第1章数学基础3-卷积、相关、傅里叶级数ppt

1、1-3 卷积卷积 convolution五、包含脉冲函数的卷积五、包含脉冲函数的卷积即任意函数与即任意函数与d d(x) 卷积后不变卷积后不变)()()()()(xfdxfxxfdd根据根据 1. d d-函数是偶函数函数是偶函数, 2. d d-函数的筛选性质函数的筛选性质, 有有:任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平移到脉冲所在的位置. f(x)*d(x - x0) = f (x - x0) f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形,用于描述各种重复性的结构.=*bbaaa利用卷积的位移不变性可得:练习练习0-9. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率

2、。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N.0-10. 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p位相板，透过率怎样变化？ldxy练习练习: 1-10 (透过率透过率 = 输出输出/输入输入)*=ldxyt (x, y)2/circ22lyxd (x+d/2) + d (x-d/2 ) =*p 位相板: 输出 = 输入 exp(jp ), 即: 透过率= exp(jp ) = -1d (x+d/2 - d (x-d/2)t (x, y)2/circ22lyx=*若右边园孔上加p 位相板, 则x0dlxyy利用卷积性质求卷积的例子利用卷积性质求卷积的例子练习练习0-

3、11 ：用图解法求图示两个函数的卷积：用图解法求图示两个函数的卷积f(x) * h(x) 若要求写出解析运算式:f(x) = ? +? 写成 tri(x) 的平移式h(x) = ? +? 写成d(x)的平移式利用卷积的线性性质利用d函数的卷积性质利用卷积的平移性质*=f(x)xAa-a0h(x)ka-ax0？练习练习 1-12 若f(x) * h(x) = g(x), 证明 (1) f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) (2) h(x) * f(x) = g(x) (3)bxgbbxhbxf1-4 相关相关 correlation信息处理中的重要运算信息处理中的重要运算一、互

4、相关一、互相关 cross correlation考虑两个复函数f(x)与g(x), 定义：作变量替换x+ = , 则 ) () (*)()()(dgxfxgxfxrfg(2)(1) 和 (2)两个定义式是完全等价的.为函数f(x)与g(x)的互相关函数.(1)dxgfxgxfxrfg)()(*)()()(互相关是两个函数间存在相似性的量度.1-4 相关相关 correlation一、互相关一、互相关 cross correlation(续续)与卷积的关系与卷积的关系由(2)式易见：(3)(*)()()(*)(xfxgdgxfxrfg 1. 当且仅当f*(-x)=f(x) f(x)是厄米的,

5、相关才和卷积相同. 一般情况下,相关运算与卷积运算的区别:f(x)要取复共轭运算时f(x) 不需折叠rfg(x)= rgf*(-x)(4)由(3)式直接推论得:2. 互相关不满足交换律rfg(x)=f(x) g(x) g(x) f(x) = rgf (x)相关计算要严格注意两个函数的顺序,以及哪个函数取复共轭.1-4 相关相关 correlation二、自相关二、自相关 auto-correlation或: ) (*) ()()()(dfxfxfxfxrff由(4)式立即可得:rff(x)= rff*(-x)复函数的自相关函数是厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数)实函数的自相关为实偶函数dx

6、ffxfxfxrff)(*)()()()(当f(x)=g(x)时,互相关变为复函数f(x)的自相关, 定义为1-4 相关相关 correlation二、自相关二、自相关 auto-correlation 重要性质重要性质)(*)()(*)()(xfxfdxffxrff由(3)式:若f(x)是实偶函数, 则:rff (x)= f(x) * f(x) , 其自相关就是自卷积对于非零复函数f(x), rff (0)0 为实值|rff (x)| rff (0) 证明: 利用施瓦兹不等式 （阅读：吕乃光傅里叶光学 P14-15）作业作业1-13. 证明实函数f(x，y)的自相关是实的偶函数，即： rff

7、(x，y) = rff(-x，-y)1-14. 已知函数 f(x) = rect (x+2) + rect (x-2) 求函数f(x) 的自相关，并画出图形。 第一章第一章 二维线性系统分析二维线性系统分析Analysis of 2-Dimensional Linear System 1-2 二维傅里叶变换二维傅里叶变换三角傅里叶级数三角傅里叶级数满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为三角傅里叶级数:展开系数零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开 , )2sin2cos(2)(1000nnnxnfbxnfaaxgpptt00)(2dxx

8、gatpt00)2cos()(2dxxnfxgantpt00)2sin()(2dxxnfxgbn 1 ), .2 , 1 , 0( 0tfn三角傅里叶展开的例子三角傅里叶展开的例子-1.201.2012345) 2cos(2xpp) 6cos(32xpp21前3项的和周期为t =1的方波函数.)6cos(32)2cos(221)(xxxfppppan fn013频谱图1/22/p-2/3p三角傅里叶展开的例子练习练习 0-15：求函数：求函数f(x)=rect(2x)*comb(x)的傅里叶级数展开系数的傅里叶级数展开系数1-2 二维傅里叶变换二维傅里叶变换指数傅里叶级数指数傅里叶级数满足狄氏

9、条件的函数满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期具有有限周期t t,可以在可以在(- ,+ )展为展为指数傅里叶级数指数傅里叶级数: 1 ), .2, 1, 0( , )2exp()(00tpfnxnfjcxgnn展开系数展开系数tpt00)2exp()(1dxxnfjxgcn零频分量零频分量, 基频基频, 谐频谐频, 频谱等概念频谱等概念指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表示方式，一种系数可由另一种系数导出。示方式，一种系数可由另一种系数导出。1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅

10、里叶变换函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:)1 2exp()1 2exp()(1)(22xnjdxxnjxgxgntptpttt展开系数Cn频率为n/t的分量22)1 2exp()(1)1 2exp()(tttpttpdxxnjxgCxnjCxgnnnn级谐波频率:n/t相邻频率间隔: 1/t1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:)1 2exp()1 2exp()(1lim)(22xnjdxxnjxgxgntptptttt由于由于t t 分立的分立的n级谐波频率级谐波频率 n/t t f, f: : 连续的频率变量连续的频率变量 相邻频率间隔相邻频率间隔: : 1/t t 0, 0, 写作写作df, 求和求和积分积分) 2exp() 2exp()()(fxjdxfxjxgdfxgpp展开