第5节定积的几何和经济应用

1、第七、八节第七、八节 定积分的几何定积分的几何应用举例应用举例一、平面图形的面积一、平面图形的面积二、体积二、体积三、经济应用三、经济应用xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 baxxfad)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 baxxfxfad)()(12一、平面图形的面积一、平面图形的面积1 1、 直角坐标系情形直角坐标系情形xxxxd xxd 例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素xxxad)(d2 选选

2、 为积分变量为积分变量x1 , 0 xxxxad)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21aaa dxxxxa)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：说明：注意各积分区间上被积函数的形式注意各积分区间上被积函数的形式例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.两曲线

3、的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 x 吗吗 ？xy22 4 xyxyo)(yx cd曲边梯形的面积曲边梯形的面积 dcyyad)( 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 dcyyyad)()(12 yyyd )(1yx )(2yx xyocdyyyd 例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 y 422)214(dyyys24| )614(4232 yyy选选x

4、为积分变量为积分变量 20)2(2dxxxs 82)4(2dxxxxy22 4 xy 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、旋转体的体积二、旋转体的体积1 1、绕、绕 x 轴旋转所得旋转体体积轴旋转所得旋转体体积)(xfy 、ax 、bx 绕绕x轴旋转一周而成轴旋转一周而成体体积为多少？积为多少？ 取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上上任任取取小小区区间间d,xxx ， 取取以以xd为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的

5、薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素， xxfvd)(d2 xxxd xyo旋转体的体积为旋转体的体积为xxfvbad)(2 )(xfy y解解xhry xo直线直线 方程为方程为opxxhrvhd20 hxhr03223 .32hr 例例 1 1 连接坐标原点连接坐标原点o及点及点),(rhp的直线、直线的直线、直线hx 及及x轴围成一个直角三角形将它绕轴围成一个直角三角形将它绕 x轴轴旋转构成一个底半径为旋转构成一个底半径为 r、高为、高为 h的圆锥体，的圆锥体，计算圆锥体的体积计算圆锥体的体积 hpr轴旋转而成的体积轴旋转而成的体积围成图形绕围成图形绕xbxaxxgyxfy ,),(

6、),( )2(21 10222)()(dxxxvx 1010524| 5121xxdxxx 103 22( )( )bxavfxgx dx的的体体积积轴轴旋旋转转而而成成围围成成图图形形绕绕，求求例例xyxxy22 1 2 2、绕、绕 y 轴旋转所得旋转体体积轴旋转所得旋转体体积xyo轴轴旋旋转转而而成成的的体体积积为为围围成成图图形形绕绕ydycyyx ,),( )3( 2( )dycvy dy轴轴旋旋转转而而成成的的体体积积为为围围成成图图形形绕绕ydycyyxyx ,),(),( )4(21 2|( )|byavx f xdx轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为围成图形绕围成图形绕yyb

7、xaxxfy0,),( )5( cda 2a )(xy2221( )( )dycvyy dy生生的的旋旋转转体体体体积积轴轴旋旋转转产产绕绕轴轴绕绕求求例例yxbyax(2),(1) 1 12222 轴轴绕绕解解x)1( :22xaaby aaxdxyv2 adxxaab02222)(2 234ab 轴轴绕绕y)2(法一法一22ybbax bbydyybbav222)( bdyybba02222)(2 ba234 法二法二dxxfxvay| )(|220 adxxaxab0224 ba234 axxaab03222| )31(2 .,1,1- 2积积轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体体体轴轴

8、成成平平面面图图形形分分别别绕绕围围轴轴过过原原点点的的切切线线与与求求例例yxxyxxy ,121: xy解解xay121,)0 , 0( 则切线方程为则切线方程为点点过过代入方程有代入方程有切点切点)1,( aaxya212 切切线线为为),1,( aa设设切切点点为为 202122)1()21(dxxdxxvx 6| )21(|12212203 xxx 10222)2()1(dyyyvy 158| 32511035 yyy158d12)d21(22021 xxxxxxvy四、平行截面面积为已知的四、平行截面面积为已知的 立体的体积立体的体积xoabxxxd 如果一个立体不是旋转体，但却知

9、道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xa表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xa为为x的的已已知知连连续续函函数数,d)(dxxav .d)( baxxav立体体积立体体积例例 5 5 一一平平面面经经过过半半径径为为r的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心，并并与与底底面面交交成成角角 ，计计算算这这平平面面截截圆圆柱柱体体所所得得立立体体的的体体积积.rr 解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222

10、ryx 垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xrxa 立体体积立体体积xxrvrrdtan)(2122 .tan323 r xyo三、经济应用三、经济应用0 x0cdx)x(c)x(c 1。已知生产某产品固定成本为。已知生产某产品固定成本为 ,边际成本为边际成本为 x为产量，则总成本函数为为产量，则总成本函数为)x(c 0c2。已知销售某产品的边际收益为。已知销售某产品的边际收益为 ，x为销售量，为销售量，则总收益函数为则总收益函数为)x(r x0dx)x(r)x(r3。已知某产品总产量。已知某产品总产量q的变化率为的变化率为 ，则

11、，则（1）总产量函数为）总产量函数为（2）从）从 的总产量的总产量) t (q 时间内时间内到到21tt t0dt) t (q)x(q 21ttdt) t (q)x(q4.已知设利润函数的变化率为已知设利润函数的变化率为 ，则，则（1）总利润函数为）总利润函数为（2）从）从 的利润增量为的利润增量为)x(l 时时变到变到产量产量21xx0 x0cdx)x(l)x(l 21xxdx)x(l)x(l?18)(),/(26)(,2000 23232为为多多少少最最大大利利润润产产方方可可获获最最大大利利润润试试确确定定该该矿矿何何时时停停止止生生增增加加收收益益为为年年百百万万元元的的追追加加成成本本为为在在时时刻刻万万建建成成某某煤煤矿矿投投资资例例ttrttct 试试确确定定厂厂商商的的最最大大利利润润万万元元设设固固定定成成本本为为例例,430)(,260)(,2 1qqcq-qr