平稳时间序列模型

1、平稳时间序列模型1、AR（p）2、MA（q）3、ARMA（p，q）4、VAR（p，q）5、因果检验一、平稳时间序特征（一）时间序列数据的模式： 水平模式：观察数据围绕一个常数或平均值上下浮动。也称为静态时间序列。趋势模式：观察值随着时间延伸而上升或下降。周期变动：观察值周期性地上升或下降，周期长度不完全固定时。季节变动：年复一年的重复变动。二、自回归模型（一）（一） AR模型模型的定义的定义1阶自回归模型,记为AR(1)： xt=0+1xt-1+t (1) E(t)=0,Var(t)=2, E(ts)=0, st若序列是弱平稳的,则 E(xt)=, Var(xt)=0, Cov(xt, xt-

2、k)=k由(1)可得 E(xt)=0+1E(xt-1)因此 0由于0=(1-1), 则模型(1)可改写为 xt -= 1(xt-1-)+t (2)由(2)可得 Var(xt)=12Var(xt-1)+2根据xt的弱平稳性, 有 Var(xt)=Var(xt-1),因此()tVar x 221从而 |1|1. 模型(1)是弱平稳|1|1的VAR模型稳定性 对于k1的k阶VAR模型可以通过友矩阵变换（companion form），改写成1阶分块矩阵的VAR模型形式。然后利用其特征方程的根判别稳定性。 给出K阶VAR模型： Yt=c+ 1Yt-1+ 2Yt-2+ kYt-k+ut 配上如下等式：Y

3、t-1=Yt-1 Yt-2=Yt-2 Yt-k+1=Yt- k+1 将以上K个等式写成分块矩阵形式112112231111112( ,.000000000000000ttkktttttt kt kNKNK NKNKNKNKtttY YY t令 YYYcuYYIYYIYYI11112111.)( ,0,0.0).0.000.00.00.00 0 . 0t kNKNKkkNK NKttNKtttYCcIAIIUuYCAYU 上式可写为VAR模型的稳定性要求A的全部特征值，即特征方程|A-I|=0的全部根必须在单位圆以内或者相反的特征方程|I-LA|=0的全部根必须在单位圆以外。注意：特征方程中的注

4、意：特征方程中的A是是Nk Nk阶的。特征阶的。特征方程中的方程中的I也是也是Nk Nk阶的阶的 5、VAR稳定性的EVIEW操作 求VAR模型特征根的EViews操作：在VAR模型估计结果窗口点击View 选 Lag Structrure, AR Roots Table 功能，即可得到VAR模型的全部特征根。若选Lag Structrure, AR Roots Graph 功能，即可得到单位圆曲线以及VAR模型全部特征根的位置图。6、VAR模型的稳定性特征 稳定性是指当把一个脉动冲击施加在VAR模型中某一个方程的新息（innovation）过程上时，随着时间的推移，这个冲击会逐渐地消失。如果

5、是不消失，则系统是不稳定的。11121111101000(.),ttttttitt iitttYcYuYIcYuYcYucYu 采用迭代方式计算, 对于t期,则有表示成了漂移向量初始值向量 和新息向量 的函数则系统是否稳定可以通过观察漂移向量初始值向量和新息向量 经受冲击后的再现.假定模型是稳定的，将有如下3个结论 （1）假设t = 1时，对c 施加一个单位的冲击，那么到t期的影响是 (2）假设在初始值Y0上施加一个单位的冲击。到t期的影响是 1t。随着t ， 1t 0，影响消失（因为对于平稳的VAR模型， 1中的元素小于1，所以随着t ，取t次方后， 1t 0）。2111111(.),()t

6、ItI 当时 此影响是一个有限值1101-111100(3),.(),.tit iittiit iiiutIu从项可以看出白噪声的冲击离 期越远 影响力就越小称作长期乘子矩阵 是对求期望得到的（四）VAR模型滞后期k的选择 1、用LR统计量选择k值。LR（似然比）统计量定义为22( )(1)()2(loglog),.kkNLRLLVARLRVAR当模型滞后期变量的增加不会给极大似然值带来显著性增大时即统计量的值小于临界值时新增加的滞后变量对模型毫无意义2、用赤池（Akaike）信息准则 (AIC) 选择k值。 3用施瓦茨（Schwartz）准则 (SC) 选择k值。 212lo g:lo g2

7、-2TttukA ICTTE viewLkA ICTT的 计 算 公 式 是21loglogloglog2TttukTSCTTEviewLkTSCTT 的计算公式为VAR滞后期的EVIEW操作 在VAR模型估计结果窗口点击View 选 Lag Structrure, Lag Lengyh Criteria 功能，即可得到5个评价统计量的值。（五）VAR模型的脉冲响应函数和方差分解 脉冲响应函数描述一个内生变量对误差冲击的反应。具体地说，它描述的是在随机误差项上施加一个标准差大小的冲击后对内生变量的当期值和未来值所带来的影响。 对于任何一个VAR模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA()过程。具

8、体方法是对于任何一个VAR(k)模型都可以通过友矩阵变换改写成一个VAR(1)模型 1、脉冲响应函数脉冲响应函数1-11-1211-11-21-21-11-2111(-)(-),( )( )1,2,.: tttttstttttt sst st st st stjjt st st sYA YUIL AYUYIL AUUAUA UA UVAR kMAYUAUA UA UAjsYUU因此可以写成一个无限阶的向量令则有-12-2,:,1,2,3. t sstt sstsjtjtitsi t sjtUUYUijjyutiytsiysu显然有中第 行第 列元素表示的是 令其他误差项在任何时期都不变的条件下

9、当第 个变量对应的误差项在 期受到一个单位的冲击后 对第 个内生变量在期造成的影响把中第 行第j列元素看作是滞后期s的函数称作脉冲响应函数Cholesky分解 引入一个变换矩阵M与ut相乘 vt=Mut(0, ) 常用的方法就是Cholesky分解法,从而使误差项正交 原误差项相关的部分归于VAR系统中的第一个变量的随机扰动项。 Cholesky分解法存在的缺点: 方程顺序的改变将会影响到脉冲响应函数 VAR模型残差序列及其方差、协方差矩阵的EVIEW求法。 点击VAR窗口中的Procs键，选Make Residuals（生成残差）功能，工作文件中就会生成以resid01, resid02,为

10、编号的残差序列（残差序列的顺序与VAR模型估计对话框中输入的变量顺序相一致），并打开残差序列数据组窗口。在这个残差序列数据组窗口中点击View键，选择Covariances功能，即可得到残差序列的方差、协方差矩阵。选择Correlation功能，即可得到残差序列的相关系数矩阵。脉冲响应的EViews操作 点击VAR窗口中的Impulse键。在随后弹出的对话框中做出各项选择后点击OK键 选择以图或表来显示结果。如果选择Combined Graphs 则Response Standard Error选项是灰色，不显示标准误差。而且应注意： 输入产生冲击的变量（Impulses）和希望观察其脉冲响应

11、的变量（Responses）。可以输入内生变量的名称，也可以输入变量的对应的序数。 Impulse Definition菜单提供了转换脉冲的选项 (1) Residual-One Unit (2) Residual-One Std.Dev(3) Cholesky分解 用残差协方差矩阵的用残差协方差矩阵的Cholesky因子的逆来正交化脉冲因子的逆来正交化脉冲。 (4) 广义脉冲（Gneralized Impluses） (5) 结构分解（Structural Decomposition） 用结构因子分解矩阵估计的正交转换矩阵。 (6) 用户指定（User Specified） 2、方差分解 分

12、析未来t+s期的yj,t+s的预测误差的方差由不同新息的冲击影响的比例。 假设下式是由任一VAR(k) 模型转换而得到的关于Yt的一阶向量自回归模型。方差分解的方差分解的EViews操作操作从VAR的工具栏中选View/Variance decomposition项。注意，因为非正交的因子分解所产生的分解不具有较好的性质，所以所选的因子分解仅限于正交的因子分解。 （六） GDPP与CONSP的VAR模型 1、平稳性检验Y=D(CONSP,2);X=D(GDPP,2)-2000-1500-1000-5000500100015005560657075808590950005D(CONSP,2)D(

13、GDPP,2)-2000-1500-1000-5000500100015005560657075808590950005XY2、EVIEWS操作参数选择2、结果显示VAR(1,2)变量t在5%水平上显著的VAR模型5%水平上显著的VAR模型4、5%显著水平的VAR模型 y=0.2249xt-1-0.166658xt-2 (5.2979) (-3.9144) x=0.6548xt-1-0.82354xt-2 (4.2131) (-5.2848)5、VAR模型稳定性-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5Inverse Roots of AR

14、 Characteristic Polynomial6 6、脉冲、脉冲响应确定每个内生变量对他自己及所有其它内生确定每个内生变量对他自己及所有其它内生变量的变化是如何反应的。变量的变化是如何反应的。-80-4004080510 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70Response of Y to Y-80-4004080510 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70Response of Y to X-300-200-1000100200300510 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70Resp

15、onse of X to Y-300-200-1000100200300510 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70Response of X to XResponse to Nonfactorized One S.D. Innovations-80-4004080510 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70YXResponse of Y to NonfactorizedOne S.D. Innovations-300-200-1000100200300510 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

16、70YXResponse of X to NonfactorizedOne S.D. Innovations-120-80-4004080120510 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70Response of Y to Y-120-80-4004080120510 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70Response of Y to X-400-300-200-1000100200300400510 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70Response of X to Y-400-300-2

17、00-1000100200300400510 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70Response of X to XResponse to Cholesky One S.D. Innovations 2 S.E.-60-40-20020406080510 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70YXResponse of Y to CholeskyOne S.D. Innovations-200-1000100200300510 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70YXResponse of X

18、 to CholeskyOne S.D. Innovations7、方差分解( (Variance Decomposition) 方差分解：把每个变量预测误差的方差按其成因方差分解：把每个变量预测误差的方差按其成因分解为与各个内生变量相关联的组成部分。分解为与各个内生变量相关联的组成部分。 X、Y的百分比六、格兰杰右非因果关系六、格兰杰右非因果关系（Granger CausalityGranger Causality） 自回归分布滞后模型旨在揭示：某变量的变化受其自身及其他变量过去行为的影响。 然而，许多经济变量有着相互的影响关系GDP消费问题：问题：当两个变量在时间上有先导滞后关系时，能否从

19、统计上考察这种关系是单向的还是双向的？即:主要是一个变量过去的行为在影响另一个变量的当前行为呢？还是双方的过去行为在相互影响着对方的当前行为？ （一）定义（一）定义如果变量如果变量x的过去和现在信息能有助于改进变的过去和现在信息能有助于改进变量量y的预测，则称的预测，则称y是由是由x格兰杰原因引起的格兰杰原因引起的（ y is Granger-caused by x ）。）。 即若变量即若变量x的过去和现在信息被考虑进总的过去和现在信息被考虑进总体的所有其它信息中时，体的所有其它信息中时，y能被预测得更有效。能被预测得更有效。Granger, C. W. .J. (1969) Investig

20、ating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods. Econometrica, 37, 424-438. VAR模型还可用来检验一个变量与另一个变量是否存在因果关系。经济计量学中格兰杰（Granger）非因果性定义如下： 格兰杰非因果性：如果由yt和xt滞后值所决定的yt的条件分布与仅由yt滞后值所决定的条件分布相同，即 (ytyt-1,xt-1,)=(ytyt-1,)则称xt-1对yt存在格兰杰非因果性。 格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件不变，若加上xt的滞后变量后对yt的预测精度不存在显着性改

21、善，则称xt-1对yt存在格兰杰非因果性关系（二）检验原理（二）检验原理假定假定(x , y)T 由由VAR(p)过程生成，即过程生成，即 ptptptpttptptptpttxxyyyxxyyy21212121201111111110 检验检验“x 不不是是y的的Granger Cause”:”:检验检验“y不不是是x的的Granger Cause”:”:0:H112110 p 0:H222210 p （三）四种可能检验结果：（三）四种可能检验结果：（1）X对对Y有单向影响有单向影响，表现为（*）式X各滞后项前的参数整体为零，而Y各滞后项前的参数整体不为零；（2）Y对对X有单向影响有单向影响

22、，表现为（*）式Y各滞后项前的参数整体为零，而X各滞后项前的参数整体不为零；（3）Y与与X间存在双向影响间存在双向影响，表现为Y与X各滞后项前的参数整体不为零； （4）Y与与X间不存在影响间不存在影响，表现为Y与X各滞后项前的参数整体为零。 格兰杰检验是通过受约束的格兰杰检验是通过受约束的F检验检验完成的。如完成的。如: :titmiimiititYXY111针对中X滞后项前的参数整体为零的假设(X不是Y的格兰杰原因)。 VAR 模型中以yt为被解释变量的方程表示如下： 检验xt对yt存在格兰杰非因果性的零假设是 H0:1=2=k=0 上述检验用F统计量来完成 用样本计算的F值如果落在临界值以

23、内，接受原假设，即xt 对yt不存在格兰杰因果关系。111kktit ii t itiiyyxu()()yuuSSESSEkFSSETkN（四）（四）F检验检验注意：注意： 格兰杰因果关系检验格兰杰因果关系检验对于滞后期长度的选择有时很敏感。不同的滞后期可能会得到完全不同的检验结果。 因此，一般而言一般而言，常进行不同滞后期长度的检验，以检验模型中随机误差项不存在序列相关的滞后期长度来选取滞后期。（三）EViews操作方法 打开数剧组窗口，点View键，选Granger Causility。在打开的对话窗口中填上滞后期，点击OK键。 （ 四） 例检验19522009年间中国人均GDP两阶差分与

24、居民消费CONS两阶差分序列的因果关系。 -2000-1500-1000-5000500100015005560657075808590950005CONSPGDPP判断：=5%，临界值F0.05(2,54)=3.18；或P 5%。拒绝“GDPP不是CONS的格兰杰原因”的假设，不拒绝“CONS不是GDP的格兰杰原因”的假设。 因此，从2阶滞后的情况看，人均GDP是居民消费的原因，而不是相反。取两阶滞后，Eviews给出的估计结果为： 五、注意的问题： （1）滞后期）滞后期k的选取是任意的，实质上是一个判的选取是任意的，实质上是一个判断性问题。一般来说要试检验若干个不同滞后期断性问题。一般来说

25、要试检验若干个不同滞后期k的格兰杰因果关系检验，且结论相同时，才可的格兰杰因果关系检验，且结论相同时，才可以最终下结论。以最终下结论。 （2）当做）当做xt是否为导致是否为导致yt变化的格兰杰原因检验变化的格兰杰原因检验时，如果时，如果zt也是也是yt变化的格兰杰原因，且变化的格兰杰原因，且zt又与又与xt相关，这时在相关，这时在xt是否为导致是否为导致yt变化的格兰杰因果关变化的格兰杰因果关系检验式的右端应加入系检验式的右端应加入zt的滞后项（实际上是的滞后项（实际上是3个个变量变量VAR模型中的一个方程）。模型中的一个方程）。 （3）不存在协整关系的非平稳变量之间不能进）不存在协整关系的非平稳变量之间不能进行格兰杰因果关系检验行格兰杰因果关系检验例2 沪深股指收益率-10010203024681012141618202224Impulse Response 2 S.E.222426283024681012141618202224Accumulated Response