2022年初三数学一轮复习知识点串讲专题20 全等三角形的辅助线问题

1、内装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_外装订线2022年初三数学一轮复习知识点串讲专题20 全等三角形的辅助线问题专题20 全等三角形的辅助线问题【考查题型】考查题型一 连接两点做辅助线典例1把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想【解析】试题分析：要证明HG与HB是否相等，可以把线段放在两个三角形中证明这两个三角形全等，或放在一个三角形中证明这个三角形是等腰三角形，而图中没有这样的三角形，因此需要作辅助线，构造三角形试题解析：HG=HB，证法1：连接AH，四边形ABCD，AEFG

2、都是正方形，B=G=90°，由题意知AG=AB，又AH=AH，RtAGHRtABH（HL），HG=HB证法2：连接GB，四边形ABCD，AEFG都是正方形，ABC=AGF=90°，由题意知AB=AG，AGB=ABG，HGB=HBG，HG=HB变式1-1已知:三角形ABC中,A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析

3、【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：BED和AFDAD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有CAD=BAD=45°，AD=BD=CD，而B=C=45°，所以B=DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：BEDAFD，从而得出DE=DF，BDE=ADF，从而得出EDF=90°，即DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造DAFDBE.得出FD=ED ,FDA=EDB,再算出EDF=90°,即可得出DEF是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD , AB=AC ,BAC=90° ,D为BC中点 ,ADBC ,B

4、D=AD ,B=BAD=DAC=45°,又BE=AF ,BDEADF（SAS）,ED=FD ,BDE=ADF,EDF=EDA+ADF=EDA+BDE=BDA=90°,DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD AB=AC ,BAC=90° ,D为BC中点 ,AD=BD ,ADBC ,DAC=ABD=45° ,DAF=DBE=135°,又AF=BE ,DAFDBE（SAS）,FD=ED ,FDA=EDB,EDF=EDB+FDB=FDA+FDB=ADB=90°.DEF为等腰直角三角形.变式1-2如图，以为直角顶点作两个等腰直角三角形和，且点在

5、线段上（除外），求证：【答案】证明见解析【分析】连接BD，证明AOCBOD（SAS），得到CBD为直角三角形，再由勾股定理即可证明【详解】解：连接BD，AOB与COD为等腰直角三角形，AO=BO，CO=DO，AOB=COD=90°，A=ABO=45°，AOC+BOC=BOD+BOCAOC=BOD，在AOC与BOD中，AOCBOD（SAS）A=OBD=45°，AC=BD，ABO+OBD=90°，即CBD=90°，在RtCBD中，即考查题型二 全等三角形 - 倍长中线模型典例2已知，在中，点为边的中点，分别交，于点，（1）如图1，若，请直接写出_；

6、连接，若，求证：；（2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由【答案】（1）45°；见解析；（2），理由见解析【分析】（1）利用直角三角形两个锐角相加得和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题延长至点，使得，连接，从而可证明（SAS），再利用全等的性质，可知，即可知道，所以，根据题干又可得到，所以，从而得出结论（2）延长至点，使得，连接，从而可证明（SAS），再利用全等的性质，可知，根据题干即可证明（HL），即得出结论【详解】（1），又故答案为如图，延长至点，使得，连接，点为的中点，又，又，（2）如图，延长至点，使得，连接，变式2-1某数学兴趣

7、小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入（探究与发现）（1）如图1，AD是的中线，延长AD至点E，使，连接BE，证明：（理解与应用）（2）如图2，EP是的中线，若，设，则x的取值范围是_（3）如图3，AD是的中线，E、F分别在AB、AC上，且，求证：【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论；（3）延长FD至G，使得，连接BG，EG，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可【详解】（1）证明：，（2）；如图，延长至点，使，连接，在与中，在中，即，的取值

8、范围是；故答案为：；（3）延长FD至G，使得，连接BG，EG，在和中，在和中，在中，两边之和大于第三边，又，变式2-2倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题（应用举例）如图（1），已知：为的中线，求证：简证：如图（2），延长到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，（问题解决）（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：（2）如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，若，求的长（3）如图（5），是的

9、中线，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ 【答案】；（1）详见解析；（2）5；（3），【应用举例】由全等的性质可得AB=EC，由三角形三边关系可得AC+CE>AE，即AB+AC>2AD；故答案为EC，AE；【问题解决】（1）由题意不难得到所以BGD=BED=AEF=DAC，有AF=EF；（2）延长ED到G，使DG=ED，连结CG、FG，不难得到EF=FG，另同（1）有BDECDG，所以FCG=FCD+GCD=FCD+EBD=90°，CG=BE=3，由勾股定理可得FG即EF的长；（3）由全等三角形的性质可以得到解答【详解】【应用举例】【问题解决】如图延长到，使得连接

10、易证得，如图，延长到，使得连接易证得，垂直平分即在中，理由如下：如图3，延长AD到G，使AD=DG，延长DA交EF于P，连结BG，则不难得到BGDCAD，BG=AC，GBD=ACD，DGB=DAC，又AF=AC，BG=AF，ABG=ABD+GBD=ABD+ACD=180°- BAC=EAF，在ABG和EAF中，ABGEAF，EF=AG=2AD，EFA=DGB=DAC，DAC+PAF=180°-FAC=180°-90°=90°，EFA+PAF=90°，APF=90°，EFAD 考查题型三 全等三角形 旋转模型典例3在RtABC

11、中，ABC=90°，BAC30°，将ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到AED，点B、C的对应点分别是E、D.(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求CDE的度数； (2)如图2，若=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形. 【答案】（1）15°；（2）证明见解析.【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CADA，CADBAC30°，DEAABC90°，再根据等腰三角形的性质求出ADC，从而计算出CDE的度数；（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BFAC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BCAC，则

12、BFBC，再根据旋转的性质得到BAECAD60°，ABAE，ACAD ，DEBC，从而得到DEBF，ACD和BAE为等边三角形，接着由AFDCBA得到DFBA，然后根据平行四边形的判定方法得到结论【详解】解：（1）如图1，ABC绕点A顺时针旋转得到AED，点E恰好在AC上，CADBAC30°，DEAABC90°，CADA，ACDADC（180°30°）75°，ADE=90°-30°=60°，CDE75°60°15°；（2）证明：如图2，点F是边AC中点，BFAC，BAC30&

13、#176;，BCAC，BFBC，ABC绕点A顺时针旋转60°得到AED，BAECAD60°，ABAE，ACAD，DEBC，DEBF，ACD和BAE为等边三角形，BEAB，点F为ACD的边AC的中点，DFAC，易证得AFDCBA，DFBA，DFBE，而BFDE，四边形BEDF是平行四边形变式3-1给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到DBE，连接AD，DC，CE，已知DCB=30°求证：BCE是等

14、边三角形；求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形【答案】(1)正方形、矩形、直角梯形均可；(2)证明见解析证明见解析【分析】（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；（2）首先证明ABCDBE，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出DCE是直角三角形，问题得解【详解】解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；（2）ABCDBE，BC=BE，CBE=60°，BCE是等边三角形；ABCDBE，BE=BC，AC=ED；BCE为等边三角形，BC=CE，BCE=60°，DCB=30

15、76;，DCE=90°，在RtDCE中，DC2+CE2=DE2，DC2+BC2=AC2变式3-2如图，在中，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点.（1）求证：（2）求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可得ADBC，由余角的性质可得C=BAD；（2）由“ASA”可证ABCEAF，可得AC=EF【详解】（1）如图，是等腰三角形又为的中点，（等腰三角形三线合一）在和中，为公共角，.另解：为的中点，又，又，在和中，为公共角，.（2），又，.考查题型四 全等三角形 垂线模型典例4在ABC中，ACB90°，ACBC，直线MN经过

16、点C，且ADMN于D， BEMN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE的等量关系?并说明理由【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE，理由见解析【分析】（1）由已知推出ADC=BEC=90°，因为ACD+BCE=90°，DAC+ACD=90°，推出DAC=BCE，根据AAS即可得到答案；（2）与（1）证法类似可证出ACD=EBC，能推出ADCCEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案【详解】解：（1）证明：如图1，ADDE，BEDE，ADC=BEC=90°

17、，ACB=90°，ACD+BCE=90°，DAC+ACD=90°，DAC=BCE，在ADC和CEB中，ADCCEB（AAS）；（2）结论：DE=AD-BE理由：如图2，BEEC，ADCE，ADC=BEC=90°，EBC+ECB=90°，ACB=90°，ECB+ACE=90°，ACD=EBC，在ADC和CEB中，ADCCEB（AAS），AD=CE，CD=BE，DE=EC-CD=AD-BE变式4-1在直角三角形ABC中，分别以AB、AC为边在外侧作等边和等边，DE交AB于点F，求证：.【答案】详见解析【分析】过点E作于点G，则有

18、，再证，得到.从而得到，所以，即可完成证明。.【详解】证明：过点E作于点G.是等边三角形，又中（直角三角形的角所对的边等于斜边的一半），.，.变式4-2如图，在中，点、分别是轴和轴上的一动点，点的横坐标为，求点的坐标.【答案】B（0，-3）【分析】如图，作CDy轴于M，则CD=3，证明BCDABO(AAS)即可求得答案.【详解】如图，作CDy轴于M，则CD=3，ABC=AOB=90，CBD+ABO=90°，ABO+OAB=90°，CBD=BAO，又BDCAOB=90°，BCAB，BCDABO(AAS)，OB=CD=3，B(0，-3)考查题型五 线段之间存在的数量关

19、系典例5在ABC中，ACB=2B，（1）如图，当C=90°，AD为ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD请证明AB=AC+CD；（2）如图，当C90°，AD为BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；如图，当C90°，AD为ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明【答案】（1）证明见解析；（2）AB=AC+CD；AC+AB=CD，证明见解析【分析】（1）首先得出AEDACD（SAS），即可得出B=BDE=45°，求出BE=DE=

20、CD，进而得出答案；（2）首先得出AEDACD（SAS），即可得出B=BDE，求出BE=DE=CD，进而得出答案；首先得出AEDACD（SAS），即可得出B=EDC，求出BE=DE=CD，进而得出答案【详解】解：（1）AD为ABC的角平分线，EAD=CAD，在AED和ACD中，AE=AC，EAD=CAD，AD=AD，AEDACD（SAS），ED=CD，C=AED=90°，ACB=2B，C=90°，B=45°，BDE=45°，BE=ED=CD，AB=AE+BE=AC+CD；（2）AB=AC+CD理由：在AB上截取AE=AC，连接DE，AD为ABC的角平分线

21、，EAD=CAD，在AED和ACD中，AE=AC，EAD=CAD，AD=AD，AEDACD（SAS），ED=CD，C=AED，ACB=2B，AED=2B，B+BDE=AED，B=BDE，BE=ED=CD，AB=AE+BE=AC+CD；AC+AB=CD理由：在射线BA上截取AE=AC，连接DE，AD为EAC的角平分线，EAD=CAD，在AED和ACD中，AE=AC，EAD=CAD，AD=AD，AEDACD（SAS），ED=CD，ACD=AED，ACB=2B，设B=x，则ACB=2x，EAC=3x，EAD=CAD=1.5x，ADC+CAD=ACB=2x，ADC=0.5x，EDC=x，B=EDC，B

22、E=ED=CD，AB+AE=BE=AC+AB=CD变式5-1如图，平分，平分，点在上，求证：.【答案】详见解析【分析】在BC上取点F，使BF=BA，连接EF，由角平分线的性质可以得出1=2，从而可以得出ABEFBE，可以得出A=5，进而可以得出CDECFE，就可以得出CD=CF，即可得出结论【详解】在BC上取点F，使BF=BA，连接EF，BE、CE分别是ABC和BCD的平分线，1=2，3=4，在ABE和FBE中，ABEFBE(SAS)，A=5，ABCD，A+D=180°，5+D=180，5+6=180°，6=D，在CDE和CFE中，CDECFE(AAS)，CF=CDBC=B

23、F+CF，BC=AB+CD变式5-2如图，在中，O为的中点，D，E分别在上，且求证：【答案】证明见解析【分析】如图（见解析），先根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，再根据等腰三角形的定义可得，然后根据角的和差、等量代换可得，最后根据三角形全等的判定定理与性质可得，据此根据线段的和差即可得证【详解】如图，连接，O为的中点，（等腰三角形的三线合一），又，在和中，变式5-3如图，在中，. (1)如图1，点在边上，求的面积. (2)如图2，点在边上，过点作，连结交于点，过点作，垂足为，连结.求证：.【答案】（1）3；（2）见解析【分析】（1）根据勾股定理可得AC，进而可得BC与BD，然后根据三角形

24、的面积公式计算即可；（2）过点B作BHBG交EF于点H，如图3，则根据余角的性质可得CBG=EBH，由已知易得BEAC，于是E=EFC，由于，则根据余角的性质得EFC=BCG，于是可得E=BCG，然后根据ASA可证BCGBEH，可得BG=BH，CG=EH，从而BGH是等腰直角三角形，进一步即可证得结论【详解】解：（1）在ACD中，BC=4，BD=3，；（2）过点B作BHBG交EF于点H，如图3，则CBG+CBH=90°，EBH+CBH=90°，CBG=EBH，BEAC，E=EFC，EFC+FCG=90°，BCG+FCG=90°，EFC=BCG，E=BCG

25、，在BCG和BEH中，CBG=EBH，BC=BE，BCG=E，BCGBEH（ASA），BG=BH，CG=EH，变式5-4如图，等腰ABC中，ABAC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且ABAE，AF平分CAE交DE于F（1）如图1，连CF，求证：ABEACF；（2）如图2，当ABC60°时，求证：AF+EFFB；（3）如图3，当ABC45°时，若BD平分ABC，求证：BD2EF【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析【分析】（1）先根据SAS证得ACFAEF，推出EACF，再根据等腰三角形性质推出EABF，即可得出结论；（2）在FB上截取BMCF，连接AM，证ABMACF，推出EFFCBM，AFAM，再证得AM