河南省顶级名校2015届高三数学入学定位考试试题文(含解析)

1、河南省顶级名校2015届高三年级入学定位考试理科数学试卷（时间：120分钟 满分：150分） 【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，考查了高中全部内容.以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式性质、基本不等式、导数的综合应用、函数的性质及图象、圆锥曲线、解三角形、概率、随机变量的分布列与期望、程序框图、空间向量的应用、二项式定理、绝对值不等式、参数方程极坐标、几何证明选讲、数列、命题及命题之间的关系、复数等；考查学生解决实际问题的综

2、合能力，是份较好的试卷.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.【题型】选择题【题号】1【分值】5分【题文】已知集合，则 （A） （B） （C） （D）【答案】A【考点】集合的表示及集合的交集【分析】在进行集合的运算时，能结合集合的元素特征进行转化的应先对集合进行转化再进行运算.【解析】因为，所以，则选A .【点评】【专题】【难度】【结束】2.【题型】选择题【题号】2【分值】5分【题文】已知复数，则的虚部是（A） （B） （C） （D） 【答案】B【考点】复数的运算及复数的概念【分析】复数的代数运算是常考的知识点，应熟练掌握，注意复数的虚部是i的系数，而不是.【解析】因为，所以的

3、虚部是，则选B.【点评】【专题】【难度】【结束】3.【题型】选择题【题号】3【分值】5分【题文】某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（A）117 （B）118 （C） 1185 （D）1195 【答案】B【考点】茎叶图、极差、中位数【分析】正确认识茎叶图，理解极差与中位数的概念是解题的关键.【解析】由所给的茎叶图可知：最小的数为56，最大的数为98，所以极差为9856=42，又中位数为76，所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42+76=118，则选B.【点评】【专题】【难度】【结束】4.【题型】选择题【题号】4【分值】

4、5分【题文】已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（A） （B）（C）（D）【答案】A【考点】双曲线与椭圆的几何性质【分析】在由椭圆和双曲线方程求其焦点和渐近线方程时，若方程不是标准形式，应把方程先化成标准形式，再进行解答.【解析】因为椭圆的焦点坐标为(0，±2)，由双曲线方程得，则得m=，所以其渐近线方程为则选A.【点评】【专题】【难度】【结束】5.【题型】选择题【题号】5【分值】5分【题文】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A） （B） （C） （D）【答案】A【考点】古

5、典概型【分析】求古典概型的概率，可分别求出随机试验一次的所有可能种数，及所求的事件所包含的种数，代入概率计算公式即可.【解析】因为两位同学参加同一个兴趣小组有3种情况，3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，一共有3×3=9种情况，所以所求的概率为，则选A.【点评】【专题】【难度】【结束】6.【题型】选择题【题号】6【分值】5分【题文】在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（A）4（B）5 （C） 6 （D） 7 【答案】B【考点】等比数列的性质【分析】在客观题中遇到等比数列问题时，一般先观察其项数是否有性质特征，有性质特征的用性质解题，无性质特征的用

6、公式转化求解.【解析】由得，得，所以，得2m1=9，所以m=5，则选B.【点评】【专题】【难度】【结束】7.【题型】选择题【题号】7【分值】5分【题文】设偶函数（的部分图象如图所示， 为等腰直角三角形，则的值为 （A） （B） （C） （D） 【答案】D【考点】三角函数的图像【分析】本题可先由图像求出函数的解析式再求值，在求解析式时应抓住图像特征和解析式中对应的系数的关系求解.【解析】由函数为偶函数，且0，得，又由得最小正期为2，所以，由为等腰直角三角形得A=，所以，则选D .【点评】【专题】【难度】【结束】8.【题型】选择题【题号】8【分值】5分【题文】执行如图中的程序框图，若输出的结果为2

7、1,则判断框中应填（A） （B） （C） （D） 【答案】C【考点】【分析】本题主要考查的是程序框图及其应用，程序框图是高考常考的知识点，对于循环结构的程序框图，可一一列举出每次循环的结果直到跳出循环，即可得到解答.【解析】依次执行程序框图中的循环结构，第一次执行循环体得S=1，i=2；第二次执行循环体得S=3，i=3；第三次执行循环体得S=6，i=4；第四次执行循环体得S=10，i=5；第五次执行循环体得S=15，i=6；第六次执行循环体得S=21，i=7；因为输出的结果为21，所以i=7不满足判断框条件，则选C.【点评】【专题】【难度】【结束】9.【题型】选择题【题号】9【分值】5分【题文

8、】如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（A）54 （B）27 （C）18 （D） 9【答案】【考点】 几何体的三视图、棱锥的体积【分析】本题主要考查的是几何体的三视图，由几何体的三视图求体积关键是分析出原几何体的特征.【解析】由三视图可知该几何体一个倒放的四棱锥，其底面面积为3×6=18，高为3，所以其体积为，则选C.【点评】【专题】【难度】【结束】10.【题型】选择题【题号】10【分值】5分【题文】抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在其准线上的射影为，则的最大值为（A） （B） （C） （D）【答案】A【考点】 抛物线的定义、余弦定理、基本不等式【分析】在圆锥曲线中，

9、一般遇到圆锥曲线上的点与其焦点的关系时，注意利用其定义寻求等量关系进行解答.【解析】设 ，则x+y=2m，由余弦定理得 ，则，所以选C.【点评】【专题】【难度】【结束】 11.【题型】选择题【题号】11【分值】5分【题文】四面体的四个顶点都在球的表面上，平面，是边长为3的等边三角形.若，则球的表面积为（A） （B） （C） （D）【答案】C【考点】球的截面性质，球的表面积公式【分析】 【解析】 如图，取CD的中点E，连结AE，BE，在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形RtABCRtABD，ACD是等腰三角形，BCD的中心为G，作OGAB交AB的中垂线HO于O，O为外

10、接球的中心，因为 , ,所以球半径，则球的表面积为16，所以选C.【点评】一般遇到几何体的外接球问题，一是结合几何体特征寻求球心位置，进而求其半径，二是用补形法把几何体补成规则几何体求球半径.【专题】【难度】【结束】 12.【题型】选择题【题号】12【分值】5分【题文】 函数在上的最大值为2，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）【答案】D【考点】导数的综合应用，指数函数的性质【分析】求分段函数在所给区间上的最值，可分别确定在各段上的最值，再进行比较，即可得到最值.【解析】当x2,0时，因为所以在2, 1)导数大于0，在(1,0上导数小于0，则当x2,0函数值最大为f(1)=2，当a0时

11、，若x0，显然，此时函数在上的最大值为2，当a0时，若函数上的最大值为2，则 ，得 ，综上可知a的取值范围是所以选D.【点评】【专题】【难度】【结束】 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.【题型】填空题【题号】13【分值】5分【题文】若点满足线性约束条件，则 的取值范围是 _ 【答案】2,0)【考点】简单的线性规划【分析】【解析】不等式组表示的平面区域为如图中的三角形ABO表示的区域，因为A、B的坐标分别为(2,0)、将A、B、O三点坐标分别代入目标函数得z的值为2， ，0，所以的取值范围是2,0).【点评】一般由线性约束条件求目标函数的最值，其最值点必存在于区域的顶点，可把

12、区域顶点坐标代入目标函数即可得到其最大值与最小值，进而得其值域。【专题】【难度】【结束】14【题型】填空题【题号】14【分值】5分【题文】若 二项展开式中的第5项是常数项，则中间项的系数为 【答案】160【考点】二项式定理【分析】一般遇到二项展开式中的项或其系数问题，通常利用展开式的通项公式进行解答.【解析】因为 ，则有2n12=0，n=6，所以展开式的中间项为 ，则中间项的系数为160.【点评】【专题】【难度】【结束】15.【题型】填空题【题号】15【分值】5分【题文】设是的三边中垂线的交点,分别为角对应的边,已知,则的范围是_ 【答案】【考点】平面向量及其应用【分析】【解析】设O是ABC的

13、三边中垂线的交点，故O是三角形外接圆的圆心，如图所示，延长AO交外接圆于D AD是O的直径，ACD=ABD=90°cosCAD，cosBAD所以 =，c2=2b-b20，解得0b2所以当时取得最小值为，又f（0）=0，f（2）=2所以的范围是.【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、向量的运算法则、数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本方法.【专题】【难度】【结束】16.【题型】填空题【题号】16【分值】5分【题文】已知有限集.如果中元素满足，就称为“复活集”，给出下列结论：集合是“复活集”；是“复活集”，则；不可能是“复活集”；若，则“复活集”有且只有一个，且.其中正确的结论

14、是_（填上你认为所有正确的结论序号）【答案】【考点】集合的应用【分析】本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义“复活集”的含义是解答的关键.【解析】因为 ，所以正确；不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个根，由0，可得t0，或t4，故错；不妨设A中a1a2a3an，由a1a2an=a1+a2+annan，得a1a2an-1n，当n=2时，即有a12，a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故正确当n=3时，a1a23，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“复活集”A只有一个，为1，

15、2，3当n4时，由a1a2an-11×2×3××（n-1），即有n（n-1）!，也就是说“复活集”A存在的必要条件是n（n-1）!，事实上，（n-1）!（n-1）（n-2）=n2-3n+2=（n-2）2-2+n2，矛盾，当n4时不存在复活集A，故正确故答案为：.【点评】【专题】【难度】【结束】三、解答题：本大题共6小题，共70 分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤17.【题型】解答题【题号】17【分值】12分【题文】在中，角对的边分别为，已知.（1）若，求的取值范围；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）（2，4） （2）【考点】正弦定理、余弦定

16、理、三角形面积公式、基本不等式【分析】求范围时可利用正弦定理把边化成角，再利用角的范围求三角函数的取值范围，因为已知夹角，可用夹角的面积公式解决三角形面积问题.【解析】（1） （ 2分）. （ 6分）（2） （8分） （ 10分）当且仅当时,的面积取到最大值为. （12分）.【点评】【专题】【难度】【结束】18.【题型】解答题【题号】18【分值】12分【题文】如图，四棱锥中，底面为菱形， ，是的中点.（1）若，求证：；（2）若平面，且点在线段上，试确定点的位置，使二面角的大小为，并求出的值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2）【考点】两面垂直的判定、二面角的应用【分析】证明两面垂直通常结合两

17、面垂直的判定定理进行解答，涉及到二面角问题，可通过建立适当坐标系，利用空间向量解答.【解析】（1），为的中点，又底面为菱形， , 又平面，又平面,平面平面;-6分（2）平面平面,平面平面,平面.以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系如图.则,设(),所以，平面的一个法向量是，设平面的一个法向量为，所以取，-9分由二面角大小为，可得：，解得，此时-12分.【点评】【专题】【难度】【结束】19.【题型】解答题【题号】19【分值】12分【题文】生产，两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件8

18、1240328元件71840296（）试分别估计元件、元件为正品的概率；（）生产一件元件，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（）的前提下（i）求生产5件元件所获得的利润不少于300元的概率； （ii）记为生产1件元件和1件元件所得的总利润，求随机变量的分布列和期望【答案】（）（）（i）（ii）108【考点】频率与概率的关系，n次重复独立试验发生k次的概率、分布列和期望【分析】若每次试验发生的概率都相等，求n次试验中发生次数的概率问题，可利用n次重复独立试验发生k次的概率计算公式直接计算，求离散随机变量的期望问题，一般先确定

19、随机变量的取值，再计算每一个取值对应的概率，得分布列求期望即可.【解析】（I）由题可知元件为正品的概率为，元件为正品的概率为（2分）（II）（i）设生产的5件元件中正品数为，则有次品件，由题意知,解得，设“生产的5件元件所获得的利润不少于300元”为事件，则（6分）（ii）随机变量的所有取值为150,90,30，-30则所以随机变量的分布列为：1509030-30所以，随机变量的期望为：（12分）【点评】【专题】【难度】【结束】20.【题型】解答题【题号】20【分值】12分【题文】椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点（1）求椭圆的方程；（2）当的面积为时，求直线的方程.【

20、答案】(1) (2) 或【考点】 圆锥曲线综合应用【分析】一般遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，通常设方程，联立方程，利用韦达定理建立等量关系进行解答.【解析】 解析：（1）因为椭圆过点，所以，又因为离心率为，所以，所以，解得所以椭圆的方程为： （4分）（2）当直线的倾斜角为时，不适合题意。 （6分）当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得： （7分）设，则，所以直线方程为：或 （12分）.【点评】【专题】【难度】【结束】21.【题型】解答题【题号】21【分值】12分【题文】已知（）当时，若在上为减函数，在上是增函数，求值；（）对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（）（）【考点】导数的综合应用【

21、分析】函数单调性问题就是导数恒正或恒负问题，利用不等式恒成立进行解答，由不等式恒成立求参数的范围，可转化为函数的最值问题进行解答.【解析】（）当时， 在上为减函数，则，在上是增函数，则(6分)（）设则，设则（1）当时，所以在上是减函数，在不恒成立；（2）当时，所以在上是增函数，的函数值由负到正，必有即，两边取自然对数得，所以，在上是减函数，上是增函数，所以，因此，即的取值范围是.(12分).【点评】【专题】【难度】【结束】四、请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【题型】解答题【题号】22【分值】10分【题文】已知，在中，是上一点，的外接圆交于， （）求证：；（）若平分，且，求的长.【答案】（）证明过程见