金融专业毕业论文高维协方差矩阵估计及其在金融领域的应用

1、高维协方差矩阵估计及其在金融领域的应用袁志权金融学院20XX级金融工程摘要：XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX （中文摘要 300字以内,格式:仿宋、小四,“摘要”二字加粗、中间空一字、首行缩进二字,1.5倍行距）关键词：XXX； XXX； XXX （关键词一般为35个,格式:仿宋、小四、 “关键词”三字加粗、首行缩进二字）High Dimensional Covariance Matrix Estimation And ItsApplication In FinanceYuan Zhiquan Finance AcademyAbstract:Key words: *, *, *

2、（Arial小四、“Key words”加粗,关键词首字母统 一大写,Related Party Transaction)r “目录"任全角状态下中间空两格黑体、小三、居中,内容采用宋体、小四号,列到訣标题,二标题缩进两字,单倍行距,目录页不列入目录中,另页起）摘要页 码 对 齐Abstract II1绪论12 XX XXXXXX22. IX XX XXX X X3参考文献20附录21 致谢221.绪论1.1引言作用简述协方差描述了不同随机变量之间的相关性，当随机变疑有n (n>2)个时，记为 Xi,X2,.Xn,随机变量两两之间的协方差，可以通过一个nxn维矩阵表示出来。即：

3、<cov(Xi,Xi) cov(Xi,X2) . cov(Xi, X")、COV(X2, Xl) COV(X2, X2):<COV(Xn, Xl) COV(Xn, X«)>这能够将多个随机变量或者研究对象之间的相关性表现出来之后的运用能够更加方便地进 行。协方差矩阵的作用在许多领域都起着越来越重要的作用。在金融领域，较常见的运用是 构建投资组合。早在年马克维茨(Markowitz)就提出了均值方差投资组合模型。运用协方 差矩阵分析各个资产之间的风险或者收益率相关性，之后可以通过协方差矩阵得出相应的最 优组合，即给泄投资组合风险最小的条件下，能够得到最大收益

4、率的组合。但是，在实践中， 用这个模型选择的投资组合表现有时不尽如人意，甚至有可能会产生很大的误差。研究表明， 投资组合表现与能否准确刻画投资组合里面各资产的关联程度，尤英是能否准确地、有效地 估计他们的协方差矩阵息息相关。当资产的个数较大时，所对应的协方差矩阵是髙维的，用 传统的样本协方差矩阵就会产生很大的误差，最后得岀的投资组合不是最优的。本文的重点 是通过不同的方法估汁得岀协方差矩阵之后，进行最优投资组合的构建，最后对比分析各种 估计方法的优劣。12文献综述样本协防差矩阵是最基本的估讣量，能够进行一定的参考，但是随着维度的增加会出现 维度灾害，估计出来的协方差矩阵便不再是性态良好的，这主

5、要由RMT理论中导出,Edelman & Rao (2005), Bai & Silverstein, (2010)发现随机矩阵特征值的分布与维度与样本观测值 数量的比值C有关。说明了这使协方差矩阵的估计需要其他更多的有效方法，从结构上泄义 的协方差矩阵，如因素法；从特征分布考虑的谱更正法等1。杨明媚，李华林(2004) 2 通过主成分的研究，挑选岀在版块指数中那些沿主成分方向波动幅度大的股票作为股票池, 再用这一股票池进行投资组合的构建。当出现协方差矩阵表现为非正左时，可以对协方差矩 阵进行主成分提取，达到降噪的作用,顾绍红，王永生,王光霞(2008)实证发现主成分分析 能够

6、有效简化原始变量，挖掘原始数拯中的隐藏信息3。协方差矩阵的研究进度：(参照其他论文)2. 协方差矩阵估计的介绍2.1协方差矩阵的应用协方差矩阵的应用包括：线性判別分析Linear Discrmiinant Analysis (LDA): 一个基于模型类别分布的分类 算法(Fisher, 1936; Friedman. 1989: Hastie et al., 2008),需要用到协方差矩阵的估计。二次判别分析 Quadratic Discriminant Analysis (QDA):与 LDA 有一点差别，相同类 別的协方差矩阵的限制被移除，且每个类别都估计出一个协方差矩阵(Hastieet

7、 al., 2008)。公共空间模式Common Spatial Patterns (CSP)：是一个在基于运动表象的大脑讣算机 接口的常用处理方法(Lotte et al., 2007; Blaiikertz et al., 2008)。CSP在两个试验条件中找岀能 够使得方差的比值最大化的空间方向。股票市场中投资组合优化(Markowitz. 1952)与风险测算(Jonon. 1996)中许多运用需 要用到协方差矩阵。资产的相关性表现在协方差。类似的方法还与保险业(Cummins. 2000) 和能源市场(Denton et al., 2003)有巨大的联系。基因关联网络 gene re

8、levance networks (Butte et al., 2000)与基因联系网络 gene association networks (Schafer & Strmmier,2005)是基因相关性结构的图解模型c关联网络与 基因成对相关联的关系直接相关，联系网络可以根于协方差矩阵推断岀来。自适应波束形成(Adaptive beainfbrnimg) 利率信号的产生可以通过一排列的传感 器形成(Capon, 1969: Abrahamsson et al., 2007)。算术上，这与投资组合优化有着十分紧密的 联系。现代无线通信协议，如载波码分多址(mul&cani&qu

9、ot; code-division multiple access (MC-CDN1A)技术因协方差矩阵的估计优化了带宽(Tulino & Verdd 2004)。机器人学领域的政策学习经常要求人们估计政策参数的协方差矩阵(Deiseiiroth et al. 20XX),主成分分析(PCA) (JoUiffe, 2002)还有其拓展(Scholkopf et al 199& Zouet aL. 2006) 的技术经常运用到降维与去噪声影响中。独立成分分析(ICA)需要通过协方差矩阵预白噪声化(H-armen et al., 2002).广义矩阵估计(GMM)是在统计模型中估计

10、参数的方法，先验知识与约朿被表述成 矩条件(Hansen, 1982)0准确的协方差估计可以增加GMM的效率广义最小二乘法(GLS)回归与最小二乘法(OLS)回归不同，GLS允许不独立的噪 声影响。因此需要GLS进行优化(Kanya& Kurata, 2004)a典型相关分析(CCA)找到了两个矢量化随机参数的最大程度的线性组合(Hotellmg, 1936)。它的估计依赖于协方差与互协方差。2.2协方差矩阵的性质cov(Xi, c(yv(Xp、Xp)从11与21中可以发现，在金融领域，协方差矩阵尤其在投资组合的构建与优化，投 资组合的风险测算中有着重要的运用。协方差矩阵表示着投资组合

11、中各个资产之间收益率的 相关性。相应的收益率可以通过其历史数据估计出来。形如：cov(X , X1) cov(Xi, X 2)COv( X 2, X 1) COV( X 2, X 2)c= i cov(Xp, Xi)设X是第i个资产，i=l,2,.,p : 5表示C中第i行第j列的元素或者第i个资产 与第j个资产之间的协方差。1 " _DX= g（X,-X）2cov(X, Xj) = EXi- X)(K- Y)可以发现协方差矩阵的性质：(1) 协方差矩阵C是p维对称矩阵，对角线上的元素是各个资产收益率的方差，也就 是风险大小：英余元素代表着对应资产两两之间收益率的协方差，也就是相关性

12、。(2) C是半正能的/ 、CuC12CpC21C22:c =.证明：令：Cjj = cov(Xb Xj) = E(Xi - X )(K - F)5二c：,C是实对称矩阵设有“=("心,")任意的n维向量，则P PP P_aCar =工工伽j =工工Ey（X厂片）勺（Xj 文） /=1 j=l/=1 ;=1p_P_=E£u（x,-X）J u（x 厂 X）/=1i=lP_= Ei（Xi-X）2>0i=l所以，C是半正泄矩阵。2.3关于协方差矩阵估计的问题2. 3.1协方差矩阵估计中面临的困难协方差矩阵可以通过简单的样本均值与方差.协方差等算法得到一个样本协方差

13、矩阵, 就如2. 2中说明的一样。但是随着维度的上升p与样本容量大小n的上升，会使协方差矩阵 的估计产生很大的误差直接导致了使用时的误差扩大，影响投资组合的优度。对于很大的n来说，样本协方差矩阵中元素的误差很小。但是，协方差矩阵的估计结果 还取决于其维度，也就是在投资组合收益率的协方差矩阵中资产的数量。在高维且小样本容 量的情况下，样本协方差矩阵的优度明显降低。然而对于维度与样本容量的设泄没有很明确 的泄义且相互依存，协方差矩阵估计的的困难一半可以以一个数值C来说明。C二n/p,样本 容量n与维度p的比值。c的值越小说明协方差矩阵的维度很大或者样本容量很小。而在随 机矩阵理论(RMT)中有一个

14、重要的结论表明一个随机矩阵的特征值谱分布取决于c的值 (Edelman & Rao, 2005; Bai & Silverstein, 2010)«更准确地说，假设总体特征值从一个 特泄的分布中取得，当n与p都很大是，样本特征值就由c来决泄。有n,p - 8同时n/p -* c , c21,这一限泄是 Marcenko-Pastur Law (Marchenko & Pastur, 1967)给定的。丄2. 3. 2 c二n/p 的设定2. 3.1中提到，c的取值对协方差矩阵的估计结果有着重要的影响。在高维协方差矩阵 中，关于c如今有四个比较重要的设定(1)

15、最标准的设定P不变，n趋向于无穷。这个设立在协方差矩阵估计的研究中并没有被广泛关注。这一 设泄中，样本协方差矩阵是一个一致估计量。虽说投资组合特别是股票市场，并不存在无穷多的股票，但是苴数量也是十分巨大。对 于这标准假宦，或许在其他领域需要更多的关注，在这里也进行简单叙述。(2) Large-Dimensional Limit (LDL)在LDL中，n, p都趋向于无穷大，n/p趋向于常数c°这也是随机矩阵理论对于协方差 矩阵的标准设定(Bai & Silverstein, 2010)|o LDL 也称为高维极限(high-dimensional limit)或者称为柯尔莫哥

16、洛夫渐近极限。在LDL设左下，样本协方差矩阵不再是一致估计 量。(3) Finite Observations Large-Dimensional Limit (FOLDL)FOLDL设宦中，样本观测值n保持不变，而维度p趋向于无穷。此时样本协方差也不再 是一致估计量。而这一假泄在缩减估计法中有这重要的作用。但鉴于本文作者的精力与知识 储备，不进行深入探讨。(4) General asymptotics (GA)在GA设沱中，维度p是样本容疑n的函数。在这种方式下p=这个函数值增加速度不大 于 n(Ledoit & Wolf, 2004)|。2.4对协方差矩阵估计结果的评价方法2.4.

17、1估il误差的测定第一类别的测立标准被称作估计误差。这种类别包括了所有量化了协方差估计或其协方 差估计的分布与总体分布之间的关系。在这里介绍一个方法：预期平方误差expected squared error (ESE)或者称为预期Frobenius范数，如卜：Ad=EE(C,-C,)2 = EIIC-CII2 IJ对于样本估计量的单位损失改进程度The percentage improvement in average loss (PRIAL)使得不同设泄下，如不同样本大小与不同维度能够对比:八C八CPRIAL(C) = 100EIIS-C-EIIC-EIIS-CIIPRIAL是一个与ESE相

18、联系的样本估il Mo II"算结果为100时表示可选择的估计值没 有估计误差，当计算结果为0时表示该估计值没有改进估计效果。得到小于0的结果表示该 估计值的作用效果比普通的样本协方差矩阵的要差。而C我们用"来代替，S*表示具有最小平均残差平方和的协方差矩阵且具有与样本协 方差矩阵相同的特征向量。那么，可以得到以下的误差估算方法：the sample eigenbasis percentage improvement m a-erage loss (SEPRIAL):SEPRIAL(C)二“ eiis-s*ii2-eiic-s*ii2=100EIIS-S*!22.4.2作用

19、效果的测左(performance)第二类的评价标准成为作用效果，衡量的是协方差矩阵在运用时对于使用效果的度量, 如：在投资组合优化中，一个表现良好的协方差矩阵能够使投资组合在一左的期望收益率下 得到最小的方差。也就是说不同的应用的评价结果可能会有差別。ESE在这类标准下并不会 引起很大的重视，可以作为应用从属的表现评价。2.4.3评价总结对于两种类别的评价标准，哪一类的评判效果更好是很难左义的。评价的重要性在于哪 一类评价标准在使用时更加贴合于我们进行协方差矩阵估计的目的。3. 协方差矩阵的估计方法3.1样本协方差矩阵估计法3. 1. 1估计方法的介绍样本协方差矩阵就是根据收集的数据汁算岀样

20、本均值，样本方差，样本协方差。其结果 很大程度上依赖收集得到的数据。然后通过样本观测值可以计算得岀各个维度之间的协方 差，得岀协方差矩阵。3.1.2样本协方差矩阵存在的问题样本协方差矩阵是一个标准的估计总体协方差的方法。优点在于计算简单、快速，且当 样本观测值趋向于无穷多时，估计量也就收敛于总体协方差矩阵。而不足在于，当维数的大 小与观测值具有相同的数量，那么得到的样本协方差矩阵的特征值会有很打的误差。性态值 (最大特征值与最小特征值的比值)会得到过大的结果，同时矩阵的逆也不稳泄。3. 2 garch模型估计法3. 2. 1介绍自从Engl亡(1982)提出arch模型分析时间序列的异方差性以

21、后，波勒斯列夫 T.Bollerslev(1986)又提出了 garch模型，garcli模型是一个专门针对金融数据所量体订做的回 归模型，除去和普通回归模型相同的之处，garch对误差的方差进行了进一步的建模。特別 适用于波动性的分析和预测，这样的分析对投资者的决策能起到非常重要的指导性作用，英 意义很多时候超过了对数值本身的分析和预测。对于一个时间序列X，根据其历史数据可以通过garch模型对其收益率的波动性进行估 计。因为股票收益率序列具有异方差性，随机误差项受到许多因素的影响，使得运用收益率 序列估计或者回归具有很大的偏差。而garch模型是一个对于条件异方差有显著作用的回归 预测模型

22、。Bollerslev(1986)通过在模型中引入条件方差的滞后值对arch模型进行了推广，目的 是为了避免arch(p)由Engle(1982)提出中存在的滞后期数太长的问题。因此，广义的arch 或garch (p. g)泄义为：条件方差是条件均值方程的残差平方项的p期滞后值和条件方差的 q期滞后值的线性组合。其形式如下：叶=厂=乞0伫+1x+ki=lf=l条件方差的当期值h是常数项K、条件均值方程的残差平方的一些前期滞后值£和条件 方差h的前期值的函数。即，其中的爪、hr等可以通过迭代得出。由garch模型的特点，运用garch模型可以预测出资产在时期t的收益率方差，也就能 计

23、算岀各个资产的之间的协方差过程如下：X表示为第一个资产P的随机变量，Y表示为第二个资产P：的随机变量，令Z二X+Y则,DZ二DX+DY+2cov (X, Y)DZ,DX,DY都可以通过garch模型估计得出，那么协方差矩阵就能得岀。对于更多的资 产，采取类似的作法可以得多髙维协方差矩阵。3. 2. 2优点garch模型是一个专门针对金融数据所量体订做的回归模型，除去和普通回归模型相冋 的之处，garch对误差的方差进行了进一步的建模。特别适用于波动性的分析和预测，这样 的分析对投资者的决策能起到非常重要的指导性作用，其意义很多时候超过了对数值本身的 分析和预测。这篇文章主要是协方差矩阵的估计，

24、garch在资产收益率波动性的预测作用可以帮助我 们得出协方差矩阵3. 3资产选取法3. 3. 1介绍收益率协方差矩阵由各个股票收益率协方差组成，英维数由选取的股票数量来决左。但 现实中，由于股票市场的股票数虽:数以千计。要构建涵盖所有股票的投资组合需要的资金的 十分庞大的。我们知道，投资组合的市场性风险能够通过足够分散的投资消除。股票市场中 同一板块中的股票具有髙度相关性，就是常见的同涨同跌现象。根据市场的情况，有股票对 于市场的敏感程度大于英他股票。这类型的股票涵盖了大部分的市场信息或者行业信息。挑 选这些股票能够使投资组合过代表性。能够大幅度减少维度。将各个板块的股票先进行一次有效性的分

25、析，对选择的股票进行协方差矩阵的估计。然 后挑选岀在那些沿主成分变动幅度大的股票，直接从这些股票中进行投资组合的构建。其波 动幅度为&的方差:D© ）=九;而第t只股票对&的方差贡献率为y it 2 （t =1,2，n ）, 设yn2>yi22>.>Yin2-,即某个股票的重要程度可以用以下式子计算：<P = Vpca，Dpcpca其中'pca是包含主成分对应的特征向量的再从p中选取数值较 大的部分对应的股票。13. 3. 2优势能够有效地选取出市场上具有代表性的股票。通过观察这些股票的变动便能够大致推断 岀相应版块的收益率变化。及时作

26、岀相应的仓位调整，较少损失。英次，这还有能运用于股票的分级遴选。由于股票市场上的股票价格千差万别，部分股 票的股价十分髙，单单一手便将一个投资者的大部分资金的占用。通过选取能够代表相应版 块上的股票，但同时个股价格不至于过高。这样的股票成为投资者投资组合的候选股票，不 仅具有代表性，而且可以令投资组合足够分散。由于稱力的问题，本文未给出相关的实证研 究结果。3. 4估计结果3. 4.1说明3. 4. 1.1数据收集由于设备与时间的问题本文采用“上证50”中的股票进行协方差矩阵估汁，用期间2012 年1月1日至2016年12月31日的日收盘价数据进行模拟。剔除交易数拯过少的股票，最 后有46支股

27、票的1170个交易日的收盘价数据进行协方差矩阵的估计。3.4. 1.2误差来源误差可能会产生在（1）时间序列的不平滑性，尽管平滑性处理之后还是会存在不平滑 性。（2）数据观测值样本容量过少，因为部分股票上市时间较后。（3）数据讣算的结果的 精度问题。3.4.2对比3. 4. 2. 1第一类标准对比釆用上文的计算方法:SEPRIAL(C)二“ Ellf S*-EllC =100；EIIS S*3.4.2.2第二类标准对比本文主要是进行投资组合的构建所以最终的评价方法就是投资组合的表现优度，一般的 评价方法为：1）夏普比率：SharpRatio =E(RJ-R,Rf为无风险利率E（RP）为投资组合

28、的期望收益率op为投资组合的标准差（夏普指数代表投资人每多承担一分风险，可以拿到几分超额报酬；若为正值，代表基 金报酬率高过波动风险：若为负值，代表基金操作风险大过于报酬率。这样一来，每个投资 组合都可以汁算Sharpe Ratio,即投资回报与多冒风险的比例，这个比例越髙,投资组合越佳J2）在险值大小：VaR从统计的意义上讲，本身是个数字，是指而临“正常”的市场波 动时"处于风险状态的价值”。即在给左的置信水平和一宦的持有期限内，预期的最大损失 量（可以是绝对值，也可以是相对值）3）实际资产方差的大小:4）实际平均绝对离差:3. 5协方差矩阵估计量的提髙3. 5.1 garch模型

29、协方差矩阵估计量的优化3. 5. 1. 1 说明特征值在矩阵当中具有相当重要的作用。而在协方差矩阵中，特征值的分布体现了协方 差矩阵的各种性质与估计优度。协方差矩阵估计量的正泄性十分重要，决左了矩阵是否可逆, 这对于投资组合的构建至关重要。一半来说协方差矩阵都是半正泄的，也就是收可能存在特 征值中有0的情况，这时候需要进行协方差矩阵的主成分提取匚3. 5. 1. 2 算法得到的协方差矩阵若是半正左的需要进行主成分提取。将协方差矩阵估计呈:°进行特 征值分解Q =，其中£ =G，§2，"£)t, r二1,2,., n为特征向量矩阵。这样就可以达到

30、主成分提取的效果。用主成分作为基底将样本观测值表达出来，达到去噪的效果。3. 5. 2选取法对于协方差矩阵估计量的作用3. 5. 2. 1 说明在一个市场中，或者这里某一股票板块中，某只个股在苴版块中扮演着重要的角色。也 就是说该股票可能已经足够代表着整个板块中苴他肢票，其已经表现了整个版块的大部分信 息，增加该板块下的英他个股可能会引起协方差矩阵的估讣误差。而研究表明，某股票是否 包含了板块中主要的信息，表现在起特征值的大小上。同理，本文采用上证50指数中的股票进行模拟，在其中找出能够对指数起到主要影响 的股票进行投资组合的构建，主要作用在于对比两种协方差矩阵估计的方法能否得到有效的 估汁值

31、。英中协方差矩阵很重要的性质是正定性，假如估讣得岀的协方差矩阵的估计是非正 定的，可以通主成分提取来实现去噪声优化协方差矩阵估计量。3. 5. 2. 2 算法分析股票对整个版块或者整个指数整体的涨跌的影响力大小,选取出其中具有代表性的 股票作为股票池，以这一股票池进行投资组合的构建。3. 6其他估计方法这里列外简单介绍英他协方差矩阵的估计方法：DVA-FA法：通过一些算法成功减少了误差。比起普通的因素模型具有更优的效果。缩减法：= d-A)S + 2T亍是缩减目标，是通过其他方法或者特泄的假定 得出。这个模型的好处是只有一个未知数几。通过求得金与亍最优的线性组合形成新的协 方差矩阵估计量。谱更

32、正法：样本协方差矩阵与总体协方差矩阵之间的特征值分布有差别。谱更正方法 通过改善样本协方差矩阵的特征值分布形成协方差矩阵估计量，比起样本协方差矩阵具有更 优的效果。34实际操作检验4. 1数据来源与处理由于设备与时间问题，本文采用的是上证50指数中的46支股票作为估计样本，英中有4支股票由于上市时间较晚，出现样本数据过少，影响整体的观测值有效性，故剔除。收集到46支股票于2011年1月至2016年12月31日的上证50中50支股票后复权处 理之后的日收盘价经过样本数据的处理，将各个股票样本根据时间排列，选取后而开始的 1170个交易日进行收益率的估算。由于这样的选取会使数据产生较大的误差，作者

33、在使用 之前进行了数据平滑化处理，减少一立的误差。4. 2算法操作4. 2.1样本协方差矩阵估计本文计算均在matlab下进行。进行数据的导入之后，整理好各个股票收盘价的样本观 测值，如上，用平滑处理后1170个交易日的收盘价的数字特征，包括样本均值，样本方差, 可以得到样本协方差矩阵4.2.2 Garch协方差矩阵估计通过matlab里的garch自回归模型进行样本的方差估讣，并预测岀各个时间序列的10 个时期的预测值，再去这10个预测值得均值作为时间序列下一时期的方差估计值。那么两个时间序列之间的协方差可以通过以下算法完成：Z;, =O.5X,+O.5X;Z”由X, Xj组合而成DZ =O

34、.25DX, +O.25DX, +0.5Cov(X.,Xf)则有Cov(X.,X;)=2x(DZ. -O.25DX, -O.25DX.)估计得出协方差矩阵便可以进行投资组合的构建。4. 3结果分析4. 3.1估计结果说明4. 3. 1.1样本协方差矩阵估计值用样本数据求解相关的数字特征，得出的协方差矩阵表现为一个正肚矩阵，可以得出有效的投资组合前沿。对估计量进行估计效果测评，得到如下结果：4. 3. 1. 2 Garch协方差矩阵估计值用股票时间序列进行估计得出的协方差矩阵的结果，并不能宜接得出有效的投资组合前 沿。需要对协方差矩阵估计量进行主成分提取，进行进一步优化。4. 3. 2主成分提取

35、结果分析先对协方差矩阵估计量进行主成分分析，从分析结果可以得出该估计量的特征值中，涵 盖了 90%信息的部分，对这部分特征值提取，取其对应的特征向量构成的矩阵作为协方差 矩阵估计量的线性变换的运算矩阵。通过运算得出用新基底，也就是主成分基底，表示的样 本观测值，有效地去噪声。进行主成分提取后，得到了新的协方差矩阵，根据新的主成分数 搦与协方差矩阵进行投资组合前沿的求解。4. 3. 2.1样本协方差矩阵通过主成分分析，发现前31个特征值涵盖了超过95%的信息。那么通过对这31个主 成份进行提取，对股票收益率观测值进行去噪处理。也就是在一个新的基底下体现出股票样 本数据，可以得出最能表现股票价格的

36、样本矩阵。再用新的数据进行协方差矩阵的估计。特征值 差值 贡献率 积累贡献率0. 001526376 0. 00105617 24. 53437499 24. 534374990. 0004702068. 88174E-05 7. 557906974 32. 092281960. 0003813886. 90749E-056. 130290222 38. 222572180. 0003123141. 82479E-05 5. 020007519 43. 24257970. 0002940661. 83896E-054. 72669856747. 969278270. 0002756764. 6

37、8493E-054. 431110962 52. 400389230.0002288272.28888E-05 3.67807353 56. 078462760. 0002059388. 35542E-063. 310167444 59. 38863020.0001975835.94781E-06 3.17586565 62. 564495850. 0001916352. 74972E-05 3. 080262824 65. 644758680. 0001641388. 96244E-062. 63828375468. 283042430. 0001551751. 05244E-052. 49

38、4224857 70. 777267290. 0001446511. 14179E-052. 32505899673. 102326290. 000133233 1. 9162E-05 2. 243858510.0001140716.44781E-071.833530091 77. 07738860. 0001134261. 99364E-061. 823166132 78. 900554730. 000111432 1. 2889E-05 1.79112113180. 691675879. 85433E-052. 64263E-061. 583947844 82.

39、275623719. 59007E-055. 28934E-06 1. 541471189 83. 81709499.06114E-055.63117E-06 1.4564524 85.27354738. 49802E-059. 22519E-061. 365939143 86. 639486447. 5755E-05 4. 42303E-06 1. 217656968 87. 857143417. 1332E-05 7. 26805E-061. 003706356. 40639E-052. 78632E-06 1. 02973908 90. 033445436. 1

40、2776E-054.08079E-06 0.98495286 91. 018398295. 71968E-054. 96417E-060. 91935987791. 937758175. 22327E-058. 50375E-07 0. 83956768892. 777325865. 13823E-053. 84842E-060. 825899093 93. 603224954. 75339E-051. 79703E-060. 764041092 94. 367266044. 57368E-056. 43612E-060. 73515624495. 102422284. 3. 2. 2 Gar

41、ch协方差矩阵估计值通过主成分分析，发现前20个特征值对于信息的贡献率已超过95%于是，提取前20 的特征值作为主成分，对股票收益率观测值进行去噪处理。再用新的数据进行协方差矩阵的 估计。特征值 差值贡献率积累贡献率0.0099274490.00755514151.4545652451.454565240.0023723080.00076052412.2958139 63.750379140. 0016117840. 0008850758. 353972827 72. 104351970. 0007267090. 000190813 3. 766576882 75. 870928850. 00

42、05358968. 38432E-052. 777583465 78. 648512310. 0004520535. 14346E-052. 343018959 80. 991531270. 0004006191. 65472E-052. 076430145 83. 067961420.0003840717. 24186E-051. 99066481185. 058626230. 0003116532. 96375E-05 1. 615314989 86. 673941220. 0002820156. 01488E-05 1. 461702197 88. 135643410. 00022186

43、61. 23283E-051. 149947174 89. 285590590. 0002095381. 91269E-051. 086048752 90. 371639340. 0001904112. 71985E-050. 986912677 91. 358552020. 0001632131. 60909E-050. 84594116 92. 204493180. 0001471221. 97059E-050. 762541032 92. 967034210.0001274161.4632E-05 0.66040414793. 627438360. 0001127844. 21984E-

44、060. 584565683 94. 212004040. 000108564 3. 30726E-060. 56269400694. 774698050. 0001052571. 36508E-050. 54555226695. 320250314. 4. 2. 3提取法对上证50的收益率矩阵进行特征值分解，按照3.3.1的选取方法，从上证50中选 岀对整个指数波动有较大影响的股票作为股票池，进行协方差矩阵的估计，再进行投资 前沿组合分析。（1）对样本协方差矩阵估计量进行提取根据样本协方差矩阵估讣虽分析，发现其中25支股票的p值至少是其他的两倍。 于是提取了这25支股票作为股票池。(2)对Garch协方差矩阵估计量进行提取根据Garch协方差矩阵估il量分析，其中31支股票的p值至少是其他的两倍。于 是提取了这31支股票作为股票池。(3)提取共有部分结合(1) (2)中提取的结果，对英中共有的部分进行提取，最终有21支股票作为股票池。3RM iStandard Dwaticn)1110Mcan-Vartxxe Efficient Frcrtw9 8 7 6 5 cbra PQEdxUJ4.4对比分析估计量期望收益率期望方差夏普比率六个协方差估计值的