复变函数与积分变换：3-1曲线积分

1、 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分学习要点学习要点掌握复变函数积分的定义及基本性质掌握复变函数积分的定义及基本性质 3.1 曲线积分曲线积分掌握复变函数积分的计算掌握复变函数积分的计算 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换一、一、 光滑曲线的概念回顾光滑曲线的概念回顾:22: ( )( ) , ( )( ), , ( ) ( )0,.C zx tiy tttx ty ttx ty tC对对于于简简单单曲曲线线如如果果在在上上和和都都是是连连续续的的且且对对于于 的的每每一一个个值值 有有那

2、那么么称称这这曲曲线线 为为光光滑滑的的 由有限条光滑曲线依次相由有限条光滑曲线依次相接的所组成的连续曲线称为接的所组成的连续曲线称为按按(逐逐)段光滑曲线段光滑曲线.xyoxyo （1）光滑曲线上的各点都有切线）光滑曲线上的各点都有切线 （2）光滑曲线可以求长）光滑曲线可以求长 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换闭曲线正向的定义闭曲线正向的定义:简单闭曲线简单闭曲线C C的正向是指当曲的正向是指当曲线上的点线上的点P P顺此方向前进时顺此方向前进时, , 邻近邻近P P点的曲线的内部始终位点的曲线的内部始终位于于P P点的左方点的左方. . xyoPPPP与之

3、相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.曲线方向的说明曲线方向的说明:一般一般: 曲线曲线C的正方向总是指从起点到终点的的正方向总是指从起点到终点的方向方向.按按(逐逐)段光滑的闭曲线称为周段光滑的闭曲线称为周(围围)线线. 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 ,( )( , )( , )DABC f zu x yiv x yC设设在在复复平平面面 上上有有一一条条以以 为为起起点点 为为终终点点的的有有向向曲曲线线是是定定义义在在上上的的函函数数. .二、二、 复变函数积分的定义复变函数积分的定义011.:,nABnAz zzB将将任任意意分

4、分划划成成个个小小弧弧段段分分割割：12.(),kkkkkfzzz 作作乘乘积积：oxyab1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 0az nb z 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换11max,kkkkk nSSzz 其其中中，为为的的长长度度,( )(),( )kCCf zCABf z dz 若若无无论论如如何何分分割割如如何何取取, ,上上述述极极限限存存在在，则则称称其其为为沿沿曲曲线线 从从的的积积分分记记作作0()14.lim()nkknkIfz 取取极极限限：( )CCf z dz 若若 为为闭闭曲曲线线，则则记记作作113.(),nnkkkkk

5、kSfzzzz 求求和和： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换( )( , )( , ),( )f zu x yiv x yCf zC当当在在光光滑滑曲曲线线上上连连续续时时必必沿沿 可可积积. .( )CCCf z dzudxvdyivdxudy且且( ).Cf z dz 这这个个定定理理表表明明可可通通过过二二个个二二元元实实变变函函数数的的第第二二型型曲曲线线积积分分来来计计算算()()Cuiv dxidy 记记忆忆二、复积分存在的条件二、复积分存在的条件定理定理 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换11(,)(,)kkkkk

6、kkkkkkkkkkkkkzxiyxxxyyyiuuvv 令令，)5(),(),(),(),(1111 nkkkknkkkknkkkknkkkkyuxviyvxu nkkkkknkkknyixivuzfS11)()( CCCCCnkkknnndzzfdyyxudxyxvidyyxvdxyxuzfS)(),(),( ),(),()(limlim1 证明证明.0实函数的曲线积分实函数的曲线积分时，均是时，均是当当 Cdyyxudyyxvidyyxvdxyxu),(),(),(),( 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 ( ) ( )f z t z t dt ( ),

7、 ( ) ( ), ( )( )( )u x ty ti v x ty tx tiy t dt :( )( )( ):C zz tx tiy tt设设光光滑滑曲曲线线()()( ) ( ) ( )Cf z dzf z t z t dt 终终点点起起点点由定理及曲线积分的计算法得由定理及曲线积分的计算法得三、复积分计算的参数方程法三、复积分计算的参数方程法( )CCCf z dzudxvdyivdxudy ( )( )( )( )u tiv tx tiy t dt 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 1. ( ),( ) () xx tyy tt把把平平面面上上曲

8、曲线线方方程程写写成成参参数数形形式式：。2. , , ( )( )( ) ( ) () zxiyx yz tx tiy tzz tt令令代代入入即即可可得得，即即得得曲曲线线的的复复数数形形式式：。写出平面曲线复数参数方程的步骤：写出平面曲线复数参数方程的步骤：010()01zzzz tt特特别别的的， 已已知知直直线线上上两两点点的的直直线线参参数数方方程程为为 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换12124)()( )( )nnCCCCCCCCf z dzf z dz分分段段光光滑滑曲曲线线1)( )( )CCf z dzf z dz 2)( )( )CCk

9、f z dzkf z dz 3) ( )( )( )( )CCCf zg z dzf z dzg z dz四、四、 积分性质积分性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质. 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换5),( )( )( )( )CCCLf zCf zMf z dzf z dsML 估估值值定定理理设设 的的长长度度为为若若函函数数在在 上上满满足足，则则有有1111111|()()|()|()|nnnkkkkkkkkkkfzzfzfs 证明：因为证明：因为111111|()()|nnkkkkkkkfzzMzzML 两边

10、取极限即可得两边取极限即可得 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例1 34 , 1d.CCizzi 设设 为为从从原原点点到到点点的的直直线线段段试试求求积积分分绝绝对对值值的的一一个个上上界界 (34 ) , (01)Czi tt的的参参数数方方程程为为根据估值不等式知根据估值不等式知1dCzzi 1dCszi 1411 , 3()Czitti 因因为为在在上上解解 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换221(3 )(41)tt 2149252525t 5,3 1 dCzzi 从从而而5d3Cs 253 125 d.3Czzi

11、故故5 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2.,1)1;2)1.CzdzCzz 计计算算其其中中 为为单单位位圆圆的的上上半半圆圆周周, , 顺顺时时针针方方向向单单位位圆圆的的下下半半圆圆周周, ,逆逆时时针针方方向向例例221. Re d , :1) 1 ; 2) 1 ;3) 1 1 .Cz zCiyxixi 计计算算其其中中为为从从原原点点到到点点的的直直线线段段抛抛物物线线上上从从原原点点到到点点的的弧弧段段从从原原点点沿沿轴轴到到点点再再到到的的折折线线 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换解解 1) 积分路径的参数方程为

12、积分路径的参数方程为( )(01),z ttitt Re,d(1)d ,ztzit于于是是Re dCz z 10(1)dtit 1(1);2ixyoi 11iy=x21. Re d , :1) 1 ; 2) 1 ;3) 1 1 .Cz zCiyxixi 计计算算其其中中为为从从原原点点到到点点的的直直线线段段抛抛物物线线上上从从原原点点到到点点的的弧弧段段从从原原点点沿沿轴轴到到点点再再到到的的折折线线 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为xyoi 11iy=x2xy 2( )(01),z ttitt Re,d(12

13、)d ,ztztit于于是是Re dCz z 10(12 )dtitt 1230223tit12;23i 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换xyoi 11iy=x2xy 3) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为( )(01),z ttt1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为( )1(01),z titt Re,dd ,ztzt于于是是 Re1,dd ,zzi t于于是是Re dCz z 10dt t 101 di t 1.2i 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换

14、1):,0.iCze 解解:00iiCzdzeie didi 2):,0.iCze 00iiCzdzeie didti 2.,1)1;2)1.CzdzCzz 计计算算其其中中 为为单单位位圆圆的的上上半半圆圆周周, , 顺顺时时针针方方向向单单位位圆圆的的下下半半圆圆周周, ,逆逆时时针针方方向向 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 小结与思考小结与思考本课我们学习了积分的定义、存在条件以本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质微积分学中的线积分完全相似的性质. 本课本课中重点掌握复积分的一般方法中重点掌握复积分的一般方法. ( ) ( )d?Cf zf zz 复复函函数数的的积积分分定定义义式式与与一一元元函函数数定定积积分分是是否否一一致致思考题思考题 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换思考题答案思考题答案 , ( )d( )d ,CCf zzf xx 若若是是实实轴轴上上区区间间则则(