工程力学- 轴向拉伸与压缩)

1、第八章第八章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩8-1 8-1 轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念此类受轴向外力作用或合力作用线沿杆轴线的等此类受轴向外力作用或合力作用线沿杆轴线的等截面直杆称为截面直杆称为拉杆拉杆或或压杆压杆。受力特点：直杆受到一对大小相等，作用线与受力特点：直杆受到一对大小相等，作用线与其轴线重合的外力其轴线重合的外力F作用。作用。变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。F F F F 求内力的一般方法求内力的一般方法截面法截面法（1）截开；）截开；（2 2）代替；）代替；（3）平衡。）平衡。步骤：步骤：F F mm(c) FN(a) F F m

2、m(b) mmFNx8-2 8-2 轴力与轴力轴力与轴力图图可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线均与可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线均与杆件的轴线重合，因而称之为杆件的轴线重合，因而称之为轴力轴力，用记号，用记号FN表示。表示。 FFNF F mm(c) FN(a) F F mm(b) mmFNx引起伸长变形的轴力为正引起伸长变形的轴力为正拉力（背离截面）；拉力（背离截面）；引起压缩变形的轴力为负引起压缩变形的轴力为负压力（指向截面）。压力（指向截面）。轴力的符号规定轴力的符号规定:F F mm(c) FN(a) F F mm(b) mmFNxFN mm(c) FN(a) F F

3、mm(b) mmFxF若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系，所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系，称为称为轴力图轴力图。 F F FN图FF F FN图F 用截面法法求内力的过程中，在截面取分离体用截面法法求内力的过程中，在截面取分离体前，作用于物体上的外力（荷载）不能任意移动或前，作用于物体上的外力（荷载）不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。用静力等效的相当力系替代。注意：注意：(a) F F F F (b)例例

4、试作图示杆的轴力图。试作图示杆的轴力图。求支反力求支反力kN10RF解：解：A B C D E 20kN 40kN 55kN 25kN 6003005004001800FR 22 F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 331144注意假设轴力为拉力注意假设轴力为拉力拉）(kN101NF横截面横截面1-11-1：拉）(kN50N2F横截面横截面2-22-2：FR 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 331144FRFN1 11A FRF1 FN2A B 22此时取截面此时取截面3-33-3右边为分离体方便，右边

5、为分离体方便，仍假设轴力为拉力。仍假设轴力为拉力。拉）(kN204NF横截面横截面3-33-3：压）kN(53NF同理同理FR 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 331144F3 F4 FN3 33D E F4 FN4 44E 由轴力图可看出由轴力图可看出kN502Nmax,N FF20105FN图图(kN)FR 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 331144508-3 8-3 拉压杆的应力与圣维南原理拉压杆的应力与圣维南原理思考思考： 杆、杆、 杆材料相同，杆材料相同， 杆截面面积大于杆截面面积大

6、于 杆，杆， 挂相同重物，哪根杆危险？挂相同重物，哪根杆危险？A B ABA B AB若若 ，哪根杆危险？，哪根杆危险？CCWWABABCCFAFAdN无法用来确定分布内力在横截面上的变化规律无法用来确定分布内力在横截面上的变化规律已知静力学条件已知静力学条件mmF F mmF FNmmF FN 、拉（压）杆横截面上的应、拉（压）杆横截面上的应力力但荷载不仅在杆但荷载不仅在杆内引起应力，还内引起应力，还要引起杆件的变要引起杆件的变形。形。可以从观察杆件可以从观察杆件的表面变形出发，的表面变形出发，来分析内力的分来分析内力的分布规律。布规律。F F acbdacbdmmF F mmF FNmmF

7、 FN 等直杆相邻两条横向线在杆受拉等直杆相邻两条横向线在杆受拉( (压压) )后仍后仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。 原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉（压）杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。对于拉（压）杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。现象现象平面假设平面假设F F acbdacbd亦即横截面上各点处的正应力亦即横截面上各点处的正应力 都相等。都相等。推论：推论：1、等直、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截面上没有切应力。因而横截面上没有切应力。2、拉拉( (

8、压压) )杆受力后任意两个横截面之间纵向线杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长段的伸长( (缩短缩短) )变形是均匀的。变形是均匀的。F F acbdacbd等截面拉等截面拉( (压压) )杆横截面上正应力的计算公式杆横截面上正应力的计算公式 AFN即即AAFAdNmmF F mmF FNmmF FN 适用条件：适用条件： 上述正应力计算公式对拉（压）杆的横上述正应力计算公式对拉（压）杆的横截面形状没有限制；但对于拉伸（压缩）时平面截面形状没有限制；但对于拉伸（压缩）时平面假设不成立的某些特定截面假设不成立的某些特定截面, , 原则上不宜用上式原则上不宜用上式计算横截面上的正应力。计算横截

9、面上的正应力。 实验研究及数值计算表明，在载荷作用实验研究及数值计算表明，在载荷作用区附近和截面发生剧烈变化的区域，横截面上的区附近和截面发生剧烈变化的区域，横截面上的应力情况复杂，上述公式不再正确。应力情况复杂，上述公式不再正确。 力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。、圣维南原理、圣维南原理FFFF影响区影响区影响区影响区2F2F2F2Fx=h/4x=h/2x=hx1 231 23Fh应力均匀应力均匀有限元结果有限元结果例例 试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的试求此正方形

10、砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知最大工作应力。已知 F =50 kN。 解：解：段柱横截面上的正应力段柱横截面上的正应力 MPa87. 0)mm240()mm240(N1050311N1AF（压）（压） kN501NF150kN50kNF C BA F F 40003000370240段柱横截面上的正应力段柱横截面上的正应力1.1MPa)mm370)(mm370(N1015032N22AF（压应力）（压应力） kN1502NF最大工作应力为最大工作应力为 MPa1 . 12max150kN50kNF C BA F F 40003000370240、拉（压）杆斜截面上的应力、拉（压

11、）杆斜截面上的应力FF 由静力平衡得斜截面上的由静力平衡得斜截面上的内力：内力： F F kkF F kkF F pkk?p变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉（压）变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉（压）变形后仍相互平行。变形后仍相互平行。推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长变形相同。变形相同。即斜截面上各点处总应力相等。即斜截面上各点处总应力相等。F F 0 为拉为拉( (压压) )杆横截面上杆横截面上( )( )的正应力。的正应力。 0AFp coscos/AFAFcos0F F pkkF F kkAA总应力又可分解为斜截面上的正应力和切应力

12、：总应力又可分解为斜截面上的正应力和切应力： 20coscos psinp2sin20sincos0p方位角方位角符号规定：符号规定：x x轴逆时针转向截面外法轴逆时针转向截面外法线线, ,为正；为正；切应力切应力的符号规定的符号规定: :将截面外法线沿顺时针转将截面外法线沿顺时针转9090, ,与该方向同向的切应力为正。与该方向同向的切应力为正。20cos2sin20通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况，通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况，成为该点处的成为该点处的应力状态应力状态。对于拉（压）杆，一点处的应力状态由其横截面上对于拉（压）杆，一点处的应力状态由其横截面上一点处正应

13、力即可完全确定，这样的应力状态称为一点处正应力即可完全确定，这样的应力状态称为单向应力状态单向应力状态。 p2/0max20cos2sin20讨论：讨论：0（1）450max45900（2）2/0min00（横截面）（横截面）（纵截面）（纵截面）（纵截面）（纵截面）（横截面）（横截面）900p8-4 8-4 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 力学性能力学性能 材料受力时在强度和变形方面所表材料受力时在强度和变形方面所表现出来的性能。现出来的性能。力学性能力学性能取决于取决于内部结构内部结构外部环境外部环境由试验方式获得由试验方式获得 本节讨论的是常温、静载、轴向拉伸（或

14、压缩）本节讨论的是常温、静载、轴向拉伸（或压缩）变形条件下的力学性能。变形条件下的力学性能。一一 、材料的拉伸和压缩试验、材料的拉伸和压缩试验 拉伸试样拉伸试样 圆截面试样：圆截面试样： dl10或或dl5矩形截面试样：矩形截面试样： Al3 .11或或Al65. 5试验设备：试验设备：1 1、万能试验机：、万能试验机：用来强迫试样变形用来强迫试样变形并测定试样的抗力并测定试样的抗力 2 2、变形仪：用来、变形仪：用来将试样的微小变形将试样的微小变形放大到试验所需精放大到试验所需精度范围内度范围内拉伸图拉伸图 四个阶段：四个阶段：荷载荷载伸长量伸长量 线性（弹性）阶段线性（弹性）阶段屈服阶段屈

15、服阶段硬化（强化）阶段硬化（强化）阶段缩颈（局部变形）缩颈（局部变形） 阶段阶段二、低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能二、低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能 为了消除掉试件尺寸的影响，将试件拉伸图转变为为了消除掉试件尺寸的影响，将试件拉伸图转变为材料的应力材料的应力应变曲线图。应变曲线图。AFNll图中：图中：A 原始横截面面积原始横截面面积 名义应力名义应力l 原始标距原始标距 名义应变名义应变拉伸过程四个阶段的变形特征及应力特征点：拉伸过程四个阶段的变形特征及应力特征点： 、线性（弹性）阶段、线性（弹性）阶段OB此阶段试件变形完全是弹此阶段试件变形完全是弹性的，且性的，且与与成线性关系

16、成线性关系EE 线段线段OA的斜率的斜率比例极限比例极限p 对应点对应点A弹性极限弹性极限e 对应点对应点B、屈服阶段、屈服阶段此阶段应变显著增加，但应力基本此阶段应变显著增加，但应力基本不变不变屈服屈服现象。现象。产生的变形主要是塑性产生的变形主要是塑性的。的。抛光的试件表面上可见抛光的试件表面上可见大约与轴线成大约与轴线成45 的滑移的滑移线。线。屈服极限屈服极限 对应点对应点D（屈服低限）屈服低限）s、硬化（强化）阶段、硬化（强化）阶段 此阶段材料抵抗变形的能此阶段材料抵抗变形的能力有所增强。力有所增强。强度极限强度极限b 对应对应点点G ( (拉伸强度拉伸强度) )，最大应力最大应力此

17、阶段如要增加应此阶段如要增加应变，必须增大应力变，必须增大应力材料的强化材料的强化（应变硬化）（应变硬化）强化阶段的卸载及再加载规律强化阶段的卸载及再加载规律 pe若在强化阶段卸载，若在强化阶段卸载，则卸载过程则卸载过程 关关系为直线。系为直线。 立即再加载时，立即再加载时，关系起初基本上沿关系起初基本上沿卸载直线卸载直线上升直至上升直至当初卸载的荷载，当初卸载的荷载，然后沿卸载前的曲然后沿卸载前的曲线断裂线断裂冷作硬化冷作硬化现象。现象。e_ 弹性应变弹性应变p 残余应变（塑性）残余应变（塑性）冷作硬化对材料力学性能的影响冷作硬化对材料力学性能的影响比例极限比例极限 p强度极限强度极限b不变

18、不变残余变形残余变形p例题例题、缩颈（局部变形）阶段、缩颈（局部变形）阶段 试件上出现急剧局部横截面试件上出现急剧局部横截面收缩收缩缩颈缩颈，直至试件断裂。，直至试件断裂。塑性（延性）塑性（延性） 材料能经受较大塑材料能经受较大塑性变形而不破坏的性变形而不破坏的能力能力 。材料的塑性用延伸材料的塑性用延伸率断面收缩率度量率断面收缩率度量延伸率延伸率:%1001lll（平均塑性延伸率）（平均塑性延伸率）断面收缩率：断面收缩率：%1001AAAA1 断口处最断口处最小横截面面积。小横截面面积。 MPa240sMPa390bQ235钢的主要强度指钢的主要强度指标：标： Q235钢的塑性指标：钢的塑性

19、指标： %30%20%60Q235钢的弹性指标：钢的弹性指标： GPa210200E通常通常 的材料称为的材料称为塑性材料塑性材料； 的材料称为的材料称为脆性材料脆性材料。%5%5低碳钢拉伸破坏断面低碳钢拉伸破坏断面三、其他金属材料在拉伸时的力学性能三、其他金属材料在拉伸时的力学性能 锰钢没有屈服和局部变形阶锰钢没有屈服和局部变形阶段段强铝、退火球墨铸铁没有明强铝、退火球墨铸铁没有明显屈服阶段显屈服阶段共同点：共同点： 5%5%，属塑性材料属塑性材料无屈服阶段的塑性材料，以无屈服阶段的塑性材料，以p0.2作为其名义屈服极限（作为其名义屈服极限（屈屈服强度服强度）。）。 p0.2卸载后产生数值为

20、卸载后产生数值为0.2%塑性应变（残塑性应变（残余应变）的应力值余应变）的应力值称为称为名义屈服极限名义屈服极限（屈服强度屈服强度）例：对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以卸载后例：对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以卸载后产生数值为产生数值为 的的 所对应的应力作为屈服应所对应的应力作为屈服应力，称为名义屈服极限，用表示力，称为名义屈服极限，用表示 。%.2020.P灰口铸铁轴向拉伸试验灰口铸铁轴向拉伸试验b断口与轴线垂直断口与轴线垂直灰口铸铁在拉伸时的灰口铸铁在拉伸时的 曲线曲线特点：特点：1、 曲线从很低应力水曲线从很低应力水平开始就是曲线；采用割线平开始就是曲线；采用割线弹性模量弹

21、性模量2、没有屈服、强化、局部、没有屈服、强化、局部变形阶段，只有唯一拉伸强变形阶段，只有唯一拉伸强度指标度指标b3、延伸率非常小，断裂时延伸率非常小，断裂时的应变仅为的应变仅为0.4% 0.5% ，拉，拉伸强度伸强度b基本上就是试件拉基本上就是试件拉断时横截面上的真实应力断时横截面上的真实应力。 典型的脆性材料典型的脆性材料铸铁试件在轴向拉伸时的破坏断面：铸铁试件在轴向拉伸时的破坏断面：压缩试样压缩试样 圆截面短柱体圆截面短柱体31dl正方形截面短柱体正方形截面短柱体31bl四、金属材料在压缩时的力学性能四、金属材料在压缩时的力学性能 压缩压缩拉伸拉伸低碳钢压缩时低碳钢压缩时 的曲线的曲线

22、特点：特点：1 1、低碳钢拉、压时的、低碳钢拉、压时的s以以及弹性模量及弹性模量E基本相同。基本相同。 2、材料延展性很好，不、材料延展性很好，不会被压坏。会被压坏。灰口铸铁压缩时的灰口铸铁压缩时的 曲线曲线断口与轴线约成断口与轴线约成45o cb= 34 tb特点：特点： 1 1、压缩时的、压缩时的b和和 均比拉伸时大得多，宜做受压均比拉伸时大得多，宜做受压构件；构件；2 2、即使在较低应力下其、即使在较低应力下其 也只近似符合胡克也只近似符合胡克定律定律; ;3 3、试件最终沿着与横截面大致成、试件最终沿着与横截面大致成 50 55 的斜的斜截面发生错动而破坏。截面发生错动而破坏。端面润滑

23、时端面润滑时端面未润滑时端面未润滑时五、几种非金属材料的力学性能五、几种非金属材料的力学性能 1 1、混凝土：拉伸强度很小，结构计算时一般不加以、混凝土：拉伸强度很小，结构计算时一般不加以考虑考虑; ;使用标准立方体试块测定其压缩时的力学性能。使用标准立方体试块测定其压缩时的力学性能。 特点特点:1、直线段很短，在变形不大、直线段很短，在变形不大时突然断裂；时突然断裂；2、压缩强度压缩强度b及破坏形式与及破坏形式与端面润滑情况有关；端面润滑情况有关；3、以、以 曲线上曲线上 =0.4b的的点与原点的连线确定点与原点的连线确定“割线弹割线弹性模量性模量”。2 2、木材、木材木材属木材属各向异性材

24、料各向异性材料其力学性能具有方向性其力学性能具有方向性亦可认为是亦可认为是正交各正交各向异性材料向异性材料其力学性能具有三个其力学性能具有三个相互垂直的对称轴相互垂直的对称轴特点：特点：1 1、顺纹拉伸强度很高，但、顺纹拉伸强度很高，但受木节等缺陷的影响波动；受木节等缺陷的影响波动；2 2、顺纹压缩强度稍低于顺、顺纹压缩强度稍低于顺纹拉伸强度，但受木节等缺纹拉伸强度，但受木节等缺陷的影响小。陷的影响小。3 3、横纹压缩时可以比例极、横纹压缩时可以比例极限作为其强度指标。限作为其强度指标。4 4、横纹拉伸强度很低，工、横纹拉伸强度很低，工程中应避免木材横纹受拉。程中应避免木材横纹受拉。松木顺纹拉

25、伸、压缩和横纹压缩时的松木顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的 曲线曲线许用应力许用应力 和弹性和弹性模量模量 E 均应随应力方均应随应力方向与木纹方向倾角不向与木纹方向倾角不同而取不同数值。同而取不同数值。3 3、玻璃钢、玻璃钢玻璃纤维的不同排列方式玻璃纤维的不同排列方式玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料复合材料力学性能力学性能玻璃纤维和树脂的性能玻璃纤维和树脂的性能玻璃纤维和树脂的相对玻璃纤维和树脂的相对量量材料结合的方式材料结合的方式纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的 曲线曲线特点：特点：1、直至断裂前、直至断裂前 基基

26、本是线弹性的；本是线弹性的；2 2、由于纤维的方向性，、由于纤维的方向性，玻璃钢的力学性能是各玻璃钢的力学性能是各向异性的。向异性的。六、复合材料与高分子材料的拉伸力学性能六、复合材料与高分子材料的拉伸力学性能 七、温度对材料力学性能的影响七、温度对材料力学性能的影响 温度对材料的力学性能有很大影响温度对材料的力学性能有很大影响. . 2-6 2-6 应力集中的概念应力集中的概念应力集中应力集中由于杆件横截面突然变化而引起的应由于杆件横截面突然变化而引起的应力局部骤然增大的现象。力局部骤然增大的现象。截面尺寸截面尺寸变化越剧变化越剧烈，应力烈，应力集中就越集中就越严重。严重。nmaxK理论应力

27、集中因数理论应力集中因数：具有小孔的均匀受拉平板具有小孔的均匀受拉平板3Kn 截面突变的横截面上截面突变的横截面上max作用点处的名作用点处的名义应力；轴向拉压时为横截面上的平均应力。义应力；轴向拉压时为横截面上的平均应力。应力集中对强度的影响：应力集中对强度的影响：理想弹塑性材料制成的杆件受静荷载时理想弹塑性材料制成的杆件受静荷载时荷载增大进荷载增大进入弹塑性入弹塑性极限荷载极限荷载jsAF弹性阶段弹性阶段脆性材料或塑性脆性材料或塑性差的材料差的材料塑性材料、静荷载塑性材料、静荷载不考虑应力集中的影响不考虑应力集中的影响要考虑应力集中的影响要考虑应力集中的影响动荷载动荷载2-6 许用应力与强

28、度条件许用应力与强度条件、材料的许用应力、材料的许用应力塑性材料塑性材料: :脆性材料脆性材料: :对应于拉、压强度的安全因数对应于拉、压强度的安全因数极限应力极限应力us 或或p0.2b许用应力许用应力:工作应力的最大容许值。工作应力的最大容许值。nun 1工作应力：构件实际承载所引起的应力。工作应力：构件实际承载所引起的应力。ns一般取一般取 1.25 2.5，塑性材料塑性材料: :脆性材料脆性材料: :ssnsp0.2n或bbnnb一般取一般取 2.5 3.0，甚至 4 14。、关于安全、关于安全因数因数的考虑的考虑（1 1）极限应力的差异；）极限应力的差异； （2 2）构件横截面尺寸的

29、变异；）构件横截面尺寸的变异； （3 3）荷载的变异；）荷载的变异； （4 4）计算简图与实际结构的差异；）计算简图与实际结构的差异； （5 5）考虑强度储备。）考虑强度储备。、拉（压）杆的强度条件、拉（压）杆的强度条件保证拉（压）杆不保证拉（压）杆不因强度不足发生破因强度不足发生破坏的条件坏的条件max等直杆等直杆maxN,AF强度计算的三种类型：强度计算的三种类型：（1 1）强度校核强度校核（2）截面选择）截面选择（3）计算许可荷载）计算许可荷载max,NmaxAFmax,NFAmaxN,AF 强度条件的应用举例强度条件的应用举例12LAF(1) (1) 求内力（节点求内力（节点A A平衡

30、）平衡）(2) (2) 求应力（求应力（A1A1，A2A2横截面积）横截面积）N1sinFF N2tanFF - -11sinFA 22tanFA - -FN1FN2FA A1.1.校核强度校核强度1t1sinFA ？校核结构是否安全？校核结构是否安全？已知已知F， ，A1 1，A2 2， ， t c 解：解：12LAF2c2tanFA ？ ？2.2.确定许用载荷（结构承载能力）确定许用载荷（结构承载能力）求求 F 已知已知 ，A1 1，A2 2 ， ， t c 12LAFFA 1t1sinFA 2c2tan FF imin3.3.设计截面设计截面已知已知F F， ， ， t 设计各杆截面设计

31、各杆截面c 12LAF 1tsinAF 2ctanAF 设计设计: :圆杆圆杆矩形杆矩形杆A2ab 须给定须给定a，b之一或二者关系。之一或二者关系。ii4dA 例例 图示三角架中，杆图示三角架中，杆AB由两根由两根10号工字钢组成，号工字钢组成，杆杆AC由两根由两根 80mm 80mm7mm 的等边角钢组成。的等边角钢组成。两杆的材料均为两杆的材料均为Q235钢，钢， =170MPa 。试求此结试求此结构的许可荷载构的许可荷载 F 。F1m30ACB（1）节点）节点 A 的受力如图，其平衡方程为：的受力如图，其平衡方程为：拉）(21NFF 0 xF解：解：0yF030cosN1N2FF030

32、sinN1FF压）(732. 12NFF得得F1m30ACBAFxyFN2 FN1 30（2）查型钢表得两杆的面积）查型钢表得两杆的面积（3）由强度条件得两杆的许可轴力：）由强度条件得两杆的许可轴力：kN24.369N1024.369)mm2172()MPa170(321NF222mm28602)mm1430(A221mm21722)mm1086(A杆杆AC杆杆ABkN20.486N1020.486)mm2860()MPa170(322NF杆杆AC杆杆ABkN24.3691NFkN20.4862NFFF21NFF732. 12N(4) 按每根杆的许可轴力求相应的许可荷载：按每根杆的许可轴力求相

33、应的许可荷载：kN6 .1842kN24.36921N1FFkN7 .280732. 1kN20.486732. 1N22FFkN6 .184FF1m30ACB8-7 8-7 拉压杆的变形拉压杆的变形 一、拉一、拉( (压压) )杆的纵向变形、胡克定律杆的纵向变形、胡克定律 绝对变形绝对变形 lll-1ll相对变形相对变形 F F dll1d1正应变以伸长时为正，缩短时为负。正应变以伸长时为正，缩短时为负。 EAFll EAlFNAFAFN拉压杆的拉压杆的胡克定律胡克定律EA 杆的杆的拉压刚度拉压刚度。E二、横向变形与泊松比二、横向变形与泊松比dd绝对值绝对值ddd-1横向线应变横向线应变F

34、F dll1d1试验表明：单轴应力状态下，当应力不超过材料试验表明：单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，一点处的纵向线应变的比例极限时，一点处的纵向线应变 与横向线与横向线应变应变的绝对值之比为一常数：的绝对值之比为一常数：- - 泊松比，是一常数，由试验确定。泊松比，是一常数，由试验确定。试验表明：单轴应力状态下，当应力不超过材料试验表明：单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，一点处的纵向线应变的比例极限时，一点处的纵向线应变 与横向线与横向线应变应变的绝对值之比为一常数：的绝对值之比为一常数：)1 (2EG试验表明试验表明: :三、多力杆的变形与叠加原理三、多力杆的变形与

35、叠加原理 BCABlllF1C BA F2l1l22211121)(EAlFEAlFF 2211111)(EAlFEAlFFlF1C BA F2l1l2F1C BAl1l2C BA F2l1l21122)(EAlFFl)()(11FlFll2221121)(EAlFEAlFF例例 一阶梯状钢杆受力如图，已知一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截面段的横截面面积面积A1=400mm2， BC段的横截面面积段的横截面面积A2=250mm2,材料的弹性模量材料的弹性模量E=210GPa。试求：试求：AB、BC段的段的伸长量和杆的总伸长量；伸长量和杆的总伸长量；C截面相对截面相对B截面的位移截面的位移

36、和和C截面的绝对位移。截面的绝对位移。F=40kN C BA BC解：解：由静力平衡知，由静力平衡知，AB、BC两段的轴力均为两段的轴力均为FF Nl1 =300l2=200故故11N1EAlFl mm143. 022N2EAlFl mm152. 0233mm400MPa10210mm300N1040233mm250MPa10210mm200N1040F=40kNC BA BCl1 =300l2=200AC杆的总伸长杆的总伸长21lllmm295. 0152. 0143. 0C截面相对截面相对B截面的位移截面的位移)( mm153. 02lCBC截面的绝对位移截面的绝对位移)( mm295.

37、0lCF=40kNC BA BC四、桁架节点位移分析与小变形概念四、桁架节点位移分析与小变形概念桁架的变形通常用节点的位移表示，桁架的变形通常用节点的位移表示，它也是解静不定问题的基础它也是解静不定问题的基础按原结构尺寸求内力，切线代圆弧计按原结构尺寸求内力，切线代圆弧计算位移，保证工程精度的简化处理算位移，保证工程精度的简化处理例：例：已知已知 , ,求桁架节点求桁架节点A的水平与铅垂位移的水平与铅垂位移解：解：1 1、轴力与变形分析、轴力与变形分析( (拉拉) ) ( (缩短缩短) )( (压压) )( (伸长伸长) )1452AFBCN12FF N2FF N1 1111222F lFlF

38、llE AEAEA N2 2222F lFllE AEA 11222,E AE AEA ll1452ACBA1A2A2、节点、节点A的位移的精确计算的位移的精确计算 及其困难。及其困难。位移求法：杆位移求法：杆1伸长伸长 到到 点，点， 杆杆2伸长伸长 到到 点点， 以以B、C为圆心作圆交于为圆心作圆交于A点点l1 A1A2l2 计算困难：解二次方程组；由于计算困难：解二次方程组；由于 位移内力变化，需迭代求解位移内力变化，需迭代求解. 小变形：小变形：与结构原尺寸相比与结构原尺寸相比 为很小的变形。为很小的变形。实用解法：实用解法：* *按结构原几何形状与尺按结构原几何形状与尺 寸计算约束反

39、力与内力；寸计算约束反力与内力；* *采用切线代圆弧的方法采用切线代圆弧的方法 确定节点位移。确定节点位移。1452ACBAA1A2A3、小变形问题实用解法、小变形问题实用解法4、节点位移计算、节点位移计算 22xFlAAAlEA 122 2cos452 21ylFlFlAlEAEAFlEA 1452ABCA1A2A例例 图示杆系，荷载图示杆系，荷载 F=100kN, , 求结点求结点A的位移的位移A。已知两杆均为长度已知两杆均为长度l =2m，直径直径d =25mm的圆杆的圆杆， =30，杆材，杆材( (钢钢) )的弹性模量的弹性模量E = 210GPa。解：先求两杆的轴力。解：先求两杆的轴

40、力。 cos22N1NFFF 0 xFFFcos21N2N1NFF 0yF得得xyFN2FN1 FABC12AF由胡克定律得两杆的伸长：由胡克定律得两杆的伸长：21llEAlFEAlF2N1Ncos2 EAFlcosd22EFl 根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点A只有竖向位移。只有竖向位移。FABC12此位置既应该符合两杆此位置既应该符合两杆间的约束条件，又满足间的约束条件，又满足两杆的变形量要求。两杆的变形量要求。关键步骤关键步骤如何确定杆系变形后结点如何确定杆系变形后结点A的位置？的位置？ABC12A21A2A1AAcoscos21AAAAA

41、A即即 coscos21llA由变形图即确定结点由变形图即确定结点A的位移。的位移。由几何关系得由几何关系得22cos2dEFl21A2A1AA)(mm293. 130cos)mm25()MPa10210()mm102)(N10100(222333A代入数值得代入数值得 8 - 8 简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题* *静不定问题：静不定问题：根据静力平衡方根据静力平衡方程不能确定全部未知力的问题。程不能确定全部未知力的问题。* *静定问题静定问题 ：由静力平衡方程由静力平衡方程可确定全部未知力可确定全部未知力( (包括支反包括支反力与内力力与内力) )的问题。的问题。* *静不定度：静不

42、定度：未知力数与有效未知力数与有效平衡方程数之差。平衡方程数之差。静定问题静定问题1452AFBCFFCFBFABCAAFFFFN2N3N1yxBCAD一度静不定一度静不定AF 123二度静不定二度静不定习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约多余约束束，相应的约束反力称为，相应的约束反力称为多余未知力多余未知力。超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。NOTENOTE：从提高结构的从提高结构的强度和刚度强度和刚度的角度来说，多余的角度来说，多余约束往往是必需的，并不是多余的约束往往是必需的，并不是多

43、余的超静定的求解超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超：根据静力学平衡条件确定结构的超静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、物理关系列出需要的补充方程；则可求解超静定问物理关系列出需要的补充方程；则可求解超静定问题。题。补充方程补充方程：为求出超静定结构的全部未知力，除了：为求出超静定结构的全部未知力，除了利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充方程的数目等于多余未知力的数目。充方程的数目等于多余未知力的数目。根据变形几何关系，建立根据变形几何关系，建立变形协调方程变形协调方程，结合物理，

44、结合物理关系（关系（胡克定律），则可列出需要的补充方程。胡克定律），则可列出需要的补充方程。补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧。补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧。此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题进行说明。进行说明。2 2、几何方面、几何方面3 3、物理方面、物理方面4 4、支反力计算、支反力计算何时何时问题问题 ：补充方程：补充方程：解：解：1 1、静力学方面、静力学方面例：例：求杆两端的支反力。求杆两端的支反力。 1l2lFAxFBxFABC?2AxBxFFF0AxBxFFF 120AxBxF lF l 0ACCBll

45、 1,AxACF llEA2BxCBF llEA 212AxFlFll 112BxFlFll 2AxBxFFF 例例 设设l，2，3杆用铰连接如图，杆用铰连接如图，1、2两杆的长度、两杆的长度、横截面面积和材料均相同，即横截面面积和材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2， E1= E2=E；3 3杆长度为杆长度为l3 ，横截面面积为横截面面积为A3，弹性模量为弹性模量为E3 。试求各杆的轴力试求各杆的轴力解解：一次超静定问题：一次超静定问题(1)(1)力：由节点力：由节点A A的平衡条件列的平衡条件列出出平衡方程平衡方程0sinsin, 02N1NFFFx0coscos, 03N1N3NFF

46、FFFyBDCA132FAFFFFN2N3N1yx(2)(2)变形：变形： 补充方程补充方程( (变形协变形协调条件调条件) )cos31ll(3)(3)胡克定理胡克定理EAlFl1N1333N3cosAElFlll31B132DCAA(4)(4)补充方程变为补充方程变为2333N1NcosAEEAFF联立平衡方程、补充方程，求解得联立平衡方程、补充方程，求解得2332N1Ncoscos2EAAEFFF3333Ncos21AEEAFF 在超静定杆系中，各杆在超静定杆系中，各杆轴力的大小轴力的大小和该杆的和该杆的刚度刚度与与其它杆的刚度其它杆的刚度的的比值有关比值有关 增大或减少增大或减少1 1

47、、2 2两杆的刚度，则它们的轴力也两杆的刚度，则它们的轴力也将随之增大或减少；杆系中任一杆的刚度的改变都将随之增大或减少；杆系中任一杆的刚度的改变都将引起杆系各轴力的重新分配。这些将引起杆系各轴力的重新分配。这些特点特点在静定杆在静定杆系中是不存在的。系中是不存在的。归纳起来，求解超静定问题的步骤是：归纳起来，求解超静定问题的步骤是： (1) (1)根据分离体的根据分离体的平衡条件平衡条件，建立独立的平衡，建立独立的平衡方程；方程； (2) (2)根据根据变形协调条件变形协调条件，建立方程，建立方程补充方程补充方程 (3) (3)利用胡克定律，改写补充方程；利用胡克定律，改写补充方程； (4)

48、. (4). 联立求解联立求解 例例 一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模量均分别相同，用模量均分别相同，用A A、l l、E E 表示。设表示。设ACAC为一刚性横为一刚性横梁，试求在荷载梁，试求在荷载F F 作用下各杆的轴力作用下各杆的轴力解解: : ( (1)1)受力分析受力分析-平衡方程平衡方程0, 03N2N1NFFFFY05 . 05 . 05 . 1, 03N2N1NFFFMD123laaa2BCADFFDABCFN1N2FN3F(2) (2) 变形分析变形分析协调条件（补充方程）协调条件（补充方程）(3) (3) 胡克定理胡克定理(

49、4)(4)联立求解得联立求解得3121)(2llllEAlFlEAlFlEAlFl3N32N21N1,3N2N1N2FFF127,3,123N2N1NFFFFFFABBC l1l2Cl3装配应力 温度应力(1) 装配应力装配应力 在在静定问题静定问题中，只会使结构中，只会使结构的几何形状略有改变，不会在杆的几何形状略有改变，不会在杆中产生附加的内力中产生附加的内力. .如如1杆较设计杆较设计尺寸过长，仅是尺寸过长，仅是A点的移动。点的移动。 在在超静定问题超静定问题中，由于有了中，由于有了多余约束，误差就将产生附加的多余约束，误差就将产生附加的内力内力. . 附加的内力称为附加的内力称为装配内

50、力装配内力, ,与之相应的应力则称为与之相应的应力则称为装配应力装配应力, ,装配应力是杆在荷载作用以前已装配应力是杆在荷载作用以前已经具有的应力，也称为经具有的应力，也称为初应力初应力。 3DBCAAA12e 在超静定问题里，杆件尺寸的微小误差，会产在超静定问题里，杆件尺寸的微小误差，会产生相当可观的装配应力。这种装配应力既可能引生相当可观的装配应力。这种装配应力既可能引起不利的后果，也可能带来有利的影响。起不利的后果，也可能带来有利的影响。 土建工程中的预应力钢筋混凝土构件，就是利土建工程中的预应力钢筋混凝土构件，就是利用装配应力来提高构件承载能力的例子。用装配应力来提高构件承载能力的例子

51、。(2)(2) 温度应力温度应力静定问题静定问题：由于杆能自由变形，由温度所引起的变：由于杆能自由变形，由温度所引起的变形不会在杆中产生内力。形不会在杆中产生内力。超静定问题超静定问题：由于有了多余约束，杆由温度变化所：由于有了多余约束，杆由温度变化所引起的变形受到限制，从而将在杆中产生内力。这引起的变形受到限制，从而将在杆中产生内力。这种内力称为种内力称为温度内力温度内力。 与之相应的应力则称为与之相应的应力则称为温度应力温度应力。 杆的变形杆的变形包括两部分：即由温度变化所引起的变形，包括两部分：即由温度变化所引起的变形，以及与温度内力相应的弹性变形以及与温度内力相应的弹性变形。 在超静定

52、结构中，温度应力是一个不容忽视的在超静定结构中，温度应力是一个不容忽视的因素。因素。 在铁路钢轨接头处、混凝土路面中，通常都留在铁路钢轨接头处、混凝土路面中，通常都留有空隙；高温管道隔一段距离要设一个弯道，都为有空隙；高温管道隔一段距离要设一个弯道，都为考虑温度的影响，调节因温度变化而产生的伸缩。考虑温度的影响，调节因温度变化而产生的伸缩。 如果忽视了温度变化的影响，将会导致破坏或如果忽视了温度变化的影响，将会导致破坏或妨碍结构物的正常工作。妨碍结构物的正常工作。 8-9 8-9 连接部分的强度计算连接部分的强度计算-剪剪切与挤压的实用计算切与挤压的实用计算1、剪切的概念2、剪切的假定计算3、

53、挤压的概念4、挤压的假定计算5、连接板的计算1、剪切的概念、剪切的概念（2）变形特点）变形特点（1）受力特点）受力特点 作用于构件某一截面（剪作用于构件某一截面（剪切面）两侧的力，大小相等、切面）两侧的力，大小相等、方向相反且相距很近。方向相反且相距很近。 构件的两部分沿剪切面构件的两部分沿剪切面发生相对错动。发生相对错动。（3）单剪与双剪）单剪与双剪仅一个剪切面称为单剪（见图仅一个剪切面称为单剪（见图1），若有两个），若有两个剪切面则称为双剪（见图剪切面则称为双剪（见图2 2）。）。2 、剪切的假定计算、剪切的假定计算 剪力剪力FS-主要成分主要成分 弯矩弯矩M-次要成分，可忽略。次要成分，

54、可忽略。假设剪应力均匀分布，则：假设剪应力均匀分布，则：（1）剪切面上内力）剪切面上内力（2）剪切面上应力计算）剪切面上应力计算其中其中AS为剪切面的面积。为剪切面的面积。为为名义剪应力名义剪应力。SSAF （3）剪切强度条件）剪切强度条件 FS / AS 许用剪应力许用剪应力 通过试验得到。通过试验得到。 在该试验中，应使试样的受力尽可能地接近实际联接件在该试验中，应使试样的受力尽可能地接近实际联接件的情况，求得试样失效时的极限载荷，然后根据公式的情况，求得试样失效时的极限载荷，然后根据公式求出名义求出名义极限极限剪应力剪应力b ，除以安全系数除以安全系数 n，得得许用剪应许用剪应力力 ，从而建立强度条件。从而建立强度条件。 对于塑性较好的低碳钢材料，根据实验所积累的数据并对于塑性较好的低碳钢材料，根据实验所积累的数据并考虑安全系数，考虑安全系数， 与许用拉应力与许用拉应力 之间的关系为：之间的关系为： =(0.60.8)=(0.60.8)3、挤压的概念、挤压的概念挤压实例挤压实例 在外