《离散数学》刘任任版第十八章

1、 习题十八（环与域）1、设实数集R中的加法是普通的加法，乘法定义如下：试问R是否构成环？解：不构成环。因这里乘法对加法不满足分配律。例如 而 2. 设整数集Z中的加法是普通数的加法，乘法定义为，试问Z是环吗?解：Z是环。因对于加法Z构成一个交换群，对于乘法Z满足结合律，且乘法对加法可分配：3. 已知实数集R对于普通加法和乘法是一个含幺环，对任意，定义试证：R对运算和也形成一个含幺环.证明。因为所以，满足结合律。又因为所以， 满足交换律，零元是1， 的负元为以上说明<，>是一个交换群。再因为 所以，是可结合的，且有幺元0。最后， 即 对是可分配的。故结论成立。4、一个环，如果对乘法来

2、说，每个元素均满足，则称为布尔环，试证：（1）集合的子集环是布尔环.（2）布尔环的每个元素是都以自己为负元.（3）布尔环必为交换环.（4）的布尔不可能是整环. 证明。(1) 集合的幂集对于集合的对称差运算和交运算作成一个环，即子集环。且故子集环是布尔环。 (2) 由布尔环之定义，对任意,有因此，. (3) 由布尔环之定义，有 因此，, 即 .故布尔环是交换环。(4) 如果不含幺元，则不是整环；如果含幺元 1，则因, 故中存在元素，,于是故 和 都是零因子，从而不是整环。5. 试证：若是环，且对加法而言，是循环群，则是交换环.证明：设<, +> 的生成元为 , 则对中任意的 ，存在整

3、数, 使得于是从而，, 故是交换环。6. 设和是两个环，定义到的映射如下： 其中是的零元，试证明是到的同态映射（称为零同态）.分析：利用环中零元的性质，证明满足同态的定义17.5.1。证明： 在中任取则有从而故 该映射是到的同态映射。7. 设，已知关于矩阵加法和乘法构成环，令（1）试证：是的子环.（2）给出到的一个同态映射.（3）求同态核Ker（）.证明：(1) 在中任取 有故是的子环. (2) 令易知，是到的满射，且故是到的同态映射。 (3) 同态核为8. 找出Z到Z的一切环同态映射，并给出每一个同态的核.分析：根据定义18.2.3，同态映射必须满足：，因此或者。(1)当，； (2)当，,。

4、解。设是到的同态映射。记, 则从而，, 于是， 或者 .故只有两个满足要求的同态映射： (1) , ，； (2) , .9. 设是一个体，且. 求证：或者.分析：根据体的定义，含有么元，则对到的满同态，有或。 证明：设是到的满同态。由同态基本定理，是体的理想，而体必为单纯环，故或。当时，；当时，.10. 设.是的理想，求证：的像源是的理想，并且.分析：根据定理18.2.4，可以定义 到/ 的同态，核为，于是定义到 /的满同态 ，根据定义可证明，由第三同态定理即证。证明：设是 到/ 的自然同态，于是， 是到 /的满同态。下证 . 任取, 故 . 由定理18.2.3，是的理想。再由同态基本定理，有

5、11. 试证：定理18.2.9分析：根据域的定义，只需证明是单纯环，对于的非零理想，容易证明么元，根据理想性质有。证明：只需证域是单纯环。任取域的一个理想, 存在, 于是因为是的理想，所以但是的理想，于是， 故 . 综上，域是含幺交换单纯环。12. 求证：若是一个域，则必为质数.证明：若不是质数，则存在正整数,使。于是 . 但 这说明 是的零因子，此与是域矛盾。故是质数。13. 在中，利用公式解二次方程.分析：将方程系数代入，有，。解。 , 或4 14. 在中求下面矩阵之逆：。分析：利用线性代数中矩阵求逆方法，将通过初等行变换化为如下形式，即为所求。解。故 在上之逆为.15. 试证：上的四个矩

6、阵：在矩阵的加法和乘法下作成一个域.证明： 令以上四个矩阵组成的集合为。对于加法，的零元为零矩阵，中的每个元素均以自身为其负元，因此， 是一个加法交换群。对乘法而言，幺元是, 且与互为逆元，自乘则等于另一元素，从而运算又是封闭和可交换的，故在 上对于矩阵的加法和乘法作成一个域。16. 中有无？解。在中，设, 于是 于是，和应分别取和, 而, 故中有为 或.17. 设域的特征为，求证：.证明。 由定理18.3.4, 由数学归纳法，有18. 求证：若阶域有阶子域，则.分析：利用定理18.5.2的证明，以及整数的性质证明（可参考定理18.5.10证明）。证明。设 是 阶域，是 阶域,因是的子域， 所

7、以， 令 . 于是由 及易知，, 从而，. 故 .19. 求证：是域上不可约多项式.分析：由定理18.4.3知只需证明无零因子，将代入即可。证明。设. 因为 , 故结论成立。20. 域上多项式是可约多项式吗？分析：由例18.4.3知，只需判断次数不高于2的不可约多项式（）是否为的因式。 解。因为, 所以，是可约多项式。21. 试找出域上的所有不可约的二次多项式。分析：定义在域的二次多项式具有如下形式：，其中，系数不同组合有2*3*3=18种，讨论18种组合种取不同值情形下的值，如果，则为可约多项式；如果，则为不可约多项式。 解。共六个。即 。22. 设域，试构造的运算表，求出它的一个本原元，并

8、将每个非零元素表示成本原元的幂.分析：是3次不可约多项式，根据教材定义18.4.5得到的8个元素，定义二元运算和，本原元的定义及幂元表示见教材例18.5.1.解。共有8个元素，即.运算表如下：令, 则, 因此，是的本原元。23. 求和.分析：注意到，利用定理18.5.12，以及例18.5.3的结果即可求解。解。利用公式 及已有的结果（例18.5.3），有24. 设域，试求出中每个元素的最小多项式。24. 设域，试求出中每个元素的最小多项式。分析：是一个16阶域，类似于例18.5.2可求每个元素的最小多项式。解：。，。 25.设域的特征为定义为，证明是的自同态.分析：根据定理18.5.2，利用定

9、义，证明满足自同态定义（定义17.5.1）。证明。 设为阶域。由的定义知 ,又由定理18.5.2知，乘法群中每个元素的周期均为，即对任意，有，也即，。于是，对任意，有, 使得 ,这说明是满射。最后，对任意的,有26. 设是16阶域的本原元，试将15个非零元素分为若干组，使每组中的元素有相同的最小多项式.分析：是16阶域的本原元，知，根据定理18.5.9对非零元分组，设是在域中的根，则均是根；同理设是在域中的根，则均是根；设是在域中的根，则均是根；设是在域中的根，则均是根；根据定理18.5.6，同一组根具有相同的最小多项式。解。由定理18.5.9, 有相同的最小多项式；而 有相同的最小多项式；如此，可将该域的非零元素分为如下五组： 27. 写出生成的所有（6，3）码.分析：本题类似于例18.7.1求得。解：因为生成多项式为：，所以当信息码分别为以下时：信息码信息码多项式 纠错码多项式 纠错码0000 000 000001x21+x +x5 110 001010x1+x +x2+x4 111 010011 x+ x2x2+x4 +x5 001 01110011+x2+ x3 101 100101 1+x2 x+x2 +x3+x4 011 101110 1+x x +x3+x4 010