高等计算流体力学-01

1、高等计算流体力学任玉新目标 了解和掌握计算流体力学主流和前沿计算方法 提高算法设计和编程能力 锻炼文献调研，自学，结果分析及整理的能力举一举一反三反三注重注重实践实践参考书 1 E. F. Toro, Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics, Springer, 1997 (First edition) 2 J.D. Anderson, Computational fluid dynamics: basics with applications, Springer (清华大学出版社影印版清华大学出版社影印版) 3 Bar

2、th and Deconinck (eds.) High order method for computational physics, Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 9. Springer, 1999 4 T. J. Chung, Computational fluid dynamics, Cambridge University Press, 2002 5 任玉新，陈海昕，计算流体力学基础，清华大学出任玉新，陈海昕，计算流体力学基础，清华大学出版社版社2006。训练考核内容 平时作业（包括上机作业）平时作业（

3、包括上机作业） 课程课程Project （分组分组？） 专题论文专题论文 口试口试教师与助教 教师：教师：任玉新任玉新 电话：电话：85543， Email： 地址：逸夫楼地址：逸夫楼1505 助教：郭晨曦助教：郭晨曦 电话：电话：97713， Email： 地址地址：逸夫楼：逸夫楼1505主要内容 可压缩流动的数值方法基础可压缩流动的数值方法基础 不可压缩流动不可压缩流动得数值方法基础得数值方法基础 计算计算流体流体程序设计程序设计实习实习 专题选讲专题选讲 紧紧致（致（Compact）格式格式及其他高分辨率格式及其他高分辨率格式 非结构网格上的非结构网格上的数值方法数值方法 ENO/WEN

4、O格式格式 Discontinuous Galerkin格式格式 不可压缩流动数值方法的不可压缩流动数值方法的进一步进一步讨论讨论第一部分概述与回顾概述与回顾概念框架流体力学问题基本方程和定解条件数值方法 网格生成 计算计算方法方法计算程序、软件 程序设计 调试 软件工程数值计算 计算机 并行计算数据处理和分析验证及确认理论流体力学计算流体力学基本方程基本方程第一讲NavierStokes方程方程 流体力学的基本方程是计算流体力学的基流体力学的基本方程是计算流体力学的基础。流体的运动满足质量守恒，动量守恒础。流体的运动满足质量守恒，动量守恒和能量守恒的规律。在牛顿流体范围内，和能量守恒的规律。

5、在牛顿流体范围内，这些规律可以用这些规律可以用NavierStokes方程描述方程描述（在（在CFD中常把连续方程、动量方程和能量中常把连续方程、动量方程和能量方程通称方程通称NavierStokes方程）。方程）。积分型和微分型方程积分型和微分型方程 上面所述的积分型方程直观地反映了质量、动量的守恒关上面所述的积分型方程直观地反映了质量、动量的守恒关系，称为守恒型积分方程。系，称为守恒型积分方程。 由守恒型积分方程直接应用由守恒型积分方程直接应用Gauss定理，并考虑到控制体定理，并考虑到控制体形状的任意性后得到的微分型方程称为守恒型微分方程。形状的任意性后得到的微分型方程称为守恒型微分方程

6、。显然，上面给出的微分型方程即为守恒型微分方程。显然，上面给出的微分型方程即为守恒型微分方程。 守恒型微分方程的特点是：所有空间导数项均为散度的形守恒型微分方程的特点是：所有空间导数项均为散度的形式。守恒的微分和积分型方程，都可以称作守恒律式。守恒的微分和积分型方程，都可以称作守恒律（conservation law）。空间导数不是散度形式的微分型方）。空间导数不是散度形式的微分型方程，称为非守恒型方程。程，称为非守恒型方程。0SddStV n()0ddt V()0tV0t VV非守恒型方程积分型方程和微分型方程的差别积分型方程和微分型方程的差别 积分型方程允许在控制体内部流动参数有间断；积分

7、型方程允许在控制体内部流动参数有间断； 而微分型方程假定流动参数是可微的，因而是连而微分型方程假定流动参数是可微的，因而是连续的。续的。 当从积分型方程推导微分型方程时，这一点可以看得当从积分型方程推导微分型方程时，这一点可以看得很清楚：在推导过程中我们要利用很清楚：在推导过程中我们要利用Gauss公式，而使用公式，而使用Gauss公式的条件是变量是连续可微的。公式的条件是变量是连续可微的。 积分型方程可以认为是比微分型方程更为基本的积分型方程可以认为是比微分型方程更为基本的方程，尤其是流场中确实存在间断（如激波）时。方程，尤其是流场中确实存在间断（如激波）时。守恒型方程的意义守恒型方程的意义

8、 流体力学基本方程可以写成多种形式，包括守恒型和非守流体力学基本方程可以写成多种形式，包括守恒型和非守恒型。恒型。 从理论流体力学的角度，各种形式的方程都是等价的。从理论流体力学的角度，各种形式的方程都是等价的。 从计算流体力学角度，基于守恒型方程的数值方法可以直从计算流体力学角度，基于守恒型方程的数值方法可以直接用来计算有间断（如激波）的流场，而不用对间断进行接用来计算有间断（如激波）的流场，而不用对间断进行任何特殊处理，这种基于守恒型方程的数值方法称为任何特殊处理，这种基于守恒型方程的数值方法称为激波捕捉（shockcapturing）方法。）方法。 而基于非守恒型方程的数值方法一般不能正

9、确的计算有激而基于非守恒型方程的数值方法一般不能正确的计算有激波间断的流场。为了处理有间断的流动，基于非守恒型方波间断的流场。为了处理有间断的流动，基于非守恒型方程的数值方法必须与一种称为程的数值方法必须与一种称为激波装配（shockfitting）的方法联合使用。的方法联合使用。激波装配与激波捕捉方法激波装配与激波捕捉方法 激波装配，就是把激波从流场中分离出来，当作激波装配，就是把激波从流场中分离出来，当作边界处理。边界处理。 激波装配方法的优点是可以准确的计算激波的位置，激波装配方法的优点是可以准确的计算激波的位置，缺点是非常复杂且不够通用。缺点是非常复杂且不够通用。 激波捕捉，直接求解守

10、恒型方程计算流场，无需激波捕捉，直接求解守恒型方程计算流场，无需对间断进行任何特殊处理。对间断进行任何特殊处理。 激波捕捉方法非常简单，但是计算出的激波不是理想激波捕捉方法非常简单，但是计算出的激波不是理想的间断，而是有几个网格的厚度的大梯度结构。的间断，而是有几个网格的厚度的大梯度结构。 随着现代高精度、高分辨率数值方法的发展，激波捕随着现代高精度、高分辨率数值方法的发展，激波捕捉方法的质量不断提高，已经占有主导地位。捉方法的质量不断提高，已经占有主导地位。边界条件边界条件CFD中流体力学方程常用的计算形式：中流体力学方程常用的计算形式：直角坐标系下的守恒型方程直角坐标系下的守恒型方程 ()

11、()()0vvvtxyzUFFGGHHNS：守恒变量（守恒变量（conservative variables） uvwE U222()()()uvwupvuuwuvvpvwuwvwwpEp uEp vEp wFGH无粘通量000 xyxxxzyyxyzyvvvyzxzzzxyyyyzxxxyxzxzzyzzTTTuvwkuvwkuvwkyxzFGH粘性通量0EulertxyzUFGH忽略NS方程的粘性和热传导，所得到的方程为方程Euler：N-S方程的无量纲化方程的无量纲化采用无量纲方程的优缺点采用无量纲方程的优缺点 无量纲方式可以无量纲方式可以任意任意)/(,/,/,/,/,/2*UppTT

12、TLUttUuuLxxzGyGxGzUFyUFxUFtU321321)()()(EwvuU)()(21pEuuwuvpuuUF)()(22pEvvwpvuvvUF)()(23pEwpwwvwuwUF1312111312111Re0)(wvuxTPCUGrp2322212322212RePr0)(wvuyTCUGp3332313332313RePr0)(wvuzTCUGpjidivVxujixuxuiiijjiij),322(Re),(Re),2(222wvueE出现的无量纲参数： *ReLU)(,*2*TRaaUMa 不同的无量纲方式得到的方程的形式不同无量纲状态方程：TMap2121Copy

13、right by Li XinliangN-S方程的简化方程的简化1） 不可压情况下2） 无粘(无热传导)（Euler方程）0 V11)(pFVVVt通常：const0dtd2/ )()(VVVVVVVV变形：V1假设粘性系数为常数（温度变化较小的情况）22Copyright by Li Xinliang 2.2 偏微方程的分类及特征偏微方程的分类及特征1. 一阶偏微方程一阶偏微方程),(),(),(yxcyuyxbxuyxa采用特征线法，可转化为常微分方程采用特征线法，可转化为常微分方程)();(syysxx考虑曲线G:)();(syysxxdsdyyudsdxxusu显然， 沿着该曲线G有

14、：如果该曲线G满足：bdsdyadsdx则有：cyubxuasu偏微方程在特征线上变成了常微分方程偏微方程在特征线上变成了常微分方程特征线特征线特征相容关系特征相容关系23Copyright by Li Xinliang 特例：常系数线性单波方程特例：常系数线性单波方程0 xuatu特征线G ： 0atx特征关系式 ： 或 .constuG0Gsu扰动沿特征线以有限速度传播的方程称为扰动沿特征线以有限速度传播的方程称为“双曲型双曲型”方程方程 基本特征：基本特征： 扰动以有限速度传播扰动以有限速度传播 局部依赖关系局部依赖关系 - “ 依赖域依赖域”、 “影响域影响域”24Copyright

15、by Li XinliangTmuuuxt),.,(021UUAU2. 一阶常系数偏微方程组一阶常系数偏微方程组如果矩阵如果矩阵A 可以被对角化：可以被对角化：SSA1),.,(21mdiagSUV 0 xtUSSU10 xtUSUS令：有0 xtVV即： 0 xvtvjjjm个方程完全解耦，解耦， 可独立求解可独立求解有有m 条特征线：条特征线：0txjm个特征相容关系式个特征相容关系式：.constvjG如果矩阵如果矩阵A能够（相似变换）对角化，则原方程是能够（相似变换）对角化，则原方程是双曲型双曲型的的25Copyright by Li Xinliang 如果矩阵如果矩阵A 具有具有m个

16、实特征值，个实特征值， 这些特征值共具有这些特征值共具有m个线性无关的个线性无关的特征向量，特征向量， 则称为则称为双曲型方程双曲型方程 一阶拟线性偏微分方程组和m条特征线上的m个特征相容关系（常微分方程）等价。 如果如果A A的特征值为的特征值为m m重根，而且对应的独立特征向量数小于重根，而且对应的独立特征向量数小于m m，则称为，则称为抛抛物型物型方程。方程。 如果其如果其A A的特征值均为复数，则称为的特征值均为复数，则称为椭圆型椭圆型方程方程组合情况：组合情况： 双曲双曲- -椭圆型椭圆型 双曲双曲- -抛物型抛物型思考题：思考题： 如果如果A为变系数情况？为变系数情况？26Copy

17、right by Li Xinliang3. 高阶偏微方程高阶偏微方程 可转化为一阶方程组可转化为一阶方程组) 1 (22222dyfcyxfbxfayfvxfu,原方程化为一阶方程组：原方程化为一阶方程组：)2(yuxvdyvcyubxua0/01/advuyacabvux转化为一阶偏微方程组转化为一阶偏微方程组01/acabA矩阵矩阵) 3(002cbaAI00042acb特征方程（特征方程（3）有两个互异实根）有两个互异实根 - 矩阵矩阵A可对角化可对角化 - 双曲型双曲型 特征方程（特征方程（3） 有两个相同实根，且无法对角化有两个相同实根，且无法对角化 - 抛物型抛物型特征方程（特征

18、方程（3）无实根）无实根 - 椭圆型椭圆型对于变系数情况，对于变系数情况， 局部讨论局部讨论27Copyright by Li Xinliang4. 讨论讨论Euler方程组方程组0Utxf(U)(2pEupuuEuf(U)UxxUAf(U)uucucuuu22232223112)2(1)3(2/)3(010UfA将矩阵将矩阵A对角化对角化SSA1321000000cucuu321,一维非定常一维非定常Euler方程转化为方程转化为三个单波方程三个单波方程 扰动波分别以速度扰动波分别以速度 传播传播一维非定常流动：28Copyright by Li Xinliang二维二维非定常非定常Eule

19、r方程组方程组0yxtg(U)f(U)f(U)xxUAf(U)SSA1),(4321diagcucuuu4321,29Copyright by Li Xinliang二维定常二维定常Euler方程方程2222222222222122222222221,23,42222200()0()100000ABCxyxyvvuvuuauau uauvavuauauaCA Bvuuvauuvuauauavuva uvaCIuuauvaWWWW特征方程：，特征值：，2222221 (0101MuvaMuvaM超音速） 四个独立特征向量双曲型（亚音速）一对复根椭圆-双曲型（音速）两组重根，第二组重根退化抛物-双

20、曲型30Copyright by Li Xinliang模型方程及其数学性质简化的模型方程：简化的模型方程：l 线性单波方程线性单波方程 最简单的双曲型方程最简单的双曲型方程l 热传导方程热传导方程 抛物型抛物型l Laplace方程方程椭圆型椭圆型l Burgers方程方程抛物型抛物型目的：目的： 通过简化模型方程，研究流体力学方程组的数学性质及计算方法通过简化模型方程，研究流体力学方程组的数学性质及计算方法偏微分方程的分类：DyCyxBxA22222042 ACB椭圆型042 ACB抛物型042 ACB双曲型31Copyright by Li Xinliang1. 线性单波方程线性单波方程

21、0 xuctu)()0 ,(xxu方程的精确解：方程的精确解：)(),(ctxtxu含义：含义： 以常速度以常速度c向右传播。向右传播。 波形，振幅保持不变波形，振幅保持不变ABc0 扰动波向右传播：扰动波向右传播： 左端左端(A)需要给定边界条件；需要给定边界条件； 右端右端(B)只能被动接受，无法给定边界条件只能被动接受，无法给定边界条件 （即使给定，对计算域也无任何影响（即使给定，对计算域也无任何影响, 且造成且造成B端的非适定性）。端的非适定性）。c0 扰动波向左传播：扰动波向左传播： 右端右端(B)需要给定边界条件；需要给定边界条件； 左端左端(A)无需给定无需给定线性单波方程的边界

22、条件线性单波方程的边界条件:对于初值问题，如果微分方程解的定解域中存在、唯一、且连续依赖对于初值问题，如果微分方程解的定解域中存在、唯一、且连续依赖于初始值，则称数学问题的提法是于初始值，则称数学问题的提法是适定的适定的。对流方程的典型模型对流方程的典型模型32Copyright by Li XinliangxtxaxbAdxadtdxadt (,)PPP xtPPxatPPxat1)波动方程有两条特征线和两个特波动方程有两条特征线和两个特征相容关系；每个特征相容关系携征相容关系；每个特征相容关系携带了偏微分方程的部分信息，在相带了偏微分方程的部分信息，在相应的特征线上传播，信息传播的速应的特

23、征线上传播，信息传播的速度就是相应特征值。度就是相应特征值。 特点特点:2)两条特征线上的特征相容关系综合起来，和原来的两条特征线上的特征相容关系综合起来，和原来的偏微分方程是等价的。利用特征相容关系和初始值，偏微分方程是等价的。利用特征相容关系和初始值，我们可以得到波动方程初值问题的解。这种求解双曲我们可以得到波动方程初值问题的解。这种求解双曲型方程的方法称为特征线法。型方程的方法称为特征线法。 0dxffaadttxdxuuaafdttx 沿特征线，有沿特征线，有22222uuatx33Copyright by Li XinliangxtxaxbAdxadtdxadt (,)PPP xtP

24、PxatPPxat4)边界条件边界条件边界条件个数=边界处指向求解域内的特征线条数5）时间变量的单向性）时间变量的单向性 2112tttt如，则 处的解不受 处的解的影响双曲型方程可沿时间方向推进求解。34Copyright by Li Xinliang2. 热传导方程热传导方程 抛物型方程抛物型方程, 022xutu0 const)()0 ,(xxu0, txdtxttxu)(4)(exp41),(2精确解精确解：特点： 扰动解瞬时传遍整个计算域扩散方程的典型模型扩散方程的典型模型35Copyright by Li Xinliang抛物型方程特点抛物型方程特点由于抛物型方程独立的特征向量数少

25、于特征值数，因此，特征相容关由于抛物型方程独立的特征向量数少于特征值数，因此，特征相容关系所包含的信息少于原抛物型偏微分方程的信息，即抛物型方程不可系所包含的信息少于原抛物型偏微分方程的信息，即抛物型方程不可能用特征线方法求解。能用特征线方法求解。 依赖域。由于特征相容关系的个数少于拟线性方程组未知量的个数，依赖域。由于特征相容关系的个数少于拟线性方程组未知量的个数，抛物型方程不存在有限的依赖域。因此，每一的解依赖于抛物型方程不存在有限的依赖域。因此，每一的解依赖于 整个整个求解域。求解域。抛物型方程的特征值均为实数，时间变量（或类似时间变量）有单向抛物型方程的特征值均为实数，时间变量（或类似