大连理工大学信号2傅里叶级数与傅里叶变换

1、2021-11-11大连理工大学1第第2章章傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数与傅里叶变换大连理工大学硕士研究生校管课程大连理工大学硕士研究生校管课程信号处理与数据分析信号处理与数据分析电子信息与电气工程学部电子信息与电气工程学部邱天爽邱天爽2013年年9月月2021-11-11大连理工大学2 内容概要内容概要 2.1 2.1 概述概述 2.2 2.2 周期性连续时间信号的傅里叶级数周期性连续时间信号的傅里叶级数 2.3 2.3 周期性离散时间信号的傅里叶级数周期性离散时间信号的傅里叶级数 2.4 2.4 连续时间信号的傅里叶变换连续时间信号的傅里叶变换 2.5 2.5 离散时间信号的傅里叶变换

2、离散时间信号的傅里叶变换2021-11-11大连理工大学32021-11-11大连理工大学32.1 概述概述2021-11-11大连理工大学4 1.1.傅里叶级数与傅里叶变换的作用傅里叶级数与傅里叶变换的作用 把时间把时间信号信号 频谱频谱，以便进行，以便进行频域频域分析和处分析和处理。理。 是一种是一种正交正交分解方法：三角函数集，复指数函数集分解方法：三角函数集，复指数函数集等。等。 ( )x t 2021-11-11大连理工大学5 2.2.傅里叶级数与傅里叶变换的分类傅里叶级数与傅里叶变换的分类 （1）连续周期信号的傅里叶级数）连续周期信号的傅里叶级数（FS） （2）离散周期信号的离散傅

3、里叶级数）离散周期信号的离散傅里叶级数（DFS） （3）连续非周期信号的傅里叶变换）连续非周期信号的傅里叶变换（FT） （4）离散非周期信号的离散时间傅里叶变换）离散非周期信号的离散时间傅里叶变换（DTFT） （5）离散非周期信号的离散傅里叶变换）离散非周期信号的离散傅里叶变换（DFT） （6）离散非周期信号的快速傅里叶变换）离散非周期信号的快速傅里叶变换（FFT） 其他傅里叶变换（其他傅里叶变换（STFT，FRFT，）2021-11-11大连理工大学6 3.3.傅里叶生平与傅里叶理论的发展傅里叶生平与傅里叶理论的发展 Joseph Fourier，法国科学家，工程师（，法国科学家，工程师（1

4、768-1830） 1768年年3月月21生于欧塞尔，生于欧塞尔，1830年年5月月16卒于巴黎。卒于巴黎。 9岁父母双亡，岁父母双亡，17岁回乡教书（数学）。岁回乡教书（数学）。 1794年法国高等师范学校首批学员，次年到巴黎综年法国高等师范学校首批学员，次年到巴黎综合工科学校任教。合工科学校任教。 1798年随拿破仑远征埃及；年随拿破仑远征埃及；1801年回国，任伊泽尔年回国，任伊泽尔省地方长官。省地方长官。 1817年当选科学院院士。年当选科学院院士。 1822年任科学院终身秘书，后任法兰西学院理工科年任科学院终身秘书，后任法兰西学院理工科大学校务委员会主席。大学校务委员会主席。 202

5、1-11-11大连理工大学7 傅里叶的主要贡献傅里叶的主要贡献 任何周期信号可以用成任何周期信号可以用成谐波关系谐波关系的正弦函数级数表的正弦函数级数表示。示。 2021-11-11大连理工大学8 傅里叶理论的发展历程傅里叶理论的发展历程 傅里叶之前周期性现象的研究傅里叶之前周期性现象的研究 古代巴比伦（古代巴比伦（Babylonians）时代，利用这一理论来）时代，利用这一理论来研究天体运动。研究天体运动。 1748年，年，欧拉欧拉（Euler）用于研究弦的振动，其）用于研究弦的振动，其结结论论为：为： 如果某一时刻，振动弦的形状是这些标准振荡模式如果某一时刻，振动弦的形状是这些标准振荡模式

6、的线性组合，则其后任何时刻，振动的弦的形状也的线性组合，则其后任何时刻，振动的弦的形状也都是这些振荡模式的线性组合。都是这些振荡模式的线性组合。2021-11-11大连理工大学9 傅里叶理论的出现傅里叶理论的出现 1807年，年，Fourier完成有关完成有关Fourier级数的论文，由级数的论文，由4位科位科学家评审。学家评审。 同意发表的：同意发表的：S. F. Lacroix；G.Monge； P.S.Laplace 强烈反对的：强烈反对的： J. L. Lagrange 结果论文未能发表。结果论文未能发表。 15年后（年后（1822年），有关傅里叶级数的理论才在其著作年），有关傅里叶级

7、数的理论才在其著作中发表：中发表： “Theorie Analytique de la Chaleur” 热分热分析理论析理论， 后由后由Dirichlet给出若干给出若干精确条件精确条件。 2021-11-11大连理工大学10 傅里叶理论的意义傅里叶理论的意义 在数学、科学、工程上产生巨大影响，在数学、科学、工程上产生巨大影响，是电子信息是电子信息与通信技术的基石之一与通信技术的基石之一。 有了傅里叶理论，才有：有了傅里叶理论，才有： 信号的频域分析处理；信号的频域分析处理； 通信的频率划分与复用；通信的频率划分与复用； 其他科学与工程问题的分析与解决。其他科学与工程问题的分析与解决。 近年

8、来，傅里叶理论有新发展：近年来，傅里叶理论有新发展： 本部分介绍本部分介绍4种：种：FS，DFS，FT，DTFT 近年来近年来：STFT与与WT （第（第V部分介绍），部分介绍），FRFT2021-11-11大连理工大学112021-11-11大连理工大学112.2 周期性连续时间信号的周期性连续时间信号的傅里叶级数傅里叶级数2021-11-11大连理工大学12 1. 1. 定义（定义（FSFS） 式中：式中： ：信号周期；：信号周期； ：基波角频率；：基波角频率； ：周：周期性连续时间信号；期性连续时间信号； ：傅里叶级数的系数：傅里叶级数的系数002jjj( )ee1( )edktktTk

9、kkkktkTx taaax ttTT0( )x tka正变换正变换逆变换逆变换2021-11-11大连理工大学13 2.2.傅里叶级数的计算傅里叶级数的计算 【例例2.1】：已知已知 ，求，求 。 【解解】：方法：利用逆变换公式方法：利用逆变换公式 。 与逆变换的定义式比较，有：与逆变换的定义式比较，有：0( )sinx ttka0j( )ektkkx ta00jj01sin(ee)2jttt 1111,02j2jkaaa 其余2021-11-11大连理工大学14 【例例2.2】：信号信号 如图，如图， 基波周期为基波周期为T，且，且 。 【解解】：由傅里叶级数正变换定义式，有：由傅里叶级数

10、正变换定义式，有：( )x t111 ( )02tTx tTTt，02T 10 10 110011jjjj00010112eeee=j2j2 sin(),0TkTkTTktktkTTadtTkTkTkTkkT 01/2a 2021-11-11大连理工大学15周期性连续时间信号的频谱周期性连续时间信号的频谱2021-11-11大连理工大学16 3.3.狄利赫莱条件（收敛问题）狄利赫莱条件（收敛问题） 在任何周期内，在任何周期内， 必须绝对可积，即满足：必须绝对可积，即满足： 在任意有限区间内，在任意有限区间内， 具有有限个起伏变化。具有有限个起伏变化。 在任何有限区间内，在任何有限区间内， 只有

11、有限个不连续点，且在不只有有限个不连续点，且在不连续点上，函数值有限。连续点上，函数值有限。 一般实际应用中的信号，都满足上述三个条件。一般实际应用中的信号，都满足上述三个条件。 ( )x t( ) dTx tt ( )x t( )x t2021-11-11大连理工大学17 4.4.傅里叶级数的含义傅里叶级数的含义 将周期性信号将周期性信号 分解为各次谐波的线性组合的形式。分解为各次谐波的线性组合的形式。加权系数为傅里叶级数的系数加权系数为傅里叶级数的系数 。 可得到信号的频谱，包括幅度谱可得到信号的频谱，包括幅度谱 和相位谱和相位谱 。( )x tkakaka2021-11-11大连理工大学

12、18 5.5.傅里叶级数的性质（略）傅里叶级数的性质（略） 线性；线性； 时移特性；频移特性；时移特性；频移特性； 共轭特性；共轭特性； 时间反转特性；时域尺度变换；时间反转特性；时域尺度变换； 微分性质，积分性质；微分性质，积分性质； 周期卷积；乘法性质；周期卷积；乘法性质； 帕色伐尔定理；帕色伐尔定理； 请自行阅读相关教材。请自行阅读相关教材。2021-11-11大连理工大学192021-11-11大连理工大学202021-11-11大连理工大学202.3 周期性离散时间信号的周期性离散时间信号的傅里叶级数傅里叶级数2021-11-11大连理工大学21 1. 1. 定义（定义（DFSDFS

13、） 式中：式中： ：基波周期；：基波周期； ：基波角频率；：基波角频率； ：周：周期性离散时间信号；期性离散时间信号； ：傅里叶级数的系数：傅里叶级数的系数 说明：说明： 是周期性的，即：是周期性的，即：N0( )x nka正变换正变换逆变换逆变换002jj2jj ee11 e eknknNkkkNkNknknNknNnNx naaax nx nNN011,NNkk Naaaaaaka2021-11-11大连理工大学22 2.2.计算计算 【例例2.32.3】：已知：已知： ，求：，求： 说明：说明：给定不同的给定不同的 值，值， 可能是周期的（有不同可能是周期的（有不同的周期），或者可能是非

14、周期的。的周期），或者可能是非周期的。 【解解】：假设假设1 1： ，则，则 为周期信号。为周期信号。 由欧拉公式，有，由欧拉公式，有， 则：则：0 sinx nnka0 x n02 /N x n22jj11 ee2j2jnnNNx n1111,0 (if1)2j2jkaaak且114(when =5)NaaaN2021-11-11大连理工大学23 假设假设2 2： ，且，且 和和 无公因子，则无公因子，则 可可确定一个基波周期为确定一个基波周期为N N的信号。将的信号。将 改写为：改写为： 则：则： mN02(1)mmN x n x n22jj11 ee2j2jmnmnNNx n11,022

15、mmkaaajj 其余（在一个周期内）332+22111if =5,=3, then ,=,=;=2j2j11if =3,=2, then ,= ,=;=2j2jkN kkN kkN kkN kNmaaaaaaaNmaaaaaaa 2021-11-11大连理工大学24 离散傅里叶级数的频谱离散傅里叶级数的频谱2021-11-11大连理工大学25 3.3.离散傅里叶级数的性质（略）离散傅里叶级数的性质（略） 线性；线性； 时移特性；频移特性；时移特性；频移特性； 共轭特性；共轭特性； 时间反转特性；时域尺度变换；时间反转特性；时域尺度变换； 微分性质，积分性质；微分性质，积分性质； 周期卷积；乘

16、法性质；周期卷积；乘法性质； 帕色伐尔定理；帕色伐尔定理； 请自行阅读相关教材。请自行阅读相关教材。2021-11-11大连理工大学262021-11-11大连理工大学272021-11-11大连理工大学272.4 连续时间信号的傅里叶变换连续时间信号的傅里叶变换2021-11-11大连理工大学28 1.1.从傅里叶级数到傅里叶变换：定义（从傅里叶级数到傅里叶变换：定义（FTFT）对于周期性连续时间信号对于周期性连续时间信号 ，若令，若令 ，且保，且保持持 不变，则有：不变，则有：这样，傅里叶级数就变为傅里叶变换：这样，傅里叶级数就变为傅里叶变换： x tT 1T0,k 且002jjj( )e

17、e1( )edktktTkkkkktkTx taaax ttTj-1( )=(j )ed2(j )=( )edtj tx tXXx tt 2021-11-11大连理工大学29 FSFSFTFT的图示的图示2021-11-11大连理工大学30 2.2.计算计算 【例例2.32.3】：已知已知 ，求，求 ： 【解解】：由定义，有：由定义，有： 幅度谱和相位谱：幅度谱和相位谱： ( )e( )0atx tu ta，(j )Xj(j)0011(j )=eede,0jjattatXtaaa 1221(j )(j )=tanXXaa ，2021-11-11大连理工大学31 上例的频谱上例的频谱幅度谱幅度谱

18、相位谱相位谱2021-11-11大连理工大学32 【例例2.4】：已知：已知： ，求，求 。 【解解】：( ) e( )0atx tu ta，(j )X0jjj022(j )=eede edeed112 jjattattattXtttaaa 信号波形信号波形信号频谱信号频谱2021-11-11大连理工大学33 【例例2.5】：已知：已知： ，求，求 。 【解解】：(j )X( )( )x ttj(j)=( )ed1tXtt ( ) tt0(j)X0信号波形信号波形信号频谱信号频谱2021-11-11大连理工大学34 【例例2.6】：已知：已知： ，求，求 。 【解解】：(j )X信号波形信号波

19、形信号频谱信号频谱11( )0tTx ttT，111111jjjj1112(j )=edsin()jjTTTTttTTXteeeT 2021-11-11大连理工大学35 【例例2.7】：已知：已知： ，求，求 。 【解解】：( )x t信号波形信号波形信号频谱信号频谱1(j )0WXW ，jjjj1111( )=1 edsin()22j2jWWttWtWtWWx tteeeWtttt2021-11-11大连理工大学36 讨论（比较讨论（比较【2.6】和和【2.7】） 讨论讨论1： 在在【例例2.6】中，中， 为门函数，为门函数， 为为sinc()函数函数; 在在【例例2.7】中，中， 为门函数

20、，为门函数， 为为sinc()函数函数; 这种关系称为这种关系称为对偶关系。对偶关系。 讨论讨论2 2： 定义定义sinc()函数：函数： 这样，这样，【例例2.6】中，中， 【例例2.7】中，中，( )x t(j )X(j )X( )x t sinsinc1112(j )=sin()2 sinc()TXTT1( )=sin()sincWWtx tWtt2021-11-11大连理工大学37 讨论讨论3： 若若 中的中的 若若 中的中的(j )X( )x t(j )( )WXx t变宽,的主峰变窄 If , then ( )Wx tt 1( ),(j )Tx tX变宽的主峰变窄 1If , th

21、en (j)2TX 2021-11-11大连理工大学38 3. 傅里叶变换（傅里叶变换（FT）的性质）的性质 【线性性质线性性质】 若若 则则 【时移性质时移性质】 若若 则则( )(j ), and( )(j )x tXy tY ( )( )(j )(j )ax tby taXbY ( )(j )x tX 0j0()e(j )tx ttX 2021-11-11大连理工大学39 【共轭对称性质共轭对称性质】 若若 则则 讨论：讨论：若若 ，则由于，则由于 有：有： 此外，有：此外，有：( )(j )x tX *( )( j)x tX ( )*( )x txt( )(j ), and *( )*

22、( j )x tXxtX *(j )( j ), or (j )( j )XXXX Re(j )Re( j ) , Im(j )Im( j ) , *(j )( j )(j ), *(j )( j ) (j ), XXXXXXXXXX 实部为偶虚部为奇模为偶相位为奇2021-11-11大连理工大学40 【时域微分与积分性质时域微分与积分性质】 若若 则则 【时间与频率的尺度变换时间与频率的尺度变换】 若若 则则1()(j),|x atXaaa 为常数( )(j )x tX d ( )d( )j(j );(j )(j )ddnnnx tx tXXtt 1( )d(j ) (0) ()jtxXX

23、( )(j )x tX 2021-11-11大连理工大学41 【对偶性质对偶性质】 对于任何傅里叶变换对，在时间和频率变量交换之对于任何傅里叶变换对，在时间和频率变量交换之后，都有一种对偶关系，例如后，都有一种对偶关系，例如：2021-11-11大连理工大学42 【频域微分性质频域微分性质】 若若 则则 【频域位移性质频域位移性质】 若若 则则( )(j )x tX d (j )j ( )dXtx t ( )(j )x tX 0j0( )(j()tex tX 2021-11-11大连理工大学43 【频域积分性质频域积分性质】 若若 则则 【帕色伐尔定理帕色伐尔定理】 若若 则则( )(j )x

24、 tX 1( )d(j )(0) ( ), j1( )d( )(0) ( ), jtxXXXx txtt 时域积分频域积分( )(j )x tX 221( ) d(j) d2x ttX 2021-11-11大连理工大学44 【卷积性质卷积性质】 若若 则则 作用：将时域卷积运算简化为频域的乘积运算。作用：将时域卷积运算简化为频域的乘积运算。 【例例2.82.8】理想低通滤波器理想低通滤波器 用途：去除信号频谱中高于用途：去除信号频谱中高于 的频率分量。的频率分量。 缺点：非因果系统；缺点：非因果系统；sinc()有波动。有波动。( )(j ), and( )(j )x tXh tH ( )*

25、( )(j )(j )x th tXH 1, |sin(),( )0, |cctH jh tt c2021-11-11大连理工大学45 【乘法性质乘法性质】 若若 则则 【例例2.92.9】信号的调制信号的调制( )(j ), and( )(j )x tXp tP 1( ) ( )(j )* (j )2x t p tXP ( )cos()ccp tt2021-11-11大连理工大学462021-11-11大连理工大学462021-11-11大连理工大学472021-11-11大连理工大学472.5 离散时间信号的傅里叶变换离散时间信号的傅里叶变换2021-11-11大连理工大学48 1.1.离

26、散时间傅里叶变换：定义（离散时间傅里叶变换：定义（DTFTDTFT）对于周期性离散时间信号对于周期性离散时间信号 ，若令，若令 ，且保，且保持持 不变，则有：不变，则有：N 1N002jj2jj ee1 e eknknNkkkNkNknknNknNnNx naaax nx nNjj2jj1 =(e )ed2(e )= ennnx nXXx n离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换离散傅里叶级数离散傅里叶级数 x n2021-11-11大连理工大学49 2. 2. 计算计算 【例例2.102.10】已知已知 ，求：，求： 【解解】 ,1nx na u naj(e)Xjjjjj001(e ) eee

27、1ennnnnnnnXa u naaa0a 0a 幅度谱幅度谱相位谱相位谱2021-11-11大连理工大学50 【例例2.112.11】已知已知 ，求：，求： 【解解】| | ,1nx naaj(e)X1jjjjjj001j2jj2(e )eeeee1e11e1e12 cosnmnnnnnnnnnnmXaaaaaaaaaaa信号信号频谱频谱2021-11-11大连理工大学51 3. 离散时间傅里叶变换（离散时间傅里叶变换（DTFT）的性质）的性质 【周期性周期性】 若若 则则 【线性性质线性性质】 若若 则则 【时移性质时移性质】 若若 则则jj (e ), and (e )x nXy nY

28、jj (e )(e )ax nby naXbY j (e )x nX 0jj0e(e )tx nnX j (e )x nX j(+2 )j(e)= (e )XX2021-11-11大连理工大学52 【共轭对称性质共轭对称性质】 若若 则则 讨论：讨论：若若 ，则由于，则由于 有：有： 此外，还有与连续傅里叶变换（此外，还有与连续傅里叶变换（FT）相似的奇偶性质。）相似的奇偶性质。j (e )x nX *j (e)x nX * x nxnjj (e ), and * *( e )x nXxnX j*j*jj(e )(e), or (e )(e)XXXX2021-11-11大连理工大学53 【时域

29、差分与累加性质时域差分与累加性质】 若若 则则 【时间扩展时间扩展】 若若 则则j( )( ) / , (e), =0, kkkx n knkxnXxnnk 为 的整数倍其中，不为 的整数倍j( )(e )x tX j( )(e )x tX jjjjj 1(e )e(e )(1e)(e )x nx nXXX jj0j1 (e ) (e )21emmx mXXk 2021-11-11大连理工大学54 【频域微分性质频域微分性质】 若若 则则 【频域位移性质频域位移性质】 若若 则则j (e )x nX jd (e )j dXnx n j (e )x nX 00jj( -)e (e)nx nX 2021-11-11大连理工大学55 【帕色伐尔定理帕色伐尔定理】 若若 则则j( )(e )x tX 2j221| |(e) | d2nx nX 2021-11-11大连理工大学56 【卷积性质卷积性质】 若若 则则 作用：将时域卷积运算简化为频域的乘积运算。作用：将时域卷积运算简化为频域的乘积运算。