数学分析 第二章 数列极限1-2

1、2021-11-111割圆术割圆术刘徽刘徽如何用渐近的方法求圆的面积如何用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S. .“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣不可割，则与圆周合体而无所失矣”第二章第二章 数数 列列 极极 限限概念的引入2021-11-112A1A2A3A1表示圆内接正表示圆内接正6边形面积边形面积,A2表示圆内接正表示圆内接正6 2边形面积边形面积,A3表示圆内接正表示圆内接正6 22边形面积边形面积,An=圆内接正圆内接正6 2n-1边形面积边形面积 ,

2、. . 显然显然n越大越大, An越接近于越接近于S. . 因此因此, 需要考虑当需要考虑当n时时, An的变化趋势的变化趋势. . ? 2RAn 121262sin21 26 nnR 2021-11-113极限的重要性极限的重要性（1） 极限是一种思想方法极限是一种思想方法（2）极限是一种概念）极限是一种概念（3） 极限是一种计算方法极限是一种计算方法 从认识有限到把握无限从认识有限到把握无限 从了解离散到理解连续从了解离散到理解连续 微积分中许多概念是微积分中许多概念是用极限定义的用极限定义的许多许多物理、几何量需要用极限来求物理、几何量需要用极限来求2021-11-114一、数列一、数列

3、nanRNf : 函函数数称称 f 或或 f(n)=an为一个数列为一个数列.简记为简记为an, an称为数列的通项。称为数列的通项。简单地说，数列就是排成一列的数。简单地说，数列就是排成一列的数。例如例如,2 , 8 , 4 , 2n,21,81,41,21n21 n2 n 1 ,1 ,1 ,1 1 2021-11-115 例例1 1（1） a, aq, aq2, aq3, , aqn-1,. 其中其中a,q为常数且为常数且q 0。一般项公式为。一般项公式为;,)1( , 1 , 1, 11 n:)1(1 n:)1(1nnn （2）（3）xn = aq n-1。此数列简记为。此数列简记为 a

4、qn-1 。,)1(,34,21, 21nnn 2021-11-116 在几何上一个数列可看成实数轴上的一在几何上一个数列可看成实数轴上的一个点列，也可看成实数轴上的一个动点个点列，也可看成实数轴上的一个动点1x2x3x4xnx注：注：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”,81,41,21;,21n直观感觉这个数列越来越接近直观感觉这个数列越来越接近0。2021-11-117 对对 xn: x1 , x2 , x3 , , xn , 二、数列极限的定义1、直观描述、直观描述若随着若随着 n 的无限增大的无限增大(记作记作 n )，有有xn无限接近某个定数无限接近某个定数

5、 a， (允许某些允许某些xn甚甚至全部至全部 xn等于等于a)，则称则称 xn 有极限有极限(为为a)或或收敛收敛(于于 a)，记作，记作:nlimxn= a 或或 xn a (n )2021-11-118问题问题: 怎样用数学语言来精确地刻划怎样用数学语言来精确地刻划数列极限的概念，数列极限的概念， 即表达：即表达：随着项随着项的的下标下标n n无限增大，项无限增大，项xn无限接近无限接近( (或或等于等于) )a？2021-11-119 随着随着n ，xn无限接近常数无限接近常数a. 1. 只要只要 n 足够大（足够大（n 某个某个N），）， 2. | xn-a| 衡量衡量 xn与与 a

6、 的接近程度，的接近程度， 给定给定正数正数 ，不论它有多么小，不论它有多么小， 总可以使总可以使| xn-a| N 时的一切时的一切xn, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就称数列那末就称数列 xn 有有极限极限（为（为 a）, ,或者称数列或者称数列 xn 收敛收敛（于（于 a）, ,记为记为 ,limaxnn 或或 ).( naxn 如果数列没有极限如果数列没有极限, 就说数列是就说数列是发散发散的的.| , 0lim axNnNaxnnn即即2、精确定义、精确定义2021-11-1111注意：注意： 1） （ 0）必须可以任意小，但给定之后）必须可以任意小，但给定之后就确定

7、下来了。因为就确定下来了。因为 可以任意小可以任意小，所以所以 /2，2 ， 2等也是任意小的数。等也是任意小的数。 2）N与与 有关。有关。 3）若）若N( )存在，则必不唯一。存在，则必不唯一。 4）几何解释：）几何解释：x2 Nx1 Nx 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn 2021-11-1112数列极限的另一种定义：数列极限的另一种定义：.),(,0 aaaUn收收敛敛于于有有限限个个，则则称称数数列列之之外外数数列列中中的的项项至至多多有有若若在在 .),(,0 00aaaUn一

8、一定定不不收收敛敛于于无无限限项项，则则数数列列之之外外有有数数列列中中的的若若在在若若 这里的这里的“U(a, )之外至多有有限个之外至多有有限个”不不等等 价于价于“U(a, )之内有无限多个之内有无限多个”。注注1：注注2：U(a, )之内包含了几乎所有的项之内包含了几乎所有的项2021-11-1113 5) 收敛性和极限值都与数列中收敛性和极限值都与数列中有限个有限个项无关。项无关。可以任意改动、增删数列中可以任意改动、增删数列中有限个有限个项，不影项，不影响其收敛性和极限值。响其收敛性和极限值。 数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：注意：2021-

9、11-1114例例3. 1)1(lim 1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n即即所以所以,，取取1 N,时时则当则当Nn 1)1(1nnn总总有有. 1)1(lim1 nnnn2021-11-11152021-11-1116总结：总结：0. 1 的三步曲的三步曲验证验证aann limN . 2 aan满足：满足：. 3 aan )( fn )( fN 的定义的定义aann lim2021-11-1117例例4 4 对对xn= ， 证明证明 。证证2)1()1( nn0lim nnx因为因为 | xn - 0| =2)1

10、(1 n 11 nn而而证毕。证毕。注：注：n1 ，故故取取1 N。则则取取11 N11)1(1 2 nn若由若由 0,0nxNn.0lim nnx故故称为称为: 放大法放大法适适当当不不唯唯一一；. 2. 1N n2021-11-1118例例证证明明任给定任给定 0，739127391200 nnnnnx证毕。证毕。注注: (1)式还可式还可适当放大适当放大)1(9292791223 nnnn，故故取取92 N 0 xnNn时时，当当0lim nnxnnnnn1631153lim207912lim1223 nnnnnnnn），）2021-11-1119例例证证明明任

11、给定任给定 0， 1nx证毕。证毕。63562 nnn,54max ，故故取取 N 1xnNn时时，当当.1lim nnx1631153lim222 nnnnn）62356623115231 nnnnnnn n75 nnn 23227nn n4 2021-11-1120例例5 5. 1, 0lim qqnn其其中中证证明明证证, 0 任给任给,0 nnqx要要使使,lnln qn即即,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有证毕。证毕。. 0lim nnq,lnlnqn 只只要要;00limlim nnnq则则, 0 q若若, 10 q若若，取取|lnlnqN 2021-11-1121例例6.li

12、m, 0lim, 0axaxxnnnnn 求证求证且且设设证证, 0 .limaxnn ,limaxnn , axNnNn时时，恒恒有有使使得得当当axaxaxnnn 从而有从而有aaxn ，a ， a 1,1 axn， a12021-11-1122例例7)0( . 1limaann求证证法一证法一当当a=1时，显然成立。时，显然成立。,1, 01 na欲使欲使, 1 a设设, 11 na只要只要),1ln(ln1 an即即,ln)1ln(1 an 即即,)1ln(ln an即即，取取)1ln(ln aN,1, 01 naNnN时，有时，有当当故故2021-11-1123,110baa 时，令

13、时，令当当, 1 b则则 . 11lim1limlim nnnnnnbba这时这时)1( . 1lim aann即即2021-11-1124nnnnbnnnnnbannbana!)1()1(! 2)1(! 1221 nnnnnnnnnnnnbaCbaCbaCbaCba 2221100)(证法二证法二)0(11)1 (22nCCnnnnnn2021-11-1125例例7)0( . 1limaann求证当当a=1时，显然成立。时，显然成立。，取取1 aN以下同证法一。以下同证法一。, 1, 11 naa 记记设设. 0 则则na）（由由 1)1(11 nan.111naan ,1,1, 01 na

14、an只要只要欲使欲使,1 an即即 n12021-11-1126例例8发散。发散。证明：证明：)1( n 证证对于任意的数对于任意的数a, 是是发发散散数数列列。）（即即1n -11a()的偶数项或全部项。的偶数项或全部项。中的所有奇数项或所有中的所有奇数项或所有）（之外有之外有，则在，则在取取1),(2100naU .1为极限为极限不以任何数不以任何数）（an 2021-11-1127例例9证证之外的项至多有限项，之外的项至多有限项，落在落在中中和和，故故),(0,limlim aUyxayxnnnnnn 之外的项至多有限项，之外的项至多有限项，中落在中落在从而从而),( aUzn.lima

15、znn 故故.lim,:z,limlim2211nazyxyxyxayxnnnnnnnn 证明证明作作设设2021-11-1128为无穷小数列。为无穷小数列。若若定理定理lim :aaaannn 为无穷小数列。为无穷小数列。则称则称若若定义定义, 0lim :2nnnaa 2021-11-1129一、唯一性一、唯一性定理定理 2 收敛的数列只有一个极限收敛的数列只有一个极限. . 收敛数列的性质收敛数列的性质ab()(2021-11-1130例如例如,，数列数列1 nnxn，数列数列nnx2 从几何上看：从几何上看： 有界有界；无界。无界。二、有界性二、有界性2021-11-1131定理定理3

16、 3 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .二、有界性二、有界性2021-11-1132 数学学习真正悲哀的就是，记住了某个神奇数学学习真正悲哀的就是，记住了某个神奇而伟大的定理，看懂了其最严密的推导过程，但而伟大的定理，看懂了其最严密的推导过程，但却始终没能直观地去理解它。虽然严密的推导是却始终没能直观地去理解它。虽然严密的推导是必要的，直观理解往往是不准确的，但如果能悟必要的，直观理解往往是不准确的，但如果能悟出一个让定理一瞬间变得很显然的解释，这不但出一个让定理一瞬间变得很显然的解释，这不但是一件很酷的事，而且对定理更透彻的理解和更是一件很酷的事，而且对定理更透彻的理解和更熟练的运用

17、也很有帮助。熟练的运用也很有帮助。这就是我们称为的这就是我们称为的直观思维直观思维 我们经常能把一个定理啃下来，但是还是觉得我们经常能把一个定理啃下来，但是还是觉得对这个定理依然云里雾里的。对这个定理依然云里雾里的。2021-11-1133定理定理3 3 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时时，恒恒有有使使得得当当则则|aaxxnn ,1| ,max1 axxMN记记,Mxnn 皆皆有有则则对对一一切切自自然然数数 证证毕毕。有有界界故故 .nx推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .二、有界性二、有界性|

18、aaxn . |1a 2021-11-1134例例8 8 n+(-1)nn: 0, 4, 0, 8, 0, 12, 是无界的是无界的, 注意注意收敛收敛有界有界;发散发散无界无界.收敛收敛有界有界;发散发散无界无界. n+(-1)nn 发散发散. .)1(1是是有有界界的的、发发散散的的数数列列 nnx2021-11-1135三、保号性三、保号性定理定理4 4.,),0 ,(, 0limaaNnNaaaannn 有有则则若若0aa证证设设a 0,.,),0aaaNnNaan 有有则则（取取a 0 同理可证。同理可证。.,), 0(, 0limaaNnNaaaannn 有有则则若若2021-11

19、-1136四、不等式性四、不等式性定理定理5 5证证,lim ,limbbaannnn 设设, 011 aaaNnNn有有使使,22 bbaNnNn有有使使有有则当则当取取,max210NnNNNN nnba , b a,2 ba由此得由此得.,ba 得得的任意性的任意性由由 .limlimnnnnba 即即 收敛，收敛，设设nnba,nnba 且且.limlimnnnnba 则则2021-11-1137问题：问题：?limlim,nnnnnnnnbababa 是否有是否有换成换成若若但但有有如如,2,1nnnnbanbna . 0limlim nnnnba2021-11-1138五、四则运算

20、法则五、四则运算法则收敛，收敛，和和设设nnba.limlim)(lim nnnnnnnbaba 则则.limlim)(limnnnnnnnbaba . 0lim .limlim)(lim nnnnnnnnnbbaba这里这里.lim)(limnnnnacca .)lim()(limknnknnaa 2021-11-1139nnba 则则发发散散收收敛敛，设设. 1nnba说明说明：;发发散散仅仅可可推推广广到到有有限限项项；. 2不不能能参参加加运运算算。 . 32021-11-1140六、迫敛性（夹逼准则）六、迫敛性（夹逼准则）定理定理6 6,limlim00nnnnnnnbcaNnNab

21、a 有有且且.limacnn 则则证证,limlim, 0abannnn 由由 ,11naaNnN 有有,22 abNnNn有有有有则当则当取取,max210NnNNNN nnnbca a, a.| acn从而从而.limacnn 即即2021-11-1141例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由迫敛性得由迫敛性得. 1)12111(lim222 nnnnn等于极限的和等于极限的和2021-11-1142nnnnbnnnnnbannbana!)1(

22、)1(! 2)1(! 1221 nnnnnnnnnnnnbaCbaCbaCbaCba 2221100)(注：注：1) 1) 求求n项和项和的数列极限时常用迫敛性。的数列极限时常用迫敛性。 2) 2) 使用迫敛性有时需要对极限值有个猜测。使用迫敛性有时需要对极限值有个猜测。2021-11-1143解：解：02 nlimn又又例例2 求求nnn lim,1 nngn 令令. 0 ng则则nnknknnnnnnnggCgCgCgn 2211)1( 由由2222111nnng)n(ngC 02112 ng)n(nn022 ngn02 nnglim0 nnglim. 1lim nnn2021-11-11

23、44解：解：由迫敛性得由迫敛性得nnnnnnn 21! n1 01 nlimn且且. 0 nnn!nlim 例例3 求求nnn!nlim 0 2021-11-1145例例4 4.lim01110111bnbnbnbanananakkkkmmmmn求求为为非非负负整整数数时时和和当当 , 0, 000kmba 解解时，当km 01mmmmmmmmnbanbnbbnanaa)(lim011011原式时，当km 020)(lim011011kkkkkmmkmmnnbnbbnanana原式2021-11-1146例例4 4.lim01110111bnbnbnbanananakkkkmmmmn求求为为非

24、非负负整整数数时时和和当当 , 0, 000kmba 时，当km 03原式. ,; , 0 ; ,00mkmkmkba 2021-11-1147221limnnn 如如.0 113)2(3)2(lim nnnnn1)32(3131)32(lim1 nnn.31 2021-11-1148例例5 5 求求)21(lim222nnnnn 222221lim)21(limnnnnnnnn 解解先变形再求极限先变形再求极限. .2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 ) )通通分分( (四则运算法则四则运算法则夹逼定理失效夹逼定理失效2021-11-1149例例6 6 求求)1(li

25、mnnnn 解解)1(limnnnn nnnn 1lim1111lim nn.21 2021-11-1150七、子数列的收敛性七、子数列的收敛性 ）（或或的的的的一一个个数数列列称称为为原原数数列列到到中中的的先先后后次次序序，这这样样得得这这些些项项在在原原数数列列保保持持中中任任意意抽抽取取无无限限多多项项并并定定义义：在在数数列列子子列列子子数数列列nnnxxx： 1nnx,21knnnxxx .knnxxkxxkknnnnkkk 项，显然，项，显然，中却是第中却是第在原数列在原数列而而项，项，是第是第中，一般项中，一般项在子数列在子数列注意：注意：例如，例如，,2121knnnxxxxx： 1knkx2021-11-1151平凡子列：平凡子列：在在xn中去掉有限项之后得到的子列。中去掉有限项之后得到的子列。非平凡子列：非平凡子列：不是平凡子列的子列。不是平凡子列的子列。奇