概率论与数理统计期末考试试题及解答

1、概率论与数理统计期末试题一、填空题(每小题 3分，共15分)1 .设事件A,B仅发生一个的概率为 0.3,且P(A)+P(B) =0.5,则A, B至少有一个不发生的概率为.答案：0.9解：P(AB AB) =0.3即0.3 =P(aB) P(AB) =P(A) -P(AB) P(B) -P(AB) =0.5-2P(AB)所以P(AB) =0.1P(A B) = P(AB) =1 - P(AB) = 0.9.2 .设随机变量X服从泊松分布，且 P(X <1) =4P(X =2),则P(X =3)=答案：1 一 e 6,2 P(X =2) = -e' 2解答：P(X <1)=

2、P(X =0) P(X =1) e"'e"',P(X <1) =4P(X =2)知 e+ke4 = 2e22九一九一1=0解付 九=1,故1 二P(X =3) e0 :二 y ； 4, 其它.6fY(y) =Fy (y) =1, ° : y : 4,fX (、. y) =4y2回、° ,其它.另解 在(0,2)上函数y=x2严格单调，反函数为 h(y) = J7所以一 i一, ° ：二 y ：二 4,fY (y) = fX(, y) - = 4 ,；ys ° ,其它.4.设随机变量 2X ,Y相互独立，且均服从参

3、数为篮的指数分布，P(X>1) = e ,则答案：九=2,Pmin( X,Y) <1 =-4Pmin( X,Y) <1 =1 -e解答:P(X >1)=1 P(X M1) =e=e：故 2=2Pmin( X,Y) _1 =1 - Pmin( X,Y) 1=1 -P(X 1)P(Y 1)=1 -e4.5.设总体X的概率密度为f (x)= <'(e+1)x °<x<1，e>-1, °,其它Xi , X2，Xn是来自X的样本，则未知参数 9的极大似然估计量为答案:1二1-11 / In xn i 1解答：似然函数为nL(x1

4、 , II'户)二 | 1i 1Q DXiJ -l)n(XHLXn)71nIn L = n InQ 1) -v In xi i 1d In L n . Jn .1 n= 八 In x °d? 1 v解似然方程得日的极大似然估计为(A) 21-O(2).(C) 26(2).(B) 26(2)-1.(D) 1 2中(2).一、lnxin i4二、单项选择题(每小题 3分，共15分)1 .设A, B,C为三个事件，且 A, B相互独立，则以下结论中不正确的是(A)若P(C) =1 ,则AC与BC也独立.(B)若P(C) =1,则AljC与B也独立.(C)若P(C) =0 ,则Alj

5、C与B也独立.(D)若Cu B ,则A与C也独立.()答案：(D).解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以( A), (B), (C) 都是正确的，只能选(D).事实上由图可见A与C不独立.B©2 .设随机变量X N(0,1), X的分布函数为 (x),则P(|X A 2)的值为(A) X与Y独立.(C) D(X -Y) =DX -DY .(B) D(X -Y) = DX +DY .(D) D(XY) = DXDY.答案：(A)解答： X N(0,1)所以 P(| X |>2)=1P(|X |W2)=1P(2<X < 2)=1 _，2 )+6(

6、 2 ) = 1 娈(2) 竹 26应选(A).3 .设随机变量 X和Y不相关，则下列结论中正确的是答案：（B）解答：由不相关的等价条件知，Pxy =0= cov （x, y）=0D(X Y) =DX +DY+2cov (x, y)应选(B).4 .设离散型随机变量 X和Y的联合概率分布为(X,Y)(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)18若X,Y独立，则a, P的值为(A =2,9(A)(C)6,(D)1,951891一18答案:(A)故应选（A）.:-P(X =2, Y=2) = P(X =2)P(Y=2)5.设总体X的数学期望为 'Xi ,X2,|

7、,Xn为来自X的样本，则下列结论中正确的是（A） Xi是N的无偏估计量.（B） Xi是N的极大似然估计量.（C） Xi是N的相合（一致）估计量.（D） Xi不是R的估计量.（）答案：（A）解答：EXi = R，所以Xi是N的无偏估计，应选（A）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05, 一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求(1) 一个产品经检查后被认为是合格品的概率；(2) 一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解：设人=任取一产品，经检验认为是合格品B = 任取一产品确是合格品则(1) P(A) =P(B)P(A|B) P

8、(B)P(A|B)= 0.9 0.95 0.1 0.02 = 0.857.(2)P(AB) 0.9 0.95P(B| A) = - = = 0.9977 .P(A) 0.857四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差解：X的概率分布为X0123即P2754368125125125125k =0,1,2,3.P(X =k)应(，(，产X的分布函数为0 , 27x : 0,F(x)=125,81,125117125 1 ,EX = 3 2=65 52 3D

9、X =3 -1-5 5x-3.五、(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域D =(x, y)|x20, y >0, x + y <1上服从均匀分布.求(1) (X,Y)关于X的边缘概率密度；(2) Z = X +Y的分布函数与概率密度.(1) (X,Y)的概率密度为一 、2,f(x，y)= °，(x, y) D其它.2-2x, 0 < x < 1fx(x),(x，y)dy=0,其它(2)利用公式 fz (z)= J f (x, z -x)dx其中2, 0 _x _1,0_z-x _1 -x 2, 0_x_1, x_z_1.f(x,z-x)= 甘10,其它=10

10、,其它.当 2<0或2>1时 fz(z)=0Z的分布函数为z0WzE1 时 fz(z)=21°dx=2x故Z的概率密度为2z, 0Mz£1, fz (z)-甘0,其它.0,fz (z) = J 一fz (y)dy = Hn 2ydy, 0<z<1 = z2, CU 01,或利用分布函数法Fz(z)= P(Z< Z =z0=2zz :二 0,0< z< 1, z 1.1 z<- ,o Q 1yz d, zXd, 2 ,o 14fD I h片1 o ,E z X , R o=z2,0<z<1,0< z<1,

11、 其它.1 ,z>1.2z, fz (z) = Fz (z)=0,六、(10分)向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标 X和纵坐标Y相222_互独立，且均服从N(0,2 )分布.求(1)命中环形区域 D=(x, y)|1x +y W 2的的数学期望概率；（2）命中点到目标中心距离 Z = Jx H0 :仃2 W0.1的拒绝域为*2可”1). +Y2rdrd 二(2) EZ =E(JX2+Y2) = j8t-berer28 rdrd-bee1-e8 二r28 r2drx2 y28 dxdy2 r_ re 8 ie-be+02治一 8e 8 dr七、（11分）设某机器生产的零件

12、长度（单位： cm） X N（N,。2）,今抽取容量为 16的 样本，测得样本均值 X =10 ,样本方差s2 =0.16. （1）求N的置信度为0.95的置信 区间；（2）检验假设H0 ：ct2 <0.1 （显著性水平为 0.05）.（附注）t0.05（16） =1.746, t0.05（15） =1.753, t0.025（15） = 2.132,甯05（16） =26.296,/.05（15） =24.996, 一。25（15） = 27.488.解：（1） N的置信度为1-6下的置信区间为-s -s(X -t：/2(n -1) , Xt：/2(n -1),n. nX =10, s=0.4, n=16, U =0.05, t0.025(15) = 2.132所以N的置信度为0.95的置信区间为(9.7868, 10.2132)2=运=15、1.6=24,0.1一 20.05(15)=24.996因为?2 =24<24.996 =7；05(15),所以接受 H。.23.设随机变量X在区间(0