天津工业大学数值分析课件1误差

1、教材教材丁丽娟，程杞元，丁丽娟，程杞元，数值计算方法数值计算方法，理工大学出版社，理工大学出版社,2005,2005参考书参考书各工科院校相应教材各工科院校相应教材清华大学清华大学, ,哈工大哈工大, ,西安交大等西安交大等 最后成绩最后成绩= =实验作业成绩实验作业成绩(20%)+(20%)+考试成绩考试成绩(80%)(80%)实验作业：下列实验作业：下列1 1和和2 2选择一个选择一个 1.1.自选题自选题( (结合专业结合专业) )，作业中包含下列内容，作业中包含下列内容 (1)(1)实际问题实际问题(2)(2)数学模型数学模型 ( (例如，解常微分方程组，数据拟合等例如，解常微分方程组

2、，数据拟合等) )(3)(3)计算方法计算方法(4)(4)程序程序(matlab)(matlab)(5)(5)计算结果及分析计算结果及分析 最后成绩最后成绩= =实验作业成绩实验作业成绩(20%)+(20%)+考试成绩考试成绩(80%)(80%)实验作业：下列实验作业：下列1 1和和2 2选择一个选择一个2.2.课本或其它参考书的数值实验题课本或其它参考书的数值实验题 （至少（至少6 6道）道） 作业中包含下列内容作业中包含下列内容(1)(1)题目（课本外的说明出处）题目（课本外的说明出处）(2)(2)程序程序(matlab)(matlab)(3)(3)计算结果及分析计算结果及分析打印稿打印稿

3、( (不需要计算过程不需要计算过程) )，或电子文档，或电子文档注明学院和专业注明学院和专业课间交给任课老师（结课之前）课间交给任课老师（结课之前） 完全相同的实验作业没有实验作业成绩完全相同的实验作业没有实验作业成绩答疑：课间答疑：课间 周四下午周四下午14:0015:314:0015:30 0 理学院理学院B209B209教师：于伟教师：于伟 邮箱：邮箱：如何学习如何学习? ? 听课听课 做课后习题做课后习题( (掌握算法掌握算法) ) 实验作业实验作业( (实际应用实际应用) ) 提问：数值计算方法是做什么用的？提问：数值计算方法是做什么用的？数值数值 分析分析 求各种数学问题近似解的方

4、法和理论求各种数学问题近似解的方法和理论 计算计算 机机数学模型数学模型实际问题实际问题近似解近似解 主要内容主要内容数值代数数值代数 线性方程组求解线性方程组求解( (第二章第二章, ,第三章第三章) ) 特征值计算特征值计算( (第四章第四章) )数值逼近数值逼近 插值法插值法( (第五章第五章) ) 函数逼近函数逼近 数据拟合数据拟合( (第六章第六章) )数值微分数值积分数值微分数值积分( (第七章第七章) )非线性方程求解非线性方程求解( (第八章第八章) )常微分方程数值解法常微分方程数值解法( (第九章第九章) )第一章第一章 误差误差1 1 误差的来源与分类误差的来源与分类从实

5、际问题中抽象出数学模型从实际问题中抽象出数学模型 模型误差模型误差通过测量得到模型中参数的值通过测量得到模型中参数的值 观测误差观测误差求近似解求近似解 截断误差截断误差机器字长有限机器字长有限 舍入误差舍入误差( )baIf x dx 1RII3(2)()( ),12baf ( , )a b 1 ( )( )2baf af bI 2 2绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字2.12.1绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差的一个近似值的一个近似值为准确值为准确值设设xx*()e xxx*()e xxxxx * 或或*():e x绝绝对对误误差差:绝绝对对误误差差限限:可以表示

6、为可以表示为:注注 绝绝对对误误差差限限不不唯唯一一*xxx例：例： 2.5 2.4xx 例：测得会议室的长例：测得会议室的长为为30m宽为宽为10m，长的误，长的误差不超过差不超过5cm, 宽的误差不超过宽的误差不超过2cm, 如何表示？如何表示？()30y 长长哪一个精度高？哪一个精度高？* ()e x 绝绝对对误误差差：0.1xx ()100.02()xm宽宽0.05()m *()()e xxerx *|()|rrex 两种误差限的关系两种误差限的关系：*|x*|rx 或或*( )0.02( )0.00210r xxx*2*2*1)()()(xexexexexxxxexexe *()e

7、xx *():rex相相对对误误差差:r相相对对误误差差限限*( )0.05( )0.00160.00230r yyyr 四舍五入的原则：四舍五入的原则：1. 舍入后绝对误差限不超过末位数的半个单位舍入后绝对误差限不超过末位数的半个单位2. 舍入部分刚好是末位数的半个单位，使末位舍入部分刚好是末位数的半个单位，使末位 凑成偶数凑成偶数例：例：0.7135, 0.7765, 0.73251分别取三位小数分别取三位小数0.714, 0.776, 0.733一般地一般地, , 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值, , 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位其绝对

8、误差限等于该近似值末位的半个单位. .上上述述各各近近似似值值的的绝绝对对误误差差限限：31102 例例： .)6237310.(1.4142135 414. 12 是经过四舍五入得到的近似值，则是经过四舍五入得到的近似值，则 绝绝对对误误差差限限31102 r 相相对对误误差差限限30.5 101.414 43.5 10 2.2 2.2 有效数字有效数字 xx 做做为为 的的近近似似值值，其其绝绝对对误误差差限限为为*1|102nxxx 就就说说准准确确到到该该位位，x 从从左左边边第第一一位位非非零零数数字字到到该该位位的的所所有有数数字字均均称称为为有有效效数数字字。x 某某一一位位上上

9、数数字字的的半半个个单单位位例如例如005800. 0 1021005800. 0 . 1*6 xx表示近似值表示近似值准确到小数点后第准确到小数点后第 位，位，*2 1452 0467.x. 若若具具有有 位位有有效效数数字字，则其准确到小数点后第则其准确到小数点后第 位，位，31102 3绝绝对对误误差差限限：6* x 有有位位有有效效数数字字42=1.41421356237310.例例：*=1.4142132x做做为为的的近近似似值值，有有几几位位有有效效数数字字？解解：*| ()| | 0.0000005623e xxx有有7 7位位有有效效数数字字61102 准准确确到到小小数数点点

10、后后第第6 6位位，*4*12376490,=102xx例例：若若且且，有有几几位位有有效效数数字字？*410 x 准准确确到到位位，*.x 有有4 4位位有有效效数数字字解解：有效数字另一等价定义有效数字另一等价定义 x 将将表表示示成成规规范范形形式式：1102m nxx120.10mnxa aa 109, 0,imaa 其其中中为为整整数数， 为为xxn 则则做做为为 的的近近似似值值有有 位位有有效效数数字字当当且且仅仅当当n 10n 准准确确到到位位1102m n = =绝绝对对误误差差限限有有效效数数字字问题：相对误差限与有效数字的关系？问题：相对误差限与有效数字的关系？1102n

11、 = =120.10mnxa aa 确确定定几几位位有有效效数数字字n 有有 位位有有效效数数字字)0(10.0:1.1121* aaaaxmn定理定理*rx 1102n m 11*1021)( nraxnx 位有效数字位有效数字有有位有效数字位有效数字至少有至少有nxaxnr*11*10)1(21)( 反之反之1102m n 111102na |rx 111102(1)na 110.10mnaa 10.(1) 10ma例：为使例：为使 的近似值的相对误差限小于的近似值的相对误差限小于0.1%， 要取几位有效数字？要取几位有效数字？20解解1：相对误差限和有效数字的关系：相对误差限和有效数字的

12、关系 13110102 4n 令令可知可知n最小可取最小可取4，取四位有效数字即可，取四位有效数字即可.根据定理根据定理1设取设取n位有效数字位有效数字11*1021)( nraxnx 位有效数字位有效数字有有310 4205,由于由于例：为使例：为使 的近似值的相对误差限小于的近似值的相对误差限小于0.1%， 要取几位有效数字？要取几位有效数字？20解解2: （用绝对误差限和有效数字的关系）（用绝对误差限和有效数字的关系）|rx20.410 需需要要准准确确到到小小数数点点后后第第三三位位，取四位有效数字取四位有效数字.32010 要使绝对误差限满足要使绝对误差限满足0.1%,|rx 备备注

13、注：可可以以为为真真实实值值，也也可可以以为为近近似似值值. .这这里里m-n=-2,m=1m-n=-2,m=1至少有几位有效数字？至少有几位有效数字？问问，的相对误差限是的相对误差限是例：已知例：已知* %0.3xx19a *10.10mnxaa设设位有效数字位有效数字至少有至少有nxaxnr*11*10)1(21)( 1110)1(21%3.0 na为使为使2n 得得，有有两两位位有有效效数数字字解解1：相对误差限和有效数字的关系：相对误差限和有效数字的关系 取取最最小小值值|*xr *=0.3% |x 0.3% 1 10m 20.5 10m 解解2: （用绝对误差限和有效数字的关系）（用

14、绝对误差限和有效数字的关系）至少有几位有效数字？至少有几位有效数字？问问，的相对误差限是的相对误差限是例：已知例：已知* %0.3xx*10.10mnxaa设设取取最最大大值值有有两两位位有有效效数数字字问题：问题：假定运算中数据都精确到两位小数，假定运算中数据都精确到两位小数， *1.21 3.659.81y 的绝对误差限是多少？的绝对误差限是多少？123yx xx设设，*-2*1231()()()10 ,()2e xe xe xe y知知求求123(,)yf xxx *111()e xxx1x 1dx *123123()(,)(,)e yf xxxf xxx*123(,)df xxx *1

15、2311(,)fxxx dxx *1232123323(,)(,)ffxxx dxxxx dxxx*123112321233123(,) ()(,) ()(,) ()fffxxx e xxxx e xxxx e xxxx3 3数值计算中误差的传播数值计算中误差的传播3.13.1基本运算中的误差传播基本运算中的误差传播的近似值，则的近似值，则为为处可微，处可微，在点在点设设iinnxxxxxfxxxfy*2121),.,(),.,( *1212()(,.,)(,.,)nne yf xxxf xxx)(),.,( ).,()()(*n1i*1*2*1*irniinrxexxfxxxxxfyyeye

16、 *n*12i 1(,.,)()niif xxxe xx 1122 ()()()rrrxeexexx 1212 ()()()rrrex xexex 12()xex12()e x x特别地，和、差、积、商的误差公式为：特别地，和、差、积、商的误差公式为：1212121212()()()rrrxxexxexexxxxx 12()()e xe x12()e xx 2112()()x e xx e x1122221()()xe xe xxx 121212121122()()()()()()()()()rrrrrr xx x xx xxxxxxx 即和、差的绝对误差限不超过各数的绝即和、差的绝对误差限不

17、超过各数的绝对误差限之和，积、商的相对误差极限对误差限之和，积、商的相对误差极限不超过各数的相对误差限之和不超过各数的相对误差限之和.例例 假定运算中数据都精确到两位小数，假定运算中数据都精确到两位小数， 试求试求81. 965. 321. 1* x的绝对误差限和相对误差限，的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效数字？计算结果有几位有效数字？解：解：*5.3935x 0293. 01021)121. 165. 3()81. 9()65. 3(21. 1)21. 1(65. 3)(2* x 0054. 03935. 50293. 0)()(* xxxr 故计算结果有故计算结果有2位有效数字

18、位有效数字，81. 965. 321. 1* x)81. 9()65. 3(21. 1)21. 1(65. 3)(*eeexe 11102 12110) 15( 2110083. 0 准准确确到到小小数数点点后后第第一一位位?, ,1001,:相对误差最大为多少相对误差最大为多少时时问测量半径问测量半径为使其相对误差限为为使其相对误差限为计算球的体积计算球的体积例例R34 :3RV 由由解解)(4)(2ReRVe )(3)(3)()(ReRReVVeVerr .3001)(1001)(最大为最大为得得由由RVrr ,( )( )nrryxeynex注注：一一般般的的，若若则则1( )()( )

19、nne ye xnxe x ，( )( )( )rre yeynexy-由 （ 112）3.2 3.2 算法的数值稳定性算法的数值稳定性算法算法：预先设计计算问题近似解的运算顺序：预先设计计算问题近似解的运算顺序稳定性稳定性：在按一个算法的计算过程中，数据误：在按一个算法的计算过程中，数据误差和舍入误差在计算过程中不增长，则称算法差和舍入误差在计算过程中不增长，则称算法是稳定的；否则称算法是数值不稳定的是稳定的；否则称算法是数值不稳定的.).,2, 1 ,0(5:10 ndxxxInn计算下列积分的近似值计算下列积分的近似值例例15nnII 11055nnxxdxx 1101nxdxn 算法算

20、法*010018232155. 02 . 1ln51 IdxxI 取取)., 2 , 1( 51 1 nInInn按公式按公式依次计算依次计算,21II近似值近似值.nIInn151 n(算法算法)00.1823215510.0883922520.0580387530.0431395840.0343020850.0284895860.0242187570.0217633980.0161830590.0301958810-0.05097941110.3458061212-0.64569726138.3054093814-41.45561831*nI估计估计nI0122222. 0)751901(

21、21*14 I 116(1)5(1)nn 105xxInn105nnxIx 11001165nnxx算法算法 由于由于取取 ) 1( 51) 1( 6121*nnIn按公式按公式)1(511kkIkI )1 ,., 1,( nnk)., 2 , 1( 151 nnIInn计算计算0122222. 0)751901(21*14 I例如例如n(算法算法)00.1823215510.0883922220.0580389230.0431387340.0343063350.0254683560.0243249170.0212326080.0188369990.01692617100.0153691411

22、0.01406339120.01301636130.01184127140.01222222*nI0011. 0)901751(2114 *14111(+)0.012222222 7590I0*00 eII 设设01*11*) 5(555eeIIIIennnnnnn nnkkeeee)51 ( ,51 01 分析什么原因：分析什么原因：由算法由算法)., 2 , 1( 511 nInInn对算法对算法) 1, 1,( )1(511 nnkIkIkk4 4数值计算中应注意的问题数值计算中应注意的问题1. 1. 避免两个相近的数相减避免两个相近的数相减| ( )( )| ()|re xe ye x

23、yxy 有效数字严重丢失。有效数字严重丢失。差很大差很大很接近时，差的相对误很接近时，差的相对误与与当当yx例：已知例：已知961.12168 具有具有5位有效数字，试求方程位有效数字，试求方程01262 xx的两个根（至少的两个根（至少4位有效数字）位有效数字）. 解解 16813267226 x961.251 x039. 02 x若取若取*22038519.0961.12131168131xx ，则523*21021)961.1213(1021)( xe2*2)961.1213()961.12()( exexx 1312312| ()| | ()| 0.5 10 ,e xe x2x 这这时

24、时只只有有两两位位有有效效数数字字20.0385194x 有有 位位有有效效数数字字一般地，一般地， 当当 x 充充分大时，应作变换：分大时，应作变换：xxxx 111)1(1111 xxxx当当x接近零时，应作变换接近零时，应作变换xxxxxxcos1sinsincos1 ,2sin2cos12 2.2.避免大数避免大数“吃吃”小数小数. .计算机浮点数运算导致计算机浮点数运算导致绝对值差异很大的数做加减运算时，绝对绝对值差异很大的数做加减运算时，绝对值小的数被吃掉，值小的数被吃掉，101010 +1例例：在在位位十十进进制制有有效效数数字字的的计计算算机机上上求求首首先先对对阶阶, ,表表

25、示示成成最最高高阶阶101010 =1 10 101=0.000 000 000 1 10 9计计算算机机只只能能记记录录到到小小数数点点后后第第 位位，+101010 +1=1 10 101010 +1+2+3+4在在位位十十进进制制有有效效数数字字的的计计算算机机上上求求1010 +(1+2+3+4)改改变变顺顺序序求求和和差差运运算算时时采采用用由由小小到到大大的的顺顺序序3.3.避免除数绝对值远小于被除数的绝对值避免除数绝对值远小于被除数的绝对值)()()(yxyxyxrr4.4.简化计算，减少运算次数，提高效率简化计算，减少运算次数，提高效率如计算如计算n n次多项式的值次多项式的值1110( ).nnnnnpxa xaxa xa再作线性组合再作线性组合先计算先计算,.,.32nxxxa需需2n-1次乘法运算，次乘法运算，1210( )(.().)nnnnp xa xaxaxa xa- - -= =+ + + + + +5.5.选用数值稳定性好的算法选用数值稳定性好的算法. .n次加法运算，次加法运算，2n+1个存储单个存储单元元需需n次乘法运算，次乘法运算，n次加法运算，次加法运算，n+2