二维双曲型方程的隐格式解法资料

1、里照学感本科毕业论文（设计）题 目二维双曲线型方程的交替方向隐格式解法院（系）数学系专 业数学与应用数学学生姓名周玲玲学 号10022156指导教师 陈淼超职称 讲师论文字数9500完成日期:2014年6月8日巢湖学院本科毕业论文（设计）诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在导师的 指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本人签名： 日期： 巢湖学院本科毕业论文（设计）使用授权说

2、明本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文（设计） 的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文（设计）工作的知识产权单 位属巢湖学院。学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和电子版，允许毕业论文（设计）被查阅和借阅；学 校可以将毕业论文（设计）的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本 人电子文档和纸质论文的内容相一致。保密的毕业论文（设计）在解密后遵守此规定。本人签名:导师签名:日期：日期：巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）二维双曲型方程的交替方向隐格式解法摘要在解决偏微分方程中二维双曲线型方程的问题求解

3、初边值问题 时，显示格式的稳定性是有条件的，并且多维的稳定性条件更严，为 得到稳定性好的格式，隐式格式受到重视。用隐式格式求解二维问题 得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状，因此求解不甚便利，采用交 替方向隐式（ADI）格式可以避免此问题。本文以基本概念和基本方 法为主，同时结合算例实现算法。第一部分介绍二维双曲线型方程的交替方向隐格式解法的基本概 念，引入本文的研究对象一一二维波动方程： 必=/口，xwR,dt dtt G （0,T第二部分介绍上述方程的二维双曲线型方程的交替方向隐格式 及这种格式的存在性、收敛性与稳定性。第三部分通过算例检验二维双曲线型方程的交替方向隐格式的 可行性。关键词：

4、二维双曲型方程；交替方向隐格式；存在性；收敛性； 稳定性IAlternating direction implicit method for2-D hyperbolic equationAbstractIn solving partial differential equations to solve the two-duneiisional hyperbolic equation m the uutial boundaiy value problem, the stability of the display fbimat is conditionaL and the stability c

5、onditions of multidimensionalinore stiict, in oidei to get the good stability of thescheme, miplicit attention. By usmg implicit scheme for solvmg the two-duneiisional pioblem of linear equationswhose coefficient matnx is a bioad band, thus solving tlienot very convenient, using the alteniatmg duect

6、ion miplicit(ADI) scheme can avoid this problem, hi tlus paper, the basic concepts and basic method, at the same timealgontlun with an example.The first pan is the mtioduction of two dimensionalhypeibolic equation of alteniatmg duection implicit methodbasic concept - two-dimensional wave equation, t

7、he object of study is intioduced in this paper:,The second pan intioduces the existence and stability oftwo dimensional hyperbolic equations, the convergence of the above equation alteniatmg duection implicit schemeand this format.Feasibility of alternating duection miplicit scheme thud part through

8、 the examples to test two-duneiisionalhypeibolic equation.Keywords: hyperbolic equation, alternating direction implicit scheme, existence, convergence, stability摘要IAbstractII1 .前言12 .差分格式的建立21 .1差分格式的求解42 . 1. 1 算例63 .差分格式解的先验估计式84 .差分格式解的存在性、收敛性和稳定性94. 1存在性94. 2收敛性104. 3稳定性12参考文献13致谢14附页15巢湖学院2013届

9、本科毕业论文（设计）1 .前言微分方程有着广泛的自然科学与工程技术的背景，例如热传导问题，流体力 学问题，波动问题都可以用微分方程来刻画。然而，实际的运用中，大部分偏微 分方程的解很难以解析形式表示出来，人们将研究的重心逐渐的向偏微分方程的 数值解方向转移，众多科研家在研究偏微分方程的数值解方面做出了巨大的贡 而K, o变分法，有限差分法与有限元方法是目前运用最为广泛的偏微分方程的数值 解法。其中，有限差分法以其 的特点被广大研究者所认可和研究。然而， 利用有限差分法在求解偏微分方程的时也会有诸多的不足之处，比如不同步长情 况下的稳定性与精度相差很多，因此，经过几代科学家的不懈努力，众多稳定性

10、 好，精度高的差分格式被提出，比如 。在差分格式中，解决偏微分方程中二维双曲线方程的问题求解初边值问题 时，显示格式的稳定性是有条件的，并且多维的稳定性条件更严，为得到稳定性 好的格式，隐式格式受到重视。用隐式格式求解二维问题得到的线性方程组其系 数矩阵为宽带状，因此求解不甚便利，采用交替方向隐式（ADI）格式可以避免 此问题。本文将从基本概念和基本方法入手，通过简单的二维波动方程，介绍二维双 曲线型方程的交替方向隐格式解法及其简单的实际应用，起到初步介绍偏微分方 程数值解法的目的。2 .差分格式的建立作为模型，考虑二维波动方程的初边值问题(5.16-1)(5.16-2)(5.16-3)兰一(

11、"一*=/("2)， (x,y,r)eQx(O,T, dx 廿JXJ /y,0)=队x、y),c"： 9)= (冗),)，(x, y) g Qdt”(x, y,t) = a(x, y,t),(x, y) £ F,0<t<T,其中 O = (0,1) x (0,1),为。的边界，且当(x,y)£时,a (x,y,0) =) x,y),在结点(号X4)处考虑方程(5. 16-1) .由泰勒展开式可得舌U斗:*匕用%+元 /1 <i.j < m -1,l<k<n-l,(5.17-1)U：二秋王，匕)， 0<i

12、,j<m(5.17-2)U；=抬/，力)+ 卬G,X ) +1/ 2卜)陇©,匕)+ %(七,力)+ /(x.,匕,0) + 4,0</J </n,(5.17-3)。%=以(七，为H+J-a®，匕Ht)，(/, j) e /,1<(5.17-4)其中1<Z,Jl<k <n-l,1 6%(xd)1(64(匕，)6«王，力耳),'n =1T12 dt4 4 dx2dt2dy2dt2Vy /J + 24 dx4dx4。大田；,%） + 6%（如叱小l<k <n-i,易，易£ &T ,九+1）

13、,尸 "（；'"）山， 0金力金联且存在常数己使得），l<i,j< m -1,0 < z, j < in,l<i <m-1,0 <z <m,I<k <n-l0 < J < 7,0 < j < in-1,8工6丫吗+2#。2ct(5.18-1)(5.18-2)(5.18-3)(5.18-4)(5.18-5)对定解问题（5. 16-1）（5. 16-3）建立如下差分格式1 < i.j < m -1,l<k <n-i,(5.19-1)二穴工，力）， 0<iJ&

14、lt;m(5.19-2)K =穴,匕）+ W3,匕）+1 / 2r 2 图（演，匕）+ 九（七，匕）+ f（xt,匕,0） + 叼,0</J</w,(5.19-3)。%=?以(七，力Je ) -。(芭，匕Ji月，(/, j) e /,1< </7-1,(5.19-4)(5. 19-4)等价于引=久七,匕八)， Q，J) £ 7，2<2/ < ；5(i，J) £ 八3<2/ + 1<h图5.5.差分格式(5.19-1)(5.19-4)的结点图产二a(xf-) + 说 一 aa, X /),2.1差分格式的求解注意到俨+ 俨,仍-

15、 2力+咪k 1，' £ k+11 ij =十%,可将(5. 19-1)(5. 19-4)写为 6对尸+岑)(孑3对+ *)+ ?毋力第说=于：(5.20)(5.21-1)1 < i.j < m -1,l<k <n-l,令为=1 一学5：力， z 7则有1一?岑1%, = 3； + 5；）力十靖, z 7(5.21-2)当第k 1层、第左层的值（uuO<iJ<m已知时,由（5.21-1）求出过渡层上的值吗,1-1 ：对任意固定的J(1 ( J «机-1),取边界条件/22%= IyS；芽哈， umj = 1- - 6 51哈，(5

16、.22-1)/Z求解I-yJ 许=3； + 5；)+ £ ,l<z,J</z?-l,(5.22-2)得到 M. <w-l .当诟JViJKm l已求出时，由 （5.21-2）求出第k + 1层上”的值俨1 ：对固定的i Q±Y7-1）,取边界条件。心=4以七，）'。，+】）一。（七，）。，仁），（5.23-1）ZT9吐=（。（七,x w+J - a（x,以,*）求解/2 I- -5； 歹 U： = %.1<（5.23-2）2 ）得到岑4，1YmT .最后由俨=一.好+一力t,l<i,j<m-1得到俨(5. 22-1)和(5. 22

17、-2)是关于x方向的隐格式，(5. 23-1)和(5.23-2) 是关于y方向的隐格式.它们均是三对角线性方程组，可用追赶法求解.我们把 (5.21-1)和(5.21-2)称为交替方向隐格式.2.1.1算例用交替方向隐格式(5. 22-1)和(5.22-2)计算定解问题d2u ( d2u d2u y _ 1 d/2a+疔, dt2 , d)2) 20 <x,y < 1,0 <r <1,一*+v)T u(x,y,0) = e2du(x. y0)7(v+y)-f:=-e dt0 <x,y <i 9-VT u(0,y,t) = e2 ，i -V-/ u(xfij)

18、 = e2 ,-(l+v)-r (1, y,t) = e2u(xXt) = e2 ,0 < y < b 0</<l,0<x<l, 0<r <1,1 y / 该定解问题的精确解为 (x, y,/) = e? .表3. 2给出了取h = 1/10" = 1/10时计算得到的部分数值结果.表3. 3给出了 取不同步长时数值解的最大误差邑(")= max |(七,4)一片 |从表3. 3可以看出，当空间步长和时间步长同时缩小到原来的1/2时，最大 误差约缩小为原来的1/4.图3.5和图3.6分别给出了 t=l时精确解得曲面图和取步长

19、h = 1/10" = 1/10所得数值解的曲面图；图3. 7给出了 t=l时取不同步长所得数 值解的误差曲面图.(图与编程见附页)巢湖学院2013届本科毕业论文(设计)表3. 2算例3.1部分结点处数值解，精确解和误差的绝对值(/? = 1/100/ = 1/100)(x,y,t)数值解精确解1精确解-数值解1(0.25,0.25,0.25)1.0000061.0000005.753e-6(0.75,0.25,0.25)1.2840331.2840257.343e-6(0.25,0.75,0.25)1.2840331.2840257.343e-6(0.75,0.75,0.25)1.

20、6487311.6487219.737e-6(0.25,0.25,0.50)0.7788050.7788014.162e-6(0.75,0.25,0.50)1.0000041.0000003.961C-6(0.25,0.75,0.50)1.0000041.0000003.961C-6(0.75,0.75,0.50)1.2840291.2840253.515e-6(0.25,0.25,0.75)0.60653430.60653073.677e-6(0.75,0.25,0.75)0.77880360.77880082.794e-6(0.25,0.75,0.75)0.77880360.7788008

21、2.794e-6(0.75,0.75,0.75)1.00000201.00000001.898e-6(0.25A25.1.00)0.47236140.47236665.194e-6(0.75A25.1.00)0.60652590.60653074.780e-6(0.25,0.75,L00)0.60652590.60653074.780e-6(0.75,0.75,1.00)0.77879660.77880084.166e-6表3.3算例3.1取不同步长时数值解的最大误差七(/?/)hTE00(2/i,4r)/E00(/z,r)1/101/101. 274e-3X1/201/203. 540e-4

22、3.5991/401/409. 519e-53.7191/801/802. 493e-53.8181/1601/1606. 414e-63.8877二维双曲型方程的交替方向隐格式解法93.差分格式解的先验估计式定理 3. 1 设匕：,0<。，<7,0<女<7为而。卢+/ +廿+%二 42-24 /1 < Z, j < in -1,1 < < ii-1,i心=%，0<i,j<mf%=%，0<iJ</nf24=0，）寸，1的解，则对任意步长s（s三7?），有£=”上。+$习）,1人工， 其中=，£（即产）+

23、4产呼+/»差分方程组6sMM=g：(5.24-1)(5.24-2)(5.24-3)<k<n-l,(5.24-4)i2k+L 、£ 5©令-i j=iN ，r j,尸01证明用2/。；匕:乘以（5. 24-1）的两边, /并对i,J求和，得到2/产 £同琛 X。" )一 2外5；-4 Il1十落5M)£>"=2/剂，Z fj=l1,7=1注意到"L1 (k+-2际别3；)=； *2 介。2 /,/=1T1，户】17- +耳“2”性年 /1<</?-1,(5.24-5)21/1211 -

24、乙六人7巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）117n-l-2/£ 5；+ pi尸- + J2-22L22亍（5泡为耳）。"：=八六1I/w-12M a D<hU=1l1l12£(g/+/J£(。")-51U=1、 1l1( 4.J Ywr1I、引屋+金二J +k»2 5人 7i，片人)引 gT + ；9+£i),由5. 25得 Ek + E p人T）引g+g（炉 +。1 < < 77 - 1,二<(+*-+躯 ) 2)l<k <n-l,当42/3时，有Ek卜+|小心+|mT，1 <

25、k <n-l,由Gronwall不等式，可得l<k <n-i,El±C则定理完毕.4,差分格式解的存在性、收敛性和稳定性4.1存在性定理5. 2. 2差分格式（5. 19-1） （5. 19-4）是唯一可解的.二维双曲型方程的交替方向隐格式解法证明差分格式(5.19-1) 其齐次方程组(5.19-4)是线性的.考虑司”，华+力T21 <z j <m-1,1 <Z: <n-1,说=0,0<i,j <m,0<i,j <m,»年=0,(Kj)ey, l<k<n-1.由定理5.2.1,“I /1,->

26、; 4/?2 7H-1 /、工工(即产)+前产|： +叫+彳£。2叫上=。i,尸 1八i,j=(* 2,7 2 >1 < < /7 ,易知*=0,0 < Z, J < 7W,1 < < Z?.因而差分方程组是(5. 19-1) 一一(5. 19-4)唯一可解的.4. 2收敛性定理 5.2.3 设 a(x,y,30Kx,y<L0KYT)为定解问题(5. 16-1) (5.16-3)的解，/几0<左<为差分格式(5. 19-1) (5. 19-4) 的解.记e； = u(x.,y.,tk)-u ,0 < /, j <

27、 m,0<k <n,则对任意的步长比S="/?,有I巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）11咽叫人喉芹衿二 l<k <n-1,其中二由(5. 18-1)(5.18-5)定义.证明 将(5.17-1) (5. 17-4)的分别与(5. 19-1) 得误差方程eA.+1 + gt芭+i + e«T ) /, _后或-用上/+4上言+彳5汽若/1 < ?, j < m -1, l<k <n-1,e； =。，0<i,j <m,q； = 0,0<i,j <m,；4=0，(/, j) g /, l<k<

28、;n-l,由定理5. 2. 1有喝遍3上+小+?半一31 r "T 11 / 、,、T (1/£(eq)2+g 叫 + e。：5/e%51八， q i,尸N>51应用(5. 18-1)(5.18-5)可得唱6同+资叫+/：)出导|士(r2+/2)2,(5.19-4)相减，可ki22,2 AT I /、十%阿)-J 2 JZ /=! rj=l<k <n-l,，7，、，定理证毕.巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）4. 3稳定性定理5.2.4差分格式(5.19-1)(5. 19-4)对任意的步长s在下述意义下对初值和右端函数是稳定的：设丸0工左为差分方程组l

29、<i.j < m -1,l<k <n-l,痔=痣，0<iJ<m,吟=匕，0<iJ<m,D严：=0,J) e /,l<k<n-l,的解，则有n?-lA-+1r4h2+4k+上三H/n-1£ / ), r42 zn-1| A A-1,工”噌针+g武”。l: +工2“4？叫，1,7=1乙'/ r ，,尸0122 / 乙 «=10<k<n-l,证明直接应用定理5. 2. 1.参考文献1陆金甫，关治.偏微分方程数值解法M .北京：清华大学出版社.2004.2LeVeque R J. Numerical M

30、ethods for Conservation Law s. Basel： Bkkliauser Velag , 1990.3徐长发，李红.偏微分方程数值解法M.武汉：华中科技大学出版社.2000.4李荣华.偏微分方程数值解法M.北京：高等教育出版社.2010.5孙志忠，李雪玲.反应扩散方程的紧交替方向的差分方法.计算数学，2005, 27(2): 209 - 224.6R. A. Adams. Sobolev SpacesM. New York： Academic Press, (1975).7张志跃.一类非线性发展方程的交替分段显隐并行数值方法.计算力学学 报，2002, 19(2) :

31、154 - 158.8 Deng D, Zhang Z. A new high-order algontlmi for a class of nonlinear evolution equation. J. Phys.A: Math. Theo., 2008, 41:015202.9 J . C . Xu and J. Zou . Some nonoverlappmg domam decomposition methodsJ. SIAM- Rev, 40(4), (1998), 857-914.10 W. Z. Dai. Compact ADI method for solving parabolicDifferential equationsJ. Nunier. Methods for PDE, 18(2002), 129-142.致谢在我的论文设计过程中，陈淼超老师从选题指导、论文框架到细节修改， 都给予了我细致的指导，提出了很多宝贵的意见与建议，老师以其严谨求实的治 学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精 神对我产生重要影响。同时也感谢和我同组的组员，在设备上和技术上都给了我 很大的帮助。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很 多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！这篇