代数是慷慨的,它提供给人们的常常比人们要求的还要多达朗

1、 代数是慷慨的，它提供给人们的代数是慷慨的，它提供给人们的常常比人们要求的还要多常常比人们要求的还要多. 达朗贝尔达朗贝尔 课程名称：高等代数课程名称：高等代数课程性质：专业基础课课程性质：专业基础课使用教材：霍元极、寇福来编著使用教材：霍元极、寇福来编著 高等代数高等代数出出 版版 社：北京师范大学出版社社：北京师范大学出版社主讲教师：寇福来主讲教师：寇福来关于代数方程求解的历程关于代数方程求解的历程 用配方法解二次方程早在古代巴比伦（公元用配方法解二次方程早在古代巴比伦（公元前前18491595年）就已经知道了年）就已经知道了. 三次方程的求根公式最先由意大利数学家卡三次方程的求根公式最先

2、由意大利数学家卡尔达诺尔达诺(Cardano Jerome,15011576) 得到，并于得到，并于1545年刊登在卡尔达诺出版的著作年刊登在卡尔达诺出版的著作大法大法中中. 四次方程的求根公式由意大利数学家费拉里四次方程的求根公式由意大利数学家费拉里(Lodovico Ferrali,15221565）给出，也发表在）给出，也发表在卡尔达诺的著作卡尔达诺的著作大法大法中中. 拉格郎日（拉格郎日（Lagrange) 法法，1770，“关于关于代数方程解法的思考代数方程解法的思考”（文中指出：用代数运算（文中指出：用代数运算解一般的高次方程解一般的高次方程 看来是不可能的看来是不可能的. 阿贝尔

3、（阿贝尔（Abel，18021829） 挪威挪威 ，1824，“五次及其以上的代数方程没有根式解（公式五次及其以上的代数方程没有根式解（公式解）解）. 伽罗瓦（伽罗瓦（Evariste Galois,18111832）法法，1831，“方程可用根式解的条件方程可用根式解的条件”.(5)n 瓦的理论。瓦的理论。伽罗伽罗、系统、清楚地介绍了、系统、清楚地介绍了1870：若尔当全面1870：若尔当全面的部分研究成果。的部分研究成果。罗瓦罗瓦数学杂志上发表了伽数学杂志上发表了伽1846：刘维尔在1846：刘维尔在斗前夜）。斗前夜）。朋友A.车若里尔（决朋友A.车若里尔（决1832：伽罗瓦1832：伽罗

4、瓦懂而退回。懂而退回。泊松，因看不泊松，因看不法国科学院法国科学院1831：伽罗瓦1831：伽罗瓦久去世。久去世。傅里叶，傅不傅里叶，傅不法国科学院法国科学院1830：伽罗瓦1830：伽罗瓦柯西，遗失。柯西，遗失。法国科学院法国科学院1829：伽罗瓦1829：伽罗瓦第一章 预备知识1.1 1.1 集合集合1.2 1.2 数环和数域数环和数域1.3 1.3 数学归纳法数学归纳法1.4 1.4 整数的整除性与因数分解整数的整除性与因数分解1.5 1.5 连加号连加号1.1 集合 内容分布内容分布 1.1.1 集合的描述性定义集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法集合的表示方法 1.1.3 集

5、合的包含和相等集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质集合的运算及其性质 教学目的教学目的 ：掌握集合的概念、运算及证明掌握集合的概念、运算及证明集合相等的方法集合相等的方法. 重点、难点重点、难点 ：集合的运算、证明两个集合集合的运算、证明两个集合相等相等. 例如例如, ,设设A A是一切偶数所成集合是一切偶数所成集合, ,那么那么44A A, ,而而 所谓集合（简称集）是指作为整体看的一些所谓集合（简称集）是指作为整体看的一些东西或事物东西或事物. . 集合常用大写拉丁字母集合常用大写拉丁字母 表示表示. . 组成一个集合的那些东西（事物）叫做该集组成一个集合的那些东西（事物）叫做

6、该集合的元素合的元素. . 集合的元素常用小写拉丁字母集合的元素常用小写拉丁字母 表示表示. 如果如果 是集合是集合 的元素，就记作的元素，就记作 ,CBA,cbaaA读作,Aa 如果如果b b不是集合不是集合A A的元素，就记作的元素，就记作 , ,读作读作b b不属于不属于A.A. Aa属于.3AAb 一个集合可能只含有限多个元素，这样的集合一个集合可能只含有限多个元素，这样的集合叫做有限集叫做有限集. . 例如，前例如，前1010个自然数的集合；一所学校的全体个自然数的集合；一所学校的全体学生的集合；一本书中所有汉字的集合等等，这些学生的集合；一本书中所有汉字的集合等等，这些都是有限集都

7、是有限集. . 如果一个集合是由无限多个元素组成的，就称如果一个集合是由无限多个元素组成的，就称之为无限集之为无限集. . 例如，全体自然数的集合；全体实数的集例如，全体自然数的集合；全体实数的集合合；小于小于2 2的全体有理数的集合等等都是无限集的全体有理数的集合等等都是无限集. . 不含任何元素的集合叫做空集不含任何元素的集合叫做空集. . 空集用符号空集用符号 表示表示. .1.1.2 1.1.2 集合的表示方法集合的表示方法 , , , ,1,2,3,.Aa b c dB具有某种性质具有某种性质 x|x 1. 1. 列举元素法：把集合中的元素一一列列举元素法：把集合中的元素一一列举出来

8、（包括按照一定的规律列出无限集）举出来（包括按照一定的规律列出无限集）. .例如例如 2. 2. 描述性质法：指出集合中的元素所具有描述性质法：指出集合中的元素所具有的性质、特征的性质、特征. .一般用记号一般用记号 来表示来表示. .例如例如 0.0.是实数，并且是实数，并且 B B100的自然数，100的自然数，是是 A A432xxx|xx|x 表示一切大于表示一切大于-1-1且小于且小于1 1的实数的所组成的集合的实数的所组成的集合. . |11Ax xx ，并并且且几个常用的数集：几个常用的数集： 表示表示全体自然数的集合，简称 自然数集自然数集.Z表示全体整数的集合，表示全体整数的

9、集合，简称简称 整数集整数集.Q表示表示全体有理数的集合全体有理数的集合,简称简称 有理数集有理数集.R表示全体实数的集合，表示全体实数的集合，简称简称 实数集实数集.C表示全体复数的集合，表示全体复数的集合，简称简称 复数集复数集.又如又如1.1.3 集合的包含和相等x)()(BxAxBA. 设设A A, ,B B 是两个集合是两个集合. .如果如果A A 的每一元素都是的每一元素都是B B 的元素，那么就说的元素，那么就说是是的一个子集合（简称子的一个子集合（简称子集），或者说集），或者说B B 是是A A 的一个扩集，记作的一个扩集，记作 （读（读作作含于含于），或记作），或记作 （读作

10、（读作包含包含）. . 根据上述定义，集合根据上述定义，集合是是的子集当且仅当的子集当且仅当对于每一个元素对于每一个元素 ，如果，如果 ，就有，就有 . .即即 BA AB AxBx 例如，例如，x 若若A A不是不是B B 的子集，则记作的子集，则记作 或或 . . 显然，显然，A A不是不是B B 的子集当且仅当的子集当且仅当A A中至少有一个元中至少有一个元素不属于素不属于B B，即：，即：ABAB()(:)ABx xAxB存存在在元元素素但但 例如，集合例如，集合11，2 2，33不是不是22，3 3，4 4，55的子集的子集. . 由定义，集合由定义，集合A A 总是它自己的子集，即

11、：总是它自己的子集，即：.AA 如果集合如果集合A A 与与B B 由完全相同的元素组成，就说由完全相同的元素组成，就说A A与与B B 相等，记作相等，记作A A = =B B . . 即即):()(BxAxxBA对于一切()().ABABBA且 例如，设例如，设A A =1=1，22，B B 是一元二次方程是一元二次方程 的根的集合，则的根的集合，则A A = =B B. . 0232 xx(,)().AB BcAC的一个真扩集.的一个真扩集.是是 真子集，或说真子集，或说的一的一是是则称则称, ,而而, ,并且并且, ,如果集合如果集合 ABBAAyByBA个;AA 命题命题 集合之间的

12、包含关系具有以下性质：集合之间的包含关系具有以下性质： （1 1） 反反 身身 性：性： （2 2） 反对称性：反对称性： （3 3） 传传 递递 性：性：；且BAABBA1.1.4 集合的运算 1. 1.集合的集合的并并 设设A A, ,B B是两个集合是两个集合. . 由由A A的一切元素和的一切元素和B B 的一的一切元素所构成的集合叫做切元素所构成的集合叫做A A与与B B 的并集（简称并）的并集（简称并）, ,记作记作 . . BA 例如例如, ,若若A A是一切有理数的集合是一切有理数的集合,B ,B 是一切无理是一切无理数的集合，则数的集合，则 是一切实数的集合是一切实数的集合.

13、 . BA(),AA B().BAB根据定义，我们有根据定义，我们有)()(BxAxBAx或)()(BxAxBAx且显然，显然， 2.2.集合的交集合的交 由集合由集合A A与与B B 的所有公共元素组成的集合叫做的所有公共元素组成的集合叫做A A与与B B 的交集的交集( (简称交简称交) )，记作，记作 . .BA显然，显然，ABA.ABB， 例如，若例如，若 A A =1=1，3 3，5 5，7 7，99，B B =1=1，2 2，3 3，44，则则1,3.AB 由定义，由定义，)()(BxAxBAx且)()(BxAxBAx或 如果两个集合如果两个集合A A与与B B 没有公共元素，我们

14、就说没有公共元素，我们就说它们的交集是空集它们的交集是空集. . 例如，设例如，设A A是一切有理数的集合，是一切有理数的集合，B B 是一切无理是一切无理数的集合，那么数的集合，那么 就是空集就是空集. . 又如方程又如方程 的实数根的集合为空集的实数根的集合为空集. . BA012x规定：空集是任意集合的子集合规定：空集是任意集合的子集合. . 命题命题 集合的交与并满足以下运算规律集合的交与并满足以下运算规律: :（1 1）交换律）交换律 : :,ABBA;ABBA（2 2）结合律）结合律 : :)()(CBACBA()();ABCABC，（3 3）分配律）分配律: :,ABCABAC.

15、ABCABAC 3. 3.集合的差集合的差 设设A A，B B是两个集合是两个集合. .令令 |.ABx xAxB但也就是说，也就是说， 是由一切属于是由一切属于A A 但不属于但不属于B B 的元素的元素所组成的，称为所组成的，称为A A与与B B 的差集（简称差）的差集（简称差）. . BA 4. 4. 集合的积集合的积 设设A A，B B 是两个集合是两个集合. .集合集合称为称为A A与与B B 的积（笛卡儿积）的积（笛卡儿积）. . ( , )|,A Ba b aA bB1.2 1.2 数环和数域数环和数域 定义定义1.1 1.1 设设R R是复数集是复数集C C 的一个非空子集的一

16、个非空子集. . 如果对于如果对于R R中任意两个数中任意两个数a,ba,b 来说，来说，a a+ +b,ab,ab,abb,ab 都在都在R R内，那么就称内，那么就称R R是一个数环是一个数环. . 例如，取定一个整数例如，取定一个整数a a，令，令 那么那么R R 是一个数环是一个数环. . 事实上事实上, ,R R 显然不是空集显然不是空集. .又设又设 , ,那么那么|,Rna nZ Z12,.n n Z Z12121212(),()()().n an ann aRn a n an n a aR 如果取如果取a =2a =2，那么上面的，那么上面的R R 就是全体偶数所就是全体偶数所

17、组成的数环组成的数环. . 2| ,1.Rabi a bi Z Z,abi cdiR()()()(),abicdiacbd iR()()()().abi cdiacbdbcad iR定义定义2 2 设设F F 是一个数环是一个数环. . 如果如果 （1） F F 含有不等于零的数；含有不等于零的数；（2） 如果如果,aa bFbFb且且 0,那0,那么么那么就称那么就称F F 是一个数域是一个数域. .例例1.1 1.1 设因为000,iRR所以 不是空集.又若那么， 例例1.2 是一个数域是一个数域. .2 | ,Faba b定理定理1.1 1.1 任何数域都包含有理数域任何数域都包含有理数

18、域. .1.3 数学归纳法 1.3.1 1.3.1 最小数原理最小数原理 1.3.2 1.3.2 数学归纳法数学归纳法原理原理1.3.1 最小数原理最小数原理 定理定理1.2(1.2(最小数原理最小数原理) ) 自然数集自然数集N N的任一非空的任一非空子集都有最小数子集都有最小数. .1 1最小数原理并不是对于任意数集都成立；最小数原理并不是对于任意数集都成立；2 设设c c是任意一是任意一个整数个整数. . 令令 注意：注意： |,.cMx xxc那么最小数原理对于那么最小数原理对于 也成立也成立. . cM1.3.2 数学归纳法原理)(nPnn 定理定理1.31.3（第一数学归纳法原理）

19、（第一数学归纳法原理） 设设 是是一个与自然数一个与自然数 有关的命题有关的命题. . 如果如果 满足以下满足以下两个条件，那么这个命题对于一切自然数两个条件，那么这个命题对于一切自然数 都成都成立立. . （i i） 当当 =1=1时，命题成立；时，命题成立； (ii) (ii) 假设当假设当 = =k k时命题成立，则当时命题成立，则当 = =k k+1+1时命题也成立时命题也成立. .nn)(nPn 例例1.3 1.3 证明：含有证明：含有 个元素的集合共有个元素的集合共有 个子集个子集. .n2n 定理定理1.41.4（第二数学归纳法原理）（第二数学归纳法原理） 设设 是是一个与自然数

20、一个与自然数n n有关的命题有关的命题. . 如果如果 满足以下满足以下两个条件，那么该命题对于一切自然数两个条件，那么该命题对于一切自然数n n都成立都成立. . （i i） 当当n=1n=1时，命题成立；时，命题成立； (ii) (ii) 假设当假设当 时命题成立时命题成立, ,则当则当 时命题也成立时命题也成立. .)(nP)(nPkn 1 kn一、整数的整除性、带余除法一、整数的整除性、带余除法 定义定义1.3 1.3 设设a a，b b 是两个整数是两个整数. .如果存在一个如果存在一个整数整数c c，使得，使得 b b = =acac，那么就说，那么就说a a整除整除b b, ,

21、或者说或者说b b 被被a a 整除整除. .我们用符号我们用符号a a| |b b表示表示a a 整除整除b b. .这时这时a a 叫叫做做b b 的一个因数，而的一个因数，而b b 叫做叫做a a 的一个倍数的一个倍数. . 如果如果a a不整除不整除b b，那么就记作，那么就记作 . . 1.4 整数的整除性与因数分解 整除的基本性质：整除的基本性质：|,|.ab bcac(b)| ,|().a b a cabc(c) | ,|.a b ca bcZ Z(d)1 1|,1,2,|().iinna bcinabcb c而（）Z9Z9(e)|.a bb ababa 且或(f).|,|,|

22、1,| 1, 0|,)(aaaaaaaZaa对 定理定理1.51.5（带余除法）（带余除法） 设设a,ba,b 是两个整数，是两个整数，并且并且 . .那么那么, ,存在唯一的一对整数存在唯一的一对整数q q 和和r,r,使得使得0a, 0|.baqrra所得余数为零.所得余数为零.除除当且仅当当且仅当.那么.那么是两个整数，并且是两个整数，并且设设推论1.5推论1.5baa|baa,b0二、二、 最大公因数最大公因数.,rrqq 定义定义1.5 1.5 设设a a, ,b b是两个整数是两个整数. .满足下列条件的满足下列条件的整数整数d d 叫做叫做a a与与b b的最大公因数：的最大公因

23、数： |d ad b dab且是 与 的公因数 ； (1)如果如果 ,| , | ,| .cc a c bc dZ Z 并并且且那那么么(2)|(1,2, );id ain(1) 一般地，设一般地，设 是是n n个整个整. .满足下列条满足下列条件的整数件的整数d d 叫做叫做 的一个最大公因数：的一个最大公因数： naaa,21naaa,21(2)|(1,2, ),| .icc a inc dZ Z如如果果且且那那么么）.）.的一个公因数（公约数的一个公因数（公约数和和是是，则称，则称且且如果如果. .设设定义1.4定义1.4bacc|bc|aZa,b,c1.6, , ,0.,( , )(

24、, ).1.7( , ).,.a b q rabaqra ba ra bdu vaubvd引理假定如果那么定理假定那么存在使得.,),(.)0(dbvauZvubadbadd使得当且仅当存在那么的一个公因数和是设整数推论1.7.1定理定理1.6 1.6 任意两个整数都有最大公因数任意两个整数都有最大公因数. .三、整数的互素三、整数的互素).(, 1),(.,6 . 1互质互素与则称如果设定义babaZba. 1,1),(.,2 . 7 . 1bvauZvubaZba使得当且仅当存在设推论.|, 1),(,|,|)(.|, 1),(,|)().1),(, 1),(, 1),()(baccabcbacababcabcacaba则并且若则并且若则若质：整数的互素具有以下性命题cba四、四、 整数的因数分解整数的因数分解 定义定义1.7 1.7 设设p p 是一个大于是一个大于1 1的整数的整数. . 如果如果p p 除了除了1 1和和p p外没有其它因数，则称外没有其它因数，则称p p是一个素是一个素数（质数）数（质数）. .否则称否则称p p是一个合数是一个合数. . 素数具有以下性质：素数具有以下性质： (a) (a) 如果如果p p是是一个素数一个素数, ,那么对于任意一个整数那么对于任意一个整数a,a,或者或者p p与与a a互素互素, ,或者或者p p整除整除