第4部分正交试验设方案与数据处理

1、第第4章章 正交试验设计与数据处理正交试验设计与数据处理 在生产实践中，试制新产品、改革工艺、寻求好的生产条件等，在生产实践中，试制新产品、改革工艺、寻求好的生产条件等，这些都需要做试验，而试验总是要花费时间，消耗人力、物力。因这些都需要做试验，而试验总是要花费时间，消耗人力、物力。因此，试验的次数应尽可能少。此，试验的次数应尽可能少。 全面试验：全面试验： 如如 4 个个 3 水平的因素，要做水平的因素，要做 3481 次试验；次试验； 6 个个 5 水平的因素，要做水平的因素，要做 5615625次试验。非常困难。次试验。非常困难。 能否减少试验次数，而又不影响试验效果呢？能否减少试验次数

2、，而又不影响试验效果呢？有有4.1 正交表及其用法正交表及其用法 正交表的记号：正交表的记号：l9（34）表示表示 4 个因素，每个因素取个因素，每个因素取 3 个个水平的正交表。格式如水平的正交表。格式如表表4-1所示。所示。4.1 正交表及其用法正交表及其用法 正交表记为正交表记为 ln（mk），），m 是各因素的水平，是各因素的水平，k （列数）是因（列数）是因素的个数，素的个数，n 是安排试验的次数（行数）。是安排试验的次数（行数）。 l9（34）4因素因素3水平正交试验，共做水平正交试验，共做9次试验，而全面试验要次试验，而全面试验要做做 34=81 次，减少了次，减少了72次。次。

3、 l25（56） 6因素因素5水平正交试验，共做水平正交试验，共做25次试验，而全面试验次试验，而全面试验要做要做 56=15625 次，减少了次，减少了15600次。次。 正交表的两条重要性质：正交表的两条重要性质： （1）每列中不同数字出现的次数是相等的，如）每列中不同数字出现的次数是相等的，如 l9（34），），每每列中不同的数字是列中不同的数字是1，2，3。它们各出现三次。它们各出现三次。 （2）在任意两列中，将同一行的两个数字看成有序数对时，）在任意两列中，将同一行的两个数字看成有序数对时，每种数对出现的次数是相等的，如如每种数对出现的次数是相等的，如如 l9（34），有序数对共有）

4、，有序数对共有9个：个：（1，1），（），（1，2），（），（1，3），（），（2，1），（），（2，2），（），（2，3），），（3，1），（），（3，2），（），（3，3），），它们各出现一次它们各出现一次。4.1 正交表及其用法正交表及其用法 由于正交表的性质，用它来安排试验时，各因由于正交表的性质，用它来安排试验时，各因素的各种水平是搭配均衡的。素的各种水平是搭配均衡的。 下面通过具体例子来说明如何用正交表进行试下面通过具体例子来说明如何用正交表进行试验设计。验设计。 例例4.1 某水泥厂为了提高水泥的强度，需要通过试验选择某水泥厂为了提高水泥的强度，需要通过试验选择最好的生产方案，经

5、研究，有最好的生产方案，经研究，有3个因素影响水泥的强度，这个因素影响水泥的强度，这3个因素分别为生料中矿化剂的用量、烧成温度、保温时间，个因素分别为生料中矿化剂的用量、烧成温度、保温时间，每个因素都考虑每个因素都考虑3个水平，具体情况如个水平，具体情况如表表4-2，试验的考察指，试验的考察指标 为标 为 2 8 天 的 抗 压 强 度 （天 的 抗 压 强 度 （ m p a ） ， 分 别 为） ， 分 别 为44.1,45.3,46.7,48.2,46.2,47.0,45.3,43.2,46.3。问：对这。问：对这3个因素个因素的的3个水平如何安排，才能获得最高的水泥的抗压强度个水平如何

6、安排，才能获得最高的水泥的抗压强度? 解：在这个问题中，人们关心的是水泥的抗压强度，我解：在这个问题中，人们关心的是水泥的抗压强度，我们称它为试验指标，如何安排试验才能获得最高的水泥抗压们称它为试验指标，如何安排试验才能获得最高的水泥抗压强度，这只有通过试验才能解决，这里有强度，这只有通过试验才能解决，这里有3个因素，每个因素个因素，每个因素有有3个水平，是一个个水平，是一个3因素，因素，3水平的问题，如果每个因素的每水平的问题，如果每个因素的每个水平都互相搭配着进行全面试验，必须做试验个水平都互相搭配着进行全面试验，必须做试验33=27次，我次，我们把所有可能的搭配试验编号写出，列在表们把所

7、有可能的搭配试验编号写出，列在表4-3中。中。例例4.1 进行进行27次试验要花很多时间，耗费不少人力、物力，为了减少次试验要花很多时间，耗费不少人力、物力，为了减少试验次数，但又不能影响试验的效果，因此，不能随便地减少试验，试验次数，但又不能影响试验的效果，因此，不能随便地减少试验，应当把有代表性的搭配保留下来，为此，应当把有代表性的搭配保留下来，为此，按按 l9（34）表中前）表中前3列列的的情况从情况从27个试验中选取个试验中选取9个，个，它们的序号分别为它们的序号分别为1，5，9，11，15，16，21，22，26，将这，将这9个试验按新的编号个试验按新的编号19写出来，正好是正写出来

8、，正好是正交表交表 l9（34）的前）的前3列，如列，如表表4-1所示。所示。 为了便于分析计算，把考查指标（铁水温度）列于为了便于分析计算，把考查指标（铁水温度）列于表表4-4的右的右边，做成一个新的边，做成一个新的表表4-5，利用张表进行分析计算。，利用张表进行分析计算。 从表从表4-5中的数据处理与分析，可以得出结论：各因素对考查中的数据处理与分析，可以得出结论：各因素对考查指标（抗压强度）的影响按大小次序来说应当是指标（抗压强度）的影响按大小次序来说应当是a(矿化剂用量矿化剂用量)、 b(保温时间保温时间)、 c(烧成温度烧成温度)，最好的方案应当是，最好的方案应当是a2c2b3，即：

9、，即：例例4.1 a2：矿化剂用量，：矿化剂用量， 第第2水平，水平，4%； c2：保温时间，：保温时间， 第第2水平，水平，30min； b3：烧成温度，：烧成温度， 第第3水平，水平，1450。 得出的最好方案在已经做过的得出的最好方案在已经做过的9次试验中没有出现，与它比较次试验中没有出现，与它比较接近的是第接近的是第4号试验，在第号试验，在第4号试验中只有号试验中只有烧成温度烧成温度b不是处于最好不是处于最好水平，而且烧成温度对抗压强度的影响是水平，而且烧成温度对抗压强度的影响是3个因素中最小的。从实个因素中最小的。从实际做出的结果看出际做出的结果看出第第4号试验中的抗压强度是号试验中

10、的抗压强度是48.2mpa，是，是9次试验次试验中最高的中最高的，这也说明我们找出的最好方案是符合实际的。，这也说明我们找出的最好方案是符合实际的。 为了最终确定试验方案为了最终确定试验方案a2c2b3是不是最好方案，可以按这个是不是最好方案，可以按这个方案再试验一次，若比方案再试验一次，若比4号好，作为最好结果，若比号好，作为最好结果，若比4号差，则以号差，则以4号为最佳条件。如出现后一结果，说明我们的理论分析与实践有号为最佳条件。如出现后一结果，说明我们的理论分析与实践有一定的差距，最终还是要接受实践的检验。一定的差距，最终还是要接受实践的检验。正交试验步骤归纳如下：正交试验步骤归纳如下：

11、1、确定要考核的试验指标；、确定要考核的试验指标；2、确定要考察的因素和各因素的水平；、确定要考察的因素和各因素的水平； 以上两条要实践经验来决定。以上两条要实践经验来决定。3、选用合适的正交表，一般只要正交表中的因素个数比试验要考、选用合适的正交表，一般只要正交表中的因素个数比试验要考察的因素的个数稍大或相等就行了。这样既保证了试验目的，而察的因素的个数稍大或相等就行了。这样既保证了试验目的，而试验次数又不致太多，省工省时；试验次数又不致太多，省工省时；4、试验，测定试验指标；、试验，测定试验指标；5、试验结果分析计算，得出合理的结论。、试验结果分析计算，得出合理的结论。 以上的方法以上的方

12、法直观分析法。简单、计算量小、很实用。直观分析法。简单、计算量小、很实用。 正交试验的主要分析工具是正交表，而在因素及其水平都确正交试验的主要分析工具是正交表，而在因素及其水平都确定的情况下，正交表并不是唯一的，常见的正交表见本书末定的情况下，正交表并不是唯一的，常见的正交表见本书末附表附表4。4.2 多指标的分析方法多指标的分析方法 在例在例4.1中，试验指标只有一个，考察起来比较方便，但实际中，试验指标只有一个，考察起来比较方便，但实际问题中，需要考察的指标往往不止一个，有时有两个、三个或更问题中，需要考察的指标往往不止一个，有时有两个、三个或更多。如何评价考察指标呢？多。如何评价考察指标

13、呢？两种方法两种方法。4.2.1 综合平衡法综合平衡法 通过具体的例子来加以说明。通过具体的例子来加以说明。 例例4.2 某陶瓷厂为了提高产品质量，要对生产的原料进行配某陶瓷厂为了提高产品质量，要对生产的原料进行配方试验。要检验方试验。要检验3项指标：抗压强度、落下强度和裂纹度，前两个项指标：抗压强度、落下强度和裂纹度，前两个指标越大越好，第指标越大越好，第3个指标越小越好。根据以往的经验，配方有个指标越小越好。根据以往的经验，配方有3个个重要因素：水分、粒度和碱度。它们各有重要因素：水分、粒度和碱度。它们各有3个水平，具体数据如个水平，具体数据如表表4-6所示。试进行试验分析，找出最好的配方

14、方案。所示。试进行试验分析，找出最好的配方方案。4.2.1 综合平衡法（例综合平衡法（例4.2的解）的解） 解解 3因素因素3水平，应选水平，应选l9（34）正交表来安排试验，将）正交表来安排试验，将3个因个因素依次放在前素依次放在前3列（第列（第4列不要），得出一张具体的试验方案表，列不要），得出一张具体的试验方案表，测出需要检验的指标结果，列于测出需要检验的指标结果，列于表表4-7(a)、(b)、(c)中，然后用直观中，然后用直观分析法对每个指标分别进行计算分析。分析法对每个指标分别进行计算分析。 将将3 个指标分别进行计算分析后，得出个指标分别进行计算分析后，得出3个好的方案：对抗压个好

15、的方案：对抗压强度是强度是a2b3c1；对落下强度是；对落下强度是a3b3c2；对裂纹度是；对裂纹度是a2b3c1，这，这3个个方案不完全相同，对一个指标是好方案，而对另一个指标却不一方案不完全相同，对一个指标是好方案，而对另一个指标却不一定是好方案，如何找出对各个指标都较好的一个共同方案呢？定是好方案，如何找出对各个指标都较好的一个共同方案呢？ 综合分析，将指标随因素水平变化的情况用图形表示出来，综合分析，将指标随因素水平变化的情况用图形表示出来，如如图图4.0所示（为了看得清楚，将各点用直线连接起来，实际上并所示（为了看得清楚，将各点用直线连接起来，实际上并不一定是直线。不一定是直线。 把

16、图把图4-1和表和表4-7结合起来分析，看每一个因素对各指标的影响。结合起来分析，看每一个因素对各指标的影响。图图4.010.19.011.29.26.814.312.78.39.38.63.15.91.13.313.36.98.32.42.03.71.73.02.71.71.72.73.00.02.04.06.08.010.012.014.016.07894681.11.31.5水分水分 粒度粒度 碱度碱度-抗压强度抗压强度落下强度落下强度裂纹度裂纹度4.2.1 综合平衡法（例综合平衡法（例4.2的解的综合分析）的解的综合分析）（1）粒度）粒度b对抗压强度和落下强度来讲，对抗压强度和落下强度

17、来讲，极差最大极差最大，是最大的影，是最大的影响因素。从响因素。从图图4.0中看出三个指标中看出三个指标b均取均取8为最好为最好即取即取b3。（2）碱度）碱度c，极差不大极差不大，次要因素。由，次要因素。由图图4.0分析，取分析，取1.1时两个指时两个指标好，标好，1个指标稍差，对三个指标综合考虑，个指标稍差，对三个指标综合考虑，c取取1.1即取即取c1。（3）水分）水分a，对，对裂纹度影响极差最大裂纹度影响极差最大，a取取9最好，由最好，由图图4.0综合考综合考虑虑a取取9即取即取a2。 通过各因素对各指标影响的综合分析，得出较好的试验方案通过各因素对各指标影响的综合分析，得出较好的试验方案

18、是：是： b3：粒度取第：粒度取第3水平，水平，8； c1：碱度取第：碱度取第1水平，水平，1.1； a2：水分取第：水分取第2水平，水平，9。4.2.2 综合评分法综合评分法 对多指标的问题，真正做到好的综合平衡，有时很困难，这对多指标的问题，真正做到好的综合平衡，有时很困难，这是综合平衡法的缺点。综合评分法可以克服这个缺点。是综合平衡法的缺点。综合评分法可以克服这个缺点。 例例4.3 某厂生产一种化工产品，需要检验两个指标：核酸纯某厂生产一种化工产品，需要检验两个指标：核酸纯度和回收率，这两个指标都是越大越好。有影响的因素有度和回收率，这两个指标都是越大越好。有影响的因素有4个，各个，各有

19、有3个水平，具体情况如个水平，具体情况如表表4-8所示。试通过试验分析出较好方案，所示。试通过试验分析出较好方案，使产品的核酸含量和回收率都有提高。使产品的核酸含量和回收率都有提高。 解解 这是这是4因素因素3水平的试验，可以选用正交表水平的试验，可以选用正交表l9（34）安排出安排出试验方案（这里有试验方案（这里有4个因素，正好将表排满），进行试验，将得出个因素，正好将表排满），进行试验，将得出的结果列入的结果列入表表4-9中。中。 综合评分法是根据各个指标的重要性的不同，按照得出的试验综合评分法是根据各个指标的重要性的不同，按照得出的试验结果综合分析，给每一个试验评出一个分数，作为这个试验

20、的总指结果综合分析，给每一个试验评出一个分数，作为这个试验的总指标。根据这个总指标作进一步的分析。标。根据这个总指标作进一步的分析。4.2.2 综合评分法（例综合评分法（例4.3的解）的解） 这个方法的关键是如何评分。这个方法的关键是如何评分。 在这个试验中，两个指标的重要性是不同的，根据实践经验知在这个试验中，两个指标的重要性是不同的，根据实践经验知道，纯度的重要性大于回收率，从实际分析，可以认为纯度是回收道，纯度的重要性大于回收率，从实际分析，可以认为纯度是回收率的率的4倍。也就是倍。也就是纯度占权数为纯度占权数为4，回收率占权数为，回收率占权数为1，按这个权数，按这个权数给出这个试验的总

21、分为：给出这个试验的总分为：总分总分4纯度纯度1回收率回收率 由上式计算出这个试验的总分数，列于由上式计算出这个试验的总分数，列于表表4-9的最右边，再根的最右边，再根据这个分数，用直观分析法进行分析。据这个分数，用直观分析法进行分析。 从表从表4-9看出，看出，a、d两个因素的极差都很大，是对试验影响两个因素的极差都很大，是对试验影响很大的两个因素，很大的两个因素，a1、d1为好；为好；b因素的极差比因素的极差比a、d的极差小，的极差小，对试验的影响比对试验的影响比a、d都小；都小；b因素取因素取b3为好；为好；c因素的极差最小，因素的极差最小，影响最小，影响最小，c取取c2为好。综合考虑，

22、最好的试验方案应当是为好。综合考虑，最好的试验方案应当是a1b3c2d1，按影响大小次序排列为：，按影响大小次序排列为：4.2.2 综合评分法（例综合评分法（例4.3的解）的解）a1：时间，：时间， 25小时；小时；d1：加水量，：加水量， 1：6；b3：料中核酸含量，：料中核酸含量，6.0；c2：ph值，值， 6.0。 可以看出，这里分析出来的最好方案，在已经做过的可以看出，这里分析出来的最好方案，在已经做过的9个试验个试验中是没有的，可以按这个方案再试验一次，中是没有的，可以按这个方案再试验一次，看能不能得出比第看能不能得出比第1号号试验更好的结果试验更好的结果，从而确定出真正最好的试验方

23、案。，从而确定出真正最好的试验方案。 综合评分法是将多指标的问题，通过加权计算总分的方法化综合评分法是将多指标的问题，通过加权计算总分的方法化成一个指标的问题，这样对结果的分析计算都比较方便、简单。成一个指标的问题，这样对结果的分析计算都比较方便、简单。但如何合理地评分，是最关键的问题。这一点只能依据实际经验但如何合理地评分，是最关键的问题。这一点只能依据实际经验来解决，单纯从数学上是无法解决的。来解决，单纯从数学上是无法解决的。4.3 混合水平的正交试验设计混合水平的正交试验设计 在实际情况中，有时做试验时，每个因素的水平数是不同的在实际情况中，有时做试验时，每个因素的水平数是不同的混合水平

24、混合水平。两种解决方案。两种解决方案。4.3.1 混合水平正交试验设计混合水平正交试验设计 混合水平正交表就是各因素的水平数不完全相等的正交表。混合水平正交表就是各因素的水平数不完全相等的正交表。这种正交表有好多种。比如这种正交表有好多种。比如 l8（4124）就是一个混合水平的正交就是一个混合水平的正交表，如表，如表表4-10所示。所示。 其它混合水平的正交表还有很多，见附表所示，它们都有上其它混合水平的正交表还有很多，见附表所示，它们都有上面所说的两点。面所说的两点。 例例4.4 某农科站进行品种试验，具体试验因素及水平如某农科站进行品种试验，具体试验因素及水平如表表4-11所示。试验指标

25、是产量，数值越大越好。试用混合正交表所示。试验指标是产量，数值越大越好。试用混合正交表安排试验，找出最好的试验方案。安排试验，找出最好的试验方案。例例 4.4 的的 解解解解 这个问题中有这个问题中有4个因素，个因素，1个是个是4水平的，水平的，3个是个是2水平的，正好水平的，正好可以选用混合正交表可以选用混合正交表 l8（4123），因素），因素a为为4水平，放在第水平，放在第1列，列，其余其余3个个2水平的因素水平的因素b、c、d顺序放在顺序放在2、3、4列上，第列上，第5列不用。列不用。按这个方案进行试验，将得出的试验结果放在正交表的右边，然按这个方案进行试验，将得出的试验结果放在正交表

26、的右边，然后进行分析，见后进行分析，见表表4-12。 经分析得最佳方案为：经分析得最佳方案为： a2b2c2d2。因为，从极差分析可知，。因为，从极差分析可知，因素因素d影响很小，这个方案影响很小，这个方案与第与第4号试验结果号试验结果a2b2c2d1很接近很接近，从，从试验试验 结果看出，第结果看出，第4号试验是号试验是8个试验中产量最高的，因此完全有个试验中产量最高的，因此完全有理由取第理由取第4号试验作为最好的试验方案加以推广。号试验作为最好的试验方案加以推广。4.3.2 拟水平法拟水平法例例4.5 今有某一试验，试验指标只有一个，它的数值越小越好，今有某一试验，试验指标只有一个，它的数

27、值越小越好，这个试验有这个试验有4个因素个因素a、b、c、d，其中因素，其中因素c是是2水平的，其余水平的，其余3个因素都是个因素都是3水平的，具体数值如水平的，具体数值如表表4-13所示。试安排试验，并对所示。试安排试验，并对试验结果进行分析，找出最好的试验方案。试验结果进行分析，找出最好的试验方案。 解解 ： 4因素试验，因素试验，c为为2个水平，个水平，a、b、d为为3个水平。没有个水平。没有合适的正交表。设想：假若合适的正交表。设想：假若c有有3个水平，就变成个水平，就变成4因素因素3水平的问水平的问题了。如何将题了。如何将c变成变成3水平的因素呢？从水平的因素呢？从c中的中的1和和2

28、水平中选一个水平中选一个水平让它重复一次作为第水平让它重复一次作为第3水平，这就叫虚拟水平。取哪一个水水平，这就叫虚拟水平。取哪一个水平作为第平作为第3水平呢？一般说，都是要根据实际经验，选取一个较水平呢？一般说，都是要根据实际经验，选取一个较好的水平。比如，如果认为第好的水平。比如，如果认为第2水平比第水平比第1水平好，就选第水平好，就选第2水平水平作为第作为第3水平。这样因素水平水平。这样因素水平表表4-13就变为表就变为表4-14的样子，它比的样子，它比表表4-13多了一个虚拟的第多了一个虚拟的第3水平。水平。例例4. 5 的的 解解 这样就变成了一个这样就变成了一个4因素因素3水平的试

29、验，可以按水平的试验，可以按 l9（34）表安）表安排试验，并对正交表进行重构，测出结果，并进行分析，见排试验，并对正交表进行重构，测出结果，并进行分析，见表表4-15所示。所示。 从表从表4-15的极差可以看出，因素的极差可以看出，因素d对试验的影响最大，取第对试验的影响最大，取第3水平最好；其次是因素水平最好；其次是因素a，取第，取第3水平为好；再者是因素水平为好；再者是因素b，取第，取第1水平为好；因素水平为好；因素c影响最小，取第影响最小，取第1水平为好。最优方案为：水平为好。最优方案为：a3b1d3c1。这个方案在。这个方案在9个试验中没有。从试验结果看个试验中没有。从试验结果看8号

30、试验为号试验为最好。这个试验只有最好。这个试验只有b不是处在最好情况，而因素不是处在最好情况，而因素b的影响是最小的影响是最小的。可以按这个方案再试验一次，看是否会得出比第的。可以按这个方案再试验一次，看是否会得出比第8号试验更好号试验更好的结果，从而确定出真正的最优方案。的结果，从而确定出真正的最优方案。4.4 有交互作用的正交试验设计有交互作用的正交试验设计.:.:;baba记记为为因因素素的的交交互互作作用用各各因因素素联联合合起起作作用用因因素素如如各各因因素素各各自自独独立立起起作作用用多多因因素素试试验验例例4.6 有有4块试验田，土质情况基本一样，种植同样的作物。现块试验田，土质

31、情况基本一样，种植同样的作物。现将氮肥、磷肥采用不同的方式分别加在将氮肥、磷肥采用不同的方式分别加在4块地里，收获后算出平均块地里，收获后算出平均亩产，记在亩产，记在表表4-16中。中。氮肥、磷肥交互作用的效果氮肥、磷肥的总效果（只加氮肥、磷肥交互作用的效果氮肥、磷肥的总效果（只加氮肥的效果只加磷肥的效果）氮肥的效果只加磷肥的效果） 在多因素的试验中，交互作用影响的大小参照实际经验。如在多因素的试验中，交互作用影响的大小参照实际经验。如果确有把握认定交互作用的影响很小，就可以忽略不计；如果不果确有把握认定交互作用的影响很小，就可以忽略不计；如果不能确认交互作用的影响很小，就应该通过试验分析交互

32、作用的大能确认交互作用的影响很小，就应该通过试验分析交互作用的大小。小。4.4.1 交互作用表交互作用表 下面介绍交互作用表和它的用法，下面介绍交互作用表和它的用法，表表4-17就是正交表就是正交表 l8（27）所对应的交互作用表。所对应的交互作用表。 p183附表附表4中中，列出了几个交互作用的正交表。，列出了几个交互作用的正交表。正交表自由度的确定：正交表自由度的确定：（1）每列的自由度）每列的自由度 f列列水平数水平数1（2）两因素交互作用的自由度）两因素交互作用的自由度 fabfafb （两因素自由度的乘积）（两因素自由度的乘积）对对2因素因素2水平的正交表，因为：水平的正交表，因为：

33、fafb 21，每列只有一，每列只有一个自由度；而个自由度；而fabfafb 111，所以也占一列。，所以也占一列。4.4.1 交互作用表交互作用表 对于对于2 因素因素3水平，水平， fafb 312，每列有，每列有2个自由度；个自由度；而而fabfafb 224，由于交互作用列有，由于交互作用列有4个自由度，而每个自由度，而每列是列是2个自由度，因此个自由度，因此2个个3水平因素的交互作用列占水平因素的交互作用列占2列。列。 对于对于2因素因素n水平，水平， fafb n1，每列有，每列有n个自由度；个自由度；而两因素交互作用的自由度为：而两因素交互作用的自由度为：fabfafb （n1）

34、（）（n1），），所以交互作用列要占（所以交互作用列要占（n1）列。）列。4.4.2 水平数相同的有交互作用的正交设计水平数相同的有交互作用的正交设计 例例4.7 某产品的产量取决于某产品的产量取决于3个因素个因素a、b、c，每个因素都，每个因素都有两个水平，具体数值如有两个水平，具体数值如表表4-18所示。每两个因素都有交互作用，所示。每两个因素都有交互作用，必须考虑。试验指标为产量，越高越好。试安排试验，并分析试必须考虑。试验指标为产量，越高越好。试安排试验，并分析试验结果，找出最好的方案。验结果，找出最好的方案。1234567(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(

35、5)32(6)1(7)表表417列号（列号（ ）列号列号例例如如，从从左左向向右右看看，第第3列列与与第第5列列的的交交互互作作用用在在第第6列列例如，第例如，第4列与第列与第7列列的交互作用在第的交互作用在第3列列第第5列与第列与第6列的列的交互作用在第交互作用在第3列列例例4.7的解的解 解解 这是这是3因素因素2水平的试验。水平的试验。3个因素个因素a、b、c要占要占3列，它列，它们之间的交互作用们之间的交互作用ab、b c、a c又各占又各占3列，共占列，共占6列，可列，可以用正交表以用正交表 l8（27）来安排试验。若将）来安排试验。若将a、b放在第放在第1、2列，从列，从表表4-1

36、7查出查出ab应在第应在第3列，因此列，因此c就不能放在第就不能放在第3列，否则就要和列，否则就要和ab混杂。现将混杂。现将c放在第放在第4列，由列，由表表4-17查出查出a c应在第应在第5列，列， b c应在第应在第6列。按这种安排进行试验。测出结果，用直观分析法列。按这种安排进行试验。测出结果，用直观分析法进行分析，把交互作用当成新的因素看待。整个分析过程记录在进行分析，把交互作用当成新的因素看待。整个分析过程记录在表表4-19中。中。 最后要说明一点，在这里只考虑两列间的交互作用最后要说明一点，在这里只考虑两列间的交互作用ab、b c、a c，3个因素的交互作用个因素的交互作用abc，

37、一般影响很小，这，一般影响很小，这里不去考虑它。里不去考虑它。4.5 正交表的构造法正交表的构造法 从前面的内容可以看出，正交表的用处和好处。那么正交表从前面的内容可以看出，正交表的用处和好处。那么正交表是如何得来的呢？下面就介绍两种正交表的构造方法。是如何得来的呢？下面就介绍两种正交表的构造方法。4.5.1 阿达玛矩阵法阿达玛矩阵法4.5.1.1 阿达玛矩阵阿达玛矩阵 阿阵阿阵 定义：以定义：以1，1为元素，并且任意两列都是正交的矩为元素，并且任意两列都是正交的矩阵。阵。性质：性质： （1）每列元素个数都）每列元素个数都 是偶数；是偶数； （2）任意两列（两行）交换后，仍为阿阵；）任意两列（

38、两行）交换后，仍为阿阵；（3）任意一列（或行）乘）任意一列（或行）乘1以后，仍为阿阵。以后，仍为阿阵。 标准阿阵：第一列全为标准阿阵：第一列全为1列（用对行乘列（用对行乘1可得）。可得）。阿方阵：行、列相等阿方阵：行、列相等阿阵，偶阶方阵。阿阵，偶阶方阵。4.5.1.1、阿达玛矩阵、阿达玛矩阵 n 阶阿阵记为阶阿阵记为hn。感兴趣：感兴趣：第一列，第一行全为第一列，第一行全为 1 的阿阵。例如：的阿阵。例如：1111111111111111,111142hh直积构造高阶阿阵的方法：直积构造高阶阿阵的方法：定义：设两个定义：设两个2阶方阵阶方阵a、b2221121122211211,bbbbba

39、aaaa它们直积记为它们直积记为a b，定义如下：，定义如下：bababababbbbaaaaba2221121122211211222112114.5.1.1、阿达玛矩阵、阿达玛矩阵2222212222212121122211221221112122122112221121111212111212111111babababababababababababababababa这是一个这是一个4阶方阵。阶方阵。有下面两个定理：有下面两个定理： 定理定理1 设设2阶方阵阶方阵a、b如果它们中的两列是正交的，则它们如果它们中的两列是正交的，则它们的直积的直积a b的任意两列也是正交的。的任意两列也是正

40、交的。 定理定理2 两个阿阵的直积是一个高阶阿阵两个阿阵的直积是一个高阶阿阵。 据此，可以用简单的低阶阿阵，用求直积的方法得出高阶阿据此，可以用简单的低阶阿阵，用求直积的方法得出高阶阿阵，例如有：阵，例如有：4.5.1.1、阿达玛矩阵、阿达玛矩阵422111111111111111111111111hhh依此类推有：依此类推有：,16441682, 842hhhhhhhhh或或一个固定阶的阿阵并不是唯一的。比如：一个固定阶的阿阵并不是唯一的。比如：1111,1111,1111,1111都是都是2 阶阿阵阶阿阵h2，但我们最感兴趣的是第一个，但我们最感兴趣的是第一个。4.5.2 2个水平正交表的

41、阿达玛矩阵法个水平正交表的阿达玛矩阵法 有了第有了第1列第列第1行全为行全为1的标准阿阵，构造的标准阿阵，构造2水平的正交表就非水平的正交表就非常方便了。常方便了。（1）l4（23）正交表的构造正交表的构造 取标准阿阵取标准阿阵h4 如下：如下： 11111111111111114h 将全将全1列去掉，得出：列去掉，得出： 1111111111114.5.1.2、2个水平正交表的阿达玛矩阵法个水平正交表的阿达玛矩阵法 将将1 改写为改写为2，按顺序配上列号、行号，就得到，按顺序配上列号、行号，就得到2水平正交表水平正交表 l4（23），见），见表表4-20所示。所示。（2） l8（27）正交表

42、的构造法正交表的构造法 取标准阿阵取标准阿阵 h8 如下：如下：11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111118h4.5.1.2、2个水平正交表的阿达玛矩阵法个水平正交表的阿达玛矩阵法 去掉全去掉全 1 列；列； 将将 1 改写为改写为2，并按顺序配上列号、行号，就得到正交表，并按顺序配上列号、行号，就得到正交表 l8（27），见），见表表4-21。总结：先取一个标准阿阵总结：先取一个标准阿阵 hn ，去掉全，去掉全1列，将列，将1 列改写为列改写为2， 配上列号、行号，就得正交表配上列号、行号，就得正交表 ln

43、（2n1）。）。 上法只能构造上法只能构造 2 水平正交表，更多水平的正交表，用正交拉水平正交表，更多水平的正交表，用正交拉丁方的方法来解决。丁方的方法来解决。4.5.2正交拉丁方的方法正交拉丁方的方法4.5.2.1 拉丁方拉丁方定义：用定义：用 n 个不同的拉丁字母排成一个个不同的拉丁字母排成一个 n 阶方阵（阶方阵（n26），如），如 果每个字母在任一行、任一列中只出现一次，则称这种方果每个字母在任一行、任一列中只出现一次，则称这种方 阵为阵为 nn 拉丁方，简称为拉丁方，简称为 n 阶拉丁方。阶拉丁方。例如，用例如，用3个字母个字母 a、b、c 可排成：可排成：bacacbcba33 拉

44、丁方拉丁方用用4个字母个字母 a、b、c、d 可排成：可排成：adcbbadccbaddcba44 拉丁方拉丁方这这两两个个拉拉丁丁方方不不是是唯唯一一的。的。4.5.2.1、拉丁方、拉丁方正交拉丁方。正交拉丁方。定义：设有两个同阶的拉丁方，如果对第一个拉丁方排列着相同定义：设有两个同阶的拉丁方，如果对第一个拉丁方排列着相同字母的各个位置上，第二拉丁方在同样位置上排列着不同字母，字母的各个位置上，第二拉丁方在同样位置上排列着不同字母，则称这两个拉丁方为互相正交的拉丁方。则称这两个拉丁方为互相正交的拉丁方。bacacbcbaacbbaccba3阶阶拉拉丁丁方方与与是正交拉丁方。正交拉丁方只有两个

45、。是正交拉丁方。正交拉丁方只有两个。abcdbadccdabdcbabadccdababcddcba与与 4阶拉丁方中，正交拉丁方只有阶拉丁方中，正交拉丁方只有3个；个； 5阶拉丁方中，正交拉丁方只有阶拉丁方中，正交拉丁方只有4个；个； 6阶拉丁方中，正交拉丁方只有阶拉丁方中，正交拉丁方只有5个；个； 数学上已经证明：数学上已经证明：n 阶阶拉丁方的正交拉丁方个数为：拉丁方的正交拉丁方个数为：（n1）个。）个。4.5.2.1、拉丁方、拉丁方4.5.2.1、拉丁方、拉丁方 将字母拉丁方改写为数字拉丁方性质没有影响。比如将字母拉丁方改写为数字拉丁方性质没有影响。比如 3 阶拉阶拉丁方可写为：丁方可

46、写为：213132321132213321与与为正交拉丁方。为正交拉丁方。4.5.2.2 3水平正交表的构造水平正交表的构造 首先考虑两个首先考虑两个 3 水平因素水平因素a、b，把它们所有水平搭配都写出，把它们所有水平搭配都写出来来 32 9个，个，按下面的方式排成两列按下面的方式排成两列：4列列3列列12111212313421522623731832933这这两两列列叫叫做做基基本本列列然然后后写写出出两两个个3 3阶阶的的正正交交拉拉丁丁方方：123231312和和123312231将将 这这 两两 个个 正正 交交 拉拉 丁丁 方方 的的 1， 2， 3列列 ， 分分 别别 按按 顺

47、顺 序序 连连 成成 一一 列列 （ 共共 得得 两两列列 ） ， 放放 在在 两两 个个 基基 本本 列列 的的 右右 面面 ， 构构 成成 一一 个个 4列列 9行行 的的 矩矩 阵阵 ， 再再 配配 上上 列列 号号、 行行 号号 ， 就就 得得 出出 正正 交交 表表 l9（ 34） ， 见见 表表 4-22。4.5.2.3 4水平正交表水平正交表 因素因素a、b两个两个4水平的全排列水平的全排列 4216个，构成个，构成基本列基本列； 三个正交拉丁方，按三个正交拉丁方，按1，2，3，4列分别按顺序排成列分别按顺序排成1列，共列，共3列，放在基本列右则，得列，放在基本列右则，得5列列1

48、6行矩阵。行矩阵。 得表得表4-23，为，为l16（45）正交表）正交表。345121112123134145216227238249311032113312341341144215431644这两列叫做基本列123421433412432112343412432121431234432121433412配配 上上 三三 个个 正正 交交 拉拉 丁丁 方方4.5.2.4 混合型正交表的构造法混合型正交表的构造法 混合型正交表可以由一般水平数相等的正交表通过混合型正交表可以由一般水平数相等的正交表通过“并列法并列法”改造而成。举典型的例子加以说明。改造而成。举典型的例子加以说明。例例4.8 混合

49、型正交表混合型正交表 l8（424）的构造法。）的构造法。解：解：（1）先列出正交表）先列出正交表 l8（27），见），见表表4-24。（2）取出）取出表表4-24中的中的1，2列，将数对（列，将数对（1，1）、）、 （1，2）、）、 （2，1）、（）、（2，2）与单数字）与单数字1，2，3，4依次对应，作为依次对应，作为 新表第新表第1列。列。（3）去掉去掉12的第的第3列列。交互作用。交互作用。（4）4，5，6，7列左移，依次变为新表的列左移，依次变为新表的2，3，4，5列列。列号列号行号行号1111111121112222312211224122221152121212621221217

50、2211221822121124567123表表4-24 l8（27）正交表）正交表列号列号行号行号11111121222232112242221152121262212171122181211234567列号列号行号行号11111112112222322112242222115321212632212174112218412112134567列号列号行号行号111111212222321122422211531212632121741221842112145671111222211222211121221211221211245674523其它正交表的构造法，与此法相同，不再赘述。其它正交表

51、的构造法，与此法相同，不再赘述。请自学请自学例例4.9、例、例4.10表表4-25 l8（4127）正交表）正交表4.6 正交试验设计的方差分析正交试验设计的方差分析本节用方差分析法对正交试验的结果作进一步的分析。本节用方差分析法对正交试验的结果作进一步的分析。4.6.1 正交试验设计方差分析的步骤与格式正交试验设计方差分析的步骤与格式 设用正交表安排设用正交表安排m个因素的试验，试验总次数为个因素的试验，试验总次数为n，试验结，试验结果分别为果分别为x1，x2，xn。假定每个因素有。假定每个因素有na个水平，每个水平个水平，每个水平做做a次试验。则次试验。则n = a na，现分析下面几个问

52、题。，现分析下面几个问题。(1) 计算离差的平方和计算离差的平方和a 总离差的平方和总离差的平方和stb 各因素离差的平方和各因素离差的平方和s因因c 试验误差的离差平方和试验误差的离差平方和se(2)计算自由度计算自由度(3)计算平均离差平方和计算平均离差平方和(均方均方)(4) 求求f比比(5)对因素进行显著性检验对因素进行显著性检验4.6.2 3水平正交设计的方差分析水平正交设计的方差分析例例4.11 为了提高产量，需要考虑为了提高产量，需要考虑3个因素：反应温度、反应个因素：反应温度、反应压力和溶液浓度，每个因素都取压力和溶液浓度，每个因素都取3个水平，具体数值如个水平，具体数值如表表

53、4-31所示。考虑因素之间的所有一级交互作用，试进行方差分析，所示。考虑因素之间的所有一级交互作用，试进行方差分析，找出最好的工艺条件。找出最好的工艺条件。解：解：所有一级交互作用：所有一级交互作用：ab、ac、bc；自由度：自由度：fa （水平数（水平数1）312 fb fc ； fab fa fb224 fbc fac 各占两列。各占两列。共有共有9列，选用正交表列，选用正交表l27（313），见），见表表4-32所示。所示。 m 个因素的试验（个因素的试验（m9）；试验次数（）；试验次数（n27）；试验结果）；试验结果分别为：分别为：x1， x2， ，xk， ，xn；每个因素有；每个因素

54、有na 个水平（个水平（na3）；每个水平做）；每个水平做a次试验（次试验（a9），则），则nana3 9 27。1、计算离差平方和、计算离差平方和（1）总离差平方和）总离差平方和st记记 nkkxnx11（相当于例（相当于例4.11产量的平均值）产量的平均值） nknknkkkktxnxxxs1121221)(记为：记为：pqstt nkktxq12211 nkkxnp st反应了试验结果的总差异，它越大，结果之间差异越大。反应了试验结果的总差异，它越大，结果之间差异越大。 两方面的原因：两方面的原因： 因素水平变化；因素水平变化； 试验误差。试验误差。（2）各因素离差的平方和）各因素离差的

55、平方和 以因素以因素a为例为例sa，用，用xij 表示表示a的系的系 i 水平第水平第 j 个试验结个试验结果（果（i1，2，3，na），（），（j1a）。）。 nkkniajijxxa111 aniajiaxxs112)( aniijixax1121122111211111 nikniiniajijniajijaxnkaxnxasaaa记为：记为：pqsaa ki 第第 i 个水平个水平 a 次试验结果的和。次试验结果的和。 用同样的方法可以计算其它因素的离差平方和。对两因素的用同样的方法可以计算其它因素的离差平方和。对两因素的交互作用，把它当成一个新的因素看待。如果交互作用占两列，交互作用

56、，把它当成一个新的因素看待。如果交互作用占两列，则交互作用的离差平方和等于这两列的离差平方和之和。比如：则交互作用的离差平方和等于这两列的离差平方和之和。比如：21)()(bababasss （3）试验误差的离差平方和）试验误差的离差平方和 se 设设 s因因+交交 为所有因素以及要考虑的交互作用的离差平方和，为所有因素以及要考虑的交互作用的离差平方和，因为：因为：etsss 交交因因所以：所以：交交因因 ssste2、自由度计算、自由度计算)(1试试验验总总次次数数总总nnf 各因素自由度：各因素自由度：)(1水水平平数数因因aannf 两因素交互作用的自由度：两因素交互作用的自由度：bab

57、afff 试验误差自由度：试验误差自由度：交交因因总总 fffe见表见表4-33所示所示3、计算平均离差平方和（均方）、计算平均离差平方和（均方）ms 在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们是若干项平方在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们是若干项平方的和，它们的大小与项数有关，因此，不能确切地反映各因素的的和，它们的大小与项数有关，因此，不能确切地反映各因素的情况。为了消除项的影响，引入平均离差平方和：情况。为了消除项的影响，引入平均离差平方和：因因因因因因素素的的平平均均离离差差平平方方和和fs eefs 方方和和试试验验误误差差的的平平均均离离差差平平4、求、求f 比比对对结结果果影

58、影响响程程度度的的大大小小大大小小反反映映了了各各因因素素试试验验因因因因eefsfsf 5、对因素进行显著性检验、对因素进行显著性检验给出检验水平给出检验水平a a，以，以fa a（f因因，fe）查（附表查（附表3）f分布表；分布表；比较若比较若f fa a（f因因，fe），），说明该因素对试验结果的影响显著。说明该因素对试验结果的影响显著。 f f0.010.01（f因因，fe）影响高度显著，影响高度显著，“”； f0.010.01（f因因，fe） f f0.050.05（f因因，fe）影响显著，影响显著，“”； f f0.050.05（f因因，fe）影响不显著。影响不显著。 计算结果见计

59、算结果见表表4-33、表、表4-34所示。所示。4.6.3 2水平正交设计的方差分析水平正交设计的方差分析 由于由于2水平正交设计比较简单，它的方差分析可以采用特殊的水平正交设计比较简单，它的方差分析可以采用特殊的分析方法。分析方法。 2水平正交设计，各因素离差平方和为：水平正交设计，各因素离差平方和为：2121211nkkiixnkas因因:,21,2121所所以以上上式式可可以以简简化化为为又又因因为为nkkkkxnaan2211kkns因因上式同样适用于交互作用项。上式同样适用于交互作用项。例例4.12 某厂生产水泥花砖某厂生产水泥花砖, ,其抗压强度取决于其抗压强度取决于3 3个因素：

60、个因素：a水水泥的含量，泥的含量，b水分，水分，c添加剂，每个因素都有两个水平，具添加剂，每个因素都有两个水平，具体数值如表体数值如表4-354-35a所示。所示。每两个因素之间都有交互作用，必每两个因素之间都有交互作用，必须考虑。试验指标为抗压强度须考虑。试验指标为抗压强度( (kg/ /cm2 2),),分别为分别为66.2，74.3，73.0，76.4，70.2，75.0，62.3，71.2越高越好。试安排试验，越高越好。试安排试验，并用方差分析对试验结果进行分析，找出最好的方案。并用方差分析对试验结果进行分析，找出最好的方案。解解 列出正交表列出正交表l8（27）和试验结果见）和试验结