建筑力学高职10

1、主要内容：主要内容：压杆压杆稳定的概念；稳定的概念； 细长压杆临界力的欧拉公式；细长压杆临界力的欧拉公式； 压杆的稳定计算；压杆的稳定计算； 提高压杆稳定的措施。提高压杆稳定的措施。 10.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 轴心受压杆件（压杆）的承载能力：轴心受压杆件（压杆）的承载能力：对于对于粗短杆件粗短杆件（截面尺寸较大，纵向长度较（截面尺寸较大，纵向长度较小），横截面上的应力超过材料的极限应力时，小），横截面上的应力超过材料的极限应力时，会会因抗压强度不足而因抗压强度不足而破坏（破坏（丧失承载能力丧失承载能力）。）。对于对于细长杆件细长杆件（截面尺寸较小，纵向长度较（截面尺寸较小，纵向长

2、度较大），在横截面上的应力远低于材料的极限应大），在横截面上的应力远低于材料的极限应力时，会力时，会因突然产生显著的弯曲变形因突然产生显著的弯曲变形而而丧失承丧失承载能力载能力。例：例：钢尺受压时的变形钢尺受压时的变形 压杆的力学模型：压杆的力学模型： 将压杆看作将压杆看作轴线为直线轴线为直线，且，且压力作用线与轴线重合压力作用线与轴线重合的均质等的均质等直杆。直杆。 把杆轴线存在的初曲率、压把杆轴线存在的初曲率、压力的作用线偏离轴线、材质不均力的作用线偏离轴线、材质不均匀等因素，抽象为匀等因素，抽象为使杆产生微小使杆产生微小弯曲变形的微小的横向干扰弯曲变形的微小的横向干扰。 压杆的平衡状态（

3、压杆的平衡状态（Fcr：临界力：临界力）（c）急剧弯曲破坏急剧弯曲破坏失稳失稳（a） 稳定的平衡状态稳定的平衡状态（b）不稳定的不稳定的平衡状态平衡状态（临界（临界平衡状态平衡状态） 临界力临界力Fcr是压杆保持是压杆保持直线形状平衡状态直线形状平衡状态所所能承受能承受的最大压力的最大压力，也是压杆处于，也是压杆处于微弯形状平衡微弯形状平衡状态状态所需所需的最小压力的最小压力。 压杆在开始失稳时杆的应力，可按轴向拉、压杆在开始失稳时杆的应力，可按轴向拉、压杆的应力公式计算，即：压杆的应力公式计算，即：crcrFA 式中：式中：A 压杆的横截面面积；压杆的横截面面积； cr 压杆的压杆的临界应力

4、临界应力。魁北克大桥坍塌事故魁北克大桥坍塌事故10.2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式10.2.1 两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力 假定在临界力假定在临界力Fcr作用下两端铰支的压作用下两端铰支的压杆处于杆处于微弯形状的平微弯形状的平衡状态衡状态，并假设中心，并假设中心受压直杆失稳时只发受压直杆失稳时只发生平面弯曲变形。通生平面弯曲变形。通过建立并求解压杆挠过建立并求解压杆挠曲线的近似微分方程曲线的近似微分方程就可以确定临界力就可以确定临界力Fcr。 22crlEIF 两端铰支细长压杆临界力的计算公式两端铰支细长压杆临界力的计算公式: 10.2.2 其他杆端

5、约束下细长压杆的临界力其他杆端约束下细长压杆的临界力 细长压杆的临界力统一计算公式（细长压杆的临界力统一计算公式（欧拉公式欧拉公式）：）： 2cr2()EIFl 式中的式中的称为压杆的称为压杆的长度因数长度因数，l称为压杆的称为压杆的相当长度相当长度。表表10.1 四种典型细长压杆的临界力四种典型细长压杆的临界力 【例例10.1】 一长一长l=4 m，直径，直径d=100 mm的细长钢压的细长钢压杆，在杆，在xy平面内为两端铰支，在平面内为两端铰支，在xz平面内为为一端铰平面内为为一端铰支、一端固定。已知钢的弹性模量支、一端固定。已知钢的弹性模量E=200 GPa，求此，求此压杆的临界力。压杆

6、的临界力。4441244m10049. 064m1010064dI【解解】钢压杆圆形截面的惯性矩为：钢压杆圆形截面的惯性矩为：22944cr2226200 10 Pa0.049 10 m=()1 4m=0.6 10 N600kNEIFl 由临界力是使压杆失稳所需的最小压力：由临界力是使压杆失稳所需的最小压力： 在在xy平面内的杆端约束为两端铰支，平面内的杆端约束为两端铰支， =1 在在xz平面一端铰支、一端固定，平面一端铰支、一端固定， =0.7 故失稳将发生在故失稳将发生在xy平面内，应取平面内，应取 =1【例例10.2】图示一两端铰支的细长木柱，己知柱图示一两端铰支的细长木柱，己知柱长长l

7、=3m，横截面为，横截面为80mm140mm的矩形，木材的矩形，木材的弹性模量的弹性模量E =10 GPa。求此木柱的临界力。求此木柱的临界力。2cr229-84222()10 10 Pa597.3 10 m(1 3) m655 10 N65.5kNyEIFl 计算临界力计算临界力Fcr：344484140 80mm =597.3 10 mm =597.3 10 m12yI【解解】 因为临界力是使压杆产生失稳所需要的最因为临界力是使压杆产生失稳所需要的最小压力，所以小压力，所以 I 应取应取Imin=Iy，10.3 欧拉公式的适用范围与经验公式欧拉公式的适用范围与经验公式10.3.1 欧拉公式

8、的适用范围欧拉公式的适用范围 欧拉公式只有当欧拉公式只有当材料处于线弹性范围内材料处于线弹性范围内（即（即临界应力临界应力cr不大于材料的比例极限不大于材料的比例极限p）时才能使时才能使用用。 欧拉公式可以改写为：欧拉公式可以改写为：22crcr22( l)FEIEAAli 压杆横截面的压杆横截面的惯性半径惯性半径。IiA则欧拉公式可改写为：则欧拉公式可改写为：22crE 称为压杆的称为压杆的柔度柔度或或长细比长细比。由上式，欧拉公式的适用范围为由上式，欧拉公式的适用范围为 ：2p2 E或或 2p E=li p 是对应于比例极限的柔度值。是对应于比例极限的柔度值。 综上可知，只有柔度综上可知，

9、只有柔度 p 的压杆，才能的压杆，才能用欧拉公式计算其临界力。柔度用欧拉公式计算其临界力。柔度 p 的压杆的压杆称为称为大柔度压杆大柔度压杆或或细长压杆细长压杆。 令 2pp E cr 关系曲线（关系曲线（欧拉曲线欧拉曲线）2pp E22crE10.3.2 抛物线公式抛物线公式 y，可知压杆将在，可知压杆将在xy平面内失稳。平面内失稳。 2）计算压杆的临界力。）计算压杆的临界力。 因因 z=86.6 C=123，故采用抛物线公式计，故采用抛物线公式计算压杆的临界应力：算压杆的临界应力： cr=235 0.00668 2 =185 MPa 压杆的临界力为：压杆的临界力为： Fcr=cr A =1

10、85106Pa8010350103m2 =740103 N=740 kN 10.4 压杆的稳定计算压杆的稳定计算 10.4.1 安全因数法安全因数法 为了保证压杆能够安全地工作，要求压杆承为了保证压杆能够安全地工作，要求压杆承受的压力受的压力F应满足：应满足： crstt sFFFn 上式两边同时除以横截面面积上式两边同时除以横截面面积A，得：得： ststst FAn式中：式中：nst 稳定安全因数稳定安全因数； F st 稳定许用压力；稳定许用压力； st 稳定许用应力。稳定许用应力。 上面两式称为压杆的上面两式称为压杆的稳定条件稳定条件。 10.4.2 折减因数法折减因数法 将稳定条件安

11、全因数法中的稳定许用应力将稳定条件安全因数法中的稳定许用应力 st写成材料的强度许用应力写成材料的强度许用应力 乘以一个随压杆乘以一个随压杆柔度柔度 而改变且小于而改变且小于1的因数的因数 = ( ) ，即：，即： st= 上式中的上式中的 称为压杆的称为压杆的折减因数折减因数或或稳定因数稳定因数。由此可得折减因数法的稳定条件为：由此可得折减因数法的稳定条件为： FA 折减因数折减因数 可以在相关设计规范中查得。可以在相关设计规范中查得。【例例10.4】图示木屋架中图示木屋架中AB杆的截面为边长杆的截面为边长a=110mm的正方形，杆长的正方形，杆长l=3.6m，承受的轴向压，承受的轴向压力力

12、F=25 kN。木材的树种强度等级为。木材的树种强度等级为TC13，许用，许用应力应力 =10MPa。试校核。试校核AB杆的稳定性（只考杆的稳定性（只考虑在桁架平面内的失稳）。虑在桁架平面内的失稳）。 110mm31.75mm1212ai 31 3.6 10113.431.75li228000.218326225 10 N2.066 MPa 2.18MPa11010 mFA 【解解】正方形截面的惯性半径为：正方形截面的惯性半径为：AB杆杆在桁架平面内两端为铰支，故在桁架平面内两端为铰支，故 =l 。AB杆的柔度为杆的柔度为：折减因数折减因数 为：为：AB杆的工作应力为：杆的工作应力为： 因此因

13、此AB杆是稳定的。杆是稳定的。10.5 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施1、合理地选择材料合理地选择材料 对于大柔度压杆，临界应力对于大柔度压杆，临界应力 cr= ，因此，因此采用采用E值较大的材料能够增大临界应力，提高稳值较大的材料能够增大临界应力，提高稳定性。定性。 对于中、小柔度压杆，从计算临界应力的抛对于中、小柔度压杆，从计算临界应力的抛物线公式可以看出，采用强度较高的材料能够提物线公式可以看出，采用强度较高的材料能够提高临界应力，高临界应力，从而从而提高稳定性。提高稳定性。 22 E2、减小压杆的柔度、减小压杆的柔度 从压杆的临界应力总图得知，压杆的柔度从压杆的临界应力总图得知，压杆的柔度 = 越小，其临界应力越大，压杆的稳定性越越小，其临界应力越大，压杆的稳定性越好。为了减小柔度好。为了减小柔度,可以采取如下措施。可以采取如下措施。（1）加强杆端约束）加强杆端约束 压杆的杆端约束越强，压杆的杆端约束越强， 值就越小，值就越小， 也就也就越小。越小。li（2）减小杆的长度）减小杆的长度 杆长杆长l越小，则柔度越小，则柔度 越小。在工