平面问题的三角形单元PPT课件

1、（1 1）结构离散化结构离散化：将结构分割成有限个单元体：将结构分割成有限个单元体（2 2）选择位移模式选择位移模式：假定内任一点位移可以用单元节：假定内任一点位移可以用单元节点位移来表达，它们之间存在某种简单函数关系。点位移来表达，它们之间存在某种简单函数关系。第1页/共45页由虚位移原理由虚位移原理 可以得到单元的刚度矩阵可以得到单元的刚度矩阵（3 3）计算计算单元刚度矩阵单元刚度矩阵求单元节点位移求单元节点位移与与 节点节点内力的关系内力的关系求出节点内力：求出节点内力：第2页/共45页（5 5）由于上述总刚度矩阵常常是）由于上述总刚度矩阵常常是奇异矩阵奇异矩阵，无，无法求解。法求解。引

2、入边界条件引入边界条件，求解整个结构的所有，求解整个结构的所有单元单元节点的位移节点的位移 节点应变节点应变 节点节点应力应力。（4 4）集合所有节点的平衡方程集合所有节点的平衡方程，形成整个，形成整个结构的平衡方程组，结构的平衡方程组，第3页/共45页有限元的单元分析单元分析第4页/共45页aL1 aL3 aL2 0 u1 u2 u3 u0123图 2-6有限元分析实例求解有限元分析实例求解通过材料力学，弹性力学和有限元法分别求解对比：例：等截面直杆在自重作用下的拉伸 图(a)(a)单位杆长重量为q q，杆长为L L，截面面积为A A，弹性模数为E E 第5页/共45页材料力学求解方法材料力

3、学求解方法第6页/共45页材料力学求解方法材料力学求解方法根据力平衡条件有：内力 N(x)=q (L-x) 取微元 dx，则其伸长为 x截面上的位移： 根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里 应变 根据本构方程求应力EAx)dxq(LEAN(x)dx(dx)2x(LxEAqEAx)dxq(LEAN(x)dxu2x 0 x 0 X)(LEAqdXdu xX)(LAqExx第7页/共45页材料力学求解方法材料力学求解方法所以三个节点处的位移函数如下：所以三个节点处的应变函数如下：所以三个节点处的应力函数如下：第8页/共45页弹性力学求解方法弹性力学求解方法+dN+dNqdx第9页/共45页弹性力

4、学求解方法弹性力学求解方法微元微元力平衡方程力平衡方程：qdxd-A微元微元几何方程几何方程：dxduE材料材料本构方程本构方程：给出给出边界方程边界方程：0u0 x0Lx第10页/共45页有限元法求解有限元法求解有限单元法求解直杆拉伸： 1 1、离散化（节点和单元、离散化（节点和单元） 2 2、外载荷集中到节点上，即把阴、外载荷集中到节点上，即把阴影部分的重量作用在节点影部分的重量作用在节点i i上上 iL1iL 图 2-3i+1ii-12)LL( q1ii 1L2LiL1iL 1图 2-2nn-1i+1ii-12第11页/共45页有限元法求解有限元法求解3 3、假设线单元上的位移为线性函数

5、、假设线单元上的位移为线性函数 iL图 2-4ii-1Xux1ix 1i u )x ( ui u) ( )( 111iiiiixxLuuuxuui1ixLudxduiu)Lu(Ei1iiiiuE)( 1iiiiiLuuEAAN)( 111iiiiLuuEAN由几何方程： 由本构方程： 节点内力：第12页/共45页1)-(2 )11 (2 )1 (21i i 1 - i iiiiLEAquuu有限元法求解有限元法求解有限单元法求解直杆拉伸： 4 4、以、以i i节点节点为对象，列力的平衡方程为对象，列力的平衡方程令令 将位移和内力的关系代入得将位移和内力的关系代入得 i N1i N 图 2-5i

6、2)LL( q1ii 0 xF2)( 11i i iiLLqNN1iiiLL用节点位移表示的平衡方程，其中用节点位移表示的平衡方程，其中i=1i=1，2 2， n n有有n n个方程个方程未知数也有未知数也有n n个，解方程组，得出个，解方程组，得出节点节点位移，进而计算应力位移，进而计算应力 第13页/共45页2-1 有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法求解直杆拉伸： 假设线单元数为假设线单元数为3 3个的情况，个的情况，平衡方程有平衡方程有3 3个：个：i=1i=1时，时，i=2i=2时时, ,i=3i=3时，时，联立解得联立解得 aL1 aL3 aL2 0 u1 u2 u3 u01

7、23图 2-622 1 2aEAquu23 2 1 2 aEAquuu23 2 2 aEAquuEAqa2521 uEAqa2822 uEAqa2923 u与材料力学的精确解答在节点处与材料力学的精确解答在节点处位移位移完全相同，回代可以得到完全相同，回代可以得到各点各点应变值应变值，继续回代可以得到各点，继续回代可以得到各点应力值。应力值。第14页/共45页有限元法求解有限元法求解LxL-xL3L3L30udxXNNNx(a)(b)(c)图 2-1EAqa252EAqa282EAqa2923La 设取n=3，求解含节点位移的线性方程组，得各点位移如下 第15页/共45页第16页/共45页有限

8、元的单元分析单元分析第17页/共45页1 1 三角形单元位移插值函数三角形单元位移插值函数假设已知假设已知如何求单元内(x,y)点位移？第18页/共45页1 1 三角形单元位移插值函数三角形单元位移插值函数将i，j，m节点坐标（已知）代入上式得含待定系数的方程组选择位移插值函数如下：选择位移插值函数如下：第19页/共45页代入上述位移函数可得：求解6个待定系数第20页/共45页其中A为三角形面积将将待定系数待定系数代入单元内部位移模式得到代入单元内部位移模式得到任意点位移：任意点位移：第21页/共45页式中：式中：进一步进一步简化，简化，令令位移形函数位移形函数单元内部位移模式可以简写为：单元

9、内部位移模式可以简写为：第22页/共45页单元内部位移模式的矩阵表达式：单元内部位移模式的矩阵表达式：单元内部位移模式的矩阵表达式可以简记为：单元内部位移模式的矩阵表达式可以简记为：位移位移转换转换矩阵函数矩阵函数或或位移形函数矩阵位移形函数矩阵第23页/共45页单元内部位移模式的矩阵表达式：单元内部位移模式的矩阵表达式：位移形位移形函数函数Ni物理物理含义含义故故, Ni称为称为位移位移形形函数。函数。第24页/共45页单元内部位移模式单元内部位移模式必须满足三个条件才能必须满足三个条件才能保证收敛：保证收敛：注意注意：如如第25页/共45页2 2 由由节点位移节点位移求求应变应变 几何方程

10、几何方程第26页/共45页2 2 由由节点位移节点位移求求应变应变 几何方程几何方程第27页/共45页式中：式中：第28页/共45页3 3 由由应变应变求求应力应力 本构方程本构方程将应变矩阵代入上式将应变矩阵代入上式第29页/共45页已知：单元节点力和节点虚位移，已知：单元节点力和节点虚位移，节点力所做的虚功节点力所做的虚功W为：为：4 4 由由应力应力求求节点力节点力 虚功方程虚功方程第30页/共45页已知：单元内部应力和虚应变，则已知：单元内部应力和虚应变，则整个弹性体内的变形虚功整个弹性体内的变形虚功U为为第31页/共45页第32页/共45页单元刚度矩阵为单元刚度矩阵为 将虚应变矩阵将

11、虚应变矩阵代入上式并整理代入上式并整理再将应力矩阵代入得再将应力矩阵代入得第33页/共45页第34页/共45页式中：式中：第35页/共45页位移函数位移函数 几何方程几何方程 物理方程物理方程 虚功方程虚功方程单元刚度矩阵单元刚度矩阵k假设假设已知已知可以表达可以表达第36页/共45页也就是说也就是说对对贡献贡献的的知道了知道了第37页/共45页取节点取节点i分析，单元分析，单元，和的共用，和的共用节点节点i，所以，所以节点节点i的内力的内力为三个单元为三个单元分力在该点之和：分力在该点之和：5 5 节点平衡方程组节点平衡方程组 整体刚度矩阵整体刚度矩阵第38页/共45页由于每个节点有由于每个

12、节点有两个未知位移两个未知位移分量分量，所以根据下列，所以根据下列两个平衡两个平衡方程方程理论上，可以求解。理论上，可以求解。 5 5 节点平衡方程组节点平衡方程组 整体刚度矩阵整体刚度矩阵第39页/共45页 从从网格节点的网格节点的整体整体来看，本来看，本问题共计问题共计6个节个节点点，每个节点有，每个节点有两个位移分量两个位移分量，共计，共计12个（未知）个（未知）位移位移分量分量。 每个每个单元分析单元分析都可以都可以用用12个节个节点位移点位移中的中的6个，个，描述描述该单元的节点内力：节点内力：也就是说也就是说所有所有单元的节点单元的节点内力内力都都能用能用12个位移未知量来表达。个

13、位移未知量来表达。5 5 节点平衡方程组节点平衡方程组 整体刚度矩阵整体刚度矩阵第40页/共45页 列出所有节点的内、外力平列出所有节点的内、外力平衡方程：准确的说是衡方程：准确的说是12个方程个方程可以求解可以求解12个未知量（个未知量（可能是可能是位移也可能是外力位移也可能是外力）。）。注意：注意：边界上的节点，有些位边界上的节点，有些位移是已知的，有些是外力已知移是已知的，有些是外力已知的。如果没有边界条件，方程的。如果没有边界条件，方程会有无穷多个解。会有无穷多个解。5 5 节点平衡方程组节点平衡方程组 整体刚度矩阵整体刚度矩阵第41页/共45页有限元分析的基本步骤：有限元分析的基本步骤：（1 1）结构离散化结构离散化：将结构分割成有限个单元体：将结构分割成有限个单元体（2 2）选择位移模式选择位移模式：假定内任一点位移可以用单元节：假定内任一点位移可以用单元节点位移来表达，它们之间存在某种简单函数关系。点位移来表达，它们之间存在某种简单函数关系。第42页/共45页由虚位移原理由虚位移原理 可以得到单元的刚度矩阵可以得到单元的刚度矩阵（3 3）计算计算单元刚度矩阵单元刚度矩阵求单元节点位移求单元节点位移与与 节点节点内力的关系内力的关系求