CH04第四章气体动理论

1、第五章第五章 气体动理论力学气体动理论力学Chapter 5 Kinetic theory of gas关于热现象理论的两大分支关于热现象理论的两大分支统计物理统计物理微观理论微观理论热力学热力学宏观理论宏观理论thermodynamicsStatistical physics 本章重点：气体动理论的基本方法，本章重点：气体动理论的基本方法， 理想气体的压强和温度，理想气体的压强和温度， 能量均分定理和理想气体的内能能量均分定理和理想气体的内能 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律5-1 5-1 平衡态平衡态 理想气体状态方程理想气体状态方程Equilibrium state, equatio

2、n of state for ideal gas一、气体的状态参量一、气体的状态参量 Parameters of state of gas体积体积 (volume) V m3压强压强 (pressure) p Pa (1Pa=1Nm-2)温度温度 (temperature) T K热力学温标（开氏温标）thermodynamic scale of temperature t 摄氏温标Celsius temperature scaleT = t +273.15二、平衡态和准静态过程二、平衡态和准静态过程(quasi-static process) 平衡态：平衡态：在不受外界影响的条件下，一个系统

3、的宏观性质不随时间改变的状态。 一定质量的气体系统处于平衡态时，其内部各处的密度、温度、压强均匀一致，宏观状态参量(p,V,T)不随时间变化。从微观的角度理解动态平衡。动态平衡。 当一热力学系统的状态随时间改变时，称系统在经历一个热力学过程热力学过程。 如果系统从一个平衡态过渡到另一个平衡态之间所经历的所有中间状态，都可近似为平衡态，则这种状态变化的过程称准静态准静态过程过程（或平衡过程平衡过程）。pVI (p1,V1,T1)II (p2,V2,T2) 气体的平衡态可用状态参量坐标平面上的一点表示， 准静态过程则可用一条曲线代表。三、理想气体状态方程气体的状态方程： f (p,V,T) = 0

4、 理想气体：理想气体：在任何情况下都能严格遵守玻意耳定律、玻意耳定律、盖吕萨克定律盖吕萨克定律和查里定律查里定律这三条实验定律的气体。理想气体状态方程RTMpV其中：M是气体的质量 是气体的摩尔质量 R是普适气体常数，其量值由标准状态下1摩尔理想气体的状态方程算出：31. 815.273104 .2210013. 135000TVpRJmol-1K-15-2 理想气体的压强和温度理想气体的压强和温度一、理想气体分子的微观模型一、理想气体分子的微观模型 1.分分子本身的大小与气体分子平均距离相比可以忽略不计，子本身的大小与气体分子平均距离相比可以忽略不计，分子可以看作质点。分子可以看作质点。2.

5、 分子之间，分子与容器器壁间的分子力忽略不计。分子之间，分子与容器器壁间的分子力忽略不计。3. 分子间的碰撞以及分子与容器器壁间的碰撞是完全弹性的。分子间的碰撞以及分子与容器器壁间的碰撞是完全弹性的。二、气体分子运动的统计假设二、气体分子运动的统计假设1. 平衡态下容器中各处单位体积内的分子数相同。平衡态下容器中各处单位体积内的分子数相同。 2. 平衡态下平衡态下分子沿各个方向运动的机会均等，任何时刻沿各个分子沿各个方向运动的机会均等，任何时刻沿各个方向运动的分子数目都相同，分子速度在各个方向上的分量的平均方向运动的分子数目都相同，分子速度在各个方向上的分量的平均值相同，分子速度在各个方向上的

6、分量的平方平均值也相同。即值相同，分子速度在各个方向上的分量的平方平均值也相同。即222231vvvvzyx三、理想气体压强公式的推导三、理想气体压强公式的推导oXYZxyzA11.t时间内一个分子对时间内一个分子对A1面的冲量面的冲量Iiivmvix-mvix第i个分子与A1面碰撞一次中施加于A1面的冲量为：Ii1=2mvixt时间内第i个分子与A1面碰撞次数为：vix t/(2x)tvxmxtvmvIixixixi2222.N个分子个分子t内对内对A1面的平均压强面的平均压强NiixNiivxtmII121总冲量平均力NiixvxmtIF12压强压强NiixvxyzmyzFp12212xN

7、iixvnmvVNmN2231vvx)21(322vmnp kn32N个质量同为m的分子压强具有统计意义！压强具有统计意义！四、理想气体温度公式四、理想气体温度公式理想气体状态方程RTMpV 设分子质量为m，总质量为M的气体分子数为N=M/m，1摩尔气体分子数为N0=/m，则可将理想气体状态方程改写为：nkTTNRVNp0其中n=N/V为单位体积内的分子数，k称为玻耳兹曼常数，其值为：k=R/N0=1.3810-23 JK-1将上式与理想气体压强公式相比)21(322vmnp 得得：kTvm23212意义：意义： 1.温度是表征分子微观热运动剧烈程度的宏观量。温度是表征分子微观热运动剧烈程度的

8、宏观量。2.温度也是一个统计量，是大量分子热运动的集体表现。温度也是一个统计量，是大量分子热运动的集体表现。3.平衡态下理想气体分子平均平动动能只与温度有关，而平衡态下理想气体分子平均平动动能只与温度有关，而与气体种类无关。与气体种类无关。5-3 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能一、气体分子自由度Degree of freedom for a molecule of gas自由度自由度 i ：描述物体在空间运动的位置所需的独立坐标数目。1.单原子分子的自由度单原子分子的自由度通常物体运动有平动、转动和振动三种形式，每种运动相应的自由度分别用t、r 和s表示，则总自由度：

9、i = t + r + si = t =32.双原子分子的自由度双原子分子的自由度刚性分子：刚性分子：t =3；r =2； s =0；i =5弹性分子：弹性分子：t =3；r =2；s =1；i =63.多原子分子的自由度多原子分子的自由度刚性分子：刚性分子： t =3；r =3； s =0；i =6弹性分子：弹性分子：t =3；r =3； s =3n-6；设分子内的原子数为ni =3n二、能量均分定理二、能量均分定理Equipartition theorem of energy由温度公式：kTvm23212又由于2222zyxvvvv以及平衡态下所以有：所以有：气体分子的平均平动动能是平均分

10、配到每个平动自由度上的。气体分子的平均平动动能是平均分配到每个平动自由度上的。推广到分子转动和振动的能量分配，有下面的结论在温度为在温度为T的平衡态下，气体分子的每个自由度都具有相同的平衡态下，气体分子的每个自由度都具有相同的平均动能，其大小为的平均动能，其大小为: : kT/2222231vvvvzyxkTvmvmvmvmzyx21)21(312121212222三、理想气体的内能三、理想气体的内能 Internal energy of ideal gas在平衡态下，平均每个分子的总动能为：在平衡态下，平均每个分子的总动能为：kTi2内能内能：系统内所有分子的热运动能量的总和称为系统的内能1

11、摩尔的气体有N0个分子， 故故1摩尔单质理想气体的内能是：摩尔单质理想气体的内能是：RTikTNiE2200若系统内共有总质量为M的单质理想气体，其摩尔质量为，则系统的内能为：RTiMEME20问题：问题：如果系统内有几种分子自由度不同的理想气体，其如果系统内有几种分子自由度不同的理想气体，其系统内能如何表示？系统内能如何表示？5-4 5-4 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律Maxwell speed distribution law从理想气体温度公式：kTvm23212可以知道在平衡态下理想气体的方均根速率方均根速率有确定值，即mkTvvrms32 故可推断在温度一定的平

12、衡态，虽然不可能确切知道每个分子的速率，但气体分子速率大小的分布有确定的统计规律！ 1859年英国物理学家Maxwell在概率理论的基础上导出了气体分子速率分布的统计定律。 1920年，O. Stern首先从实验证实了Maxwell气体分子速率分布定律。1934年中国物理学家葛正全也从实验验明了该定律。一、测定气体分子速率分布的实验一、测定气体分子速率分布的实验二、麦克斯韦气体分子速率分布定律二、麦克斯韦气体分子速率分布定律1. 速率分布函数速率分布函数 Speed distribution functiondvdNNvNNvNNvfvv1lim1lim)(00物理意义：速率物理意义：速率v

13、附近每个单位速率间隔内的相对分子数附近每个单位速率间隔内的相对分子数因此，速率在因此，速率在vv+dv内的相对分子数可表示为：内的相对分子数可表示为：dvvfNdN)(或，分子的速率在或，分子的速率在vv+dv区间内的概率：区间内的概率：分子的速率处于分子的速率处于v 附近单位速率区间的概率附近单位速率区间的概率2. 2. 麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数222/3)2exp()2(4)(vkTmvkTmvfdvvkTmvkTmNdN222/3)2exp()2(43. 3. 麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线0vf (v)(m1,T1)(m1,T2) T2T1(m2,T1) m2

14、 m1v1 v2222/3)2exp()2(4)(vkTmvkTmvfNdNdvvf)(三三 、麦克斯韦速率分布定律的应用、麦克斯韦速率分布定律的应用1. 1. 计算分子速率在任意速率区间内的概率计算分子速率在任意速率区间内的概率21)(vvdvvfNNf (v)v特例：1)(0dvvf2. 导出气体分子三种统计速率公式导出气体分子三种统计速率公式 最概然速率最概然速率 most probable speed RTmkTvp22 平均速率平均速率mean speed00)(1dvvvfvdNNvRTmkT88方均根速率方均根速率root-mean-square speedmkTdvvfvv3)

15、(022RTmkTvrms33vp例例：20时氧气分子的三种速率值：vp=389m/s;v=445m/s;vrms=483m/s问：问： 20时大气分子的时大气分子的三种速率平均值算法？三种速率平均值算法？ 5-5 玻耳兹曼能量分布律玻耳兹曼能量分布律 气压公式气压公式气体分子在保守力场（重力场）作用下的空间分布规律气体分子在保守力场（重力场）作用下的空间分布规律 由于没有考虑重力场对气体分子速率的影响，故麦克斯韦气体由于没有考虑重力场对气体分子速率的影响，故麦克斯韦气体分子速率分布与空间位置无关！分子速率分布与空间位置无关！在麦克斯韦分布律中，指数项只包含分子的平动动能221mvKdvvkT

16、kTmNdvvkTmvkTmNdNK22/3222/34)exp()2(4)2exp()2(即当系统在保守力场中处于平衡当系统在保守力场中处于平衡玻耳兹曼分子按能量分布定律：玻耳兹曼分子按能量分布定律：状态时，其中速度介于状态时，其中速度介于vx vx+dvx；vy vy+dvy ；vz vz+dvz内，同时坐内，同时坐标介于标介于xx+dx；yy+dy；zz+dz内的分子数为：内的分子数为：dxdydydvdvdvkTkTmndNzyxpK)exp()2(2/30dxdydydvdvdvkTkTmndNzyxpK)exp()2(2/30式中n0表示在势能p为零处单位体积内具有各种速度的分子总

17、数。将上式对所有可能的速度积分，得到分布在坐标区间xx+dx；yy+dy；zz+dz内的分子总数为：dxdydzkTnNdp)exp(0在坐标区间xx+dx；yy+dy；zz+dz内单位体积内的分子数为：)exp(0kTndxdydzNdnp分子按势能分布律分子按势能分布律将重力势能 p =mgz，代入上式得在重力场中气体分子数密度随高度变化的公式：)exp(0kTmgznn大气压强公式：大气压强公式：)exp()exp(00kTmgzpkTmgzkTnnkTp高度公式：高度公式：ppgRTppmgkTz00lnln5-6 分子的平均碰撞频率和平均自由程分子的平均碰撞频率和平均自由程一、气体分

18、子的平均碰撞频率一、气体分子的平均碰撞频率 molecular mean collision frequency of gas 一个分子在单位时间内与其它分子碰撞的平均次数，称为平平均碰撞频率均碰撞频率（平均碰撞次数）。 设分子是直径为d的刚性小球，分子数密度为n，假设气体分子中只有一个分子A以平均相对速度u运动，其它分子静止不动。A以t时间内分子A走的路程tu为长度，以d为半径的圆柱体体积内的总分子数为：tudn2它们将在t时间内与分子A相碰。则该时间内的平均碰撞频率为：udnZ2vdn22二、平均自由程二、平均自由程 mean free path定义：定义：分子在连续两次碰撞之间所运动路程的平均值为平平均自由程均自由程。ndZv221vndZ22pdkT22 例、计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平均碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10 m，空气的平均摩尔质量为2910-3 kg/mol。解：将T=2