222nnnnnnnnxn 记记,)1(2)1()2(2)1(22 nnnnxnnnnn,)1(2)1(lim21)2(2)1(lim22

40、nnnnnnnnnn又又.21)2211(lim222 nnnnnnnnn华中师大考研题华中师大考研题例例7 7,lim21nnknnnaaa 求求.;,2,1,0为固定自然数为固定自然数其中：其中：kkiai 解解,max21kaaaA 记记则则nnknnaaa 21 nnAAkn A,A由两边夹定理，由两边夹定理，Aaaannknnn 21lim.,max21kaaa nnAk n，设设有有数数列列nx,121 nnxxxx,121 nnxxxx,121 nnxxxx,121 nnxxxx单单 调调 数数 列列为单调增加数列；为单调增加数列；则称则称nx为为严严格格单单调调增增加加数数列列

41、；则则称称nx为为单单调调减减少少数数列列；则则称称nx.为为严严格格单单调调减减少少数数列列则则称称nx若若若若若若若若定理定理6 6（单调有界原理单调有界原理） .单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限（证明略证明略） )(121Mxxxxnn 若若上界上界 )(121mxxxxnn 若若下界下界 则则.必必有有极极限限数数列列nx例例8 8.,2,1),2(21,0110 nxxxxnnn设设.:收收敛敛，并并求求其其极极限限数数列列证证明明nx证证,由由平平均均值值不不等等式式有有对对, Nn)2(2111 nnnxxx112 nnxx,2 有下界；有下界；nx,22 nx由上式得由

42、上式得, Nn则则1 nnxxnnxx222 ,0 .1 nnxx收敛，收敛，根据单调有界原理，根据单调有界原理，nx，设设axnn lim,2 a,2 nx已知已知,2 a舍去舍去.2lim nnx故故)2(21nnnxxx ),2(2111 nnnxxx由由),2(21aaa , 022 a例例9 9., 2 , 1,)11(存在有限极限存在有限极限证明数列证明数列 nnxnn证证11211121 naaaaaannn)0( ia.11121121 nnnnaaaaaannnx)11( )11()11(1nn 个个括括号号n11)11(1 nnnn1111 nn.1 nx,2,1,1 nx

43、xnn即即 ;单调递增单调递增nx!1! 2111n 1212111 n1213 n.3 ,有上界有上界nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记记为为4 45 59 90 04 45 51 18 82 28 81 18 82 28 82 2. .7 7 计算可得：计算可得：2112111 n)11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn 由由二二项项式式定定理理，有有nnnx)11( 21! 2)1(11nnnnnnnnnn1!123)1( 1.3 1.3 函函 数数 的的 极极 限限有有定定义义，在在设设)()(0 xUxfO讨讨论论当当自自变变量量.)(0的的变

44、变化化趋趋势势时时，对对应应的的函函数数值值无无限限趋趋近近于于定定点点xfxx.)(,0的极限的极限函数函数时时即即xfxx .1,11)(2 xxxxf例例：xyo 1 12 112 xxy, )1(1 xx当当.2)(xf)(12xfx时时，称称为为当当把把.211lim21 xxx的的极极限限，记记为为问题问题: :函数函数)(xfy 在在0 xx 的的过程中过程中,对应函数对应函数值值 )(xf 是否无限是否无限趋近于趋近于确定值确定值 A？ ;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的过过程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点 x.

45、0程度程度接近接近体现体现xx 一般地有一般地有定义定义1)( .)()(0为常数为常数有定义，有定义，在在设设AxUxfO.)( Axf,:,0,00 xxx若若0.)(0Axxxf时时存存在在极极限限，其其极极限限为为在在则则称称Axfxx )(lim0记作记作.)()(0 xxAxf或或 Axfxx)(lim0.)(,0:0 AxfAxxx, 0, 0 几何解释几何解释: :xyo)(xfy 0 xA A A 0 x 0 x .2,)(,),(0形形区区域域内内的的带带宽宽为为中中心心线线为为落落在在以以直直线线的的图图形形完完全全时时在在当当 AyxfyxUxO 单侧极限单侧极限:例如

46、例如,. )(lim0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设,0 xx从从左左侧侧无无限限趋趋近近;0 xx记记作作,0 xx从从右右侧侧无无限限趋趋近近.0 xx记记作作yox1xy 112 xy.00两两种种情情况况分分别别讨讨论论和和分分 xx左极限左极限.)(,:, 0, 000 Axfxxxx右极限右极限.)(,:, 0, 000 Axfxxxx0:00000 xxxxxxxxxxx 注意注意.) 0()()(lim00)0(00AxfxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()()(lim00)0(00AxfxfAxfxxxx 或或记记作作）（ xx00）（ 00 xx定理

47、定理Axfxx )(lim0.)(lim)(lim00 xfAxfxxxx .lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxx 0lim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.lim0不存在不存在xxx例例1证证1)1(lim0 xxxx 0lim11lim0 xxxx 0limxxx 0lim例例2 2).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两两个个单单侧侧极极限限为为是是函函数数的的分分段段点点,0 x)(lim0 xfx , 1 )(lim0 xfx , 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故

48、)1(lim0 xx )1(lim20 xx 则则，得得 00:xx的的式式子子关关于于 .的的式式子子关关于于 用用 定义定义” 验证函数极限验证函数极限: “Axfxx )(lim0, 0 关键是如何由关键是如何由 寻找寻找 ？具体方法：具体方法：出出发发，解解不不等等式式从从 Axf)(,)(lim(0Axfxx 或或，（或（或 00:xx的的式式子子关关于于 )(lim0Axfxx ） xx00:的的式式子子关关于于 下列极限：下列极限：证明证明例例3);(lim)1(0为常数为常数CCCxx ,0 证证Axf )(由由CC ,恒恒成成立立 ,0 可可任任取取一一个个,0:0 xxx.

49、 CCAxf )(有有.lim0CCxx ;lim)2(00 xxxx )1()2(,0 Axf )(由由0 xx , ,0 取取,0:0 xxx.0 xxAxf )(有有.lim00 xxxx ;6193lim)3(23 xxx,0 )432(, 130 xxx限制限制32361 x,303 x ,30,1min 取取,30: xx,61932 xx有有.6193lim23 xxxx324证证9966122 xxx3361 xx61932 xx由由3301 x, .022lim)4(2 xxx证证,0 022 xx由由22 xx)2(22 xxx222 xx22 x2 x. 20 x,20:

50、 xx, 02 取取.022 xx有有.022lim2 xxx.2 .)(Axf问题问题: 如何用数学语言刻划两个如何用数学语言刻划两个“无限趋近无限趋近”.,)( Axf,0XxX ;)(任任意意小小表表示示Axf .的的过过程程表表示示 x时时，当当 x.),)(为定常数为定常数有定义，有定义，在在设设Aaxf.)(,)(AxxfAxfx限限时存在极时存在极在在则称函数则称函数常数常数无限地趋近于某个确定无限地趋近于某个确定对应的函数值对应的函数值无限增大时，无限增大时，一般地，如果当自变量一般地，如果当自变量?.)(,:, 0, 0 AxfXxxX Axfx)(lim定义定义2)(X .

51、)(为常数为常数有定义，有定义，在在设设Aaxxf .)( Axf,0,0XxX 若若.)(Axxf时时存存在在极极限限在在则则称称 ).()()(lim xAxfAxfx或或记记作作 Axfx)(lim.)(, 0, 0 AxfXxX类类似似地地，有有 Axfx)(lim.)(lim)(limxfAxfxx ,1)sin1 (lim xxx定理定理. )(1sin1)( xxxxf,1)sin1 (lim xxx例如：例如：1三者之间的关系：三者之间的关系：几何解释几何解释: 为例为例以以Axfx)(lim.)(,:, 0, 0 AxfAXxxX)(xfy xoyA X X.2,)(,的的带

52、带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线在在以以直直线线的的图图形形完完全全落落函函数数时时或或当当 AyxfyXxXx X则则，得得 x:的的式式子子关关于于 .的的式式子子关关于于 用用 定义定义” 验证函数极限验证函数极限:X “Axfx )(lim, 0 X关键是如何由关键是如何由 寻找寻找 ？具体方法：具体方法：出出发发，解解不不等等式式从从 Axf)(,)(lim(Axfx 或或，（或或 x:的的式式子子关关于于 )(limAxfx ） x:的的式式子子关关于于 .11563lim433 xxxxx证明证明例例证证, 0 1156333 xxxx由由15523 xxx. )5(

53、x若若xxx533 532 x,35 x, 0 X取取35,5max ,Xx .1156333 xxxx有有.11563lim33 xxxxx. )1(0lim5 aaxx证明证明例例证证,0 , 0 X,Xx xxaa 0. axlog )1( alog .0lim xxaX)( alog .)0(01lim6是常数是常数证明证明例例 kxkx证证, 0 01 kx. ,11kx kx1 )1( x不不妨妨设设, 0 X1,1max1k ,Xx .01lim kxx为例给出：为例给出：以以极限完全平行的性质，极限完全平行的性质，它们具有与数列它们具有与数列函数极限有六种形式，函数极限有六种形

54、式，)(lim0 xfxx性质性质1 1（唯一性唯一性） .)(lim0存存在在，则则它它必必唯唯一一若若xfxx（证明略）（证明略）性质性质2 2（局部有界性局部有界性） , 0)(lim0 Mxfxx存存在在，则则若若.)(,0:,00Mxfxxx 有有 证证，设设Axfxx )(lim0，对对01 .1)(,0:0 Axfxxx有有 )(xfAAxf )(.1A AAxf )(.)(Mxf 有有,1AM 取取证毕证毕性质性质3 3（局部保号性局部保号性）,0)(lim0 Axfxx若若.0)(),(00 xfxUx有有 , 0 则则)0( )0)( xf证证,0)(lim0 Axfxx，

55、对对0 ，0 ,0:0 xxx,)( Axf有有 Axf)(2AA . 02 A证毕证毕2A 性质性质4 4（四则运算四则运算） ,)(lim)(lim00BxgAxfxxxx ，若若则则)()(lim) 1 (0 xgxfxx ;)(lim)(lim00BAxgxfxxxx ;)(lim)(lim)()(lim)2(000BAxgxfxgxfxxxxxx .)0()(lim)(lim)()(lim)3(000 BBAxgxfxgxfxxxxxx（证明略）（证明略）注注：四则运算对四则运算对有限个存在极限有限个存在极限的函数而言的函数而言.性质性质5 5（极限极限不等式不等式）都都与与若若)(

56、lim)(lim00 xgxfxxxx),()(,0:,0,0 xgxfxxx 有有且且存在存在 .)(lim)(lim00 xgxfxxxx 则则证证,)(lim)(lim00BxgAxfxxxx 设设用反证法，用反证法，)(lim)(lim00 xgxfxxxx 设设 A,B )()(lim0 xgxfxx )(lim)(lim00 xgxfxxxx BA , 0 ,由由局局部部保保号号性性),(,000 xUx 有有, 0)()( xgxf),()(xgxf 即即.题题设设矛矛盾盾与与注意注意:时，时，若若)()(xgxf .)(lim)(lim00 xgxfxxxx 性质性质6 6（迫

57、敛性迫敛性或或两边夹定理两边夹定理） ,0 若若且且有有, )()()(,0:0 xhxgxfxxx , )(lim)(lim00 xhAxfxxxx .)(lim0Axgxx 则则性质性质7 7（海涅海涅( Heine,1821-1881,( Heine,1821-1881,德德 ) )定理定理） Axfxx)(lim0, ),2,1(:0 nxxxnn.)(lim,lim0Axfxxnnnn 都有都有（证明略）（证明略）注注：海涅定理揭示了函数极限与数列极限的关系海涅定理揭示了函数极限与数列极限的关系.（证明略）（证明略）;)(lim0不不存存在在xfxx,lim0 xxnn :nx 若若

58、)(不存在不存在但但)(limnnxf )(:nnyx与与若若 ,lim,lim00 xyxxnnnn )(lim)(limnnnnyfxf 但但.)(lim0不不存存在在xfxx推论推论: :( ( 判断判断 不存在的方法不存在的方法 ) )(lim0 xfxx, )(0 Nnxxn, )(0 Nnxy、xnn.1sinlim80不存在不存在证明证明例例xx证证),(0,0 nyxnn则则,21 nxn 取取,002sin)( nxfn.1sinlim0不存在不存在xx,11)22sin()( nyfn，同理可证同理可证xx1coslim0.coslimsinlim都都不不存存在在，xxxx

59、 ,221 nyn性质性质8 8（极限的变量代换极限的变量代换） ,)(lim0axuxx 设设,)(lim,)()(0AufaxuxUauo 内内且且)(lim0 xufxx则则.)(limAufau （证明略）（证明略）.),(00均成立均成立限形式限形式以上各性质，对其它极以上各性质，对其它极 xxxxxxx计算下列极限：计算下列极限：例例9232lim)1(2321 xxxxx)2(lim)32(lim23121 xxxxxx2limlimlim32lim1213121 xxxxxxxx211132 .155 25312lim)2(22 xxxxx22253112limxxxxx )2

60、53(lim)112(lim22xxxxxx 222lim5lim3lim1lim1lim2limxxxxxxxxxx 003002 .32 21lim)3(221 xxxx)2)(1()1)(1(lim1 xxxxx21lim1 xxx2lim1lim11 xxxx.32 )(11lim)4(0 Nnxxnx,11yxn 令令. 1)1( nyx1)1(lim0 nyyy1)1(lim10 nynyyynny.1n (1)1sinlim0 xxxxxysin xoy1 1)()(sinlim 0)( xuxuxu更一般地：更一般地：)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆.AC