-角动量定理角动量守恒定律

1、太原理工大学物理系太原理工大学物理系2-5 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 自然界中常见物体绕某中心旋转的情况，如自然界中常见物体绕某中心旋转的情况，如: :地球绕太阳的公转，原子中电子的运动等。仅地球绕太阳的公转，原子中电子的运动等。仅用动量描述物体的运动是不够的，需要引入描用动量描述物体的运动是不够的，需要引入描写物体旋转运动的物理量写物体旋转运动的物理量角动量角动量. . 学习本节注意：将角动量与动量，角动量学习本节注意：将角动量与动量，角动量定理与动量定理，角动量守恒定律与动量守恒定理与动量定理，角动量守恒定律与动量守恒定律间进行类比定律间进行类比. . 角动量定理

2、角动量定理和和角动量守恒定律角动量守恒定律是物理学中是物理学中的基本概念和规律。的基本概念和规律。太原理工大学物理系太原理工大学物理系一、质点对定点的角动量一、质点对定点的角动量质点质点m在某时刻的动量为在某时刻的动量为该时刻对某定点该时刻对某定点o o的矢径为的矢径为 rPrL方向：垂直方向：垂直 组成的平面组成的平面Pr，sinPrL大小：大小：则此时刻质点则此时刻质点m对固定点对固定点 o的角动量为的角动量为vrLLvmrxyzovmP 太原理工大学物理系太原理工大学物理系2 2） 同一质点相对于不同的点，角动量不同。同一质点相对于不同的点，角动量不同。4 4）质点以角速度）质点以角速度

3、 作半径为作半径为r的的圆运动，相对圆心的角动量圆运动，相对圆心的角动量 讨论讨论: :Lrpmo2mrrmLv1 1）在物理学中，位矢与一个矢量的叉积称为这）在物理学中，位矢与一个矢量的叉积称为这个矢量的矩，角动量个矢量的矩，角动量也称也称动量矩动量矩。3 3） 在说明质点的角动量时，必须指明是对在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。哪个点而言的。太原理工大学物理系太原理工大学物理系FrM t 时刻力的大小方向和作用位置如图所示时刻力的大小方向和作用位置如图所示dFM力对定点力对定点o 的力矩的力矩二、力对定点的力矩二、力对定点的力矩sinFrM大小：大小：力矩等于力乘力臂力矩等于

4、力乘力臂方向：垂直方向：垂直 组成的平面组成的平面Fr,MOrdFm讨论讨论1）角动量角动量和和力矩力矩均与选择的均与选择的点有关点有关.太原理工大学物理系太原理工大学物理系2）对轴的角动量）对轴的角动量()()xyzLxiyjzkP iP jP kkzj yi xrPrL对定点对定点o的角动量的角动量kpjpippzyx在直角坐标系中在直角坐标系中xyzijkxyzppp L太原理工大学物理系太原理工大学物理系kypxpjxpzpizpypLxyzxyz)()()(xyzLLiL jLkyzxzpypL可以得出角动量在可以得出角动量在x轴方向的分量轴方向的分量角动量在角动量在y轴方向的分量轴

5、方向的分量zxyxpzpLxyzypxpL角动量在角动量在z轴方向的分量轴方向的分量太原理工大学物理系太原理工大学物理系角动量在某一方向的分量称为对该角动量在某一方向的分量称为对该轴的角动量轴的角动量。zomrvoxy平面平面 当质点在当质点在oxy平面内运动平面内运动时，选平时，选平面内的参考点面内的参考点o作为坐标原点，质点作为坐标原点，质点对对o点的角动量只在点的角动量只在z轴上有分量，此轴上有分量，此时质点对时质点对o点的角动量也称质点对点的角动量也称质点对z轴轴的角动量。的角动量。0 xL0yLLLz太原理工大学物理系太原理工大学物理系3）对轴的力矩）对轴的力矩MrF力对定点力对定点

6、o的力矩的力矩kzj yi xrkFjFiFFzyx在直角坐标系中在直角坐标系中() ()xyzMxiyjzkF iF jF kxyzijkxyzFFF M 太原理工大学物理系太原理工大学物理系xyzMM iM jM kkyFxFjxFzFizFyFMxyzxyz)()()(yzxzFyFM可以得出力矩在可以得出力矩在x轴方向的分量轴方向的分量力矩在力矩在y轴方向的分量轴方向的分量zxyxFzFMxyzyFxFM力矩在力矩在z轴方向的分量轴方向的分量太原理工大学物理系太原理工大学物理系力矩在某一方向的分量称为力对该力矩在某一方向的分量称为力对该轴的力矩轴的力矩。zomrFoxy平面平面 当质点

7、在当质点在oxy平面内运动平面内运动时，质点时，质点所受的力也在该平面时，角动量和力所受的力也在该平面时，角动量和力矩只有在矩只有在z轴有分量。轴有分量。0 xL0yLLLz0 xM0yMMMz太原理工大学物理系太原理工大学物理系三、质点的角动量定理三、质点的角动量定理tPFdd由牛顿第二定律由牛顿第二定律tPrFrdd两边用位矢叉乘两边用位矢叉乘ptrprttprdd)(dddd)(ddddprttprvtrdd0 pv由速度定义由速度定义dtLd太原理工大学物理系太原理工大学物理系角动量定理的微分形式角动量定理的微分形式或写成或写成LtMdd 质点对某定点的质点对某定点的角动量角动量对对时

8、间时间的的变化率变化率等于等于质点所受合外力对该点的质点所受合外力对该点的力矩力矩。 质点受力矩作用，质点的角动量将改变。质点受力矩作用，质点的角动量将改变。tLMdd若力矩在若力矩在t1-t2的时间段对质点作用的时间段对质点作用LtMdd 对对 两边积分得角动量定理积分形式两边积分得角动量定理积分形式太原理工大学物理系太原理工大学物理系称为称为冲量矩冲量矩反映力矩在一段时间过程内的积累作用效果。反映力矩在一段时间过程内的积累作用效果。221121ttttMdtdLLL 质点的角动量定理：质点的角动量定理：在一段时间过程中，在一段时间过程中，质点所受的质点所受的冲量矩冲量矩，等于质点，等于质点

9、角动量的增量。角动量的增量。tMttd2112LL质点角动量的增量质点角动量的增量太原理工大学物理系太原理工大学物理系四、四、 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 由角动量定理，由角动量定理， 如果如果 则则 0M 0dLdt1）角动量守恒定律的条件角动量守恒定律的条件0M 讨论讨论有有 =恒矢量恒矢量L2） 力的作用线始终通过某定点的力称为力的作用线始终通过某定点的力称为有心有心力力。该定点为。该定点为力心力心。有心力对力心的力矩恒为零。有心力对力心的力矩恒为零。在有心力作用下，质点的角动量守恒。在有心力作用下，质点的角动量守恒。 太原理工大学物理系太原理工大学物理系3）动量守恒与角动

10、量守恒是相互动量守恒与角动量守恒是相互独立独立的定律。的定律。如行星运动如行星运动动量不守恒动量不守恒角动量守恒角动量守恒如行星绕太阳运动，对太阳角动量守恒。如行星绕太阳运动，对太阳角动量守恒。 o1vF2v4）角动量守恒定律是物理学的基本定律之一。角动量守恒定律是物理学的基本定律之一。不仅适用于宏观体系，也适用于微观系统。不仅适用于宏观体系，也适用于微观系统。 太原理工大学物理系太原理工大学物理系例例1 一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿过中心的线拉住过中心的线拉住 。开始时绳半径为。开始时绳半径为r1 ，小球速，小球速率为率为 v1 ；后来，往下拉绳子

11、，使半径变为；后来，往下拉绳子，使半径变为 r2 ，小球速率变为小球速率变为 v2 ，求，求v2 =？解：解：小球的小球的合外力矩为合外力矩为 0 ，故角动量守恒，故角动量守恒 。 有：有：L = mvr = 恒量恒量 即：即： m v1 r1 =m v2 r22112rrvv 太原理工大学物理系太原理工大学物理系 1.质点系对定点的角动量质点系对定点的角动量iiiiiPrLL五、质点系的角动量与角动量守恒五、质点系的角动量与角动量守恒iiiPrL第第i个质点对个质点对o点的角动量点的角动量质点系对质点系对o点的角动量点的角动量2P2r1P1ro 质点系对质点系对o点的角动量等于系统中各质点点

12、的角动量等于系统中各质点对同一点角动量的矢量和。对同一点角动量的矢量和。太原理工大学物理系太原理工大学物理系2.质点系的角动量定理质点系的角动量定理if用用 表示第表示第i个质点所受内力之和个质点所受内力之和iF用用 表示第表示第i个质点所受外力之和个质点所受外力之和对对 mi 使用角动量定理：使用角动量定理：iiiiifrFrdtLd对上式求矢量和对上式求矢量和iiiiiiiifrFrdtLd太原理工大学物理系太原理工大学物理系dtLdLdtddtLdiiii等式左边等式左边iiiiiifrFr等式右边等式右边iiiFr质点系受到的合外力质点系受到的合外力矩矩iiifr质点系受到的内力矩的矢

13、量和质点系受到的内力矩的矢量和太原理工大学物理系太原理工大学物理系0iiifr可以证明：可以证明：内力对定点的力矩之和为零，内力对定点的力矩之和为零，即即质点系内的重要结论之三质点系内的重要结论之三 tLMdd外质点系的角动量定理：质点系的角动量定理：质点系对某定点的角动量的质点系对某定点的角动量的时间变化率等于质点系对该点的合外力矩。时间变化率等于质点系对该点的合外力矩。 iiiFrM有有太原理工大学物理系太原理工大学物理系结论：结论：1）内力对定点的力矩之和为零。）内力对定点的力矩之和为零。2）只有外力矩才能改变系统的总角动量。）只有外力矩才能改变系统的总角动量。xyzLLiL jLk3.

14、质点系的对轴的角动量质点系的对轴的角动量tLMxxdd质点系对质点系对x轴的角动量定理轴的角动量定理xyzMM iM jM k太原理工大学物理系太原理工大学物理系4 质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律 质点系的角动量守恒定律可以表示为三质点系的角动量守恒定律可以表示为三个分量形式个分量形式tLMxxddtLMyyddtLMzzdd 如果如果 ，0M 当质点系对某点的合外力矩为零时，则质点当质点系对某点的合外力矩为零时，则质点系对该点的角动量保持不变，称为系对该点的角动量保持不变，称为角动量守恒定角动量守恒定律。律。有有 =恒矢量恒矢量L太原理工大学物理系太原理工大学物理系AB例例2 半径为半径为r的轻滑轮，中心轴水平固定，其上穿的轻滑轮，中心轴水平固定，其上穿过一根轻绳，质量相同的两个人过一根轻绳，质量相同的两个人A、B，相对绳子，相对绳子以不同的速率从同一高度同时向上爬，问哪个先以不同的速率从同一高度同时向上爬，问哪个先到达顶