复变函数与积分变换第一讲

1、课程名称课程名称复变函数复变函数教教 材材复变函数复变函数(四版四版)总总 学学 时时2733学时学时课程简介课程简介对对 象象复变函数（自变量为复数的函数）复变函数（自变量为复数的函数）主要任务主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。具体地就是复数域上的微积分。主要内容主要内容复变函数的积分、级数、留数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射等。共形映射等。复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、学习方法复变函数中许多概念、理论、和复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它

2、们之间有许多相似广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结意复数域上特有的那些性质与结果。果。背景背景复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上

3、长时期人们把复数得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的看作不能接受的“虚数虚数”。直到十八世纪，。直到十八世纪，J.DAlembert(1717-1783)J.DAlembert(1717-1783)与与L.Euler(1707-1783)L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。接受

4、，复变函数论才能顺利建立和发展。复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy A.L.Cauchy （1789-1866)1789-1866)和和K.Weierstrass(1815-K.Weierstrass(1815-1897)1897)分别应用积分和级数研究复变函数，分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann (1826-1866)G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照性研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变

5、函数形成了非常系统的理论，且渗透到大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。电学等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。支的联系也日益密切。第一讲复数CH1 A 一般一般, , 任意两个复数不能比较大小。任意两个复数不能比较大小。1. 复数的概念复数的概念 定义定义 对任意两实数对任意两实数

6、x、y ,称称 z=x+iy 或或 z=x+yi为复数。为复数。称称为为虚虚数数单单位位。其其中中ii,1 2 复数复数z 的实部的实部 Re(z) = x ; 虚部虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)0|22 yxz 复数的模复数的模0)Im()Re(0,222111212121 zzziyxziyxzyyxxzz其中其中 判断复数相等判断复数相等定义定义 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：的和、差、积和商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)

7、+i(x2y1+x1y2)0(|222211222212121 zzyxyxizyyxxzzz2. 代数运算代数运算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .运算规律运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同与实数相同）即，）即，2121)()1(zzzz 2121)(zzzz 2121)(zzzz zz )2(2|1zzz 22222)Im()Re()3(zyxzzzz )Im(2 )Re(2)4(zizzzzz 3

8、.共轭复数共轭复数定义定义 若若z=x+iy , 称称 z=x-iy 为为z 的共轭复数的共轭复数.(conjugate).,)( ,43,55:1212121虚部虚部及它们的实部及它们的实部求求设设例例zzzziziz iizz4355:21 解解411:2 ii求求例例iiiiiii )1)(1 ()1)(1 (11=1)43)(43()43)(55(iiii 25535i 51)(Im,57)(Re,51)Im(,57)Re(21212121 zzzzzzzz57 i 57)(21izz )(.,0 . 30111现现实实多多项项式式的的零零点点成成对对出出也也是是其其根根则则的的根根是

9、是实实系系数数方方程程证证明明若若例例zaxaxaxaznnnn 22212212212:.4zzzzzz 证证明明例例也也是是其其根根。）（证证：zazazazaazazazannnnnnnn 001110111）（）（）（）（左左边边证证：21212121zzzzzzzz ）（）（）（）（21212121zzzzzzzz 右右边边，得得证证）（ 22212211222zzzzzz& 1. 点的表示点的表示& 2. 向量表示法向量表示法& 3. 三角表示法三角表示法& 4. 指数表示法指数表示法2 复数的表示方法复数的表示方法1. 点的表示点的表示),(yxi

10、yxz一一对对有有序序实实数数易易见见， ),(),(),(yxPiyxzyxyxP平平面面上上的的点点一一对对有有序序实实数数任任意意点点系系，则则在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐标标 此此时时，表表示示的的点点，可可用用平平面面上上坐坐标标为为复复数数.)(Pyxiyxz 平平面面复复平平面面或或平平面面虚虚轴轴轴轴实实轴轴轴轴zyx)(yxPiyxz，复复平平面面上上的的点点 点的表示：点的表示：A 数数z与点与点z同义同义. .,)(iyxzOPyxOPyxPiyxz 表表示示可可用用向向量量，点点2. 向量表示法向量表示法A 00 OPzArgzyxrOPz记记作作辐辐角角模模：

11、 :,|22oxy(z)P(x,y)rz xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；以正实轴为始边以正实轴为始边, 以以 为终边的角的为终边的角的弧度数弧度数 称为复数称为复数z=x+iy的的辐角辐角.(z0时时)OP向向量量辐角无穷多：辐角无穷多：xyArgzz/)tan(0 时，时， 0把其中满足把其中满足 的的0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作A z =0 =0 时，辐角不确定。时，辐角不确定。 0, 00, 0arctan0, 02, 0arctanargyxyxxyyxRyxxyz 计算计算argz(z0) 的公式的公式ZkkAr

12、gz ,20 zarg0 A 当当z 落于一落于一, ,四象限时，不变。四象限时，不变。 A 当当z 落于第二象限时，加落于第二象限时，加 。 A 当当z 落于第三象限时，减落于第三象限时，减 。 2arctan2 xy oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z112121212)(:zzzzzzzz 三三角角不不等等式式由由此此得得由向量表示法知由向量表示法知之间的距离之间的距离与与点点2112zzzz 3. 三角表示法三角表示法)sin(cos irz 得得由由 sincosryrx4. 指数表示法指数表示法得得公式公式再由再由 sincos:ieEuleri irez 引进复数的几何

13、表示，可将平面图形用复数方程引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。例例1 用复数方程表示用复数方程表示:（1）过两点）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；的直线；（2）中心在点）中心在点(0, -1), 半径为半径为2的圆。的圆。oxy(z)Lz1z2z解解 （1） z=z1+t (z2-z1) （t 0为半径为半径的圆的圆 (或或 ) 内部的内部的点点的集合称为点的集合称为点 z 0 的的 （去心去心）邻域）邻域

14、 。记为记为(z0 , ) 即，即，),(0 zUo)0),(00zzzzUo),(00 zzzzU设设G是一平面上点集是一平面上点集内点内点 对任意对任意z0属于属于G，若存在，若存在(z 0 , )， 使该邻使该邻域内的所有点都属于域内的所有点都属于G，则称，则称z 0是是G的内点。的内点。0z 0zz 00zz 开集开集 若若G内的每一点都是内的每一点都是 内点，则称内点，则称G是开集。是开集。.的的折折线线连连接接属属于于中中任任意意两两点点均均可可用用完完全全DD连通连通是指是指区域区域 设设 D是一个开集，是一个开集， 且且D是连通的，称是连通的，称 D是一个区域。是一个区域。D-

15、区域区域边界与边界点边界与边界点 已知点已知点P不属于不属于D，若点，若点P的任何的任何邻域中都包含邻域中都包含D中的点及不属于中的点及不属于D的点，则称的点，则称P是是D的边界点；的边界点；0z 内点内点外点外点D的所有边界点组成的所有边界点组成D的边界。的边界。1z2zP有界区域与无界区域有界区域与无界区域若存在若存在 R 0, 对任意对任意 z D, 均有均有zG=z | |z|R，则，则D是有界是有界区域区域；否则无界。；否则无界。闭区域闭区域 区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域,.D记记为为.,00为为半半径径的的圆圆内内所所有有的的点点以以为为圆圆心心表表示

16、示以以rzrzz .xyzz轴轴的的直直线线轴轴和和表表示示分分别别平平行行于于 Im,Re.,.,1020201几几个个点点只只是是边边界界增增加加了了一一个个或或它它仍仍然然是是区区域域几几个个点点如如果果在在其其中中去去掉掉一一个个或或组组成成它它的的边边界界由由两两个个圆圆周周而而且且是是有有界界的的表表示示一一个个圆圆环环rzzrzzrzzr .0Im,0Re表表示示下下半半复复平平面面表表示示右右半半复复平平面面 zz2. 简单曲线（或简单曲线（或Jardan曲线曲线),)()(),()()(baCtytxbtatyytxx 、实实变变函函数数表表示示为为：平平面面上上一一条条连连

17、续续曲曲线线可可令令z(t)=x(t)+iy(t) atb ;则曲线方程可记为：则曲线方程可记为：z=z(t)， atb.0)( )( ,)( )( 22则则称称该该曲曲线线为为光光滑滑的的且且、若若 tytxbaCtytx有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。重点重点 设连续曲线设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于对于t1(a，b), t2 a, b,当当t1t2时，若时，若z(t1)=z(t2)，称称z(t1)为曲线为曲线C的重点。的重点。 定义定义 称称没有重点没有重点的连续曲线的连续曲线C为简单曲线或为简单曲线或 Jardan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称此曲线此曲线C是简单是简单闭闭曲线或曲线或Jordan闭闭曲线曲线 。 z(a)=z(b)简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线3. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， ta，b，把复，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为界区