安工大冶金传输原理第九章导热-2014

1、第九章第九章 导热导热是指物体内的不同温度的各部分之间或是指物体内的不同温度的各部分之间或不同温度的物体相接触时发生的热量传不同温度的物体相接触时发生的热量传输现象。输现象。 微观：是依靠微观粒子的热运动而进行的，微观：是依靠微观粒子的热运动而进行的，热量从高温区传给低温区的过程。热量从高温区传给低温区的过程。特点：导热的物体各部分之间不发生相对特点：导热的物体各部分之间不发生相对位移。位移。 机理：机理：ntq 只要有温度梯度就只要有温度梯度就有导热，导热在固、液、气体中都能发有导热，导热在固、液、气体中都能发生（有温度剃度） ，但是在液、气中发生（有温度剃度） ，但是在液、气中发生导热的同

2、时，由于温差的存在，必然生导热的同时，由于温差的存在，必然伴随有对流现象。伴随有对流现象。也就是说液体和气体也就是说液体和气体中，导热不是热量传输的唯一形式。中，导热不是热量传输的唯一形式。 严格地说，只有在密实的固体中，严格地说，只有在密实的固体中，导热才是热量传输的唯一形式。导热才是热量传输的唯一形式。 第一节第一节 稳态导热稳态导热 一一 通过平壁的一维稳态导热通过平壁的一维稳态导热 理想的一维导热平壁是：宽理想的一维导热平壁是：宽 厚。厚。这时沿长宽方向温度的变化小，可以忽这时沿长宽方向温度的变化小，可以忽略，而只有沿厚度方向的温度的变化略，而只有沿厚度方向的温度的变化一维导热问题。一

3、维导热问题。 x t1t2qq经验表明：经验表明： 平壁的长、宽厚（平壁的长、宽厚（810）时，可以近似作）时，可以近似作为一维问题处理。为一维问题处理。1、第一类边界条件（已知表面温度、第一类边界条件（已知表面温度t=f（）：表）：表面温度面温度=常数常数 单层平壁单层平壁 因为是一维、固体无内热源，因为是一维、固体无内热源，=常数，所以方程简化常数，所以方程简化为：为： Y tw1 tw2 s 分析：分析：从微分方程从微分方程 pvcqztytxtat2222220022dxtd边界条件：边界条件： x=0 t=tw1 x=s t=tw2 解上述微分方程及由边界条件定积分常数解上述微分方程

4、及由边界条件定积分常数。 022dxtd112)(wwwtsxttt 可见：可见：平壁内的温度分布呈直线规律变化。平壁内的温度分布呈直线规律变化。 已知温度分布，可以求得温度梯度，由已知温度分布，可以求得温度梯度，由傅立叶定律便可知热通量傅立叶定律便可知热通量q。sttdxdtqww21可见：可见：在一维稳态导热过程中，通过平壁在一维稳态导热过程中，通过平壁的热通量的热通量q是常数是常数。W/m2sttqww21tw1tw2R = s/q一维平板稳态导热等效电路：例：具有内热源并均匀分布的平壁，例：具有内热源并均匀分布的平壁，厚厚2S，且长度远大于宽度，平壁两，且长度远大于宽度，平壁两表面的温

5、度恒定为温度表面的温度恒定为温度tw，内热源，内热源强度强度qv，=常数，求稳态导热时，常数，求稳态导热时，平壁内的温度分布和中心温度平壁内的温度分布和中心温度。 解：因为是一维稳态导热，有内热源，所以微分方程是（9-2） 边界条件 解方程并由边界条件确定积分常数，得到平壁内温度分布为：022vqdxtdWWttSxttSx)(222xSqttvw 当=0时，得平壁中心温度：22Sqttvwc(2)多层平壁多层平壁 设多层平壁的厚分别为设多层平壁的厚分别为s1、s2、s3；导热系数分；导热系数分别为别为1 1、2 2、3，两侧，两侧的温度为的温度为 tw1、tw4，紧密，紧密接触，稳态导热。则

6、经接触，稳态导热。则经过各层平壁的热通量相过各层平壁的热通量相等。等。 是指几层不同的材料组成的平壁。是指几层不同的材料组成的平壁。tw1tw4S1 S2 S3tw2tw3sttqww21tw1tw2R = s/qu1u4u2u3R1R2R3三个串联电阻的电路 电流计算式： I=（U1-U4）/(R1+R2+R3）可以直接写出多层平壁热通量计算式：233221141/mWsssttqww故故 233221141/ mWsssttqww总热阻：三层平壁导热的总热阻总热阻：三层平壁导热的总热阻=各层各层平壁导热热阻之和。平壁导热热阻之和。用模拟电路：用模拟电路： tw1tw4tw2tw3 11S2

7、2S33S对于n层平壁的热通量为：21)1(1/mWsttqniiinww例：例：某炉墙内层为粘土砖，外层为硅藻某炉墙内层为粘土砖，外层为硅藻土砖， 厚分别为土砖， 厚分别为 S1=460mm， S2=230mm，导热系数分别为导热系数分别为 1 1=0.7+0.6410=0.7+0.6410- -3 3t W/mt W/m 2 2=0.14+0.1210=0.14+0.1210- -3 3t W/mt W/m 炉 墙 两 侧 表 面 温 度 各 为炉 墙 两 侧 表 面 温 度 各 为t1=1400,t,t3 3=100,=100,求稳态时通过炉墙的导热通求稳态时通过炉墙的导热通量和两层砖交

8、界面处的温度。量和两层砖交界面处的温度。 2、第三类边界条件、第三类边界条件)(wfwttxttf11tf22022dxtd)(, 011ttdxdtxf)(,22fttdxdtsx 边界条件为： 两次积分微分方程的结果为： 式中，积分常数和由边界条件确定。由边界条件带入得：)(02111CthCxf时：当0110220 xfxxxfdtxh ttdxdtxh ttdx1Cdxdt21tCxC22121ftCChCx时：当（*2）（*3）（*1）1112ChtCf2111121fftChtChC212112)(fftthChh由（*2）式：代入（*3）式：2112111hhttCff21112

9、1211hhhtttCfff将C1、C2代入（*1）211211111hhttxhttfff解方程得到壁内的温度分布： 121121)11)(1(ffftsttxt 由 将代入傅立叶定律得到通过平壁的热通量为： 式中，分母 表示单位平壁面积的总热阻。 其中1/h1和1/h2是平壁两侧面与流体间的单位面积的对流热阻,/单位平壁面积的导热热阻。整个换热过程可看作是 对流传热 导热 对流传热，三部分的串连，其热路图如下图所示。 21112t-t11ffdtCdxhh212111t-thhdxdtqff 这种第三类边界条件下的一维稳态导热过程，是热量由一侧的高温流体通过间壁传到另一侧低温流体的过程，这

10、就是前面所提到的传热过程或综合传热过程，热流量的计算式为：tw1tw21/h1/1/h2q图. 单层圆筒壁在第三类边界条件下的热路图tFkFttkQff)(21tf2tf1 式中，F为传热面积，；k：综合传热系数。k 表明当冷热流体间的温差为1时，单位时间内通过单位面积传递的热量。对于平壁而言可知 传热系数k的倒数即为传热热阻，即： (2) 无内热源多层大平壁 如果平壁是由n层不同的材料组成的多层平壁，按照热阻串连概念，可直接得到多层平壁在第三类边界条件下的稳态导热热通量的计算式为 21111hhkFhFFhkFRhhkrtt2121111;1112112111t-thhqniiiff若平壁的

11、侧面积为F，则热流量为： FqQFFsFttQniiiff2112111例例 某一厚某一厚 2.5 ，截面积，截面积 0.1 ，两，两面及中心温度分别为面及中心温度分别为 38，94及及 60，通过该物质的热流为，通过该物质的热流为 1kW，求，求与与温度的关系。温度的关系。 二. 通过圆筒壁的一维稳态导热 此类问题属于柱坐标问题，如热风管道等。 当 L/D 10 即可认为是一维问题， 即: t = f（r）等温面是一同心园柱面。如图： drR1R2rtw1tw21. 表面温度为常数（第一类边界条件）的一维稳态导热 1). 单层园筒壁 壁的尺寸如图所示内外两个表面的温度分别为 tw1和tw2，

12、长度为L，导热系数为常数。 求热通量和温度分布，解法同平壁一样。 a. 温度分布 柱坐标的导热微分方程为： 是固体，式左的速度V项为零， 又：稳态 即式左全部为零。.2222211Rzttrrtrrraztvtrvrtvtzr 0 t 又是一维 ,即： 无内热源；R=0 微分方程为 B.C： r =r1 t =tw1 ； r=r2 t=tw2 微分方程的解为： 积分常数，由边界条件确定 ,将边界条件代入得： 02222ztt rcdrdt1 21lncrct 21111ln,crctrrw 22122ln,crctrrw 01rtrrr 联立求解得： 代入通解得： 此即为园筒壁内的温度分布式，

13、说明壁内的温度分布是一对数曲线。12121lnrrttcww 1212212lnlnlnrrrtrtcww 112121lnlnrrrrttttwww b 热通量、热流量： 说明了园筒壁内的温度梯度不是常数，是 r 的函数， 即与半径成反比。rrrttdrdtrcdrdtww1ln12121 ConstrrlnLttrLrrrlnttqFQrrrlnttdrdtqwwwwww12211221121221211 上式说明热通量q不再是常数，是半径r的函数； 而热流量则处处为一常数。 工程中常用单位管长来计算热流量，即： 亦为一常数，与r 无关。mwddttrrttLQqwwwwl12211221

14、ln21ln21 （2）多层圆筒壁 与分析多层平壁导热一样。与分析多层平壁导热一样。 Q d1、d2、d3、d4 tw1 tw4 tw2 tw3 模拟电路：模拟电路： Q 121ln21ddL 232ln21ddL 343ln21ddL 若有若有 n 层，则层，则 niiiinwwddLttQ11)1(1ln21 tw1 tw4 tw2 tw3 2、第三类边界条件：、第三类边界条件：周围介质温度为常数周围介质温度为常数无内热源，长度为无内热源，长度为 L，内外半径，内外半径 r1、r2，=常数，筒常数，筒内介质温度内介质温度 tf1，对流给热系数，对流给热系数1 1，筒外介质温度筒外介质温度

15、tf2，对流，对流给热系数给热系数2 2，则微分方程及边界条件：，则微分方程及边界条件： 0)(drdtrdrd )(,111ttdrdtrrf )(,222fttdrdtrr 一个导热热阻。 对于三个传热过程，可分别写出热流量的计算式：管内管内流体流体管内管内壁壁管外管外壁壁管外管外流体流体对流对流对流对流导热导热1111111111()22fwfwQQh ttrLttrLh2122112212ln21ln21QrrLttrrLttQwwww 3322222222()22wfwfQQh ttr Lttr Lh 稳态传热时，Q=const, 上三式相加得： 其热阻是三个热阻的串联；，模拟电路图

16、为：121221 112 2111ln222fffftttttQwrRrhLLrrh Lt f1t f2t w1t w2 3. 临界绝热直径临界绝热直径d1d2dx 从上式可知，当r 增加时，两个对流热阻将减小。说明换热面积增加热流量将随之增加，另一方面r的增加使得导热热阻增大，热流量又随之减小，说明园筒壁的厚度存在一极值的问题，即临界绝热直径。 设在一管外包扎一层绝热层，如图所示：总热阻为： 当管道一定时，前两项为定值，热阻则是dx 的函数， 将rtL对d x 求导并令其为零得： 2111()02t lxxxxd rd ddh d21 111221111lnln22tlxxxddrd hdd

17、d h 解此方程即得取得极值的条件为： d c 即为临界绝热直经。 继而可求得：22xxcddh022 xtlddrd 说明热阻在d c 取得极小值，即热流量取得极大值。 讨论： 1. 当d2 dc 时 ：即当管外径小于临界绝热直径时，增加绝热层厚度将使热损失增大，到dc 时达到最大值，如图：d2d3dcdqL 2. 继续增加dx 可使qL 降低，到d3 时使q L与没加包扎层时的相同。 3. 当dx d3 后增加包扎层厚度可使热损失降低。 4. 如果d 2 d c 则增加包扎层均可使热损失减小。 5. 即 d c x 。而 一般是定值，可在包扎层的材料上做文章，即选择导热系数较小的材料作包扎

18、层以使d c 的值较小。 工程中将0.12的材料作为包扎材料。 这种材料叫绝热保温材料。22xcdh例例 1 1、热介质在外径为、热介质在外径为 d d2 2=25mm=25mm 的管道的管道内流动，为减少热损失，在管道外面设内流动，为减少热损失，在管道外面设置绝热层，问下列二种材料那种合适。置绝热层，问下列二种材料那种合适。2 2=9 W/m=9 W/m2 2。 （1 1）石棉）石棉=0.14W/m;=0.14W/m; （2 2）矿渣棉）矿渣棉=0.058 W/m=0.058 W/m。 例例 2、一直径、一直径 1.0 的导线温度为的导线温度为 400，外界温度为外界温度为 4040，215

19、0mW /，计算，计算应为何值方能使临界绝缘厚度为应为何值方能使临界绝缘厚度为 0.20.2 ，又如使用此种绝缘，须多少绝缘方能将热又如使用此种绝缘，须多少绝缘方能将热流减低流减低 75%75%（与裸线比较）（与裸线比较） x+1/d2第二节第二节 不稳态导热不稳态导热特点特点 不稳态有不稳态有0t。 1 1） 物体内的各点的温度随时间而变化，） 物体内的各点的温度随时间而变化， 0加热过程；加热过程；0冷却过程。冷却过程。 2 2）总伴随着物体的焓变）总伴随着物体的焓变； 3 3）物体的焓的变化速度不仅与它的）物体的焓的变化速度不仅与它的导热导热能力（）有关能力（）有关，也与它的蓄热能力（单

20、，也与它的蓄热能力（单位容积的热位容积的热容量容量CpCp）有关。有关。 热扩散系数热扩散系数pca是影响不稳是影响不稳态导热过程中物体温度变化快慢的。态导热过程中物体温度变化快慢的。 一、薄材的不稳态导热一、薄材的不稳态导热薄材：薄材：在加热或冷却过程中，若在加热或冷却过程中，若物体内物体内的温度分布均匀的温度分布均匀，在，在任何时刻任何时刻，都可以，都可以用用一个温度来代表整个物体的温度一个温度来代表整个物体的温度，则该物，则该物体称为薄材。体称为薄材。 因此，薄材的温度场与空间坐标无关，因此，薄材的温度场与空间坐标无关，只是时间的函数。只是时间的函数。 即即 t=ft=f（） 已经简化为

21、常微分方程已经简化为常微分方程 1 1、概念、概念 在什么条件下，实际物体可以按在什么条件下，实际物体可以按薄材处理？薄材处理？ 阻物体表面的对流给热热物体内部的导热热阻1ssBi引入准数：引入准数： 因此，因此，BiBi 准数的值大，表明导热热阻准数的值大，表明导热热阻大大，内部的温度差内部的温度差大大；BiBi 准数的值小，表准数的值小，表明导热热阻小，内部的温度差小明导热热阻小，内部的温度差小，温度均，温度均匀。匀。 BiBi 值的大小反映了物体内部温度差值的大小反映了物体内部温度差的大小。的大小。 1 . 0sBi因此工程上规定：因此工程上规定：该物体在加热或冷却时，该物体在加热或冷却

22、时，可以按薄材处理。可以按薄材处理。 2 2、薄材的不稳态导热、薄材的不稳态导热 如图：设有一物体，初如图：设有一物体，初始温度为始温度为 t t0 0，BiBi 准数准数0.10.1 按薄材处理，物体按薄材处理，物体的体积为的体积为 V V，表面积为，表面积为F F，周围流体的温度为，周围流体的温度为t tf f， 对流给热系数为， 对流给热系数为 。 t tf f V FV F由热力学第一定律：由热力学第一定律： 该物体从外界介质中获得的热量该物体从外界介质中获得的热量= =物物体的焓的变化体的焓的变化 0)(VcttFddtpf =0 t=t=0 t=t0 0 VcFmffpeetttt

23、0任意薄材的温度随时间的变化任意薄材的温度随时间的变化分析指数的意义：分析指数的意义： V/FV/F定型尺寸（对一般的问题是体定型尺寸（对一般的问题是体积积/ /表面积）表面积） VVpFoBiVcF)(FVBiV2saFoVpca毕欧准数毕欧准数 付立叶准数付立叶准数 例 热热电电偶偶测测流流体体的的温温度度。 流流体体温温度度为为2 20 00 0， 插插入入前前热热电电偶偶的的接接点点温温度度 2 20 0，偶偶 的的 接接 点点 是是 球球 型型 ， 直直 径径1 1m mm m ，= =8 80 00 0k kg g/ /m m3 3，= =5 52 2w w/ /m m，C Cp

24、p= =4 41 18 8J J/ /k kg g， 接接点点表表面面与与流流体体之之间间的的给给热热系系数数 = =1 12 20 0w w/ /m m2 2， 求求热热电电偶偶指指示示温温度度达达 1 19 99 9时时所所需需的的时时间间。 二、半无限大物体二、半无限大物体 定义：在定义：在所讨论的时间内所讨论的时间内，温度扰动已，温度扰动已波及整个物体时为有限厚物体的不稳波及整个物体时为有限厚物体的不稳态导热；温度扰动不能波及整个物体时态导热；温度扰动不能波及整个物体时为无限厚物体的不稳态导热。为无限厚物体的不稳态导热。 1、有限厚与无限厚、有限厚与无限厚 讨讨论论： Fo 小小即即短

25、短时时间间加加热热，或或物物体体很很厚厚时时，就就是是无无限限厚厚物物体体加加热热的的特特点点； Fo 大大即即长长短短时时间间加加热热，或或物物体体厚厚度度较较小小时时，就就具具有有有有限限厚厚物物体体加加热热的的特特点点。 厚度时间2LaFo2、半无限大物体的一维不稳态导、半无限大物体的一维不稳态导热热半无限大物体：是指受热面位于半无限大物体：是指受热面位于 X=0处，厚度处，厚度 X=+，对一个有限厚度的物体，对一个有限厚度的物体，当界面上发生温度变化，而在当界面上发生温度变化，而在所考虑的时所考虑的时间范围内，其影响深度远小于物体本身的间范围内，其影响深度远小于物体本身的厚度，该物体可

26、以作为半无限大物体处理。厚度，该物体可以作为半无限大物体处理。 第一类边界条件：表面温度为常数第一类边界条件：表面温度为常数 初始温度为初始温度为 t0并均匀，热物性参数为常并均匀，热物性参数为常数，无内热源的半无限大物体，加热开始时数，无内热源的半无限大物体，加热开始时表面表面(X=0 处处)温度突然升至温度突然升至 tw， 并保持不变。， 并保持不变。 t0twX22xtat0 x00tt 00 xwtt 0 x0tt 解此方程得到：解此方程得到： dzeerfz202)( 称高斯误差函数， 对不称高斯误差函数， 对不同的同的值，可以由表和图查出高斯误差函数值。值，可以由表和图查出高斯误差

27、函数值。 )2(0axerfttttww即半无限厚物体的温度分布即半无限厚物体的温度分布例 （例 （P244） 用热电偶测定高炉基础内某） 用热电偶测定高炉基础内某点的温度为点的温度为 350，测定时间离开炉，测定时间离开炉120 小时，若炉缸底面表面温度小时，若炉缸底面表面温度 1500， 炉基材料的热扩散系数， 炉基材料的热扩散系数 0.002 /h，炉基开始温度炉基开始温度 20，求炉缸底部表面，求炉缸底部表面到该测温点的距离。到该测温点的距离。 例题 （例题 （P244） 1650钢水注入一直径为钢水注入一直径为 3m，高为高为 3.6m 的钢包，假定钢包初始壁温均匀的钢包，假定钢包初

28、始壁温均匀为为 650， 包内钢水深度为， 包内钢水深度为 2.4m，已知包壁，已知包壁材料的热物性参数材料的热物性参数=1.04w/m=1.04w/m,=2700=2700/m3,Cp=1.25KJ/kg/m3,Cp=1.25KJ/kg，求在开始，求在开始 15min内内 1）由于导热传入包壁的热量；）由于导热传入包壁的热量； 2）包壁内热量传递的距离。）包壁内热量传递的距离。 三、有限厚物体的不稳态导热三、有限厚物体的不稳态导热 表面温度为常数、一维、不稳态导热，如图：表面温度为常数、一维、不稳态导热，如图： 0 2S xqqtwtw该问题的微分方程和边界条件：该问题的微分方程和边界条件：

29、 22xtat =0 0 x2s t=t=0 0 x2s t=t0 0 ； 0 x=0 t=t0 x=0 t=tw w x=2s t=t x=2s t=tw w 解方程（分离变量法）见书解方程（分离变量法）见书 0 2S xqqtwtw第三节第三节 导热的数值解法导热的数值解法回顾回顾 导热微分方程的导热微分方程的分析解分析解的特点：的特点： 1）求解过程严格；）求解过程严格； 2）结果是函数关系式（即是一连续）结果是函数关系式（即是一连续的温度场） ；的温度场） ； 3）求解过程复杂，只能用于一些简）求解过程复杂，只能用于一些简单的问题。单的问题。 (a) 250A,2Hz 时的磁场分布 （

30、b）350A,2Hz 时的磁场分布 (c) 450A,2Hz 时的磁场分布 有钢液时电流强度对磁有钢液时电流强度对磁场分布的影响场分布的影响 圆坯结晶器流场数值计算数值计算的异型坯流场和凝固壳的厚度数值计算的异型坯流场和凝固壳的厚度 一、有限差分法的基本原理一、有限差分法的基本原理 有限差分方法：有限差分方法： 1 1）写出问题的微分方程和定解条件；）写出问题的微分方程和定解条件； 2 2）微分方程差分化：定解域离散化，并将未）微分方程差分化：定解域离散化，并将未知函数离散成结点值，再将微分方程和定解知函数离散成结点值，再将微分方程和定解条件离散成差分格式，形成关于未知结点函条件离散成差分格式

31、，形成关于未知结点函数值的代数方程组。数值的代数方程组。 向后差商向后差商 中中心心差差商商 xi-1 xi xi+1 Xti+1titi-1Xtt(x)xttdxdtiii1)(xttxxxtxxtxxxtxxtii22)()()21()21(11向前差商向前差商 xttdxdtiii1)( 二阶差商多取中心式二阶差商多取中心式 222)()(2)(xxxfxfxxfxy 211222xtttdxtdiii 差商与导数之间的误差表明差商逼近导差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度。数的程度。称为称为逼近误差逼近误差。 用差分方程近似代替微分方程所引起的用差分方程近似代替微分方程所引起的误

32、差误差称为称为截断误差截断误差。 差分方程：差分方程：将微分方程中的导数用将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可得到有相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。限形式的差分方程。 （1-4） （1-5） 2vuaSt 2vuaSt a 量纲 m2/s非稳态项非稳态项 对流项对流项 扩散项扩散项 源项源项二、稳态导热的有限差分方法二、稳态导热的有限差分方法1、有限差分方法、有限差分方法建立建立 二维、稳态、无内热源：二维、稳态、无内热源： 有有 02222ytxt 1） 将求解区域离散化将求解区域离散化划分成有限个小网划分成有限个小网格；网格线的交点格；网格线的交点节点；内部的交点节

33、点；内部的交点内节点；边界上的交点内节点；边界上的交点边界节点；节边界节点；节点与节点的距离点与节点的距离步长。步长。 X i i=m XYj=njY2）在节点上建立与导热微分方程式相应的有）在节点上建立与导热微分方程式相应的有限差分方程，并确定各节点的温度限差分方程，并确定各节点的温度 a、内部节点（内部节点（i，j） 在节点（在节点（i，j） ，温度） ，温度 t（x，y）对）对 x 和和 y的二阶导数，可直接用二阶中心差商表示：的二阶导数，可直接用二阶中心差商表示： 由由 02222ytxt 得得： 0)()(222221.,1,2, 1, 1yOxOytttxtttjijijijiji

34、ji 截断误差（用差分代微分）截断误差（用差分代微分） 当当x=x=y y 即正方形网格即正方形网格，则，则 称为内部节点方程（算术平均值）称为内部节点方程（算术平均值） 若若 x 方向分方向分 m 格（格（i=0，1，2，3m） ，） ，y 方向分方向分n 格（格（j=0，1，2，3，n） 有（有（m-1）（）（n-1）个内节点，也就有这么多节点）个内节点，也就有这么多节点方程，组成一个线性方程组。方程，组成一个线性方程组。 )(411,1, 1, 1,jijijijijittttt在第二、第三类边界条件中，边在第二、第三类边界条件中，边界节点上的温度也是未知的，所以要界节点上的温度也是未知

35、的，所以要补充边界节点的有限差分方程。补充边界节点的有限差分方程。 用热平衡法导出边界节点方程用热平衡法导出边界节点方程： （热平衡法原理： 以每个节点表示一单（热平衡法原理： 以每个节点表示一单元控制体积，然后对这一单元控制体作元控制体积，然后对这一单元控制体作热平衡分析。 ）热平衡分析。 ） 取控制体：取控制体： 厚厚=1, 体积体积 12yx i，ji，j+1i，j-1i-1，jXYQi，j+1Qi-1，jQ（f）（Qi，j）Qi，j-1稳态，稳态，以对流以对流和导热进入控制体的和导热进入控制体的热量代数和热量代数和=0同同理理 1, 1),(), 1(yxttQjijijiji由傅立叶

36、导热定律：由傅立叶导热定律：12,1,),()1,(xyttQjijijiji12,1,),()1,(xyttQjijijiji周围介质给（周围介质给（i，j）的热量流量：）的热量流量： 1)(,),()(yttQjifjif故：故：0),()(),()1,(),()1,(),(), 1(jifjijijijijijiQQQQ)(21211,1, 1,fjijijijitBitttBit假定假定x=y，化简得到：化简得到： 大家可用同样的方法， 导出各种具体条件下大家可用同样的方法， 导出各种具体条件下的边界节点方程。的边界节点方程。 如：角部是对流边界条件如：角部是对流边界条件 ，tf （i

37、，j） i，j-1 i-1，j X Y 求解线性代数方程组的方法：求解线性代数方程组的方法： 直接法（高斯消元法）直接法（高斯消元法） ，适应于方程数少。，适应于方程数少。 迭代法，迭代法，可以网格较细，方程组大的情况。用的较多。可以网格较细，方程组大的情况。用的较多。 A A、简单迭代法（同步迭代）、简单迭代法（同步迭代） 步骤：步骤： 1 1）先定各未知温度的节点（）先定各未知温度的节点（i i，j j）值，解的零次近似；）值，解的零次近似； 2 2）把初始值代入迭代公式把初始值代入迭代公式，得到解的第一次近似值得到解的第一次近似值； 3 3）再求第二次近似值再求第二次近似值 2、差分方程

38、组求解、差分方程组求解 4）相邻两次迭代解）相邻两次迭代解 )(,)1(,kjikjitt和 中，最中，最大误差小于预先给定的允许误差，大误差小于预先给定的允许误差， )(,) 1(,maxkjikjijitt 迭代结束。迭代结束。 这时，各节点的温度值，就是导热问这时，各节点的温度值，就是导热问题的差分解。题的差分解。 特点：特点：在计算第在计算第 k+1 次值时，全部使用第次值时，全部使用第 k次的值。次的值。 缺点：是收敛速度较慢。缺点：是收敛速度较慢。 它与简单迭代法的区别：它与简单迭代法的区别：在计算第在计算第 k+1次近似值时次近似值时，如果它的四个相邻的节点中，如果它的四个相邻的

39、节点中有些节点处的第有些节点处的第 k+1 次近似值已求得， 则次近似值已求得， 则立即用这些新值代替相应节点的第立即用这些新值代替相应节点的第k次近次近似值似值. B、高斯、高斯赛德尔（赛德尔（GaussSeidel）迭代法）迭代法 即：即：在每次迭代过程中，它总是使用节点温在每次迭代过程中，它总是使用节点温度的最新值。度的最新值。)(41)(1.)1(1,)(, 1)1(, 1)1(),(kjikjikjikjikjittttti,ji,j-1i+1,ji,j+1i-1,j从左到右从左到右从从下下到到上上也也称称异异步步迭迭代代法法。 例例: 以叠代法图中各节点温度，要求各节以叠代法图中各

40、节点温度，要求各节点温度值连续两次值之差小于点温度值连续两次值之差小于0.5 三、不稳态导热的有限差分方法三、不稳态导热的有限差分方法 不稳态导热与稳态导热差分方程的区不稳态导热与稳态导热差分方程的区别别相同：相同：在原理上及建立差分方程上都是相同的。在原理上及建立差分方程上都是相同的。 不同不同：温度场不仅是空间也是时间的函数。温度场不仅是空间也是时间的函数。 将将时间进行分割时间进行分割，时间间隔，时间间隔称为时间步长。称为时间步长。 温度对时间的一阶导数温度对时间的一阶导数：向前差商；向后差商。向前差商；向后差商。 不稳态导热的差分方程不稳态导热的差分方程：显式差分格式；隐式差分格式。显

41、式差分格式；隐式差分格式。 22xtat不稳态导热的有限差分方程的建立不稳态导热的有限差分方程的建立22xtat例：一维不稳态导热的微分方程例：一维不稳态导热的微分方程 现将温度对时间的一阶导数用向前差商表示：现将温度对时间的一阶导数用向前差商表示：)(1Otttkikiki温度对温度对X的二阶导数用中心差商：的二阶导数用中心差商：)(2221122xOxtttxtkikikiki（b） （c） (a) 将（将（b） 、 （） 、 （c）代入（）代入（a）中，忽略截断误差，得到：）中，忽略截断误差，得到： 21112xtttattkikikikiki解出解出: kikikikitxattxat

42、 2112121令令 则则有有： i=1、2、3、m-1；k=0、1、2 这是计算平板内部节点温度的差分方程。这是计算平板内部节点温度的差分方程。 表明：表明：时间为（时间为（k+1）时刻，任一内部节点时刻，任一内部节点 i i 的温度的温度1kit均由前一时刻（均由前一时刻（k k 时刻） ，节点时刻） ，节点 I I 及其邻近节点及其邻近节点 i+1i+1，i i- -1 1的温度的温度kikikittt11,以显函数的形式表示出来。以显函数的形式表示出来。 kikikikitFttFt211112xaF如何建立边界节点的方程？如何建立边界节点的方程？对厚度为对厚度为 S S 的无的无限大

43、平板，它的左边限大平板，它的左边边界（边界（X=0X=0）处为绝热）处为绝热边界条件，右侧边界边界条件，右侧边界（X=SX=S）处为对流边界）处为对流边界条件。现用热平衡法条件。现用热平衡法导出二个边界上相应导出二个边界上相应的边界节点方程。的边界节点方程。 如图：如图： 绝热 对流 i=0 1 2 X X 绝热 对流 i=0 1 2 X X 在左边边界 （X=0） 处， 节点 （边界）i=0 代表的单元控制体体积为：112x （Y=Z=1） Q=0 Q X Y Z X=0 处：不稳态导热条件下 外部介质传给外表面的热量外部介质传给外表面的热量+通过第一层导入的热量通过第一层导入的热量=最外半

44、层最外半层的热蓄积的热蓄积 112001001xcttxttpkkkk（温度对时间的一阶导数用向前差商表示）（温度对时间的一阶导数用向前差商表示） 整理：绝热边界节点的显式差分方程整理：绝热边界节点的显式差分方程 X=S 处：处： 对流边界节点（对流边界节点（i=m）代表的单元控制体体积也为）代表的单元控制体体积也为： kkktFtFt0110)21 (22xaFpca 112x也按照也按照外界介质传给外表面的热量外界介质传给外表面的热量=通过通过m层导入的层导入的热量热量=最外半层的热蓄积最外半层的热蓄积 i=m-1 i=m 厚X/2 整理：整理： 对流边界节点的显式差分方程对流边界节点的显式差分方程 11211xttcxttttkmkmpkmkmkmkf（温度对时间用向前差商）温度对时间用向前差商）kmkfkmkmtFBiFtBitFt221211推论：推论： 用类似的方法可以导出二维或三维问题的内部节用类似的方法可以导出二维或三维问题的内部节点及边界节点的显式差分方程。点及边界节点的显式差分方