第9章压杆稳定

1、CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY1.明确稳定平衡、不稳定平衡和临界载荷的概念，理解明确稳定平衡、不稳定平衡和临界载荷的概念，理解两端铰支细长压杆临界载荷公式的推导过程。两端铰支细长压杆临界载荷公式的推导过程。2.理解长度系数理解长度系数的力学意义，熟练掌握四种常见约束条的力学意义，熟练掌握四种常见约束条件下细长压杆临界载荷的计算。件下细长压杆临界载荷的计算。3.明确压杆柔度、临界应力和临界应力总图的概念，熟明确压杆柔度、临界应力和临界应力总图的概念，熟练掌握大柔度

2、、中柔度和小柔度三类压杆的判别方法练掌握大柔度、中柔度和小柔度三类压杆的判别方法及其临界载荷的计算和稳定性校核方法。及其临界载荷的计算和稳定性校核方法。4.了解根据压杆性条件设计压杆截面尺寸的方法。了解根据压杆性条件设计压杆截面尺寸的方法。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY问题的提出问题的提出: :轴向拉压杆的强度条件：轴向拉压杆的强度条件：FFFFFF NFACHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY(A)(B)轴向拉压杆的强度条件：轴向拉压杆的强度条件： NFA（A） 木杆的横截面为矩形木杆的横截面为矩

3、形(1 2cm)， 高为高为3cm，到载荷重量为，到载荷重量为6 kN时杆还时杆还不致破坏。不致破坏。（B） 木杆的横截面与木杆的横截面与(A)相同，高为相同，高为 1.4m（细长压杆），当压力为（细长压杆），当压力为0.1KN时杆被压弯，导致破坏。时杆被压弯，导致破坏。(A)和和(B)竟相竟相差差60倍，为倍，为什么？什么？CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY1907年加拿大魁北克桥倒塌事故年加拿大魁北克桥倒塌事故CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY CHINA UNIVERSITY OF MININ

4、G AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY如何保证受压杆件的稳定性？如何保证受压杆件的稳定性？CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 刚性面上，刚性球受微干扰刚性面上，刚性球受微干扰稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡临界临界(随遇随遇)平衡平衡CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNO

5、LOGYEuler(1707-1783)首先从理论上研究了压杆稳定问题首先从理论上研究了压杆稳定问题(Euler理论理论）CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYF失稳（屈曲）失稳（屈曲）（1 1）当）当轴向力轴向力F 较小较小时，其时，其平衡形态为直线平衡形态为直线。一旦干扰力撤去，压杆仍可回到原来的直线一旦干扰力撤去，压杆仍可回到原来的直线平衡状态。平衡状态。（2）当）当轴向力轴向力F 较大较大时，如有一微小的侧向干扰时，如有一微小的侧向干扰力，压杆产生弯曲变形；力，

6、压杆产生弯曲变形；当侧向力去掉后，当侧向力去掉后，杆不能回到原来的直线平衡杆不能回到原来的直线平衡状态。而是处于曲线平衡状态。状态。而是处于曲线平衡状态。此时，原来的直线平衡状态是不稳定的此时，原来的直线平衡状态是不稳定的稳定的平衡稳定的平衡使杆件保持稳使杆件保持稳定平衡状态的定平衡状态的最大压力最大压力crF临界载荷临界载荷此时，原来的直线平衡状态是稳定的此时，原来的直线平衡状态是稳定的CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY使杆件保持稳定平衡状态的最大压力使杆件保持稳定平衡状态的最大压力 crF临界载荷临界载荷压杆的临界载荷压杆的临界载荷Fcr越大

7、，越不易失稳，即稳定性越好。越大，越不易失稳，即稳定性越好。u 研究压杆稳定性的关键是确定临界载荷。研究压杆稳定性的关键是确定临界载荷。失稳（屈曲）失稳（屈曲）稳定的平衡稳定的平衡不稳定的平衡不稳定的平衡crF 压杆失稳时，杆内的应力一般不高，有时甚至低于材料的比压杆失稳时，杆内的应力一般不高，有时甚至低于材料的比例极限。可见，压杆失稳并非强度不足。由于压杆失稳是例极限。可见，压杆失稳并非强度不足。由于压杆失稳是突然突然发发生的，因此所造成的后果也很严重。生的，因此所造成的后果也很严重。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY计算临界载荷是一个关键问题

8、，因为它决定了体系的稳定性计算临界载荷是一个关键问题，因为它决定了体系的稳定性。 临界载荷怎样计算？与那些因素有关临界载荷怎样计算？与那些因素有关？CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY一、两端铰支细长压杆的临界载荷一、两端铰支细长压杆的临界载荷wFxyOlxFMFwxM)(wxy将其代入挠曲线近似微分方程：将其代入挠曲线近似微分方程：22ddwFwxEI 引入记号：引入记号：EIFk 2222d0dwk wx即：即：02wkwCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY02qprrxrxrCCy21ee21xr

9、xCCy1e)(21)sincos(e21xCxCyx0 yqypy附：求二阶常系数齐次微分方程附：求二阶常系数齐次微分方程 的通解。的通解。特征方程为特征方程为21rr、两个不相等的实根两个不相等的实根 ，通解，通解21rr 两个相等的实根两个相等的实根 ，通解，通解i2, 1r一对共轭复根一对共轭复根 ，通解，通解CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY边界条件：边界条件：0B0sinklAkxAwsin挠曲线是一条挠曲线是一条正弦曲线正弦曲线0sinklkxBkxAwcossinkln, 2, 1, 0nlnkEIFk 2又), 2, 1, 0(

10、n222nEIFlwFxyOlxFMwxy0,0 xw当当,0 xl w当当02wkw通解通解：022kr特征方程特征方程i k有一对共轭复根有一对共轭复根CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY两端铰支细长压杆的临界载荷两端铰支细长压杆的临界载荷Fcr的计算公式的计算公式 两端铰支压杆的欧拉公式两端铰支压杆的欧拉公式说明：说明：( 1 ) Fcr与与 EI 成正比，与杆长成正比，与杆长 l 成反比；成反比；( 2 ) 如果截面对于不同轴的惯性矩如果截面对于不同轴的惯性矩 I 不同，确定临界压力需不同，确定临界压力需根据最小惯性矩根据最小惯性矩 Imi

11、n计算。即失稳总是在抗弯能力最小的纵计算。即失稳总是在抗弯能力最小的纵向平面内；向平面内；( 3 ) Fcr与与 杆件的支承条件有关。杆件的支承条件有关。wFxyOlxCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY22rclIEF两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式I 是取是取 Iy 还是还是 Iz ？CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND T

12、ECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力：为长度因数：为长度因数相当长度（为把压杆折算成两端铰支相当长度（为把压杆折算成两端铰支压杆的长度）压杆的长度）: l2cr2()EIFlCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY122rclIEF2)2(22rclIEF7 . 0)7 . 0(22rclIEF5 . 0)5 . 0(22rclIEFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLO

13、GY22rc)(lIEF242)(64ldE圆rc正rcFF2222)()(lIElIE圆正II正圆641244da64124422dd3解：解：(1)(2)例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界力为原压不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界力为原压杆的多少倍？若将压杆的横截面改变为面积相同的正杆的多少倍？若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的多少倍？方形截面，则其临界力为原压杆的多少倍？CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY内容回顾

14、内容回顾1 1 失稳（屈曲）：失稳（屈曲）： 轴向受压杆件，其原有（直线）平衡形式由稳定变为轴向受压杆件，其原有（直线）平衡形式由稳定变为不稳定的现象。不稳定的现象。 具有受压杆件结构的一种破坏方式具有受压杆件结构的一种破坏方式2 2 临界压力临界压力Fcr使杆件原有（直线）平衡形式为稳定的最大轴向压力使杆件原有（直线）平衡形式为稳定的最大轴向压力或：使受压杆件维持微小弯曲平衡的最小轴向压力或：使受压杆件维持微小弯曲平衡的最小轴向压力3 3 两端铰支细长压杆的临界载荷两端铰支细长压杆的临界载荷F Fcrcr的计算公式的计算公式 两端铰支压杆的欧拉公式两端铰支压杆的欧拉公式CHINA UNIVE

15、RSITY OF MINING AND TECHNOLOGY4、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力：为长度因数：为长度因数相当长度（为把压杆折算成两端铰支相当长度（为把压杆折算成两端铰支压杆的长度）压杆的长度）: l2cr2()EIFlCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY122rclIEF2)2(22rclIEF7 . 0)7 . 0(22rclIEF5 . 0)5 . 0(22rclIEFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同

16、，设例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设 F1和和F2 分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则(A) F1 = F2； (B) F1 F2 ； (D) 不能断定不能断定 F1和和 F2的关系。的关系。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY(a)ABFBDFB0ABF0BDFACFADF1FxyA 0 xF0sin1ADFF 0yF0cosADACFF1FFAC12FFADADFCDFDFDxy 0 xF0cosADCDFF1FFCD12FFAD12FFAD222aEI22122aEIFCHINA UNIVERSIT

17、Y OF MINING AND TECHNOLOGY(b)ABBD2FFFBDABBDABFF22aEI222aEIF12FF 例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设 F1和和F2 分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则(A) F1 = F2； (B) F1 F2 ； (D) 不能断定不能断定 F1和和 F2的关系。的关系。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYacrbcrFF2a22b2)()(lIElIEabII121234bhhhb3 8解：解：例：长方形截面细长压杆例

18、：长方形截面细长压杆, b / h = 1/2; 如果将如果将 b 改为改为h 后仍为细长杆后仍为细长杆, 临界力临界力Fcr 是原来的多少倍？是原来的多少倍？CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYyIImin443mm10912bh48m1092cr2yEIFlN103 .813kN3 .81zybhCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY7mFF6m4mF(a)(b)(c)图示材料相同，直径相等的细长圆杆中，图示材料相同，直径相等的细长圆杆中， 杆能承受杆能承受压力最大；压力最大； 杆能承受压力最小。杆能

19、承受压力最小。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：五根直径都为例：五根直径都为 d 的细长圆杆铰接构成平面正方的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系形杆系 ABCD, 如各杆材料相同如各杆材料相同, 弹性模量为弹性模量为 E。求。求图图 (a)、(b) 所示两种载荷作用下杆系所能承受的最所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大载荷。大载荷。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY22max2aIEF243128adE解解：(a) 杆杆 BD 受压，其余杆受拉受压，其余杆受拉22N2aIEFFBD(b) 杆杆 BD

20、 受拉，其余杆受压受拉，其余杆受压22max2aIEF243642adE22N2aIEFFABCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：图示结构例：图示结构, 1、2 两杆截面和材料相同，为细长压两杆截面和材料相同，为细长压杆。确定使载荷杆。确定使载荷 F 为最大值时的为最大值时的 角（设角（设 ）。2/0CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY)(cottanarc2解：欲使解：欲使 F 最大最大, 只有只有1、2 两杆同时达到各自的临界压力两杆同时达到各自的临界压力)2(sin) 1 (cos222N2

21、212N1lIEFFlIEFF221tanll2cot) 1 ()2(得得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY什么样的杆件属于细长压杆什么样的杆件属于细长压杆？2cr2()EIFlCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY9-4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式AFcrcr22)( lAEI临界应力：临界应力：惯性半径惯性半径 iAiI2222)( lAAEicr22ilE一、临界应力、柔度或细长比一、临界应力、柔度或细长比22Ecr欧拉临界应力公式欧拉临界应力公式il2cr2()EIF

22、l临界压力：临界压力：柔度柔度细长比细长比CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY二、二、 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围22crEPP2EP21E满足此式的压杆，称为满足此式的压杆，称为或或1 在推导欧拉公式时在推导欧拉公式时, 使用了挠曲线的近似微分方程使用了挠曲线的近似微分方程)(xMwIE 在推导该方程时，应用了胡克定律。因此在推导该方程时，应用了胡克定律。因此, 欧拉公式也欧拉公式也只有在满足胡克定律时才能适用：只有在满足胡克定律时才能适用：p21E6921020010206100对于对于A3A3钢，取钢，取 ， , ,则则MPa200

23、GPa206pECHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYbarc直线公式直线公式: :式中式中 a、b 是与材料性质有关的系数。是与材料性质有关的系数。 当压杆的长细比当压杆的长细比 时，欧拉公式已不适用。在工程上，时，欧拉公式已不适用。在工程上，一般采用经验公式，在我国的设计手册和规范中给出的是直线公式一般采用经验公式，在我国的设计手册和规范中给出的是直线公式和抛物线公式。和抛物线公式。1三、临界应力的经验公式三、临界应力的经验公式b / (MPa) 1.122.5683.7445.2961.4542.150.19a / (MPa) 30446157

24、89807332.237328.7材材 料料 A3钢钢优质碳钢优质碳钢硅硅 钢钢铬钼钢铬钼钢铸铸 铁铁强强 铝铝松松 木木直线公式的系数直线公式的系数a 和和bCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYsrcba则经验公式的适用范围则经验公式的适用范围对于塑性材料：对于塑性材料：bas即即bas2记记12对于脆性材料：对于脆性材料：bs称称中柔度杆中柔度杆或或中长杆中长杆对于对于 的杆，不存在失稳问题，应考虑强度问题的杆，不存在失稳问题，应考虑强度问题2下面考虑经验公式的适用范围：下面考虑经验公式的适用范围：CHINA UNIVERSITY OF MIN

25、ING AND TECHNOLOGY211rcba 经验公式中，抛物线公式的表达式为经验公式中，抛物线公式的表达式为0若若称为称为小柔度杆小柔度杆或或短粗杆短粗杆。 此时压杆一般不发生失稳，其破坏大多由强度不够引起：此时压杆一般不发生失稳，其破坏大多由强度不够引起：bscr 脆性材料脆性材料 塑性材料塑性材料式中式中 、 也是与材料性质有关的系数，可在有关的设计手册和也是与材料性质有关的系数，可在有关的设计手册和规范中查到。规范中查到。1b1aCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYsrc22rcEbarc1122四、临界应力总图四、临界应力总图CHI

26、NA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY临界应力总图临界应力总图CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：图示圆截面压杆例：图示圆截面压杆 ， 。求可。求可以用经验公式以用经验公式 计算临界应力时的最计算临界应力时的最小杆长。小杆长。MPa235mm40sdMPa)(12. 1304crbas26 .6112. 1235304解：解：2il由由m88. 07 . 0404. 06 .612il得得另解：另解：scr12. 1304CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY

27、例：截面为例：截面为 的矩形压杆两端用柱形铰联接的矩形压杆两端用柱形铰联接 (在在 x y平面内弯曲时，可视为两端铰支；在平面内弯曲时，可视为两端铰支；在 x z 平面内弯曲时，可平面内弯曲时，可视为两端固定视为两端固定)。已知。已知 。试求压杆的临界载荷。试求压杆的临界载荷。hbMPa200pGPa,200mm,50mm,30EhbCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解：解：114 .15912/05. 03 . 21zyxil在在 x y 平面内平面内3 .99p21E128 .13212/03. 03 . 25 . 0yzxil在在 x z

28、平面内平面内因为因为 ，所以杆首先在所以杆首先在 x y 平面内失稳平面内失稳 zxyxkN11722rcyxAEFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY9-5 9-5 压杆稳定校核压杆稳定校核22cr)( lEIFAba)(AFcrcrstmaxcrnFFnstmaxcrnnstn式中，式中，-压杆所受最大工作载荷压杆所受最大工作载荷-压杆的临界压力压杆的临界压力-压杆的规定稳定安全系数压杆的规定稳定安全系数crFmaxFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYstcrnFFn22cr)( lEIF9-6

29、提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY（1） 对对大柔度杆大柔度杆，临界压力仅与材料的弹性模量，临界压力仅与材料的弹性模量E有关，而不同有关，而不同金属材料金属材料 E 相差不大，故相差不大，故选择优质钢材对提高稳定意义不大选择优质钢材对提高稳定意义不大;中柔度杆中柔度杆选择高强度优选择高强度优质钢材对提高稳定具有一定意义。质钢材对提高稳定具有一定意义。IAlilCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYzyII zyII AIlAIlyyzzyyzzIlIlCHINA

30、UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY30ABCD1500500F图 示 托 架 ，图 示 托 架 ， A B 杆 为 圆 管 ， 外 径杆 为 圆 管 ， 外 径 D=50mm，内径，内径d=40mm，两端为球铰，材，两端为球铰，材料为料为A3钢，钢，E=206MPa，1=100，若规定，若规定稳定安全系数稳定安全系数nst=3，试确定托架的许可载，试确定托架的许可载荷荷F。解：解：30BCD1500500分析杆分析杆CD 的受力的受力FABF 0CM05 . 130sin2ABFFFFAB38杆杆AB 的惯性半径：的惯性半径：AIi )(4)(642244d

31、DdD422dD mm164405022杆杆AB 的长度：的长度：30cos1500ABlmm1730杆杆AB 的柔度：的柔度：il016. 073. 111081杆杆AB 为为大柔度杆大柔度杆。112CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY杆杆AB 的稳定性条件：的稳定性条件：crstABFnnFcrstABFFn31054.121833FkN2 .152cr2ABEIFl212446273. 11064/ )4050(10206N1054.121330ABCD1500500F30BCD1500500FABFFFAB38stcr38nFF stcr83nFF CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY =350MPa P=280MPa E l d Pnst 解：解：（1）确定压杆为）确定压杆为还是还是il4/1045107031335 .62692102801021086MPa461aMPa568. 2b568. 23504612 .43bas2P21E12CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYbacr5 .6210568. 21046166Pa103016crc