工程力学I-第3章力矩与平面力偶系

1、3-1 3-1 关于力矩的概念与计算关于力矩的概念与计算3-2 3-2 关于力偶的概念关于力偶的概念3-3 3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡小小 节节3-1 关于力矩的概念及其计算关于力矩的概念及其计算力对物体作用时可以产生力对物体作用时可以产生移动移动和和转动转动两个外两个外效应。效应。Mo(F)Fd力力F对对O点点之之矩矩定定义为：义为：矩心矩心：；力臂力臂：d。通常规定：力使物体绕矩心通常规定：力使物体绕矩心逆时针逆时针方向转动时，方向转动时，力矩为力矩为正正，反之为负。，反之为负。3-1 关于力矩的概念及其计算关于力矩的概念及其计算在在平面平面问题中，力对点之问题中

2、，力对点之矩只取决于力矩的大小及矩只取决于力矩的大小及其旋转的方向（力矩正负），可视其旋转的方向（力矩正负），可视为一个为一个代数量代数量。Mo(F)2AOAB力矩的单位是牛顿力矩的单位是牛顿米（米（Nm）。力力F对点对点O的矩也可用图中的矩也可用图中OAB的面积的的面积的2倍表示：倍表示：3-1 关于力矩的概念及其计算关于力矩的概念及其计算特性：特性：（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。 力矩随矩心的位置变化而变化。力矩随矩心的位置变化而变化。（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。）力对任一点之

3、矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。*（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。（4）互成）互成平衡平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。的两个力对同一点之矩的代数和为零。Mo(F)Fd3-1 关于力矩的概念及其计算关于力矩的概念及其计算合力矩定理：合力矩定理：yxFRFyFxyAxAdOAr-xyDMo(FR)=FRd=FRrsin(-) =FRr(sin cos-sin cos) =FRsin rcos-rsin FRcosFRsin=Fy; FRcos = Fx;rsin =yA; rcos = xA. =xAFy -

4、yA FxMo(Fx)=- yA FxMo(Fy)=xA Fy =Mo(Fy)+Mo(Fx)AD yAO yOAD3-1 关于力矩的概念及其计算关于力矩的概念及其计算合力矩定理：合力矩定理：平面汇交力系的平面汇交力系的合力合力对作用面内任一点的矩等于力对作用面内任一点的矩等于力系中系中各分力各分力对对同一点同一点之矩的代数和。之矩的代数和。三角函数和角公式三角函数和角公式:正余同余正，余余反正正。正余同余正，余余反正正。 3-1 关于力矩的概念及其计算关于力矩的概念及其计算【例例】扳手扳手上受力上受力F作用作用F=200N,a=30,OA=20cm，计算该，计算该力对螺母力对螺母O之矩。之矩。

5、FOAdD axy( )cos200 0.2 cos3034.64OMFFdFOAaN m 根据合力矩定理，还可以将根据合力矩定理，还可以将F分解到分解到如图所示如图所示x,y方向分别计算其对方向分别计算其对O点力矩，点力矩，在求和得在求和得F对对O点之矩。点之矩。3-1 关于力矩的概念及其计算关于力矩的概念及其计算力偶：一对等值、反向而力偶：一对等值、反向而不共线不共线的平行力，的平行力，用符号（用符号（F ,F）表示。）表示。力偶臂：两个力作用力偶臂：两个力作用线之间的线之间的垂直垂直距离距离d。力偶的作用面：两个力偶的作用面：两个力作用线所决定的平力作用线所决定的平面面F F d 3-2

6、 关于力偶的概念关于力偶的概念转动游戏方向盘转动游戏方向盘拧水龙头拧水龙头扳手拧螺母扳手拧螺母FFdFFdFFd3-2 关于力偶的概念关于力偶的概念力偶的性质：力偶的性质：O力偶在任何坐标轴上的力偶在任何坐标轴上的投影为投影为0；力偶不能合成为一个力。力偶不能合成为一个力。力偶对物体不产生移动力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应效应，只产生转动效应.yxabc dF d -+注意：注意：既然既然力偶在任何坐标力偶在任何坐标轴上的投影等于零，那它的轴上的投影等于零，那它的合力也等于零。这种说法对合力也等于零。这种说法对不对？不对？ 不对，在任何坐标轴上投不对，在任何坐标轴上投影为零的力系合力

7、为零是针影为零的力系合力为零是针对平面对平面汇交汇交力系。力系。3-2 关于力偶的概念关于力偶的概念力偶矩力偶矩 ：力偶对物体的转动效应。：力偶对物体的转动效应。M(F, F)Fd力偶的三要素：力偶的三要素：力偶距力偶距的大小、力偶的大小、力偶的转向、力偶的作用面。的转向、力偶的作用面。FFdOxABC力偶对作用面内任一点之矩的大小恒等于力偶中力偶对作用面内任一点之矩的大小恒等于力偶中一力的大小和力偶臂的乘积，一力的大小和力偶臂的乘积，与矩心的位置无关。与矩心的位置无关。ABCAFFM2),(3-2 关于力偶的概念关于力偶的概念(1)根据加减平衡根据加减平衡力系力系公理，公理，对受力偶对受力偶

8、(F,F)作用的刚体作用的刚体增加一对平衡力增加一对平衡力(Q,Q)，不，不改变刚体的作用效应，则有改变刚体的作用效应，则有(F,F) =(F,F ,Q,Q)。(2)由力由力F,Q求得合力求得合力P，由，由力力F,Q，从而有，从而有 (F,F ,Q,Q) =(P,P) 。PP1P1PFFQQABAB(3)将力将力P和和P沿各自的作用沿各自的作用线移至任意点线移至任意点A，B，根，根据力的可传性原理，有据力的可传性原理，有 (P,P) =(P1,P1) 。3-2 关于力偶的概念关于力偶的概念(4)( ,)2,ABDM F FABBDA 显然，显然，ABDABCAA并注意到力偶矩的转向也相同，并注

9、意到力偶矩的转向也相同，则有则有( ,)( ,)M F FM P P11( ,)( ,)M P PM P P显然，显然，从而有从而有，11( ,)( ,)M F FM P PbCDABCABCABPPM2,）（PP1P1PFFQQABABA11( ,)( ,)M F FM P P3-2 关于力偶的概念关于力偶的概念同一平面内力偶的等效定理：同一平面内力偶的等效定理：在同一平面内的两个力偶，如它们的在同一平面内的两个力偶，如它们的力偶矩力偶矩大小相等，而且大小相等，而且转向转向相同，则此两力偶等效。相同，则此两力偶等效。推论推论1力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不会改变它对力偶可在其作用面内

10、任意移动和转动，而不会改变它对物体的效应。物体的效应。推论推论2只要保持力偶矩不变，可同时改变力偶中力的大小和力只要保持力偶矩不变，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它对物体的作用效应。偶臂的长度，而不会改变它对物体的作用效应。3-2 关于力偶的概念关于力偶的概念1F1F2F2F1F1F2F2FxyzO一一力偶力偶( , )作用在平面作用在平面Oxy内，另一力偶内，另一力偶( , )作用在作用在平面平面Oyz内，他们的力偶矩大小相等。试问此两力偶是否内，他们的力偶矩大小相等。试问此两力偶是否等效？为什么？等效？为什么？3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡 平面力

11、偶系：物体平面力偶系：物体上作用的若干力偶的作用上作用的若干力偶的作用面在同一平面内面在同一平面内。 平面力偶系合成的结果是一个力偶，合力偶平面力偶系合成的结果是一个力偶，合力偶矩等于力偶系中所有各力偶矩的代数和。矩等于力偶系中所有各力偶矩的代数和。合成合成在在平面力偶系中，力偶矩是代数量，力偶平面力偶系中，力偶矩是代数量，力偶的合成即是代数量相加的合成即是代数量相加。12RniMMMMMF1d1 F 2F2d2 dF1d1 F11dM1F 1F11F11F2d2 F22d-M2F22F22FRFRMR FRd （F11-F22）d F11 d -F22 d M1+M23-3 平面力偶系的合成

12、与平衡平面力偶系的合成与平衡 平面力偶系合成的结果是一个力偶，合力平面力偶系合成的结果是一个力偶，合力偶矩等于力偶系中所有各力偶矩的偶矩等于力偶系中所有各力偶矩的代数和代数和。平衡平衡 平面平面力偶系平衡的充分必要条件是：力偶力偶系平衡的充分必要条件是：力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零系中所有各力偶矩的代数和等于零。0iM 利用利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。这个平衡条件，可以求解一个未知量。3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡 ABMeBMeA例 3-3FBFA0iM lMe FAl=0FA=FB= Me /l=100N3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与

13、平衡 例3-40iM FAl-M1-M2-M3=0FA= （M1+M2+M3）/l=22N3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡 如图所示的铰接连杆机构如图所示的铰接连杆机构OABD，在杆在杆OA和和BD上分别作用着矩上分别作用着矩为为M1和和M2的的力偶，而使机构在图示位置力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知处于平衡。已知OA=r，DB=2r， =30，不计各杆自重，试，不计各杆自重，试求求M1和和M2间间的关系。的关系。解解：容易容易看出看出AB杆为二力构件，其反杆为二力构件，其反力力FAB和和FBA只只能能沿沿A，B的连线方向。的连线方向。BODM1M2AABABFBAF

14、 分别取杆分别取杆OA和和DB为研究对象。因为力偶只能与力偶平为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡，所以支座衡，所以支座O和和D的约束力的约束力FO 和和FD只能分别平行于只能分别平行于FAB和和FBA ，且与其方向相反。，且与其方向相反。OAABFOF1MBDBAFDF2M 分别对杆分别对杆OA和和DB建立平衡方程：建立平衡方程：ABBAFF212MM1cos0ABMF r22cos0BAMF r1cos0ABMFOA2cos0BAMFBD即：即：如图所示，在物体上作用有两力偶如图所示，在物体上作用有两力偶( , )和和( , )，其力，其力多边形封闭。请问该物体是否平衡？为什么？多边形封闭。请问该物体是否平衡？为什么？1F1F2F2F1F1F2F2F1F1F2F2F3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡 1力对点矩的定义、正负规定；力对点矩的定义、正负规定；2 合力矩定理和力矩的计算；合力矩定理和力矩的计算；3力偶的概念和性质；力偶的概念和性质；4力偶矩的定义、正负规定，力偶的三