两平面垂直地判定和性质

1、实用标准文案典型例题一例1.根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明.(1)如图1,已知-l'. : l, A l 在内作PA _ I于A，在一：内作QA _丨于A 文档(2)如图2,已知:-"-=I, A三二，AT .作AP _ :于P，在二内作AQ _ I于Q，连结PQ .(3)已知:-AQ“于Q , I -平面PAQ 二 H，连结 PH、作图与证明在此省略.其中用三垂线定理及逆定理的方说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法, 法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形.典型例题二例2.如图，在立体图形 D-ABC中，若AB =CB, AD =CD,E是AC的中点，贝

2、忡 列命题中正确的是().(A) 平面ABC丄平面ABD(B) 平面ABD丄平面BDC(C) 平面ABC丄平面BDE，且平面 ADC丄平面BDE(D) 平面ABC丄平面ADC，且平面ADC丄平面BDE分析：要判断两个平面的垂直关系， 就需固定其中一个平面， 找另一个平面内的一条直 线与第一个平面垂直解：因为AB二CB,且E是AC的中点，所以 BE _ AC,同理有DE _ AC，于是 AC _平面BDE .因为 C A平面ABC，所以平面 ABC _平面BDE 又由于AC 平面ACD ,所以平面 ACD _平面BDE 所以选C.说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置

3、关系在某一个平面内，得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线，由线线垂直得到线面垂直，由线面垂直可得到面面垂直 典型例题三例3 .如图，P是 ABC所在平面外的一点，且 PA _平面ABC，平面PAC _平面PBC 求证 BC _ AC .分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直， 应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直.证明：在平面PAC内作AD _ PC，交PC于D .因为平面PAC _平面PBC于PC ,AD 平面PAC，且AD PC，所以AD 平面PBC 又因为BC 平面PBC，于是有AD _ BC.另外PA _平面

4、ABC , BC 平面ABC，所以PA _ BC .由及 AD PA二A，可知BC _平面PAC 因为AC二平面PAC，所以BC _ AC .说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直=线面垂直=线线垂直.典型例题四例4.如图，AB是O O的直径，PA垂直于O O所在的平面，C是圆周上异于 A、B的任意一点，求证：平面 PAC _平面PBC .分析：证明面面垂直的有两个依据， 一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理由于 C点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直.证明：因为AB是O O的直径，C是圆周上的点，所以有

5、 BC _ AC.因为PA _平面ABC , BC 平面ABC，贝U PA _ BC.由及AC PA=A，得BC _平面PAC 因为BC 平面PBC，有平面PAC _平面PBC .说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直=线面垂直二面面垂直.通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关 系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系.典型例题五例5.如图，点A在锐二面角-MN - -的棱MN上，在面内引射线 AP，使AP与MN所成的角 PAM为45 ，与面一：所成的角大小为30 ,求二面角- MN - 1的大 小.分析：首先根据条件作出二面角的平面角，

6、然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解.实用标准文案.BAH =30 再作BQ _ MN，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面一：内 的射影.由三垂线定理的逆定理， HQ _ MN , . . BQH为二面角_ MN _ -的平面角.设 BQ 二 a ,在 Rt BAQ 中,.BQA = 90 ,. BAM 二 45 , AB 二2a ,在 Rt BHQ 中,.BHQ =90 ,BQ =a, BHa,snBQH2返 一BH 2 a 2BQ 一 a 一 21)12文档例6.如图，将边长为C -AD -C.BQH 是锐角，.BQH =45 ,即二面角-

7、MN - '等于 45 说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线.典型例题六a的正三角形 ABC以它的高 AD为折痕折成一个二面角(1) 指出这个二面角的面、棱、平面角；(2) 若二面角 C；AD-C是直二面角，求 CC的长；(3) 求AC 与平面C CD所成的角；(4) 若二面角 C-AD -C的平面角为120 ,求二面角A-CC-D的平面角的正切值.分析：解:(和面ADC ；根据问题及图形依次解决.AD_BC, AD_DC,AD_DC,

8、棱为AD，二面角的平面角为 CDC .面角C - AD - C的面为ADC(2)若CDC =90 , AC =a, DC =DC实用标准文案(3) AD_DC,AD_DC, AD _ 平面 DC C , AC D 为 AC 与平面1CCD所成的角在直角三角形ADC 中，DC二DC AC,. . DAC丄30，于是2.AC D =60 (4) 取CC 的中点E，连结AE、DE , - DC =DC,AC = AC,. AE _ CC, DE _ CC ,_ AED为二面角A - C C - D的平面角.1 iC DC =120 ,CD =CDa,. DE a,2 4_住a在直角三角形 AED 中

9、，AD a,. tanAED = = 22 . 3 2DE 1a4说明：这是一个折叠问题， 要不断地将折叠前后的图形加以比较，抓住折叠前后的变与不变量.典型例题七例7正方体ABCA1B1C1D1的棱长为1, P是AD的中点.求二面角A-BD1-P的大小.分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线， 方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考 虑到AB垂直于平面AD1 , BD1在平面AD1上的射影就是 AD1 再过P作AD1的垂线PF , 则PF

10、_面ABD1，过F作D1B的垂线FE , PEF即为所求二面角的平面角了.解：过P作BD1及AD1的垂线，垂足分别是 E、F，连结EF AB 面 AD1 , PF 面 AD1 , AB _ PF ,又 PF _ AD1 , PF _ 面 ABD1 .又 PE _ BDi , EF _ BDi , . PEF为所求二面角的平面角.RAD1D s lPFA ,PF APDD i ADi文档A; Q而 AP = , DD1, ADj = . 2 PF 一 .24在 :PBD1 中，PD1 = PB =二.2 PE _ BD1 , BE JbD 二三.2 2一在 Rt FEB 中，PE 二 一 PB2

11、-BE22PF 1在 Rt PEF 中，sin PEF =PE 2 PEF =30 典型例题八例8在- ABC所在平面外有一点 S，已知SC_AB，SC与底面ABC所成角为二， 二面角S-AB-C的大小为，且厂- 90 求二面角C-SB-A的大小.分析：由题设易证SC_SD，由已知得SC _平面SAB，显然所求的二面角是直二面角，此时只需证明二面有的两个面垂直即可在解这种类型题时，如果去作二面角C -SB-A的平面角，那么可能会走弯路.解：如图所示，作 SO _平面ABC于O，连结CO并延长交AB于D，连结SD . SO _ 平面 ABC , SCO是SC与平面ABC所成角， SCO-V .

12、SO _ 平面 ABC , SC _ AB , AB_CD , AB_SD. SDO是二面角S - AB -C的平面角， SDO二:. v ： - 90 , SC_ SD 又 SC _ AB , SC _ 平面 SAB,平面SBC _平面SAB,二面角C_SB_A的大小为90 说明：二面角的平面角满足三个条件：（1）顶点在棱上，（2）两边在面内，（3）两边与棱垂直.应注意.CSB不满足第（3）条，不是二面角 C -SB-A的平面角.在求二面角大小时， 若其平面角不易作出时， 则可考虑判定两平面是否垂直，如果两平面垂直，则其二面角为 90，反之亦然.典型例题九例9如果丨r, , J丨r, ,-

13、a，那么a：-分析：（1）本题是一道高考题，考查线面垂直和面面垂直的性质和逻辑推理能力要证a ,只要证明直线a与平面:-内的两条相交直线垂直就可以了， 从而借助平面与平面垂 直的性质达到证明 a _的目的；（2）要证a _ ：，只要证明a平行于平面:的一条垂线就 可以了，这也可以借助面面垂直的性质加以考虑；（3）可以用“同一法”来证明.证法一：如图所示，设，-b , >- c ,过平面内一点P作PA_ b于A，作PB _c于B 又 ： a , PA _ a，同理可证 PB _ a PA PB 二 P 且 PA、PB :- , a - : 证法二：如图所示,设- b，在平面1内作直线h _

14、 b - 1 , li -设 二C,在平面 内作直线I2 _ c同理可证丨2 _ a，因此h|2 由于丨1 一 1：',丨2 二一：，二丨2 /'- 而 l2, a ：十， l2a 故由 l2 / a 知，a _ :- 证法三：如图所示过直线a上一点P作直线a' _./ a ：厂 1 -, P a , P " 1：'，根据课本第37页例2 （如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内），- a'同理可证a'，故a，=2飞据公理2可知，直线a'与直线a重合.- a _ -说明：（1）本例实

15、际上可作为两个平面垂直的性质定理，主要用于判断直线和平面的垂 直，在很多习题中都可以用到本例的结论.（2）本例的三种证明方法其思维角度不同，但都是围绕"面面垂直”、"线面面垂直”的判定与性质定理来进行思考的，希望同学们今后在解题中多进行这方面的训练，这对提高数学思维能力是大有裨益的.典型例题十例10 设由一点 S发出三条射线 SA、SB、SC , ASB =， BSC =,-ASC =二，二、：、二均为锐角，且 coscos ： = cos71 求证：平面 ASB _ 平面 BSC .分析：欲证两平面垂直，只需证明其中一平面内有一直线垂直于另一平面即可，此题设法通过线段关系

16、过渡.证明：如图，任取点 A，作AB_SB于B，过B作BC_SC于C，连结AC .SB = AS cos、£ , SC = SB cos 卜，故 SC = AS cos ： cos ：又由 cos ： cos - - COST ,贝U SC 二 AS cost，从而可得.ACS 二 90，即 AC _ SC，已作 BC _ SC，故 SC _ 平面 ACB ,即有AB _ SC，已作AB _ SB，从而AB _平面BSC ,故平面ASB _平面BSC.说明：本题易犯错误是：作 AB _ SB于B，作BC _ SC于C ,连结AC，由三垂线 定理得SC _ AC , SC _平面ACB

17、 , AB _ SC ,二AB _平面SBC .其错误原因 是作AB _SB后，将AB误认为是平面 SBC的垂线.此题的证明也可以作 AB _ SB于B , AC _ SC于C，连结BC .在 SBC中，由余 弦定理及条件 coscos 1 二 cost ,证明 SB?二 BC2 SC2，从而 SC_ BC , SC _ 面 ABC , AB_SC 由此进一步证明，平面 ASB_平面BSC .典型例题十一例11如果二面角二-I 一 -的平面角是锐角，点P至U j：和棱I的距离分别为2 2、4、4.2，求二面角的大小.分析：如果二面角:内部，也可能在外部，应区别处理.甲解：如图甲是点P在二面角二

18、一I -:的内部时,乙是点P在二面角-I -的外部时. PA _ ： PA _ I . AC _ I，面 PAC _ I 同理，面PBC _ I ,而面PAC 面PBC二PC面PAC与面PBC应重合，即A、C、B、P在同一平面内，ZACB是二面角的平面角.在 Rt APC 中，sin ACP =空=一2 2 工1,PB 4/22 . ACP =30 .PB 42在 Rt BPC 中，sin BCPHr42 ,PC 4/22 BCP =45 ,故 ACB =3045 -75 （图甲）或 ACB = 45 -30 =15 （图乙）.说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二

19、面角的平面 角这是本题得到二面平面角的方法，即所谓垂面法.典型例题十二例12 P为120的二面角，-a -内一点，P到和：的距离均为10,求点P到棱a的距离.分析：本题已知二面角的大小而求点到直线的距离，须做出二面角的平面角， 然后将条件揉和在一起，便可解决问题.解：如图，p过点P作PA _ ：于A , PB _ :于B ,设相交直线PA、PB确定的平面为 ，则 站=OA , I、 OB连结 PO，则 AP =BP =10/ PA鳥，PB _ 1 , a _ ，而PO 平面， a _ P0 , P0的长即为点P到直线a的距离.又 a _, 0A , 0B . AOB是二面角：._a _ -的平

20、面角，即.AOB =120 .而四边形AOBP为一圆内接四边形，且 P0为该四边形的外接圆直径.四边形AOBP的外接圆半径等于由 A、B、0、P中任意三点确定的三角形的外接 圆半径，因此求PO的长可利用 APB .在：APB 中，AP=BP=10, . APB = 60 , AB "0 .由正弦定理：P0=2AB J03sin 603说明：(1)该题寻找120的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若 题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法.充分借助于四边形 PAOB为一圆内接四边形，/ PA_ OA, PB _ OB , / PO即为

21、其 外接圆直径，然后借助于四边有的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移， 由正弦定理帮助解决了问题.典型例题十三例13如图，正方体的棱长为 1, B,C BG =O，求:(1) AO与AG所成的角；(2) AO与平面AC所成角的正切值； 平面AOB与平面 AOC所成的角.AB解： A1C1/AC ,- AO与AG所成的角就是 OAC . OC _ OB , AB _ 平面 BC1 , OC _ OA （三垂线定理）.在 Rt AOC 中，0C =丄,AC2 ,2作OE _ BC，平面BG _平面AC OE _平面AC , . OAE为OA与平面 AC所成的角.在 Rt OAE 中，

22、OE12 (J,52- tan . OAE 二坐AE(3) OC _ OA, OC _ OB , OC _ 平面 AOB 又 OC二平面AOC，平面 AOB _平面AOC 说明：本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题.求角度问题主要是求两条异面直 线所成角 o - I直线和平面所成角 0 - I二面角（0,兀】三种.2 2典型例题十四例14 如图，矩形 ABCD，PD _平面ABCD，若PB = 2，PB与平面PCD所成 的角为45，PB与平面ABD成30角，求：(1) CD的长;求PB与CD所在的角;求二面角C - PB - D的余弦值.分析：从图中可以看出,前面已推导出平面 PBCPD

23、BC 1 xV2 V3与平面BCD所成的二面角的余弦值为BC = 13，可见，基础四面体作为PC BD V2Z33一部分，经常出现在某些几何体中.解：（1） PD _ 平面 ABCD , PD _ BC .又BC _平面PDC , BPC为PB与平面PCD所在的角，即 BPC =45 同理：.PBD即为PB与平面ABD所成的角， PBD =30 ,在 Rt PBC 中， PB =2 , BC =PC =：；2 在 Rt. PBD 中，.PBD=30 , PD=1, BD 二 3 .在 Rt BCD 中，BC = 2 , BD =、3 , CD =1 .(2) AB/CD , PB与 CD 所成

24、的角，即为PB与AB所成的角，.PBA即为PB与AB所成的角/ PD _ 平面 ABCD , AD _ AB , PA _ AB (三垂线定理)在 Rt PAB 中，AB=CD=1, PB=2 , PBA =60 由点C向BD作垂线，垂足为 E，由点E向PB作垂线，垂足为 F，连结CF PD _ 平面 ABCD , PD _CE 又 CE _ BD , CE _ 平面 PBD ,CF为平面PBD的斜线，由于EF _ PB ,由三垂线定理： PB_CF . CEF为二面角C - PB - D的平面角在 Rt BCD 中，BC.2 , DC=1, BD = 3 ,BC CDBD在 Rt PCB 中

25、，BC 二 2 , PC = 2 , PB=2,BC CPPB=1CB- sin ECFE =CF3二面角C - PB - D的余弦值为一？ 3说明：解空间几何计算问题，一般要做两件事：一件是根据问题的需要作必要证明，如 本题中的线线所成的角、面面所成的角从理认上都必须说清楚究竟是谁；另一件事才是计算，这两件事是根据问题解答逻辑上的需要有机的结合在一起的.典型例题十五例15 过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC ,如图，.BSC = 90 , ASC=/ASB=60，若截取 SA二 SB 二 SC 二 a(1) 求证：平面 ABC _平面BSC ;(2) 求S到平面ABC的距离.分析：要证

26、明平面 ABC _平面BSC,根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线.(1)证明：t SA = SB = SC = a ,又.ASC = ASB 二 60 , AASB和 ASC都是等边三角形，AB = AC = a ,取BC的中点H，连结AH , AH _ BC .在 Rt BSC中，BS=CS=a , SH _ BC , BC2a , AH2 WHF*SH2 2在 SHA中， AH, SH2 二,SA2 二 a2,2 2 SA2 =SH2 HA2 , AH _ SH , AH _ 平面 SBC. AH 平面ABC，平面 ABC _平面BSC .或

27、：t SA 二 AC 二 AB ,顶点A在平面BSC内的射影H为厶BSC的外心，又 BSC为Rt，, H在斜边BC上，又 BSC为等腰直角三角形， H为BC的中点， AH _ 平面 BSC.t AH 平面 ABC，平面 ABC _平面BSC 解：由前所证： SH _ AH , SH _ BC , SH _平面ABC ,BC J? SH的长即为点S到平面ABC的距离，SH二竺 2 a ,2 2 点 S到平面ABC的距离为厶2典型例题十六例16判断下列命题的真假(1) 两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个 平面.(2) 两个平面垂直，分别在两个平面内且互相垂直的

28、两直线，一定分别与另一平面垂直；(3) 两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直.分析：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图，正方体A,C中，平面AC _平面ADi ,平面AC 平面ADi二AD，在AD上取点A ,连结ABi ,则ABi _ AD ,即过棱上一点 A的直线AB1与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是 AB1 没有保证在平面 ADD1A1内可以看出：线在面内这一条件的重要性；(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体AC 中，平面 AD1 _ 平面 AC , AD1 平面 ADD1A , AB 平面 ABCD，且 AB _ AD1,即AB与AD1相互垂直，但 AD1与平面ABCD不垂直;DiG 如上图，正方体A,C中，平面ADD1A _平面ABCD , AD1 平面ADD1A , AC平面ABCD , AD1与AC所成的角为60，即AD1与AC不垂直.说明：必须注意两个平面垂直的性质定理成立的条件：(1)线在面内，(2)线垂