高三第一学期期中数学复习专题——三角函数

1、牢记重点知识专题：三角函数1.掌握三角函数的图象与性质，能熟练解决形如yAsin(x)B的函数性质问题；2.熟练掌握同角三角函数间的基本关系、正余弦的诱导公式、两角和与两角差的正余弦和正切公式、二倍角的正余弦和正切公式；3.学会运用正弦、余弦定理解三角形，掌握解三角形的一般思路与方法化边或化角(1)三角函数的图象和性质的研究主要涉及的方向为正余弦函数相加后所得函数，首先需要对所给函数进行化简，在化简的过程中要注意“角”“名”“次”的统一，化简后的函数需要整体处理(换元)，再研究其性质，对ysin x，ycos x，ytan x的性质必须掌握来源:Z+xx+k.Com(2)在三角函数的性质研究时

2、，要注意“形”和“式”之间的联系，即A，x，对函数性质和图象的影响(3)三角函数图象的变换中要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差异(4)在三角化简、求值、证明中，表达式往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中的角，使问题获解如角的变形：15°45°30°60°45°，()，2()().特别地，与为互余角，它们之间可以互相转化，在三角变形中使用频率高(5)两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理

3、，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解自我检测1.已知函数f(x)sin(x)（0）的最小正周期为，则_，它的对称中心是_，对称轴方程是_，单调增区间为_，若x0，则函数f(x)的值域为_变式：函数f(x)sin2cos2sin xcos x，x，则f(x)的最大值为 2.函数f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0，0)的图象如下图所示，则f()的值为 3已知0，函数f(x)sin(x)在(，)上单调递减，则的取值范围是_4.在ABC中，A为最小角，C为最大角，已知co

4、s(2AC)，sin B，则cos 2(BC)_.ABDC（第5题）5.如图,在 ABC中, B=45°,D是BC边上一点, AD=5，AC=7,DC=3,则AB的长为_. 例1、(1)给出下列六种图象变换方法：图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；图象向右平移个单位长度；图象向左平移个单位长度；图象向右平移个单位长度；图象向左平移个单位长度请用上述变换中的两种变换，将函数ysin x的图象变换到函数ysin的图象，那么这两种变换的序号依次是_(填上一种你认为正确的答案即可)(2)函数f(x)Asin(x)(A>0，&g

5、t;0，0,2)的图象如图所示，则_. 例2、(1)已知函数f(x)2sin(x)(>0)的图象关于直线x对称，且f0，则的最小值为_(2)设函数f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期为，且f(x)f(x)，则f(x)的单调减区间为_ABDOCxy(例4题图)例3、在平面直角坐标系xOy中，角的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A(x1 ，y1 )，(，)将角终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)（1）若x1，求x2；（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记AOC及 BOD的面积分别为S1，S2，且S1S2，求tan的值例4、在斜三角

6、形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若2sin Acos Csin B，求的值；(2)若sin(2AB)3sin B，求的值三角函数作业一、填空题：（请将答案填在空白处，在空行间写出简要过程）1、已知函数，则的最小正周期为_.2、设,且.则= .3、已知函数的图象如图所示，则 4、要得到函数的图象，需将函数的图象向左至少平移 个单位。5、在中,若,则的形状是_.6、已知、分别是的三个内角、所对的边，若，则 7、在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c已知ac2b，sinBsinC，则cosA 8、在平面直角坐标系中，直线与函数的图象所有交点的横坐标之和为 9、设函数

7、的图像与轴交于点，过点的直线与函数的图像交于另外两点.是坐标原点，则= 二、解答题：10、设函数(其中 )在处取得最大值2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为.(1)求的解析式; (2)求函数的值域.11、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1（1）求B； （2）若cos(C)，求sinA的值12、在ABC中，已知，.(1)求证:； (2)若,求ABC的面积.13、已知一块半径为的残缺的半圆形材料，O为半圆的圆心，残缺部分位于过点的竖直线的右侧现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以为斜边；如图乙，直角顶点在线段上，且另一个顶点在上要使截出的直角三角形的面积

8、最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值ABOCD（第16题甲图）ABOCD（第16题乙图）E专题：三角函数江苏高考考试说明中，三角函数部分涵盖了八个知识点，其中两角和（差）的正弦、余弦和正切为C级点，函数yAsin(x)的图象和性质及几个三角恒等式为A级点，其余均为B级点高考中一般以基础题为主，难度基本为容易题或中档题，涉及到的问题主要有三个方面三角函数的图象与性质、三角变换和解三角形复习时应紧紧抓住这三个方面，对于典型问题应从解题策略上讲清讲透，使学生对典型问题的解题思路和方法做到心中有数，让学生练到位，力争拿高分牢记重点知识1.掌握三角函数的图象与性质；2.

9、熟练掌握同角三角函数间的基本关系、正余弦的诱导公式、两角和与两角差的正余弦和正切公式、二倍角的正余弦和正切公式；3.能够运用三角公式将所给函数解析式正确转化成yAsin(x)B的形式，进而研究函数的单调性，周期性，奇偶性，及函数在某给定区间上的值域问题；3.学会运用正弦、余弦定理解三角形，掌握解三角形的一般思路与方法化边或化角自我检测1.已知函数f(x)sin(x)（0）的最小正周期为，则_，它的对称中心是_，对称轴方程是_，单调增区间为_，若x0，则函数f(x)的值域为_1、2；(，0)，kZ；x，kZ；k，k，kZ；，1变式：函数f(x)sin2cos2sin xcos x，x，则f(x)

10、的最大值为 -0.5 2.（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模）函数f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0，0)的图象如下图所示，则f()的值为 2、13.设函数f(x)sin(x)，给出以下四个论断：它的图象关于直线x对称；它的图象关于点对称；它的周期为；在区间上是增函数以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认为正确的两个命题：(1)_；(2)_解析：成立时，f(x)的图象可能为下图中的一个但图2不能满足<<.在图中可得端点A，B，故成立同理成立时，成立答案：；3已知0，函数f(x)sin(x)在(，)上单调递减，则的取值范围是_3，4设为锐角，若si

11、n()，则cos(2)的值为_44(2012·南京名校4月阶段性考试)若3，tan()2，则tan(2)_.解析：由题意得3.所以tan 2. 又tan()2，所以tan()2.所以(2)tan(). 答案：5.在ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2AC)，sin B，则cos 2(BC)_.解析：A为最小角，2ACAAC<ABC180°.cos(2AC)，sin(2AC). C为最大角，B为锐角又sin B，故cos B. 即sin(AC)，cos(AC).cos(BC)cos Acos(2AC)(AC)，ABDC（第5题）cos 2(BC)2cos2(

12、BC)1. 答案：6.如图,在ABC中,B=45°,D是BC边上一点, AD=5，AC=7,DC=3,则AB的长为_. 6.；剖析经典例题例1、(1)给出下列六种图象变换方法：图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；图象向右平移个单位长度；图象向左平移个单位长度；图象向右平移个单位长度；图象向左平移个单位长度请用上述变换中的两种变换，将函数ysin x的图象变换到函数ysin的图象，那么这两种变换的序号依次是_(填上一种你认为正确的答案即可)(2)函数f(x)Asin(x)(A>0，>0，0,2)的图象如图所示，则_

13、.解析(1)ysin x，ysin，ysin，或ysin x，ysinx，ysinsin.(2)T2(73)8，A3，f(x)3sin，将(3,0)代入得2k，即2k.又0,2)，所以.答案(1)或(填出其中一种即可)(2)题后小结：(1)三角函数图象进行变换时，要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差异(2)A，这三个值求解以最困难，其中如果图象上没有给出最高点和最低点坐标，而只给了函数的零点时，要区分对待，如点(3,0)在减区间内，则32k，如点(7,0)在增区间内，则72k.本题也可由对称性得到最低点坐标(5，3)，代入函数式求.例2、(1)已知函数f(x)2sin(x)(&

14、gt;0)的图象关于直线x对称，且f0，则的最小值为_(2)设函数f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期为，且f(x)f(x)，则f(x)的单调减区间为_解析(1)由题意得k，又k1，所以k，即4k2，又>0，所以的最小值为2.(2)f(x)sin，由题意知，且k(kZ)，解得2，k(kZ)又|<，. f(x)sincos 2x.令2k2x2k，得kxk， 故f(x)的单调减区间为(kZ)答案(1)2(2)(kZ)题后小结：(1)三角函数的对称轴和对称中心都可以转化为关于，的二元方程(2)由周期性可确定的值，由f(x)f(x)可求出的值，确定解析式后，即可求出三角函数的性质A

15、BDOCxy(例4题图)例4、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A(x1 ，y1 )，(，)将角终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)（1）若x1，求x2；（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记AOC及 BOD的面积分别为S1，S2，且S1S2，求tan的值解：（1）解法一：因为x1，y10，所以y1 所以sin，cos 2分所以x2cos()coscossinsin 6分 解法二：因为x1，y10，所以y1A(，)，则(，)，2分 (x2，y2)， 因为·

16、;|cosAOB，所以x2y2 4分 又x22y221，联立消去y2得50 x2230x270 解得x2或，又x20，所以x2 6分 解法三：因为x1，y10，所以y1 因此A(，)，所以tan2分 所以tan()7，所以直线OB的方程为y7x 4分 由得x±，又x20，所以x2 6分（2）S1sincossin2 8分因为(，)，所以(，) 所以S2sin()cos()sin(2)cos210分 因为S1S2，所以sin2cos2，即tan2 12分所以，解得tan2或tan 因为(，)，所以tan214分题后小结：三角函数式的化简、求值，常从角的差异入手，寻求条件与结论之间的关系

17、，通过三角恒等变换消除差异，使问题获解例5、(2012·南通第一次调研)在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若2sin Acos Csin B，求的值；(2)若sin(2AB)3sin B，求的值解(1)由正弦定理得. 从而2sin Acos Csin B可化为2acos Cb.由余弦定理得2a×b. 整理得ac，即1.(2)在斜三角形ABC中，ABC，所以sin(2AB)3sin B可化为sin(AC)3sin(AC)，即sin(AC)3sin(AC)故sin Acos Ccos Asin C3(sin Acos Ccos Asin C)整理得4

18、sin Acos C2cos Asin C，因为ABC是斜三角形，所以cos Acos C0，所以.题后小结：解三角形常用的工具是正弦定理和余弦定理，要熟悉它们的使用的条件，合理选用解三角形常与三角恒等变换、三角求值综合考查，要注意三角形中角的限制条件备选题：已知函数f(x)sin2cos2sin xcos x，xR.(1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x的值；(2)求f(x)在0，上的单调增区间解(1)f(x)sin 2x1(sin 2xcos 2x)sin1.当2x2k，即xk，kZ时，f(x)取得最大值为1.(2)由2k2x2k，得kxk，kZ.又因为0x，所以f(x)在0，上的增区

19、间为和.题后小结：三角函数性质的研究，关键是三角函数的化简，本题所给函数的解析式中方次均为二次，故需要用二倍角公式进行降幂，再观察角分别为2x与2x，还需要用和差角公式进行统一，最终化归为yAsin(x)B的形式，即可将x看做整体，研究函数的性质备选题：（三角应用题）(1)三角函数的图象和性质的研究主要涉及的方向为正余弦函数相加后所得函数，首先需要对所给函数进行化简，在化简的过程中要注意“角”“名”“次”的统一，化简后的函数需要整体处理(换元)，再研究其性质，对ysin x，ycos x，ytan x的性质必须掌握来源:Z+xx+k.Com(2)在三角函数的性质研究时，要注意“形”和“式”之间的联系，即A，x，对函数性质和图象的影响(3)三角函数图象的变换中要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差异(4)在三角化简、求值、证明中，表达式往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中的角，使问题获解如角的变形：15°45°30°60°45°，()，2()().特别地，与为互余