概率论与数理统计课件(第2章)

1、概率论及数理统计课件(第2章)第2章随机变量及其分布为了更深刻地揭示随机现象的统计规律性，有必要将随机 试验的结果数量化，即把随机试验的结果及实数对应起来，可 以凭借更多的数学工具研究随机试验的结果，因此需要引入随 机变量的概念.2.1 随机变量及其分布函数2.1.1 随机变量的概念定义2.1设E是随机试验，。是其样本空间.如果对每个 ewC,总有一，个实值函数X=X（e）及之对应，则称。上的实值函 数X（e）为E的一个随机变量.随机变量常用大写字母X,KZ等表示，其取值用小写字母 等表示.若一个随机变量仅取有限个或可列个值，则称其为离散随 机变量.若一个随机变量取值充满数轴上的一个区间（/）

2、,则称其 为连续随机变量，其中a可以是可以是+ 8.通过以下几个例子，可以很好地理解上述随机变量抽象的 定义.（1）掷一颗骰子，出现的点数X.（2）单位时间内某手机被呼叫的次数y.（3）某品种杨树的寿命7（4）测量某物理量的误差£.（5）若某个试验只有两个结果，例如，播种一颗银杏种子，可以定义随机变量Z = p，种子发芽 to,种子不发芽.值得注意的是：(1)对任意实数工，X<x表示随机事件；(2) 可以求出概率P(X«x).在上面的例子中，尸(X=3) = !， 6尸(X>4) = P(X=5) + P(X=6)M + !M等；但是不能求得以下概 6 6 3率

3、，如/(y = 100),P(T>1500), P06KL5等,因此还需要引入随机 变量分布函数的概念.2.1.2 随机变量的分布函数定义2. 2设X是一个随机变量，对任意实数X,称F(x) = P(X <x)(2. 1)为随机变量X的分布函数.且称X服从尸(X),记为XAx).有时也可用&(把X作为尸的下标)以表明是X的分布函数.例2. 1向半径为的圆内随机抛一点，求此点到圆心之距离X的分布函数F(x),并求p(X >今.解事件“ X二”表示所抛之点落在半径为X (0 « .V少)的圆内， 故由几何概率知F(a-) = P(X<x) = - = (-

4、)2, 万厂 /从而P(X> j) = l-/XX<) = l-F(j) = l-(l)2=1.从分布函数的定义可以看出，任一随机变量X (离散的或 连续的)都有一个分布函数.有了分布函数,就可据此计算得及 随机变量X有关事件的概率.下面先给出分布函数的3个基本 性质.定理2.1任一随机变量的分布函数尸都具有如下三条基 本性质：(1)单调性尸(幻是定义在整个实数轴(-S, +8)上的单调非 减函数，即对任意的为修，有尸a)"(Q(2)有界性 对任意的x,有且F(-co) = lim F(x) = 0， F(+>) = lim F(x) = 1.KT y(3)右连续性

5、/是x的右连续函数，即对任意的人,有F(xo+O) = F(xo).值得注意，满足这3个性质的函数一定是某个随机变量的 分布函数.例2. 2设随机变量X的分布函数为F(x) = A + 8arctanx,-s <x< +8，试求：待定系数48;随机变量X落在(-I, 1)内的概率.解(1)由 F(oo) = 0 , F(+oo) = 1, 可得A+ 8(一为=0< ,A +吗)=1解得A二B,于是2 亢L/、11r(X)= + arc tanx,-oo <x< +s.2(2) P(-l<X<1) = P(-1<X<1) = F(l)-F(-

6、l)3 / 23概率论及数理统计课件（第2章）=(+ arctanl) -( + arctan(-1) 2 %2 nz 1 1 1 z江、1（工 + T）一（大 十 （_：）= T 2 乃 42 n 42利用随机变量X的分布函数，可以计算有关X的各种事件的概率.例如，对任意的实数4,，有P(a <X<b) = F(b)- F(a),P(X = a) = F(a) F(a 0),P(X >b) = -F(b-0),P(X >b) = -F(b),P(a vX <万)=尸(一0) 尸(4),P(a <X <b) = F(b)- F(a - 0)，P(a &

7、lt;X <Z?) = F(Z?-0)- F(a 0). 特别当尸(x)在及b连续时,有F(a-0)=尸(a) , F(b-0)-F(b).例2. 3设随机变量X的分布函数为0.x < 0 0.4,0 <x<2 F(x)=,0.6,2 < x < 3 l,x>3试求：(1) P(1 < X < 3) ; (2) P(X >2); (3)尸(X=L5).解 (1) /XI < X < 3) = F(3) 一 F(l) = 1-0.4 = 0.6 ;(2) /?(X >2) = 1 -F(2) = 1 -0.6 = 0.

8、4;(3) p(X = L5) = E(1.5) F(1.5 - 0) = 0.4-0.4 = 0.§2.2离散型随机变量的分布律定义2.3设X是一个离散型随机变量，其所有可能的取值 是看,，毛，则称X取七的概率Pi = P（X =七），i = 1, 2,（2.（2）或记成为x的概率分布律或简称为分布律，记为xpj,分布律也可 用列表的方法来表示：X再X2xiPPlPlPi（X.X）X-、X 2'PPiPi）分布律的基本性质：（1 ） Pj >0, / = 1,2, ;X（2） £Pi=i. 1-1由离散型随机变量X的分布律很容易写出X的分布函数：F（x） =

9、 P（XWx） = £pXi<X它的图形是有限级（或无穷级）的阶梯函数.在离散场合，常 用分布律来描述分布，很少用到分布函数.因为求离散随机变 量X的有关事件的概率时，用分布律比用分布函数来得更方 便.例2. 4设离散型随机变量X的分布律为X -1237 / 23概率论及数理统计课件（第2章）P0.250.50.25试求尸(X40.5),P(1.5vX <2.5)并写出X的分布函数.解P(X < 0.5) = P(X = -1) = 0.25 ,P(1.5<X<2,5) = P(X = 2) = 0.5 ,0,x < -10.25,0<x&l

10、t; 1F(x) =.0.25 + 0.5 = 0.75, <x<20.25 + 0.5 + 0.25 = 1, x>3尸的图形如图21所示.八 E（x）1 OOO XJ 0123 一图21特别地，常量c可看作仅取一个值的随机变量X,即P（X =c）= l.这个分布常称为单点分布或退化分布，它的分布函数是0, x <c =1, x>c（2.3）其图形如图22.E(x) A1 '以下例子说明，已知离散型随机变量的分布函数，可以求 出它的分布律.例2.5设随机变量X的分布函数为0,x < 0 O.LO<x<2F(x)=0.5,23,0.8,3

11、4 x<5 l,x> 5则X的分布律为X o 2350. 10.40. 3P 0. 22.3 常见离散型随机变量分布1 .两点分布若离散型随机变量X的分布律为X01P1-PP则称随机变量X服从参数为的两点分布（或。-1分布），记为X B（l, p）.例2.6播种一颗银杏种子，银杏的发芽率为0.9,定义随 机变量9 / 23概率论及数理统计课件(第2章)X=p，种子发芽0,种子不发芽'则X%0.9),其中0. 9为银杏的发芽率.2 .二项分布若离散型随机变量X的分布律为p(x =k)= (p"(i-p)”T ,攵=0,1,2,.(2. 4)则称随机变量X服从参数为P

12、的二项分布，记为XP).两点分布是二项分布中当 =1时的特例.例2.7假设银杏移栽的成活率为0.95,现移栽10颗，问 至少有8颗成活的概率是多少？解设移栽银杏的颗数为X,则*8(1。,。.95),而所求概率为101 0.95s0.05218 )P(X 3 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)= 0.9885.+0.9590.05' +0.95h)0.05°19 J UoJ3 .泊松分布若离散型随机变量X的分布律为攵=0,1, 2、(2.5)其中参数人 。，则称随机变量X服从参数为2的泊松分布，记 为乂 PQ).例2.8已知某种产品表面上的

13、疵点数服从参数4 = 0.5的泊 松分布，若规定疵点数不超过一个的产品为合格品，疵点数至 少为两个的产品为不合格品.试求此产品为不合格品的概率.解设X为此产品表面上的疵点数，则X尸(0.5),即P(X = k) = ,攵=。,1, 2,. k!于是有P(X>2) = 1-P(X <2) = 1-P(X =0)-P(X =1)一吧j_也不/09 0!1!4 .几何分布若离散型随机变量x的分布律为p(x = k) = pqi, & = 1,2,，(2. 6 )其中则称随机变量X服从参数为的几何分布, 记为XG(p).设E为一随机试验，A为其事件，PA) = p , P(A) =

14、 -p = q, 现作独立重复试验直到A出现为止.以X表示事件A出现的总 次数，则随机变量X可取值12次，.以4表示在第重试验中事件A出现的事件，则产(=%)=尸(44-4.4)=P(AA-AA) = P(A)P(A)- P(A)P(A)二 pqg , k = l,2,.5 .超几何分布若离散型随机变量X的分布律为/A/ /N-M p(x 二)(：) ，(2. 7)其中0<M <M04N, k是满足不等式max(O, - N + m) <k< min(/h M)的所有整数，则称随机变量X服从参数为,M,N的超几何分布, 记为 X H(n,M,N).例2. 9 设一批木工

15、板共N张，其中有"张次品 (0<M<N ) , N-M张合格品.今从这批木工板中任取n (OKN)张，以X表示所取得的次品数，试求随机变量X的 分布律.解若/N M ,则X可取的最小数显然为0;若n>N M , 则X可取的最小数为-(N-M).这样，X可取的最小数是max。 - N + m).若收M，则X可取的最大数为仆 若>M，则X可取的最 大数为这样，X可取的最大数是按古典概型计算得P（X 二 k）二其中，WN,OWWN, k是满足不等式max(O,n-N + m) <k < min(”,M)的所有整数.2.4 连续型随机变量的概率密度函数定义

16、2.4设随机变量X的分布函数为尸“),如果存在实数 轴上的一个非负可积函数/，使得对任意实数,有尸(幻=/，J -8(2.(8)则称X为连续型随机变量，称/(X)为X的概率密度函数，简称13 / 23概率论及数理统计课件(第2章)为密度函数.在歹的可导点处有F'(x) = f(x)(2.(9)密度函数的基本性质：(1)f(x) > 0;(2 ) f(x)c/x = 1 . J-8 .(3)若X的密度函数为/(x),则P(xe/)=其中/为某一区间.x/(4)若X为连续型随机变量，则P(a<X <b)= P(a<X <b)= P(a < X <

17、b) = P(a < X < b).注意及离散情形的区别.例2. 10已知随机变量X的密度函数为ex ,0 <x < fW = n'0,其他求(1)常数C； (2) /?(0<X<l/3); (3)分布函数歹(x).解(1)由 1 = J /(x)dx=J：c*x = +，得c = 2；(2) (0vX vl/3) = f" 2aJa = x2|；)/3=;(3)根据戈的取值情况来确定积分J -X当 x < 0时，F(x) = J ：0力=0 ;当 0 4 x v 1 时，F(x) =+2/dt = x2;当 x一时,F(x) =勺力

18、 + J；。力=1-14/23概率论及数理统计课件(第2章)20 / 23从而得随机变量X的密度函数为AF(x)0, x < 0F(x) = < x2, 0 < x < 1 ,1, x>l尸的图形如图23.O图23x例2.11设随机变量X的密度函数为x,0<%<1f(x) = < 2-x, 1 < x < 2 ,0,其他试求随机变量X的分布函数E(江解当XV。时，用(x) = J：f力=0;当f 尸可" =9；当<2时，尸川力+(2T), =% + 21;I)当 x N 2时，F(x)="力 +(2-/)力=

19、1.综上所述，得X的分布函数为尸(x)=+ 2x - 1,21, x>2尸的图形如图24.2.5常见连续型随机变量分布1.均匀分布若连续型随机变量X的密度函数(见图25 (1)为1/(x) = < b-a,a <x<b0,其他(2. 10)则称X服从区间团上的均匀分布，记为其分布函 数为(见图2-5 (2).0, x<aF(x) = < -, a<x<b b-a1, x>h(2. 11)P(x) Al/(b-a)-jjiiii«1 xOabm27(1)例2.11设随机变量X服从区间。,1上的均匀分布，现对X 进行4次独立观测，试求

20、至少有3次观测值大于1/2的概率.解设丫是3次独立观测中观测值大于1/2的次数，则 y8(4,p),其中p = p(X>，由XU(O,1),知X的密度函数为/(x) =44 ZI .八0,其他所以1 1 = P(X >-) = Jj6/x=-,于是4 、八 P(l一)| +4x(9中+(孑516P(Y >3) = P(Y = 3) + P(Y = 4)=2 .指数分布若连续型随机变量X的密度函数为1, fW = he"> x>0(6>>o)0,x<0(2. 12)则称x服从参数为e的指数分布，记为例2. 12设某电子产品的使用寿命X (

21、h)服从参数为8 = 500 的指数分布，试求该电子产品的使用寿命超过lOOOh的概率.解由X Exp(+),知1/ W = 500e 5(x),x>00,x<0于是XXP(x >1000) =二:/"公=J丽|嬴=e-2 X 0.1353 .3 .正态分布正态分布是概率论及数理统计中最重要的一个分布，后面 还要指出正态分布是一切分布的中心.1)正态分布的密度函数和分布函数若连续型随机变量X的密度函数为f(x) = , e 2a： , -O0<x<+O0,(2. 13)J24b则称X服从参数为的正态分布，记为XN(4，b)其中参数 一8VV+8, O&g

22、t; >0. 其密度函数/图形如图2-6 (1)所示./(X)的图形是一条钟形线,其对称轴为X = . /(X)在X = 处取最大值L，曲线上对应于 J24bX = 土 b的点为拐点.正态分布N(q2)的分布函数为F(x)=dt(2. 14)它是一条光滑上升的S形曲线，见图26 (2).图27给出了在和°变化时，相应正态密度曲线的变化 情况.(1)从图27 (1)中可以看出：如果固定改变的值, 则图形沿x轴平移，而不改变其形状.也就是说正态密度函数的 位置由参数所确定，因此也称为位置参数.(2)从图27 (2)中可以看出：如果固定，改变。的值, 则°越小，曲线越陡峭；

23、°越大，曲线越扁平.也就是说正态函 数的尺度由参数所确定，因此也称。为尺度参数.概率论及数理统计课件（第2章）25 / 232）标准正态分布称 = o, b = l的正态分布N（0,l）为标准正态分布.记标准正态分布的密度函数为火x）,分布函数为（X）,即1 -(p(x) = 一 e 2， svxv+co, 、2乃-CO <X <4-00.由于标准正态分布的分布函数不含任何未知参数，故其值（幻=尸3幻完全可以算出，附表2对xno给出了的值,利用这张表可以算得(1)(-X)= 1 -(X).(2) P(X >x) = l (").(3)P(a <X &

24、lt;x) =(。)一(a).(4) P(IXIvc) = 2中(c) l.例2. 13设XN（OJ）,利用附表L求下列事件的概率:(1)/?(X<1.25)=(L25) = 0.8944.(2)p(X >1.25) = 1-<D(1.25) = 1-0.8944 = 0.1056.(3)p(X <-1.25)=(一1.25) = 1 (L25) = 1-0.8944 = 0.1056.(4)p(X | < 1.25) = 20>(1.25)-l = 2x 0.8944-1= 0.7888 3） 一般正态分布的标准化为了计算及一般正态变量有关的事件的概率，需

25、要将一般 正态分布进行标准化，然后再查标准正态分布函数表.若XNU后）,则(1) P(X4c) = 4>(3)b(2. 15)(2) P(a <X<b) =-(上gcrcr(2. 16)例 2. 14 设 X N(86,4),试求(1) /?(82 <X< 92);(2)常数使得尸(X <0=0.95.解 (1) “(82 v X V 92)=I" ； % ("；啊 22=(3) - 0(-2)=(3) + 0(2)-1 =0.9987 + 0.9772-1 = 0.9759.(2)由p(X va) =(二) = 0.95 , 或-10.

26、95)=三独， 22其中T为的反函数.从附表1由里向外反查得(1.64) = 0.9495 ,(1.65) = 0.9505,再利用线性内插法可得(1.645) = 0.95,即-用95) = 1.645 ,故ci _ 86 r .=1.645,从中解得a = 89.29.2.6随机变量函数的分布设y = g（x）是定义在直线上的一个函数，X是一个随机变量, 那么y = g（X）作为X的一个函数，同样也是一个随机变量.我们 所要研究的问题是：已知x的分布，如何求y = g（x）的分布.2.6 . 1离散型随机变量函数的分布设X是一个离散型随机变量，X的分布律为X再X2xiPPlPlPi则r =

27、 g（x）也是一个离散型随机变量，此时丫的分布律可表示为Yg($)g(£)g(再)PPlp2.Pi当85）,黑与）,.送区）,-.中有某些值相等时，则把那些相等的值分 别合并，并将对应的概率相加即可.例2.15已知x的分布律为X-2-1012p0. 10.20.40. 20. 1（1）求耳=2X + 1的分布律;（2）求L = x3 x的分布律.解（1） K=2X+1的分布律为-3-1135p0. 10. 20. 40. 2概率论及数理统计课件(第2章)0. 1(2) X = X3-X的分布律为-60006p0. 10.20. 40. 20. 1再将相等的值合并得丫3-606P0.

28、10.80. 12.7 .2连续型随机变量函数的分布通过以下几则例子，介绍求连续型随机变量函数的分布的 一种方法，称之为分布函数法.例2. 16设随机变量X的密度函数为f 2x, 0 < x < 1Aw = lo,其他'试求随机变量Y = 2X+1的密度函数力(y).解 Fy(y) = P(Y<y) = P(2X+<y)= P(X<|(y-l)=Ji fx3dtfy(y)=Px(y1(y-l),l<y<3=j 2.0, 其他一般地，还可以利用分布函数法证明以下定理.定理2. 2设X是连续型随机变量，其密度函数为Y = g(X)是另一个随机变量.

29、若y = g(x)严格单调,其反函 数/心，)有连续导函数，贝ijy = g(x)的密度函数为,，、fxWy)fjy)i<y<b0,其他(2. 17)其中 a = ming(-8), g(+8)，b = maxg(-s), g(+s).证明 不妨设)，= g是严格单调递增函数，这时它的反函 数/?()，)也是严格单调递增函数，且/«)，)>。.记a = g(-s), b = g(+s)，这就意味着y = g(x)仅在区间(a,)取值，于是当 y v a 时,Fr(y) = P(Y < y) = 0;当 y >。时，Fy(y) = P(Y < y)

30、= h当 a < y 父时，4()，) = P(Y < y) = P(g(X)« y)二尸(X «()，)= J：工”由此得丫的密度函数为/ (、 fxWy)hXy)ya<y<bA(y)= lo,其他 "同理可证当y = g(x)是严格单调递减函数时，结论也成立. 但此时应注意/«)，)<0,所以要加绝对值符号，这时，a = g(+s), b = gS) 利用上述定理，可以证明以下一个很有用的结论.定理 2. 3 若xn(q2),则 y = 2Lz£N(o,i).(7证明y = U是严格递增函数，仍在(一8, +8

31、)上取值，其b反函数为x = /?(y) = oy + 4 , "()，) = b ,由定理2. 2可得1 上K(y) = /xW(y)W(y)| = /x+")IH=e 2 »所以Y =- N(0,1).(T定理2. 4设随机变量X服从正态分布X ，则当，工0 时，有 Y =aX+b X N(°M + b,a2b2).证明当a>O(vO)时，y = ax +是严格递增(减)函数，仍在 (一8,+s)上取值，其反函数为x = /?(y) = (y-Z?)/a , hXy) = l/a ,由定 理2. 2可得._y - b 1fy(y) = fx Wy) hy) 1= fxG -) l-l a a 1ly-iap + b)1=exp； V2(k/I cr)2ap-这是正态分布N/ + ,/)的