第九章_空间轴对称问题

1、第九章 空间轴对称问题本章讨论一下空间轴对称问题的基本方程和一些轴对称问题的基本解。对于一般空间问题的解法我们在第五章已有讨论，但一般空间问题一般解（具体求解）通解讨论在杜庆华等编著的“弹性理论”中有较多的论述。我们不刻意从数学上论述一般空间问题一般解的表达式，而对于空间轴对称问题作一些讨论和举例。第一节 空间轴对称问题的基本方程1.1空间轴对称问题特点：与平面轴对称问题类似，空间轴对称问题的求解域、荷载和约束绕某一轴（z轴）对称，导致如下简化，（参见徐芝纶（上册）第八章第八节(P.274）。1. 域内所有物理量（体力、面力、位移、应力、应变）均为r、z的函数。2荷载：体力fq=0，面力 ，位

2、移uq=0，应力t rq=t zq=0，应变g rq=gzq=0。3存在物理量：fr、fz、ur、w、sr、sq、sz、t rz=t zr、er、eq、ez、g rz=gzr1.2基本方程：1.平衡微分方程（两个）： 第一 第三 2.几何方程（四个）：， 3.变形协调方程（四个） 4.物理方程（四个）：sr=le+2Ger、sq=le+2Geq、sz=le+2Gez、t rz=Gg rz 其中 体积应变或 , , , 5.边界条件位移边界： , 在Su上力的边界：在 r=r0 , 在z=z0 , 6.按应力解法 四个应力分量sr、sq、sz、t rz为基本未知量。 基本方程（六个）： 两个平衡

3、微分方程 四个用应力表示的变形协调方程 再加上力的边界条件。如果体力为零时，基本方程为齐次方程，则可采用应力函数解法，引入应力函数f(r,z)，使得应力用f(r,z)表示: 满足第一个平衡微分方程，而第二个平衡方程及四个相容方程，共同要求 Ñ2Ñ2f=Ñ4f =0 f(r,z)应满足的基本微分方程。 其中 7按位移法解a基本未知函数： ur和w 基本方程两个： 并考虑适当的边界条件。b. 引入Love（拉甫、勒夫）位移函数（当无体力作用时）对于位移法的基本方程的解可由考虑体力的一个特解加上齐次方程的通解。轴对称问题齐次拉梅方程的通解可以引入一个Love位移函数y(

4、r,z),使得位移由y(r,z)表示： , , 代入齐次拉梅方程，第一式自然满足，而第二式为基本方程： Ñ 4y=0 y(r,z)为双调和方程 同时应力分量由y(r,z)表示为 轴对称问题按位移求解，归结为寻找一个恰当的重调和函数y(r,z)，使按其导出位移和应力能满足给定的边界条件。 比较应力函数解法和love位移法知：f (r,z)= y (r,z)第二节半空间体在边界上受法向集中力（Boussinesq问题） 半空间体，体力不计，边界受法向集中力P作用. 轴对称问题P作用在坐标原点上。zRrqPx yz已知，当z=0且r ¹0时, sz=0 , t zr= 0； 当R

5、®¥ 时R=(r2+z2)1/2，应力、位移® 0；当R® 0时，应力奇异。 Boussinesq采取Love函数求解，y(r,z)为重调和函数，由y(r,z)的三次微分导出应力。选 y(r,z) 为r和z的正一次幂式: y(r,z) = A1R+ A2R - zln(R+z) 为双调和函数 则 y(r,z) 自然满足 Ñ 4y=0 。代入位移、应力计算式 位移：， 应力： ， ， ， 下面根据边界条件来确定A1和A2：在z=0且r ¹0边界上, sz=0 自然满足。在z=0且r ¹0边界上, t zr= 0 ®

6、（1-2n）A1+ A2 = 0(a)zPrrdrz0还需一个条件（包括P的）。在z= z0 ¹ 0平面上，要求sz 的合力与P平衡。 将sz 表达式代入，得 而 ， P - 4pA1(1-n）- 2p A2 = 0 (b) 由式(a)、(b)解得 A1 = P/(2p) 、A2 = -（1-2n）P /（2p）代回位移、应力表达式，见徐芝纶（上册）P.297（917）、（918）式，称为Boussinesq问题解。Prz由P.297（917）、（918）式见：位移和应力随R 的增加而减小。在z=0平面上 ，第三节 半空间体在边界上受法向分布力q已知条件：半空间体在边界上受均布法向荷

7、载q作用，在半径为a的圆面积，寻求解答：1. z =0边界上的沉陷 wêz=0 = ? 2. r =0（对称轴）上的应力和位移。求解方法：采用叠加法和半空间体边界受法向集中力P的计算结果求解。zaqarqrraMs1s2sdsdyy3.1边界上一点M的竖向位移w： M点可以在荷载圆面积之外也可在之内。1.设M点为圆面积之外：当半空间体边界上受法向集中力P时，边界上距P点为r的点竖向位移为 qrraMs1s2sdsdyy圆面积均布荷载q对圆外M 点竖向位移影响可取一个微面元，距M点为s，角度为 y处，dA=sdyds ，dA上q 对M点影响： 整体圆面积荷载对M点影响为 而 , y1为

8、M点作为圆相切线 OM线的夹角为了简化积分将积分变量 y 转变为 q 由图形可见 asinq=rsiny , siny= asinq/r两边微分 acosqdq = rcosydyy的取值范围：由0 ® y1 q 的取值范围：0 ® p/2 第二类椭圆积分 第一类椭圆积分对于不同a/r可由椭圆积分表得到。2M点载荷在圆之外：圆内距M点s处微面积q对M点沉陷的影响仍为Maqysdsdyrmn 整个圆面积荷载引起M点沉陷为： 利用 asinq=rsiny , 第二类椭圆积分 当r= 0为圆心处沉陷：当r= a时圆周上沉陷：3.2 在z轴r=0上的应力和位移在z轴上的应力和位移比

9、同一水平面上其它点的应力和位移要大。1. 应力：由于z轴对称轴，所以在z 轴上的应力无剪应力，均为主应力： sr = sq、sz 2位移：z轴上的ur= 0，仅存在w 第四节 两球体之间的接触压力接触压力问题是在（机械）工程、土木工程中经常碰到的问题，接触问题在1881年由德国赫兹（Heinrich Herty）首先用数学弹性力学导出了计算公式。4.1 接触问题的特点：1两个弹性体互相接触，当无压力作用时，为点接触或线接触。当有压力作用时，弹性体发生变形，点接触（或线接触）变为面接触。2弹性体变形后的接触面为非常小的局部区域（相对于弹性体几何尺寸）所以可看成半空间（半无限平面）体法向受局部分布

10、力作用问题，但这里分布力q不是均匀的，同时q也未知，接触面的局部区域也是未知的。3不计接触面摩擦力。4.2 两球体之间的接触压力：M1rPPoz1z2O2O1M2arR2R1已知两球体变形前在o点接触，两个坐标系 roz1、roz2球1：E1 、n1、R1球2：E2 、n2、R2 距接触点z轴为r的两球表面上M1和 M2点的z坐标分别为（M1和M2与点o很近） , , 则 在已知P压力作用下，两球在接触点附近发生变形有一个接触面，根据对称性接触面为以a为半径的圆。1a为待求量，同时接触面上有接触压力q（待求），由于接触问题是局部变形，在球体远离o点的任意点位移为刚体位移。2两球内距o点很远处的

11、相对位移（刚体位移）为 a？下面要建立（找出）三个条件（几何、物理、平衡方程）寻求a 、q 和a。 求解：首先根据接触面变形（位移）来建立一个关系球1 接触面上o点、M1点沿z1轴位移为w1(o)、w1，而w1(o)=w1+ z1球2接触面上o点、M2点沿z1 z2轴位移为w2(o)、w2，而w2(o)=w2+ z2而w1(o) +w2(o)=w1+ z1+w2+ z2= w1+w2+b r2而w1(o) +w2(o)=a两球体距o点较远处两点的趋近距离。 a= w1+w2+b r2变性协调关系由于接触问题可看成半无限体受局部垂直分布力问题，w1和w2可以利用上一节的结果 Maqysdsdyrmnrrq0 相当物理和几何关系 代入 a= w1+w2+b r2 在此式中a 、q 和a未知，q 与P有关，为寻求解，赫兹假设接触面上的分布力q的分布为以a为半径的半球面乘q0/a，q0为接触面中心接触压力的集度