结构动力学16

1、三三.fgjytujytiuyti.fgjytujytiuyti简谐荷载作用简谐荷载作用下的直接解法下的直接解法txqtxqsin)(),(lxEIxm),(),(yx),(txyx运动方程为运动方程为),()(sin)( ),()(txyxmtxqtxyxEI ),(),(),(*txytxytxy设特解为设特解为txytxysin)(),(*)()()( )()(*2/*xyxmxqxyxEI 若梁是等截面梁，且若梁是等截面梁，且q(x)为常数为常数EIqxyEImxy/)()(*2)4*(令令EIm24EIqxyxy/)()(*4)4*(EIqxDchxCshxBxAxy4*/cossi

2、n)(例：试求图示梁跨中点稳态振幅，例：试求图示梁跨中点稳态振幅， 不计阻尼。已知：不计阻尼。已知：1585.0EIm,2/ltPsin2/l0)0(, 0)0( yy2/)2/(PlyEI 解：解：0qtPsin22/)2/(, 0)2/(PlQlyEIqxDchxCshxBxAxy4*/cossin)(0)0(DByxshDxchCxBxAxysincos)(xchDxshCxBxAxy2222cossin)( 0)0(22 DBy0, 0DBxCshxAxysin)(xchCxAxy33cos)( EIm,2/ltPsin2/ltPsin2例：试求图示梁跨中点稳态振幅，例：试求图示梁跨中

3、点稳态振幅， 不计阻尼。已知：不计阻尼。已知：1585.02/)2/(PlyEI 解：解：2/)2/(, 0)2/(PlQlyxchCxAxycos)(xchCxAxy33cos)( 02/2/cos)2/(lchClAlyEIPlchClAly2/2/2/cos)2/(33 2/cos143lEIPA2/143lchEIPCxCshxAxysin)()2/2/cossin()(433lchxshlxlEIPl例：试求图示梁跨中点稳态振幅，例：试求图示梁跨中点稳态振幅， 不计阻尼。已知：不计阻尼。已知：1585.0EIm,2/ltPsin2/l解：解：tPsin2)2/2/cossin()(4

4、)(33lchxshlxlEIPlxy44224/585.0lEIml /40.2)552.0sin76.2(0181.0)(3xshxEIPlxy2 .1, 2/xlxEIPlly30316.0)2/(EIPlEIPlyst330208.048练习题：试求杆端弯矩稳态幅值，不计阻尼。练习题：试求杆端弯矩稳态幅值，不计阻尼。2/lm EItPsin2/lmEIl22lm EItsin)1 ()2(5.4 5.4 自振频率的近似解法自振频率的近似解法一一. .能量法（瑞利法）能量法（瑞利法）按振型按振型i i做自由振动时做自由振动时弯曲应变能为弯曲应变能为lxEIxm),(),(yx),(txy

5、x)sin()(),(txXtxyii ldxyEItU02)(21)()cos()(),(txXtxyiii liidxxXEIt022)()(sin21动能为动能为ldxtxymtT02),(21)(liiidxxXmt0222)()(cos21 liliidxxXmdxxXEI02022)()(当有集中质量时当有集中质量时 liidxxXEIttU022)()(sin21)(liiidxxXmttT0222)()(cos21)( nkkikliliixXmdxxXmdxxXEI1202022)()()( nkkkllxXmdxxXmdxxXEI12102102121)()()(例：试求图

6、示楔形悬臂梁的基本频率。宽度例：试求图示楔形悬臂梁的基本频率。宽度b=1b=1。lx)(xh0h解：解：lxhxh/)(030)(121)(lxhxI设形状函数为设形状函数为21)1 ()(lxaxX0)(, 0)(11lXlX满足位移边界条件。满足位移边界条件。4201210210212125)()()(lEhxXmdxxXmdxxXEInkkkll lxhxm0)(Elh201581.1精确解为精确解为Elh201534.1例：试求图示对称刚架的基本频率。例：试求图示对称刚架的基本频率。解：解：EIPl3923)1321(156)(21xlxEIPxyl2m5 .1lmmEIEIEI4x1

7、yPx2yPl133Pl133Pl267Pl267)23(104)(222lxlxxEIPxyEIlPPU392132max柱的最大动能柱的最大动能ldxxymT0212max1)(212ldxxlxEIPm024222)1321()156(2722)(000877. 0EIlPm)(5 . 125 . 1 202222max2ldxxymlmT2722)(0039552. 0EIlPmEIPl3923l2m5 .1lmmEIEIEI4x1yPx2y)23(104)(222lxlxxEIPxyEIlPPU392132max柱的最大动能柱的最大动能2722max1)(000877. 0EIlPm

8、T梁的最大动能梁的最大动能刚架的最大动能刚架的最大动能2722max)(0048322.0EIlPmT4213063.5lmEImEIl2130.2例：试求图示等截面悬臂梁的基本频率。例：试求图示等截面悬臂梁的基本频率。EIm,lxlxX2cos1)(1解：解：1.1.设形状函数为余弦曲线设形状函数为余弦曲线xllxX2cos4)(221 lldxxXmdxxXEI02102121)()(lldxxlmdxxllEI020222)2cos1 (2cos44168.3lmEI精确解为精确解为41515.3lmEI精确解为精确解为41515.3lmEI例：试求图示等截面悬臂梁的基本频率。例：试求图

9、示等截面悬臂梁的基本频率。EIm,l解：解：1.1.设形状函数为余弦曲线设形状函数为余弦曲线4168.3lmEIxlxX2cos1)(12.2.设形状函数为抛物线设形状函数为抛物线321612)(xxlxX4157.3lmEI3.3.设形状函数为重力引起的位移曲线设形状函数为重力引起的位移曲线)146(12)(22221xlxlxlxX4153.3lmEI nkkkllxXmdxxXmdxxXEI12102102121)()()(形状函数为重力引起的位移曲线时形状函数为重力引起的位移曲线时nkkkllnkkkxXmdxxXmxgXmdxxgXm121021011121)()()()(二二. .

10、瑞利瑞利- -里兹法里兹法),(),()()()(21210210212nnliniiliniiaaaBaaaAdxxamdxxaEIxXR niiixaxX1)()(), 2 , 1(0niaRi), 2 , 1(0niaBBAaAii njljijinjjjlidxEIadxxaEIaA10102 )(22BAnjljijinjjjlidxmadxxamaB10102 )(2 njljijijnidxmEIa102)2 , 1(0)(令令dxmEIcljijiij 02)(njijjnica1)2 , 1(001212111nnacacac02222121nnacacac02211nnnn

11、nacacac0212222111211nnnnnnccccccccc例：试求图示楔形悬臂梁的基本频率。宽度例：试求图示楔形悬臂梁的基本频率。宽度b=1b=1。lx)(xh0h解：解：lxhxh/)(030)(121)(lxhxI设位移函数为设位移函数为2221)1 ()1 ()(lxlxalxaxXlxhxm0)(6)2(524)2(12)(2222122132020aaaaaalEhdxXEIAl 280105230)(222121020aaaalhdxxXmBl)2 , 1(02iaBaAii例：试求图示楔形悬臂梁的基本频率。宽度例：试求图示楔形悬臂梁的基本频率。宽度b=1b=1。lx)

12、(xh0h解：解：0)10530()28030)(3012(2242024202420lEhlEhlEhEl21535. 1精确解为精确解为Elh201534.1Elh201581.1瑞利法解瑞利法解误差：误差：0.07%误差：误差：3%0)10530()3012(2242012420alEhalEh0)28030()10530(2242012420alEhalEh三三. .集中质量法集中质量法1.1.静力等效的集中质量法静力等效的集中质量法lEIm,lm21lm41lm41lm31lm61lm61lm31lm41lm81lm81lm41lm414180. 9lmEI42412 .38,86. 9lmEIlmEI4342416 .84,2 .39,865. 9lmEIlmEIlmEI43424183.88,48.39,87. 9lmEIlmEIlmEI精确解为精确解为-0.7%-0.1%;-3.2%-0.05%;-0.7%;-4.8%2.2.动能等效的集中质量法动能等效的集中