概率论与数理统计习题册要点

1、第六章样本及抽样分布1 .设X1,X2，Xn是来自总体X的简单随机样本，则X1,X2，Xn必然满足()A.独立但分布不同；B.分布相同但不相互独立；C独立同分布；D.不能确定2 .下列关于“统计量”的描述中，不正确的是().A.统计量为随机变量B.统计量是样本的函数C.统计量表达式中不含有参数D.估计量是统计量3下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是()一，、1A.右 F F (,电),则 F (n2,ni)B.若 T t(n),则T2 F(1,n)C.若 X N(0,1)，则X2 x2(1)nv (Xi - J)2D.在正态总体下 2x2(n -1)cr4.设Xi,S2表示来自总体 N

2、(H产2)的容量为5的样本均值和样本方差(i=1,2),且两总体相互独立，则下列不正确的是(二 2S2A. -Ti F(n1 -1,n2 -1)二 1S2(X1 - X2) -(1 -2) B. 22二1 .二2n1n2N(0,1)X1 一C.1 t(n1)S1 / . n1D.(n2-1)S2二22x2(n2 -1)一一 一一 一一 1，一 0 一5.设X1,X2，Xn是来自总体的样本，则£ (XiX)2是( n -1 id).A.样本矩 B.二阶原点矩C.二阶中心矩D.统计量9，则6X1,X2，Xn是来自正态总体 N(0,1)的样本，X,S2分别为样本均值与样本方差(). C C

3、XA. XN(0,1)B. nXN(0,1) C. ' X：x2(n)D. t(n-1)vS992 _ 27.给定一组样本观测值Xi,X2，X9且得£ Xi =45,£ Xi =285，则样本方差ST-的观测值为（）.A. 7.5B.60C. 20D. 65321A. a28设 X服从 t（n）分布，P| X >九 =a ,则 PX < K为（）.C11B. 2a C. - a D. 1 - - a2229设X,X2，Xn是来自正态总体 N(0,22)的简单随机样本，若Y =a(X1十2X2)2 +b(X3 +X4 +X5)2 +c(X6 +X7 +X8

4、 +X9)2 服从 x2 分布，则a,b, c的值分别为().1 1 11 1 11 1 11 1 1A. ,B. 一,1-C. 一，一， D. ,一, -8 12 1620 12 163 3 32 3 410设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布 N(0,32)，设XX2，X9和 9'、XiY1 ,丫2,，Y9分别是来自两总体白简单随机样本，则统计量u = 7,服从分布是().匕Y2A. t(9)B. t(8)C. N(0,81)D. N (0,9)二、填空题1 .在数理统计中， 称为样本.2 .我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是.3 .设随机变量XhX2，X

5、n相互独立且服从相同的分布，EX=N, DX=。2,令4 . (X1,X2，X10)是来自总体 XN(0,0.32)的一个样本，则10p，£ Xi2 至 1.44 i m5 .已知样本Xi，X2，Xi6取自正态分布总体 N（2,1） , X为样本均值，已知PX之九 =0.5, 则 =.10. 6设总体X N（也仃2）,又是样本均值，S2是样本方差，n为样本容量，则常用的随 2机变量（n -12）Sn服从 分布.CF第七章参数估计一、选择题1 n _1 .设总体XN（N,。2）, X1,，Xn为抽取样本，则一£（XiX）2是（ ） n i4（A） N的无偏估计（B）。2的无偏

6、估计 （C）R的矩估计 （D）仃2的矩估计2设X在0, a上服从均匀分布，a >0是未知参数，对于容量为 n的样本X1,，Xn, a1 /(B)“ Xin y1 /(D) 1 +-Z Xi n y的最大似然估计为（）(A) maxX1，X2，Xn(C) maxX1，X2，Xn -minX1，X2，Xn3设总体分布为n（n产2）,%仃2为未知参数，则 仃2的最大似然估计量为（1 n 一(A) -Z (Xi -X)2n i 11 -n 2(B)Z (Xi -X)2 n - 1 i m-)24设总体分布为 N（N,。2）, N已知，则仃2的最大似然估计量为（(A) S2n -1 2(B) Sn

7、1 /(C)-Z (Xin i 1-)21 nc(D) Z (Xi -N) n -1 i=15 X1,X2.X3设为来自总体X的样本，下列关于E（X）的无偏估计中，最有效的为（).-1,、1(A)(Xi +X2)(B)(Xi +X2 +X3)23一1 一 一、2 _2 一 1 . .(C) (X1 + X2 +X3)(D) X1 + X2 - X3)43336设X1,X2，Xn(n22)是正态分布N(N,。2)的一个样本，若统计量n 二 22K£（XtXi）为。的无偏估计，则 K的值应该为（）i 1(D)(A)(B) -(C) 12n2n -12n -27.设日为总体X的未知参数，0

8、1 ,02是统计量,置信区间，则下式中不能恒成的是（）A. P二% =1-aB.C. P二：二% -1 -aD.8设XN（N,。2）且仃2未知，若样本容量为（01,02 ）为日的置信度为1a（0<a<1）的P% P： = aP1.P，二 L =2n,且分位数均指定为“上侧分位数”时，则N的95%的置信区间为（）<7A. (X 二uo.025 ).n一 SB. (X 一 to.o5(n -1)n- S /、C. (X 二t0.025 (n)n一 SD. (X 二t0.025 (n-1)n9设XN（N产2）, N,。2均未知，当样本容量为 n时，仃2的95%的置信区间为（）A.2

9、2(n-1)S2 , (n-1)S2 )X0.975(n-1),X0.025 (n -1)22(n-1)S2(n-1)S2 )8. ( 2， 2)X0.025(n-1) X0.975 (n -1)(n-1)S2 ) t2.975(n-1)，S/ 八D. (X 二t 0.025(n-1).n二、填空题1 .点估计常用的两种方法是： 和 2 .若X是离散型随机变量，分布律是PX =x = P（x*）,（日是待估计参数），则似然函数是, X是连续型随机变量，概率密度是f（x；6）,则似然函数是 3 .设总体X的概率分布列为：X 0123Pp22 p(1-p)p21-2p其中p (0 < p &

10、lt;1/2)是未知参数.利用总体X的如下样本值：1,3, 0, 2,3, 3, 1, 3则p的矩估计值为 ,极大似然估计值为 .4.设总体X的一个样本如下：1.70, 1.75, 1.70, 1.65, 1.75则该样本的数学期望 E(X)和方差D(X)的矩估计值分别.、，.，、(九+1)x九 0<x<1 > 、，、，、，5.设总体X的密度函数为：f(x) =') 甘.，设X1,，Xn是X的样本，0 其他则A的矩估计量为 ,最大似然估计量为 .21 n6.假设总体X N(t。2),且X = £ Xi , X，X2，Xn为总体X的一个样本， n i4则X是

11、的无偏估计.27设总体X N(R产2), Xi,X2，Xn为总体X的一个样本，则常数k=,使nkZ Xi -X为仃的无偏估计量.1 18从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，样本均方差为S =40 .设电子管寿命分布未知，以置信度为 0.95 ,则整批电子管平均寿命N的置信区间为(给定 Z0.05 =1.645 ,Z0.025 = 1.96).9设总体XN(N,。2), N,。2为未知参数，则 N的置信度为1口的置信区间为 .10某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为2仃=0.04 ,从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平

12、均值为15毫米，给定a = 0.05则滚珠的平均直径的区间估计为 .(Z005 =1.645 ,Z0025 = 1.96)0.050.02511.某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.615.114.914.815.215.1已知原来直径服从N (此0.06),则该天生产的滚珠直径的置信区间为 ,严=0.05, Z0.05 =1.645, Z0.025 = 1.96).12.某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得S=02 ,则仃的置信区间为2（11） =19.682120f（11）= 4.57）.一2第八章假设检验一、选择题1 .关于检

13、验的拒绝域 W,置信水平a ,及所谓的“小概率事件”，下列叙述错误的是（）.A. a的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述B.事件（X1,X2，Xn）WW|H0为真即为一个小概率事件C.设W是样本空间的某个子集，指的是事件（X1,X2，Xn）|Ho为真D.确定恰当的 W是任何检验的本质问题2.设总体X N（N,。2）,。2未知，通过样本X1,X2，Xn检验假设Ho：N = N0,要采用检验估计量（）.A. X -0B. X -0二 / .nS/.nX -S/ n3.样本Xi,X2，Xn来自总体N”122），检3& Ho : 口 M100，采用统计量（）.X312/ .nX -1

14、0012/ nX -100C.S/ . n -14设总体X N（R产2）产2未知，通过样本Xi,X2，Xn检验假设Ho：N = N0,此问题拒绝域形式为A fX -100X -100A.C B. CS/ .10S/ . nX -100- C. AC D. X > C S/W05.设Xi,X2，Xn为来自总体N（叱32）的样本，对于HoT=100检验的拒绝域可以形如（）.A. X ->C6、样本来自正态总体AB. X -100 ACC.Ng。2）,人未知，要检验（nfS2B.100X -100-f=- >C D. X -100 <C S/Vn.2 _、.一Ho : - =

15、100，则采用统计量为（）.C. Xn D.应100100227、设总体分布为 N （匕仃2），若N已知，则要检验H 0 :仃2之100,应采用统计量（）.X -A S/ .、n:、填空题B.CTC.n2 (Xi -) i 4100n_ 2v (Xi -X) D. i-1001.为了校正试用的普通天平 行称量，得如下结果：,把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进99.3,98.7,100.5,99.799.5102.1101,2,100.5,98.399.2假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异，H02.设样本X1，X2，X25来自总体N（N

16、,9）, N未知.对于本金验H0：R = N0,取拒绝域形如 X N0 Ak ,若取a =0.05,则k值为第六章样本及抽样分布答案一、选择题1. ( C )2. (C) 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数3. (D)一_ ，一 X； -对于答案D,由于二一 N(0,1),i =1,2，n ,且相互独立，根据 ？2分布的定义有n(X )2-2x2(n)CTXi -1, 一口 4.(C) 注： £t(n1 1)才是正确的.Si/ ni5.(D)_1 X6C)注：XN(0, ), 一t(n1)才是正确的 n S . npX12 <1=2PX -12 <1-1= 2P

17、X -12.1 2 .5 三 1 2 .5 )；-1 =2中(；)一17.(A)8.(A)9.(B)9 _ 2 9 _v Xi -X v x2 -9 X2i 1 _ i W9 -19-1285 -9 25,广=7.5解：由题意可知X1 +2X2 N(0,20) , X3 +X4 +X5 N(0,12), X6+X7+X8+X9N(0,16),且相互独立，因此222下，X1 2X2X3 X4 X5 X6 X7 X8 X92012161.11即 a ,b ,c 二20121610(A)999解:Z Xi N(0,9 2)= X X/9 N(0,1 ), £ Y2/9 *(9) i =1i

18、 =1i=1.9%Xi 9由t分布的定义有信't(9).181二、填空题1 .与总体同分布，且相互独立的一组随机变量2 .代表性和独立性24. 0.15.26. 2(n-1)第七章参数估计一、选择题1 /E(X) = A1 = X Xi , n i=11答案：D.解因为仃2 =E(X2)E2(X),且(X2)=A2 =n 一 一所以,92 :E?(x2) -e?2(x)(Xi -x)2.n i 12.答案：A.11、，解因为似然函数 L(a) = <n，当a = maxXi时，L(a)最大,a (max Xi)ii所以，a的最大似然估计为 maxX1,X2，Xn.3答案A .2n

19、 11,2解似然函数 L(N,。) =n e exp |-2(xiN),y . 2 2。dF八由 Fln L = 0, -2 ln L = 0 ,得仃2 = a2. 2 24.答案C.解在上面第5题中用N取代X即可.5答案B.6答案C.7答案D.8答案D.9答案B.二、填空题：1 .矩估计和最大似然估计;2 . 口 P（Xi ，口 f（X；日）3 -, 0.2828;48解(1) p 的矩估计值 X = 2 Xi =16/8 = 2 ,令 E(X) = 3 4p=X,i 3得p的矩估计为? = (3-X)/4 = 1/4.(2)似然函数为8_2 _4L(p) =.: P(X =x。=P(X =

20、0)P(X =1) P(X =2)P(X =3)i=1= 4p(1-p)2(1-2p)4In L( p) = In4 6ln p 2ln(1 - p) 4ln(1 - 2p)令InL(p)'=6 - 2 -8=0, = 12p2-14p + 3 = 0p 1 - p 1 -2p=p =(7 ±$13)/12.由 0 < p <1/2,故 p =(7+713)/12 舍去所以p的极大似然估计值为？= (7J13)/12 = 0.2828.4 、1.71 , 0.00138;_" X：解由矩估计有：白(X ) = X ,且(X 2) = i ,又因为 D(X

21、) = E(X2)-E(X)2,n所以g(X)=XJ7 35765 1.75 :1.715n i 110且 D?(X) = 1 y (Xi -X)2 =0.001385、? 2X -1尤=-1 -Xnn 八 ln Xi?i 1%二一 n；'二 In Xii=1解(1) K的矩估计为:1E(X) = x ( 1)x dx 二0样本的一阶原点矩为:1 nX xin i41-? 2X -1所以有：=X = .?=21 -X(2)九的最大似然估计为：nnL(X1，Xn； X)=n (九+1)Xi九=(九+1)n(口 Xi)九i 1i 1nln L = n ln(二，一 1) 一 In X ii

22、 1n-二 ln Xi =0i 1nn - 二：ln Xi得：？ 一 一nv ln Xi i =1_ 11 Jn _nN 解E(X) = Z E(Xi) = = >n idn7、.2n(n -1)'14解注意到XjX2，Xn的相互独立性,一 1Xi -X = -X1 -X2 (n-1)Xi -XnnE(Xi -X) = 0,D(Xi所以，Xi -X N(0,n -1E(|Xi -X|)= _z|2 z2 n ,I2n dz因为：E所以，k =二2。 n -12 二 j:， n-he z)2 二en -1F一仃nz2n-J2 crn dz2,2-：Q |Xi -X|.i 1k £ E |Xi -X | l=kn2二'n 1<7n2n(n -1)8、 . 992.16