2016年大题考前练第一部分:立体几何部分解答题(解析版)_第1页
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文档简介

1、第一部分:立体几何解答题一、平行冋题1. (2015北京,18)如图,在三棱锥 VABC中,平面 VAB丄平面ABC,AVAB为等边三角形,AC丄BC,且 AC= BC= .;2, O, M分别为AB,VA的中点.(1) 求证:VB/平面 MOC;(2) 求证:平面 MOC丄平面VAB;(3) 求三棱锥VABC的体积.解 (1)因为O,M分别为AB,VA的中点, 所以 OM / VB,又因为VB?平面MOC, 所以VB/平面MOC.因为AC= BC, O为AB的中点,所以OC丄AB.又因为平面 VAB丄平面ABC, 且 OC?平面ABC,所以OC丄平面VAB.所以平面MOC丄平面VAB.(3)

2、在等腰直角三角形 ACB中,AC= BC= 2,所以 AB = 2, OC= 1,所以等边三角形VAB的面积 Svab= ;3. 又因为OC丄平面VAB 所以三棱锥CVAB的体积等于13 OC Savab=又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等, 所以三棱锥VABC的体积为专.2. (2015广东,18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PD = PC = 4, AB= 6, BC= 3.(1) 证明:BC/平面PDA;(2) 证明:BC丄PD;求点C到平面PDA的距离.解(1)因为四边形ABCD是长方形,所以BC/ AD,因为BC?平面PDA, A

3、D?平面PDA,所以BC /平面PDA.(2)因为四边形 ABCD是长方形,所以BC丄CD,因为平面PDC丄平面ABCD, 平面PDC G平面ABCD = CD, BC?平面ABCD ,所以BC丄平面PDC,因为PD?平面PDC,所以BC丄PD.取CD的中点E,连接AE和PE.因为PD = PC,所以PE丄CD,在RtAPED 中,PE= jPD2 DE2= 42-32= .因为平面 PDC丄平面 ABCD,平面 PDCA 平面ABCD = CD , PE?平面PDC,所以PE丄平面 ABCD,由(2)知:BC丄平面 PDC,由知:BC/ AD,所以AD丄平面PDC,因为PD?平面PDC,所以

4、AD丄PD.1设点C到平面PDA的距离为h,因为V三棱锥CPDA = V三棱锥PACD,所以3&PDA h =3&ACD PE,8ACD PEPDA12x 3x 62_3百_ 2, 2X 3X 4所以点C到平面PDA的距离是327.3. (2015江苏,16)如图,在直三棱柱 ABCAiBiCi中,已知 AC 丄 BC,BC = CCi.设 ABi 的中点为 D , BiCA BCi = E.求证:(i)DE /平面 AAiCiC;(2)BCi 丄ABi.证明(i)由题意知,E为BiC的中点,又D为ABi的中点,因此DE / AC.又因为DE?平面AAiCiC,AC?平面AAi

5、CiC,所以DE /平面AAiCiC.(2)因为棱柱ABCAiBiCi是直三棱柱,所以CCi丄平面ABC.因为AC?平面ABC,所以AC丄CCi.又因为 AC丄 BC,CCi?平面 BCCiBi,BC?平面 BCCiBi,BCA CCi = C,所以AC丄平面BCCiBi.又因为BCi?平面BCCiBi,所以BCi丄AC.因为 BC = CCi,所以矩形BCCiBi是正方形,因此BCi丄BiC.因为 AC,BiC?平面 BiAC,AC A BiC = C,所以BCi丄平面BiAC.又因为ABi?平面BiAC,所以BCi丄ABi.4. (20i4安徽,i9)如图,四棱锥PABCD的底面是边长为8

6、的正 方形,四条侧棱长均为2.17.点G,E,F, H分别是棱PB,AB, CD,PC上共面的四点,平面 GEFH丄平面 ABCD,BC/平面 GEFH.(1)证明:GH / EF;若EB = 2,求四边形GEFH的面积.(1)证明 因为BC/平面GEFH ,BC?平面PBC,且平面PBCA平面GEFH = GH,所以GH / BC.同理可证因此 GH / EF.解 连接AC, BD交于点O, BD交EF于点K,连接OP, GK. 因为PA= PC, O是AC的中点,所以PO丄AC,同理可得PO丄BD. 又BD A AC = O, 且 AC, BD都在底面内,所以 PO丄底面ABCD.又因为平

7、面GEFH丄平面ABCD,且P0?平面GEFH,所以PO /平面GEFH.因为平面PBDA平面GEFH = GK,所以PO / GK, 且 GK丄底面ABCD, 从而GK丄EF.所以GK是梯形GEFH的高.由 AB = 8, EB= 2得 EB : AB= KB : DB = 1 : 4, 从而KB = 4-DB = 2oB,g卩K为0B的中点.再由PO / GK得GK = 1PO,即G是PB的中点,且 GH = 1BC = 4.由已知可得 0B = 4 2 P0= ,PB2-0B2=68 32 = 6,所以 GK = 3. 故四边形 GEFH 的面积 S= GH;EF gk = 4j2-8x

8、 3= 18.a5. (2013新课标全国II , 18)如图,直三棱柱 ABCAiBiCi中,D, E分 别是AB, BB1的中点.(1)证明:BC1 /平面 A1CD;设AA1 = AC= CB= 2, AB= 2.2,求三棱锥 CA1DE的体积.(1)证明 连接AC1交A1C于点F,则F为AC1中点. 又D是AB中点,连接DF,则BC1 / DF.因为DF?平面A1CD , BC1?平面A1CD,所以BC1 /平面AQD. 解 因为ABCA1B1C1是直三棱柱,所以 AA1丄CD.由已知AC= CB, D为AB的中点,所以CD丄AB.又AA1A AB = A,于是CD丄平面ABB1A1.

9、由 AA1 = AC = CB = 2, AB = 2 .;2得/ ACB= 90°, CD = .;2, A1D = .' 6, DE = .'3,A1E= 3,故 A1D2+ DE2=A1E2,即 DE 丄A1D. 所以 VCA1DE = |x 2x '6X ;'3X 2= 1.二、垂直部分5.(2015新课标全国I , 18)如图,四边形ABCD为菱形,G是 AC与BD的交点,BE丄平面ABCD.(1) 证明:平面AEC丄平面BED;(2) 若/ ABC= 120°, AE丄EC,三棱锥 EACD的体积为 三,求该三棱锥的侧面积.解(1

10、)因为四边形ABCD为菱形,所以AC丄BD.因为BE丄平面ABCD ,所以AC丄BE.故AC丄平面BED.又AC?平面AEC,所以平面 AEC丄平面BED.设AB = x,在菱形ABCD中,由/ ABC= 120°,可得P3xAG= GC= _2x, GB = GD = q.因为AE丄EC,所以在Rt AEC中,可得EG23x.由BE丄平面ABCD,知 EBG为直角三角形, 可得BE #x.由已知得,三棱锥EACD的体积1AC GD BE=£x3=#1 Veacd 3X 故 x 2.从而可得 AE EC ED '6.所以 EAC的面积为3, EAD的面积与厶ECD的

11、面积均为;5. 故三棱锥EACD的侧面积为3+ 2 :5.6. (2015安徽,19)如图,三棱锥 P-ABC中,PA丄平面ABC, PA 1, AB 1, AC 2,/ BAC 60° .(1) 求三棱锥P-ABC的体积;(2) 证明:在线段PC上存在点M ,使得AC丄BM ,并求MC的值.所以三棱锥(1)解 由题设 AB 1, AC 2,/ BAC 60°,13可得 abc 2 AB AC sin 60°于.由PA丄平面ABC,可知FA是三棱锥P-ABC的高,又PA 1.PAC内,过点证明 在平面ABC内,过点B作BN丄AC,垂足为N,在平面N作MN / PA

12、交PC于点M,连接BM.由PA丄平面ABC知PA丄AC,所以MN丄AC. 由于BNP MN = N, 故 AC丄平面MBN , 又 BM?平面MBN,所以AC丄BM.13在 RtA BAN 中,AN = AB cos/ BAC = q,从而 NC = AC AN = q,由 MN / PA, f PM AN 1 得 MC NC 3.7. (2014新课标全国I , 19)如图,三棱柱ABCAiBiCi中,侧 面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且A0丄平面BB1C1C.(1)证明:B1C 丄 AB;若AC丄AB1 , / CBB1 60 ° , BC 1 ,求三棱柱ABCA1B1

13、C1 的高.(1)证明 连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以 B1C丄 BC1.A.BHi又AO丄平面BBiCiC,所以BiC丄AO,又因为BCi n AO = O,所以BiC丄平面 ABO.由于AB?平面ABO, 故 BiC丄AB.解 作OD丄BC,垂足为D,连接AD.作OH丄AD,垂足为H.由于BC丄AO, BC丄OD, AOn OD= O,故 BC丄平面 AOD,所以 OH 丄BC.又 OH 丄AD,所以 OH丄平面ABC.由于AC丄ABi,所以由 OH AD = OD OA,又O为BiC的中点, 的高为丄21.因为/ CBBi = 60°,

14、 所以 CBBi为等边三角形, 又 BC= 1,可得 OD = ¥.i iOA= qBiC= 2且 AD= ;OD2 + OA2 = ¥,得 OH =畐.ABCAiBiCi所以点Bi到平面ABC的距离为.故三棱柱8. (20i3北京,i7)如图,在四棱锥 FABCD中,AB/ CD, AB丄 AD, CD = 2AB,平面FAD丄平面ABCD, FA丄AD.E和F分别是 CD和PC的中点.求证:(1) FA丄底面 ABCD;(2) BE/平面 FAD;(3) 平面BEF丄平面PCD.证明(i)因为平面PAD丄底面ABCD,且FA垂直于这两个平面的交线 AD,所 以PA丄底面

15、ABCD.(2)因为 AB/ CD , CD = 2AB, E 为 CD 的中点, 所以 AB/ DE , 且 AB= DE.所以ABED为平行四边形,所以 BE/ AD.又因为BE?平面FAD, AD?平面PAD, 所以BE /平面PAD.因为AB丄AD,而且ABED为平行四边形, 所以BE丄CD , AD丄CD.由(i)知FA丄底面ABCD,所以 PA丄CD.且 PAnAD = A,所以CD丄平面FAD.所以CD丄PD.因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PD / EF.所以CD丄EF.又 CD丄BE, EF n BE= E,所以CD丄平面BEF.且CD?平面PCD,所以平面BEF丄平面

16、PCD.9. (2015四川,18)个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所 示.(1) 请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2) 判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并证明你的结论.证明:直线DF丄平面BEG.HAH(1)解点F, G, H的位置如图所示.证明 平面BEG /平面ACH,证明如下:因为ABCDEFGH为正方体, 所以 BC/ FG,BC= FG, 又 FG / EH,FG = EH, 所以 BC / EH,BC= EH, 于是BCHE为平行四边形, 所以BE / CH, 又CH?平面ACH, BE?平面ACH, 所以BE /平面ACH

17、, 同理BG /平面ACH , 又 BEG BG= B, 所以平面BEG /平面ACH.(3) 证明连接FH , 因为ABCDEFGH为正方体, 所以DH丄平面EFGH , 因为EG?平面EFGH , 所以DH丄EG, 又 EG丄FH , EGA FH = O, 所以EG丄平面BFHD , 又DF?平面BFHD , 所以DF丄EG, 同理DF丄BG, 又 EGA BG = G, 所以DF丄平面BEG.10. (2012天津,17)如图,在四棱锥 PABCD中,底面 ABCD是矩形,AD丄PD, BC= 1, PC = 2 3, PD = CD = 2.(1)求异面直线FA与BC所成角的正切值;证明平面PDC丄平面ABCD;(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.解 如图,在四棱锥PABCD中,因为底面ABCD是矩形, 所以 AD = BC 且 AD / BC.又因为AD丄PD,故/ PAD为异面直线PA与BC所成的角.PD 又因为 AD丄 PD,在 Rt PDA 中,tan/ PAD =而=2.所以,异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明 由于底面ABCD是矩形,故AD丄CD,又由于 AD 丄 PD,CDA PD = D,因此AD丄平面PDC,而AD?平面ABCD,所以平面PDC丄平面 ABCD.解 在平面PDC内,过点P作PE丄CD交直线CD于点E,连接EB.

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