第3章多维随机变量及其分布第3节综合讲练

1、概率论与数理统计 第3章 多维随机变量及其分布 第3节 二维随机变量函数的分布 综合讲练l 要览题型一 离散型随机变量的函数的分布的有关问题l 提示熟记有关概念、通用公式、常用结论l 辨析离散型随机变量的函数的分布设是二维离散型随机变量, 是一个二元函数, 则作为的函数是一个随机变量, 如果的概率分布为设的所有可能取值为, 则1、通用公式离散型随机变量的函数的概率分布的计算公式（1）的概率分布为 （3.1）（2）（若相互独立）的概率分布为 （3.2）离散型卷积公式2、常用结论（1）若相互独立，则 “二项分布的可加性” （见例2）（2）若相互独立，则 “ 泊松分布的可加性” （见例3）【引例】【

2、例1】【辨析】利用二维离散型随机变量函数的有关概念、公式、常用结论 与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同, 把值相同项对应的概率合并.【例2】（第2版课件补充）【辨析】利用二项分布的直观模式常用结论（1）若相互独立，则 “二项分布的可加性”【例3】（教材P78例2）【辨析】利用离散型卷积公式（3.2）常用结论（2）若相互独立，则 “ 泊松分布的可加性”l 注意【补例3.3.1】设的联合概率分布为（1）求随机变量的概率分布；（2）求随机变量的概率分布.【解】利用二维离散型随机变量函数的有关概念、公式、常用结论 由的联合概率分布，得与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同, 把值相同项对应的概

3、率合并.（1）随机变量的概率分布（2）随机变量的概率分布【§3.3课堂练习1】【习题3-3 EX1】【习题3-3 EX6】【习题3-3 EX8】【第3章考研真题1】【第3章考研真题2】【第3章考研真题15】【总习题三 EX15】 题型二 连续型随机变量的函数的分布的有关问题l 提示熟记有关概念、通用公式、常用结论l 辨析连续型随机变量的函数的分布设是二维连续型随机向量, 其概率密度函数为, 令为一个二元函数, 则是的函数. 1、通用公式的分布可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求的分布.（1）的分布函数 （3.3）其中, .（2）的概率密度函数, 对几乎所有的, 有 （3.4）2

4、、常用结论（1）定理1设是具有密度函数的连续型随机变量. 设是到自身的一一映射, 即存在定义在该变换的值域上的逆变换: 假设变换和它的逆都是连续的； 假设偏导数存在且连续； 假设逆变换的雅可比行列式即对于在变换的值域中的是不为0的. 则具有联合密度（2）正态随机变量的线性组合的分布 定理2 设随机变量，且与相互独立，则 “正态分布的可加性”更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布, 即有 定理3 且它们相互独立，则对任意不全为零的常数，有 任一非零线性组合仍服从正态分布() （若）() () （若）独立同分布（正态分布）的随机变量的平均值仍服从正态分布() （

5、由P48定理1得）（3）和的分布 的分布函数 积分区域如上图所示.或 的密度函数 （ 对几乎所有的 ）或 l 特别地如果随机变量与相互独立，即 则 “独立和分布的卷积公式”（3.5）式或“独立和分布的卷积公式”（3.6）式（4）商的分布 的分布函数 其中，积分区域为型区域，即如下图所示. 的密度函数 （ 对几乎所有的 ） (5)积的分布 的分布函数 其中，积分区域为型区域，即如下图所示. 的密度函数 （ 对几乎所有的 ）（6）最值的分布设随机变量相互独立,其分布函数分别为和,令， 与的分布函数分别为 (3.7) (3.8) 与的密度函数分别为（ 对几乎所有的 ）（ 对几乎所有的 ）l 上述结论

6、可推广到维的情形l 积分计算技巧【例4】（教材P78例3）【提示】利用通用公式的分布可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求的分布.（1）的分布函数 （3.3）其中, .（2）的概率密度函数, 对几乎所有的, 有 （3.4）l 积分计算技巧【辨析】利用通用公式由题设知，随机变量与同服从上的均匀分布,于是与的边缘密度函数分别为：所以，与的联合密度函数为：利用通用公式，得（1）的分布函数而 （3.3）其中, 即（2）的概率密度函数, 对几乎所有的, 有 （3.4）【例5】（第2版课件补充）【辨析】利用常用结论-定理1设是具有密度函数的连续型随机变量. 设是到自身的一一映射, 即存在定义在该变换的

7、值域上的逆变换: 假设变换和它的逆都是连续的； 假设偏导数存在且连续； 假设逆变换的雅可比行列式即对于在变换的值域中的是不为0的. 则具有联合密度【例6】（教材P80例4）【辨析】利用常用结论-和的分布（独立和分布的卷积公式） 的分布函数 积分区域如上图所示.或 的密度函数 （ 对几乎所有的 ）或 l 特别地如果随机变量与相互独立，即 则 “独立和分布的卷积公式”（3.5）式或“独立和分布的卷积公式”（3.6）式l 积分计算技巧【例7】（教材P80例5）【例8】（教材P80例4）【辨析】利用常用结论-和的分布（独立和分布的卷积公式） 因为随机变量与相互独立，即 由卷积公式,对 有“独立和分布的

8、卷积公式”（3.6）式因为 ，所以作变量代换, 令，则它表明若，则的密度函数为注: 进一步可以证明, 设,且相互独立, 则“正态分布的可加性”（定理2）【例9】（第2版课件补充）【辨析】利用常用结论-和的分布（独立和分布的卷积公式） 因为随机变量与相互独立，即 由卷积公式,对 有“独立和分布的卷积公式”（3.6）式l 注意广义积分是的函数，称为函数.函数有如下重要性质：特别地，当为正整数时，有常用公式：对任何，的计算可化为对的计算，而的值可通过查函数表直接得到.例如，查数学手册，1979年版，第13121314页.【例10】（第2版课件补充）【辨析】利用常用结论-和的分布（独立和分布的卷积公式

9、） 因为随机变量与相互独立，即 由卷积公式,对 有“独立和分布的卷积公式”（3.6）式【例11】（第2版课件补充）【辨析】利用常用结论-商的分布 的分布函数 其中，积分区域为型区域，即如下图所示. 的密度函数 （ 对几乎所有的 ）【例12】（第2版课件补充）【辨析】解法1：利用通用公式的分布可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求的分布.（1）的分布函数 （3.3）其中, .（2）的概率密度函数, 对几乎所有的, 有 （3.4）解法2：利用常用结论-积的分布 的分布函数 其中，积分区域为型区域，即如下图所示. 的密度函数 （ 对几乎所有的 ）l 积分计算技巧【例13】（第2版课件补充）【辨析】求最值的概率分布【例14】（教材P81例6）【辨析】利用常用结论-最值的分布设随机变量相互独立,其分布函数分别为和,令， 与的分布函数分别为 (3.7) (3.8) 与的密度函数分别为（ 对几乎所有的 ）（ 对几乎所有的 ）【§3.3课堂练习2】【习题3-3 EX2】【习题3-3 EX3】【习题3-3 EX4】【习题3-3 EX5】【习