自主招生北京讲课提纲(姜国民)

1、自主招生北京讲课提纲（力学）自主招生讲课提纲力、物体平衡预备知识例1、质量为m的小木块停放在水平地面上，它与地面间的静摩擦系数为，人想用最小的作用力F使木块移动，求此最小作用力F的大小。（2）2005中国科技大学：两个质量均为M，半径为R的相同的圆球，A、B，用两根长度均为L=2R的绳悬挂于O点，在两球的上有另一个质量为m=nM、半径为的圆球C，如图甲所示，已知三个球表面均光滑，试讨论整个系统处于平衡状态时，绳与竖直线的夹角与的关系。（3）2012卓越：用等长的细线分别悬挂两个质量，电荷量都相同的带电小球，A，B，两线上端固定在同一点O，把B球固定在O点正下方，当A球静止时，两线夹角为，如图所

2、示。若在其他条件不变，只改变下列某些情况，能保持两悬线夹角不变的方法是：A 同时使两悬线的长度都减半；B 同时使A球的质量、电荷量都减半；C 同时使A，B两球的质量、电荷量都减半；D 同时使两悬线的长度和两球的电荷量都减半。（4）2001北京大学：如图所示，P为一个水闸的剖面图，闸门质量为，宽为，水闸两侧水面高分别为、，水与闸门间、闸门与轨道间的动摩擦因数分别为、，求拉起闸门至少要用多大的力？ （5）2006复旦大学：如图所示的系统中，活塞n插入活塞孔中的可移动塞栓B和密度为的液体平衡，容器的截面积为S，孔的截面积为，各滑动表面摩擦可忽略，液体不能从间隙中出来，问若在塞栓顶上放上质量为的物体，

3、塞栓相对初始位置下移多少？ （6）2006复旦：在一深度为H的容器中充满液体，液体的密度从表面的到容器底的成线性变化。液体里浸入两个体积同为V的小球，小球间用长为、不可伸长的轻细绳连接，第一个小球密度为，第二个小球密度为。过一段时间后，两小球静止于如图所示的位置，求绳中张力。（7）、原为100cm的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O端，另一端连接一个小球，这一装置可以从水平位置开始绕O点缓缓地转到竖直位置。设弹簧的形变总是在其弹性限度内。试在下述（a）,(b)两种情况下,分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度(a)在转动过程中，发

4、现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值为（b）在转动过程中，发现小球离原来水平面的高度不断增大。 （8）如图所示，一根绳子铺在两个均与水平面成角的斜面上（值任意）。绳子的质量均匀分布，且与斜面的摩擦因数为1,。此系统具有左右对称性，平衡时不接触斜面部分占据整条绳子份额的最大可能值是多少？此时的角值是多少？ （9）、如所示，两轻环E和D，分别套在光滑杆AB和AC上，AB与AC夹角为，E和D用细线连接，一恒力F沿AC方向拉环D，当两环平衡时，细线与AC夹角为多大？细线的拉力为多大？（10）、如图所示，物体的质量为2kg，两根轻细绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另

5、施加一个方向与水平线成的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围。（11）2005西安交大：半径为R的光滑圆环固定在某竖直平面内，三条边长分别为2R，R, R的匀质三角板放在环内，静止地处于平衡状态，如图所示，则三角板长度为2R的边与圆环水平直径间的夹角为_ （12）将一根匀质细金属丝弯成半径为R的封闭半圆形，求此半圆形质心位置。（13）2011华约联考：一薄壁形烧杯，半径为r ,质量为m ,质心位于中心线上，离杯底的距离为H。今将密度为的水慢慢的注入杯中，问烧杯连同杯中的水共同质心最低时水面离杯底的距离等于多少？ （14）底边长为a、高为b的长方形匀质物体置于斜面上。斜面和物块之间的静摩

6、擦系数为，斜面的倾角为。当足够小时，物块静止于斜面上（如图），如逐渐将傾角增大，当取某个临界值时，物块或将开始滑动，或将翻倒。试分别求出发生滑动和翻倒时的，并说明在什么条件下出现的是滑动，在什么条件下出现的是翻倒？(15)2010北京大学：质量为m的正方体放在水平面上，现在图中顶角A处加一个力F，要求物体能推倒但不滑动，动摩擦系数至少多大？此种情况下F的大小又如何？（16）2005上海交大：如图所示，一均匀细杆长,重量为G，在距其上端处用一钉子将其钉在竖直墙面上，使细杆可绕钉子无摩擦地旋转，今施一水平力F于其上端，使细杆偏离铅垂线角（）而平衡，则钉子作用在细杆上的力量值为多大？（17）、有六个

7、完全相同的刚性长条薄片,(, 其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重量均可不计。现将此六个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起恰在碗口上，另一端的小突起位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示 ，若将一质量为m的质点放在薄片上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起的距离(如图)，求中点所受的（由另一薄片的小突起所施的）压力P. （18）如图所示，一人对均匀细杆的一端施力，力的方向总与杆垂直要将杆从地面上无滑动地慢慢抬到竖直位置，杆与地面间的摩擦因数至少多大？（19）2006上海交大：两个质量分布均匀的球，半径为，重为P。置于两端开口的圆筒内，圆筒半径为R（），并竖直放在水

8、平面上，如图所示。设所有接触面均光滑，为使圆筒不至于翻倒，圆筒的最小重量Q为多少？运动学预备知识（1）有一长度s，被分成n个相等部分，每一部分的末端，质点的加速度增加，若质点以加速度a由这一长度始端从静止出发，求它经过距离后的速度是多少？（2）如图，从距地面高h处将一小球以速率抛出，抛出时速度方向与水平方向成角，问角为何值时，落地点距抛出点水平位移最大？最大水平位移为多少？（3）一水枪将水射到离喷口水平距离为的墙外，喷口算起，墙高为，计空气阻力，求所需的最小速度及对应的发射角。（4）2009华约：如图所示，一小球从某一高度水平抛出后，恰好落在第一台阶紧靠右边缘处，反弹后再次下落，至第三级台阶的

9、紧靠右边缘处，已知小球第一、二次与台阶相碰之间的时间间隔为0.3s，每级台阶的高度和宽度均为18cm。小球每次与台阶碰撞后速度的水平分量保持不变，而竖直分量大小变为碰撞前的。重力加速度g取10（1）求第一次落点与小球抛出点间的水平距离和竖直距离；（2）分析说明小球是否能够与第五级台阶碰撞。（5）为了训练宇航员能在失重状态下工作和生活，需要创造一种失重环境，在地球表面附近，当飞机模拟某些在重力作用下的运动时，就可以在飞机的座舱内实现短时间的完全失重状态，现要求一架飞机在速率为时进入失重状态试验，在速率为时退出失重状态试验，重力加速度，试问：(1) 在上述给定的速率要求下，该飞机需要模拟何种运动，

10、方可在一定范围内任意选择失重时间的长短？试定量讨论影响失重时间长短的因素。(2)飞机模拟这种运动时，可选择的失重状态的时间范围是多少？ （6）如图的系统中，、两个物体均有向下的速度，当吊住B物体的两根绳子与竖直方向夹角都是时，试求B物体上升的速度（7）顶杆AB可在竖直槽内滑动，其下端由凸轮绕O轴以角速度匀角速转动，在如图所示的瞬间，凸轮上缘与A接触的法线 与OA间的夹角为试求此时顶杆AB的速度。 （8）、2007南京大学：如图所示，两根细长棒AB与CD分别以垂直于自身的速度和移动，求两棒交点的速度（其中为已知）（9）2006东南大学：通信战士为了检修位于河中央的固定通信设施，乘动力小船赴目的地

11、。河的宽度为，小船以相对河水恒定的速度在河中航行，河水的流速与到河岸的距离成正比，河岸处的河水流速为0，河中央处的河水流速为，为了用最短的时间到达目的地，小船从河岸处船头垂直指向正对岸出发，求：（1） 小船经多少时间到达目的地（设小船的长度远小于河的宽度）（2） 小船出发点距目的地上游的距离是多少？（10）在倾角为的光滑斜面与光滑水平面有一小段圆弧连接，物块在斜面上由静止开始下滑，与此同时，物块从斜面与水平面的连接处做初速度为0的匀加速运动，为使物块能追上物块，求物块的加速度应满足什么条件？（11）一只狐狸以不变的速率沿着直线AB逃跑，一猎犬以不变的速追击，其运动方向始终对准狐狸。某时刻狐狸在

12、F处，猎犬在D处，FDAB，且FD=L（如图）试求：此时猎犬的加速度大小。（12）2009同济大学：距河岸（看成直线）500m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速n=1转动。当光速与岸边成角时，光束沿岸边移动的速率为：A 52.3 B 69.8 C 3.14 D 4.18（13）2005南开大学：一质点沿直线运动，其速度随时间变化的关系图像恰好是与坐标轴相切的圆弧，如图所示，则质点在这内的位移为多少？质点在时的加速度为多大？ 运动定律预备知识（1）2007北京大学：设想一种新的单位体系，取长度单位为1，而时间单位和质量单位这样选取：是光速和引力常数的大小都等于1，则新的单位体系中的1个质量单位

13、，应相当于多少千克？（2）2012华约：利用光电计时器测量重力加速度的实验装置如图，所给器材有：固定在底座上带有刻度的竖直钢管，钢管吸附器，（固定在钢管顶端，可使钢球在被吸附一段时间后由静止开始自由下落），两个光电门（用于测量钢球从第一光电门到第二光电门所用的时间间隔），接钢球用的小网。实验时将第一光电门固定在钢球开始下落的位置，。测量并求出钢球下落不同路程的平均速度，通过作图得到重力加速度的数值。（1） 写出实验原理。（2） 写出实验步骤，并指明需要测量的物理量。（3）如图所示，一绳跨过装在天花板上的定滑轮，绳的一端掉一质量为M的物体，另一端挂一载人梯子，人质量为m,系统处于平衡状态，不计滑

14、轮轴上的摩擦及滑轮与绳子的质量，要使天花板受力为0，试求人应如何运动？（4）2011中国科技大学：如图所示，汽车以恒定的速率沿傾角的斜坡上行，并且用长为L的轻绳拉位于水平路面上，质量为的小车。求：当轻绳与水平成角时绳中的张力。不计小车与路面间的摩擦力。 （5）2006同济大学：一质量为M、均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直。若它能经受的最大张力为T，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度。（6）证明：质量均匀分布的球壳对于球壳内任意位置的质点的引力为零：（7）清华保送题：若地球质量不变，但地球的半径减小。其表面重力加速度改变多少？（8）2010华约：卫星携带一颗探测器在半径为3R（R

15、为地球半径）的圆轨道上绕地球飞行，在a点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出，（设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略）。若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿新的椭圆轨道运动，其近地点b,距地心的距离为nR，（n略小于3），求卫星与探测器的质量比（设质量分别为M，m的两个质点相距r时的引力势能为，G为引力常量）（9）证明绕地球做椭圆轨道运动卫星的最大与最小速率的乘积为，其中T是卫星的周期， 是卫星轨道的长半轴。（10）如图所示，C为一放在固定的粗糙水平桌面上的双斜面，其质量,顶端有一定滑轮，滑轮的质量及轴处的摩擦皆可不计，A和B是两个滑块，质量分别为，由跨国定滑轮的不可伸长的

16、轻绳相连，开始时，设法抓住A，B和C，使它们都处于静止状态，且滑轮两边的轻绳恰好伸直，今用一大小等于26.5N的水平推力F作用于C，并同时释放A，B和C.若C沿桌面向左滑行，其加速度,B相对于桌面无水平方向的位移（绳子一直是绷紧的）试求C与桌面的摩擦因数。（图中，已知，重力加速度） （11）、2010清华五校联考：在光滑的水平面上有一质量为M，倾角为的光滑斜面，其上有一质量为m的物快，如图所示。物快在下滑过程中对斜面压力大小为：A、B、C、D、机械能预备知识 （1）2008东南大学：一根质量为的均匀链条长度，自然地堆放在光滑的水平地面上，现用力F竖直向上以速度匀速提起此链条的一端，求：该链条全

17、部提起时，拉力做的功。 （2）2008复旦：边长为10cm的正方形木块，（密度为0.5）浮在有水的杯中，平衡时杯内水深10cm，,用力使木块慢慢沉到杯底，外力所做的功为：A B C D （3）一根长度为L的光滑细管道连接于空中A,B两点，这两点间高度差为h（如图所示），在管内沿整个管长放一根绳子，在A点拉住绳子，求当放开绳子的瞬时，绳子开始运动的加速度。（4）2005西安交大：如图所示，一轻质三足支架每边长均为，每边与竖直成同一角度，三足置于光滑水平面上，且恒成一正三角形，现悬挂一重的重物，用以绳圈套在三足支架的三足上，使其不能改变与竖直线的夹角，试求绳中张力.（5）如图所示，为火车站装载货物

18、的原理示意图。设AB段是距水平传送带装置高为H=5m的光滑斜面，水平段BC使用水平传送带装置，BC长L=8m，与货物的动摩擦因数为，皮带轮的半径为R=0.2m，上部距车底水平面的高度h=0.45m,设货物由静止开始从A点下滑，经过B点的拐角处无机械能损失，通过调整皮带轮（不打滑）的转动角速度可使货物经C点抛出后落在车厢上的不同位置，取g=10，（1） 当皮带轮静止时，货物在车厢内落地点到C点的水平距离（2） 当皮带轮以角速度顺时针方向匀速转动时，货物在车厢内落地点到C点的水平距离。（3） 写出货物在车厢内落地点到C点的水平距离S随皮带轮角速度变化关系，并画出s-图像，设皮带轮顺时针方向转动时，

19、角速度取正值，水平距离向右取正值。（6）在竖直面内将一个半圆形光滑导轨固定在A,B两点，导轨直径,与竖直方向夹角为，在导轨上套一质量为的光滑小圆环，一劲度系数为的轻而细的光滑弹性绳穿过圆环，其两端系于A,B两点，如图所示。当圆环位于A点正下方C点时，弹性绳刚好为原长，现将圆环从C点无初速度释放，圆环在时刻t运动到点，与半径的夹角为，重力加速度为，试分别对下述两种情形，求：导轨対圆环的作用力大小，（1） （2）（7）2004北京大学：系统如图所示，细绳的质量线密度为常量，长，其中搭在半径为R且固定不可转动的滑轮上，绳与滑轮光滑接触，绳左侧H段的下端恰好与水平地面自由接触，绳的右端连接质量为的小重

20、物。开始时系统处于运动状态，小重物具有向下速度，为使小重物能在滑轮右侧着地，试求满足的条件。（假设有图中未画出的装置，使绳不会甩离滑轮）（8）、2011中科大：一质量为m的小球，系在长为L的轻线上悬挂于O点，今将轻线拉直使小球于与O点同一高度的A点处无初速度释放，求小球下摆过程中，小球所受重力的最大功率。（9）、2010年清华五校联考：在光滑的水平桌面上有两个质量均为m的小球，由长为的拉紧细线相连。以一恒力作用于细线中点恒力大小为F，方向平行于桌面，两球开始运动时线与恒力方向垂直。在两球碰撞前的瞬间，两球速度在垂直于恒力方向的分量为：A、 B、 C、 D、（10）与（9）比较题：如图所示，长为

21、2b的轻绳，两端各系一个质量为m的小球中央系一个质量为M的小球，三球均静止于光滑水平桌面上，绳处于拉直状态，三球在一条直线上，今给小球以一个冲量，使它获得水平速度，的方向与绳垂直。求：（1） M刚受到冲量时绳上的张力；（2） 在两端的小球发生碰撞的瞬间绳中的张力。（11）、2005上海交大：如图所示为体积不可压缩的流体中的一小段液柱，由于体积在运动中不变，因此当面以速度向前运动了时，面以速度向前运动了，若液柱前后两个截面处的压强分别为和利用功能关系证明流体内流速大的地方压强反而小（忽略重力的作用及高度的变化）。动量预备知识（1）2007天津大学：一理想的弹性水平转台绕通过其中心O的竖直轴以恒定

22、角速度转动，一小物块自圆台上方某处自由落下，落在圆台上A点，弹起后再次下落，落点为圆台上的B点，已知O,A,B三点共线，且OA=AB=R,物快与圆台的接触面为水平面，摩擦因数为，不计空气阻力，物快线度远小于R，求圆台角速度的最小值。（2） 2005华中科技大学：如图所示，质量为m的小球，用长为L的细线悬挂于O点，现用锤给以小球（小球在O点正下方时）水平打击，要求打击两次使小球恰能绕过最高点， 设两次打击时间相等，两次打击力分别为,则最小值为多少？（3）长度为L的匀质软绳绝大部分沿长度方向平放在光滑的水平桌面上，仅有很小一部分悬挂在桌面外，如图a所示，而后绳将从静止开始下滑，问绳能否滑到图b所示

23、的定量论证你的猜想。（4）2009华约：一质量为m长为l的柔软绳，自由悬垂，下端恰好与一台秤的的秤盘接触，某时刻放开柔软绳上端，求台秤的最大读数。（5）2011华约：竖直墙面和水平地面均光滑，质量分别为，的A,B两物体如图所示放置，其中物体A紧靠墙A,B之间由质量不计的轻弹簧相连，现对物体B缓缓施加个向左的力，该力做功为W，使A,B之间轻弹簧被压缩且保持系统静止，然后突然撤去向左的推力解除压缩，求： （1） 从撤去推力到物块A开始运动，墙对A的冲量多大？ （2） A,B都运动后，A,B两物块的最小速度各多少？（6）质量为与的两个小球A和B用不可伸长的轻绳相连，静止在水平面上，绳子拉紧时，给B球

24、一个冲量I，I的方向与A,B连线成角，如图所示，已知冲击后B的速度大小为，求：的方向和冲量I的大小。（7）2009西安交大：如图所示，质量为的小环套在水平光滑的固定细杆上，并用长度为L的轻线与质量为m的小球相连，今将细线沿水平拉直，使小球从与环等高处由静止开始释放，试问：当轻线与水平杆夹角为时线中张力T为多大？ （8） 一股射流以的速度从喷嘴竖直向上喷出，喷嘴截面积为，有一质量为的球，因水对其下侧的冲击而停在空中，若水冲击球后速度变为零，则小球停在离喷嘴多高处？(9)、2008北京大学：水平光滑大桌面上有一质量为M的均匀圆环形细管道，管道内有两个质量同为m的小球，位于管道直径AB的两端，开始时环静止，两个小球沿着朝右的切线方向具有相同的初速度，如图所示，设系统处处无摩擦。（1） 在两个小球在管道内第一次相碰前的瞬间，试求两个小球之间的相对速度大小；（2） 设碰撞是弹性的，试分析判定两小球碰后能否在管道内返回到原来的A，B位置。简谐运动和机械波（1）一质点沿直线做简谐运动，相继通过距离为16m的两点，A和B，历时1s,并且在A，B两点处具有相同的速率，再经过1s质点第二次通过B点，该质点运动的周期和振幅分别为： A, 3s ， B, 3s,