高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数2课件2北师大版必修

1、3.33.3二倍角的三角函数二倍角的三角函数( (二二) )【知识提炼知识提炼】半角公式半角公式2cos2cos2 2-1-11-2sin1-2sin2 221 2sin222cos121 cos21cos222【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题(1)(1)半角公式的两端有什么变化半角公式的两端有什么变化? ?提示提示: :半角公式的等式两端半角公式的等式两端, ,从左向右从左向右, ,方次降低方次降低, ,角度加倍角度加倍, ,从右向左从右向左, ,方次增大方次增大, ,角度减半角度减半. .(2)(2)如何确定如何确定sin ,sin ,coscos 公式中的正负号公式中

2、的正负号? ?提示提示: :依据依据 所在象限相应的三角函数值的符号确定所在象限相应的三角函数值的符号确定, ,如果如果 所在象所在象限无法确定限无法确定, ,则应保留则应保留sin ,sin ,coscos 公式中的正负号公式中的正负号. .2222222.sin752.sin75=_.=_.【解析解析】sin75sin75= = 答案答案: :311501 cos 1502sin 222231116223.22246243.3.计算计算tan22.5tan22.5=_.=_.【解析解析】tan22.5tan22.5= = 答案答案: : -1-11 cos 4521.1cos 4524.4

3、.若若 =_.=_.【解析解析】因为因为 所以所以 答案答案: :43cos,2 ,sin522 () 则33,2 ,224 () 所以()411 cos105sin.2221010105.5.化简化简: =_.: =_.【解析解析】原式原式= = 答案答案: :1cos22|cos|.4|cos|4【知识探究知识探究】知识点知识点 半角公式半角公式观察如图所示内容观察如图所示内容, ,回答下列问题回答下列问题: :问题问题1:1:半角的正弦、余弦、正切公式是什么半角的正弦、余弦、正切公式是什么? ?问题问题2:2:半角公式的适用条件是什么半角公式的适用条件是什么? ?【总结提升总结提升】1.

4、1.半角公式与二倍角公式的关系半角公式与二倍角公式的关系半角公式与二倍角公式功能各异半角公式与二倍角公式功能各异, ,本质相同本质相同, ,对立统一对立统一. .2.2.公式适用的条件公式适用的条件(1)(1)半角的正弦和余弦公式对任意的角都成立半角的正弦和余弦公式对任意的角都成立. .(2) (2) 中要求角中要求角2k+,kz,2k+,kz,而而 中则要求角中则要求角k,kzk,kz. .1 cossintantan21cos21cos 和1 costan2sin3.3.半角公式的应用半角公式的应用(1)(1)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的一种方式半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的

5、一种方式, ,即只需知道即只需知道coscos的值及相应的值及相应的条件的条件, ,便可求出便可求出 (2)(2)由于由于 不含被开方数不含被开方数, ,且不涉及符号且不涉及符号问题问题, ,所以求解关于所以求解关于tan tan 的题目时的题目时, ,使用相对方便使用相对方便, ,但需要注意该公但需要注意该公式成立的条件式成立的条件. .(3)(3)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目, ,常用常用 求解求解. .sin,cos,tan.222sin1 costantan21cos2sin及221 cossin22，21coscos22【题型探究题型探究】

6、类型一类型一 求值问题求值问题【典例典例】1.1.已知已知 则则sinsin=_.=_.2.2.已知已知 求求 的值的值. .531, cos 2,425 ()83sin,172 且 sin,cos,tan222【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中中是第几象限的角是第几象限的角?2?2是第几象限的角是第几象限的角? ?提示提示: :是第三象限的角是第三象限的角,2,2是第二象限的角是第二象限的角. .2.2.典例典例2 2中如何由中如何由sinsin求出求出coscos? ?提示提示: : 215cos1 sin.17 【解析解析】1.1.因为因为 所以所以|cos2|=-cos2=

7、,|cos2|=-cos2= ,即即cos2=- ,cos2=- ,所以所以sinsin= = 答案答案: :- -535,2,3 ,422()，所以()1515111 cos 2155.225 ()1552.2.因为因为 因为因为 所以所以 8315sin,cos.17217 所以2223cos12sin2cos1,22224 又 1511 cos4 1717sin,222171511cos1717cos,22217sin2tan4.2cos2 【方法技巧方法技巧】利用半角公式求值的思路利用半角公式求值的思路(1)(1)看角看角. .若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍若已知三角

8、函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍, ,则则常常借助半角公式求解常常借助半角公式求解. .(2)(2)明范围明范围. .由于半角公式求值常涉及符号问题由于半角公式求值常涉及符号问题, ,因此求解时务必依据因此求解时务必依据角的范围角的范围, ,求出相应半角的范围求出相应半角的范围. .(3)(3)选公式选公式. .涉及半角公式的正切值时涉及半角公式的正切值时, ,常用常用其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题; ;涉及半角公式涉及半角公式的正、余弦值时的正、余弦值时, ,常先利用常先利用 计算计算. .(4)(4)下结论下结论. .结合

9、结合(2)(2)求值求值. .sin1 costan,21cossin221 cos1cossin,cos2222【变式训练变式训练】(2015(2015新余高一检测新余高一检测) )设设(,2),(,2),则则等于等于( () ) 【解析解析】选选d.d.因为因为( (,2,2),),则则 所以所以 1 cos()2a.sin b.cos c.sin d.cos2222,22()，21 cos()1coscoscos.2222 类型二类型二 三角函数式的化简与证明三角函数式的化简与证明【典例典例】1.1.若若 2,2,则化简则化简 的结果为的结果为_._.2.2.求证求证: : 321 si

10、n1 sin sin xcos x1sin xcos x1xtan .sin 2x2（）【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中如何去掉根号中如何去掉根号? ?提示提示: :将根号里面的式子转变成完全平方的形式将根号里面的式子转变成完全平方的形式. .2.2.证明典例证明典例2 2的关键是什么的关键是什么? ?提示提示: :借助公式把借助公式把“1 1”消去消去. .【解析解析】1.1.原式原式= = 因为因为 2,2,所以所以 从而从而 故原式故原式= = 答案答案: :-2sin-2sin|sincos|sincos|,2222323,24 ()sincos0,sincos0,2222

11、sincossincos2sin.22222 () ()22222xxsin x12sin1 sin x12sin1222.sin 2xxxxxxx2sin cos 2sin2sincos 2sin222222xx4sin cos cos x22 ()()左边()()22xxxxxcos sin cos sin sin 22222xcos cos x2xxxxcossinsin cos x sin x2222tan .xx2cos cos xcos cos x22()()()右边【延伸探究延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法) )典例典例1 1中若题设条件不变中若题设条件不变, ,将函数式改

12、为将函数式改为结果怎样结果怎样? ?1111cos 2 ,2222【解析解析】因为因为 所以原式所以原式= = 答案答案: :- -coscos332 ,.242 所以 2111cos 211111coscoscos22222222 2coscos.22 22.(2.(变换条件变换条件) )典例典例1 1中若将条件中若将条件“ “ 2”2”改为改为“ ” ”结果如何结果如何? ?3232【解析解析】原式原式= = 因为因为 故故 又又 故原式故原式= = 答案答案: :2cos2cos|sincos|sincos|2222，332224 ，所以 ，|sincos|cos,sincos02222

13、2 | ，sincos,sincos02222所以 ，sincossincos2cos22222()2【方法技巧方法技巧】利用半角利用半角( (倍角倍角) )公式化简三角函数的要求及方法公式化简三角函数的要求及方法(1)(1)对于三角函数式的化简有下面的要求对于三角函数式的化简有下面的要求: :能求出值的应求出值能求出值的应求出值. .使三角函数种数尽量少使三角函数种数尽量少. .使三角函数式中使三角函数式中的项数尽量少的项数尽量少. .尽量使分母不含有三角函数尽量使分母不含有三角函数. .尽量使被开方数不含尽量使被开方数不含三角函数三角函数. .(2)(2)化简的方法化简的方法: :弦切互化

14、弦切互化, ,异名化同名异名化同名, ,异角化同角异角化同角. .降幂或升幂降幂或升幂. .【补偿训练补偿训练】1.1.已知已知 ,0a0时时,y,ymaxmax=-2a=-2a +2a+b=1. +2a+b=1.y yminmin=-2a=-2a1+2a+b=-5.1+2a+b=-5.由得由得 所以所以a=6,b=-5.a=6,b=-5.当当a=0a=0时时,y=b,y=b与函数值域与函数值域-5,1-5,1矛盾矛盾, ,所以所以a0.a0.当当a0a0时时, ,y ymaxmax=-2a=-2a1+2a+b=1.1+2a+b=1.y yminmin=-2a=-2a +2a+b=-5. +2

15、a+b=-5.由得由得 所以所以a=-6,b=1.a=-6,b=1.综上所述综上所述a=6,b=-5,a=6,b=-5,或或a=-6,b=1.a=-6,b=1.12a6,b5. 12a6,b1, 【补偿训练补偿训练】已知函数已知函数 (1)(1)求函数求函数f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期. .(2)(2)求函数求函数h(xh(x)=)=f(x)-g(xf(x)-g(x) )的最大值的最大值, ,并求使并求使h(xh(x) )取得最大值的取得最大值的x x的集的集合合. . 11f xcosx cosx ,g xsin 2x.3324()()【解析解析】(1)f(x)=(1)f(x)

16、= 所以所以f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为.1313cos xsin xcos xsin x2222()()221313cos xsin x1cos 2x1 cos 2x448811cos 2x.24(2)h(x)=f(x)-g(x)= (2)h(x)=f(x)-g(x)= 所以所以h(xh(x) )的最大值为的最大值为 , ,此时此时2x+ =2k,kz.2x+ =2k,kz.所以所以x=x=kk- ,- ,kzkz. .所以所以h(xh(x) )的最大值为的最大值为 , ,此时此时x x的集合为的集合为 1111cos 2xsin 2x2424() ()112cos 2xsi

17、n 2xcos 2x.2224()224822x|xk,kz.8 规范解答规范解答 三角函数与三角变换的综合问题三角函数与三角变换的综合问题【典例典例】(12(12分分) )已知向量已知向量a=(=(cosx-sinx,sinx),cosx-sinx,sinx),b=(-=(-cosxcosx- -sinx,2 sinx,2 cosxcosx),),设函数设函数f(xf(x)=)=ab+(r+(r) )的图像关于直线的图像关于直线x=x=对称对称, ,其中其中,为常数为常数, ,且且 (1)(1)求函数求函数f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期. .(2)(2)若若y=y=f(xf(x)

18、 )的图像经过点的图像经过点 求函数求函数f(xf(x) )在区间在区间 上的取值上的取值范围范围. .3112( ， )，0 ,4( ，)30,5【审题指导审题指导】要求周期要求周期, ,必须由数量积求函数解析式必须由数量积求函数解析式, ,化简后进一步求化简后进一步求解解. .【规范解答规范解答】(1)(1)【题后悟道题后悟道】1.1.熟练地掌握二倍角公式熟练地掌握二倍角公式cos2x=coscos2x=cos2 2x-sinx-sin2 2x;sin2x=2sinxcosx,x;sin2x=2sinxcosx,这两个公式不仅会正用这两个公式不仅会正用, ,也要也要会熟练地逆用会熟练地逆用. .例如例如, ,本例就是要逆用两个公式得到本例就是要逆用两个公式得到sin2x,cos2x.sin2