![偏微分方程数值解试题参考答案_第1页](http://file2.renrendoc.com/fileroot_temp3/2021-11/12/81b63330-0866-41ae-9097-c041b87396de/81b63330-0866-41ae-9097-c041b87396de1.gif)
![偏微分方程数值解试题参考答案_第2页](http://file2.renrendoc.com/fileroot_temp3/2021-11/12/81b63330-0866-41ae-9097-c041b87396de/81b63330-0866-41ae-9097-c041b87396de2.gif)
![偏微分方程数值解试题参考答案_第3页](http://file2.renrendoc.com/fileroot_temp3/2021-11/12/81b63330-0866-41ae-9097-c041b87396de/81b63330-0866-41ae-9097-c041b87396de3.gif)
![偏微分方程数值解试题参考答案_第4页](http://file2.renrendoc.com/fileroot_temp3/2021-11/12/81b63330-0866-41ae-9097-c041b87396de/81b63330-0866-41ae-9097-c041b87396de4.gif)
![偏微分方程数值解试题参考答案_第5页](http://file2.renrendoc.com/fileroot_temp3/2021-11/12/81b63330-0866-41ae-9097-c041b87396de/81b63330-0866-41ae-9097-c041b87396de5.gif)
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、偏微分方程数值解1一( 10分)、设矩阵A对称正定,定义J(x)=?(Ax,x)-(b,x) (x Rn),证明下列两个问题等价:(1)求x°ERn使J(x°)=mi nJ (x); (2)求下列方程组的解:Ax = b xF解:设X。 Rn是J(x)的最小值点,对于任意的Rn,令2'()= J(x0 - .;“x) = J(x0 ) - .;,( Ax。-b, x) (Ax, x),(3 分)2因此'=0是;:(')的极小值点,(0)=0,即对于任意的xRn,(Ax°-b,x)=O,特别取 x 二 Ax。-b,则有(Ax。一b,Ax。-b
2、) =|Ax° - b = 0,得到 Ax。=b.(3 分)反之,若 XoRn满足 Ax。二b ,则对于任意的x ,1J(x。 x)二(1) = (0) (Ax,x) J(xo),因此 X。是 J(x)的最小值点.(4 分)2评分标准:(1)的表示式3分,每问3分,推理逻辑性1分x (a, b).ddu(10分)、对于两点边值问题:Lu(p ) qu 二idxdxu(a) =0,u(b) =0其中 p C1(a,b), p(x) man P(x)二 Pmin0,qc(a,b), q 一 Q f H 0(a,b)建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式:求泛函极小的Ritz形式和
3、Galerki n形式的变分方程。解:设H;=u|uH 1(a,b), u(au(b0为求解函数空间,检验函数空间.取(3分)bfvdx 二 f (v), _ vaH0(a,b)v己H;(a,b),乘方程两端,积分应用分部积分得到 a(u,v)= £ 屯业 quv)dx 二a dx dx令J(u) =1 a(u,u)(f,u)=丄a 卩(岂)2 +qu? fudx,则变分问题的Ritz形式为22 dx求 u H o(a, b),使 J(u ) = min, J(u) (4 分)u田0评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,.2. 2:U:- U-2-
4、 2x :yU 丨 G = 0(20分)、对于边值问题=-1,(x,y) G =(0,1) (0,1)(1) 建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式),推导截 断误差的阶。(2)取h=0/3,求边值问题的数值解(写出对应的方程组的矩阵形式,并求解)(3)就取h M/N的一般情况写出对应方程组的系数矩阵(用分块矩阵表示) 解:(1)区域离散Xj = jh, yk =kh,差分格式为U j 1,k _2u jk U j 4,kU j,k 4 _ 2Ujk Uj,k 11八)h1h1(5 八)h2 幷4厂4jk O(h4),其阶为 O(h2) (3 分)应用Tayloy展开得到,截
5、断误差为一岂jk12 ex&y 未知量为U =(Uii,Ui2,U2i,U22)T,矩阵形式为AU =F,其中 评分标准:第1冋8分,格式4分,截断误差4.(2) 7分,方程4分,解3分.(3)5分,形 式3分,B的形式2分1解为 U (1,1,1,1)T18'4-1-10 'V-140-111,F =_-104-191-1-14 jA =(4分)'B -I'*4-1"矩阵为-1 B -I+ +,B =-14-1+ +<T B<T 4(3分)(5分)产2CU U c“ C 丄 T=a , 0 <x c1,0 <t ET;
6、t;:x四(20分)、对于初边值问题<u(x,0)=®(x), 0cxc1u(0,t) =u(1,t) =0,0 兰 t 兰T(1) 建立向前差分格式(最简显格式),推导截断误差的主项,指出误差阶;(2) 写出差分格式的矩阵形式(即AU k1二BU k .F的形式),用矩阵方法分析格式的稳定性(3) 建立六点加权格式,写出计算形式,应用 Fourier方法(分离变量法)分析格式的稳定性。k 1 k U j -Uj12k解: 区域离散,格式为 j勺一很山,(5分)th应用Tay l o展开得到,误.2-4也(孚):OC2 h4),阶为12:x20( h )(3分) A =E, B
7、 =diagr,12r,r,(4分)稳定条件为r乞1/2(3分)k 1 k格式为-二g、:(Uk1 (1)u:),(3 分)£ h11 1当格式恒稳定,当八:-,稳定条件为r (2分)221-20(2分)(4分)(2分)放大矩阵为G =-2arsin ahi 1,特征方程为|- G |=2arsin : hi-1-1n1njnn五( 10 分)、逼近 竺 + a 空 =0的三层差分格式 + a 孜 次2h分析格式的稳定性解:计算形式为口;十=-ar(u;卅-u;)+u;此为三层格式,化为两层格式.令v= u;,则有厂 nd1,nn、.nUj = -ar(Ur -Uj)+Vjn十nVj
8、 =Uj令u; =w;eicih,v; =w;eicjh,代入格式,消去公因子,得到/ n十、 W-i'-2iar si nh 1 YWnn +凹2丿<10丿就2- 2ar s in : h.4-4a2r2si n2:h=k +2arsin hi 丸 _1 = 0 ,人 2 =i, 2'i'2 =1,max|1 |,| 2 |P1的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根: =4 -4a2r2sin2一0.考虑到的变化,稳定条件为|ar |乞1(2分)| G = it sin2 kh +1 4 4(1 coskh) +4卩2(1 coskh)2六(10分)、建立波
9、动方程;:t2=a2马 的初值问题的显格式,推导截断误差.x解:差分格式为卯一纱严/丄詔,th(5分)截断误差为112-a2 4 h2+O(i4+h4),阶为 O(i2+h2) l°x 丿 j(5分)七( 10分)、对于二维抛物型方程土二a(UU)建立向后差分格式(隐格式),.t : x: y指出截断误差阶,分析格式的稳定性。n 1 n解:差分格式为Ujk -Ujk务烏吠1j1)t h(4分)误差阶为0(h2) (3分)放大因子为GC ,:,) =1 4rsin24r sin2 乜2 2,恒稳定.(3分)八(10分)、分析差分格式k 1 kUj UjTkk kUj 1 -2Uj Uj4 二 ah2kkUj 1 -山42hkcu j (a 0)的稳定性 解:写出计算形式,忽略低阶项2分,写出放大因子3分2 2 2 =九(1 coskh)(1 +coskh) +1 4屯(1 coskh) +4丛(1 coskh)2 2=1 一(1 coskh)4-4(1 coskh) - (1 coskh)(2von Neuma
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 二零二五版石油化工安全评价与隐患排查合同3篇
- 二零二五年度品牌推广活动策划与执行合同3篇
- 二零二五版工艺品展览馆建设与运营管理合同3篇
- 二零二五年度电力工程建设项目融资合同2篇
- 二零二五年度4S店汽车租赁与绿色出行倡导合同3篇
- 二零二五版房地产开发项目挂靠合作保密协议合同3篇
- 2025年度特色餐饮品牌店面全面转让合同范本2篇
- 二零二五版物业公司应急处理合同3篇
- 二零二五版数据中心建设工程施工合同2篇
- 基于2025年度区块链技术的电子劳动合同信任机制合同3篇
- 高二物理竞赛霍尔效应 课件
- 金融数学-(南京大学)
- 基于核心素养下的英语写作能力的培养策略
- 现场安全文明施工考核评分表
- 亚什兰版胶衣操作指南
- 四年级上册数学教案 6.1口算除法 人教版
- DB32-T 3129-2016适合机械化作业的单体钢架塑料大棚 技术规范-(高清现行)
- 6.农业产值与增加值核算统计报表制度(2020年)
- 人工挖孔桩施工监测监控措施
- 供应商物料质量问题赔偿协议(终端)
- 物理人教版(2019)必修第二册5.2运动的合成与分解(共19张ppt)
评论
0/150
提交评论