概率统计第二章1

1、高等院校非数学类本科数学课程脚本编写、教案制作： 裁判员在运动场裁判员在运动场上不叫运动员的名上不叫运动员的名字而叫号码，这样字而叫号码，这样建立了一种对应关建立了一种对应关系系. 上页下页铃结束返回首页 为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律,有必要将随机试将随机试验的结果数量化验的结果数量化,即引入随机变量来描述随机试验的不同结果.例例 检测一件产品可能出现的两个结果 , 也可以用一个离散变量来描述1,( )0,X次品正品第一节 随机变量上页下页铃结束返回首页设 是试验E的样本空间, 若则称 X ( ) 为 上的 随机变量随机变量一般用大写字母 X, Y , Z , )(X实

2、数定义定义随机变量 ( random variable )按一定法则 1,( )0,X次品正品sR这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函 数数不一样不一样！.( )X上页下页铃结束返回首页 (1) 随机变量是一个函数 , 但普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).随机变量与普通的函数不同:1,( )0,X次品正品随机变量随机变量X 是R上的映射, (2) 随机变量X 的可能取值不止一个, 试验前只能预知它的可能的取值，但不能预知取哪个值(3) X 以一定的概率取某个值. 有了随机变量有了随机变量, 随

3、机试验中的各种事件，就可随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来以通过随机变量的关系式表达出来.二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫没有收到呼叫没有收到呼叫1X0X上页下页铃结束返回首页 再如再如，从某一学校随机选从某一学校随机选一学生，测量他的身高一学生，测量他的身高. 我们可以身高看作随我们可以身高看作随机变量机变量X,然后我们可以提出关于然后我们可以提出关于X的各种问题的各种问题. 如如

4、PX1.7=？ PX1.5=?P1.5X0.95 的最小的的最小的m .查表得查表得,032. 0!5105kkkePXm 0.05也即也即068. 0!595kkke于是得于是得 m+1=10,m=9.1505. 0!5mkkke或或上页下页铃结束返回首页 例例6 6 社会上定期发行某种奖券,中奖率为p.某人每次购买一张奖券,如果没有中奖则下次继续购买1张,直至中奖为止.求该人购买次数的分布律. 解解 设该人购买的次数为X ,则X的可能取值为.,2, 11X表示第一次购买就中奖,其概率为p.2X表示购买两次奖券,但第一次未中奖,其概率为1-p,而第二次中奖,其概率为p.由独立性知,有ppXP

5、)1 (2上页下页铃结束返回首页1(1)1,2,kP Xkppk(1) 一般的,如果某随机变量的分布律具有(1)的形式,则称该随机变量服从参数为参数为p的几何分布的几何分布.kX表示共购买了k次奖券,其中前k-1次都未中奖,而第k次中奖,因此有ppkXPk 1)1 ( 因此,购买次数 的分布律为X 例例6 6 社会上定期发行某种奖券,中奖率为p.某人每次购买一张奖券,如果没有中奖则下次继续购买1张,直至中奖为止.求该人购买次数的分布律.上页下页铃结束返回首页 例例3 设某批产品共有N件，其中有M 件次品。按如下两种方式从中任选n件产品: (1)一次次从中取出产品，每次取一件，并在观察后放回;

6、设取得的次品数为 ，试求 的分布律。解 (1)由于是有放回的抽取，所以每次抽取时抽到一件次品的概率均为M/N，所以故有nkNMNMCkXPknkkn, 2 , 1 , 0,1),/,(NMnBXXXnNC种，而其中恰好有k件次品的取法共有knMNkMCC种，所以有此时我们称X服从超几何分布。,min, 2 , 1 , 0,MnkCCCkXPnNknMNkM 例例3 设某批产品共有N件，其中有M 件次品。按如下两种方式从中任选n件产品(2)在N件产品中任选n件,设取得的次品数为 ，试求 的分布律。XX (2)在N件产品中任选n件，所有可能的取法有上页下页铃结束返回首页()x 为X 的分布函数分布

7、函数。设 X 是一个随机变量，定义定义1 1是任意实数，则称函数x( )(),F xP Xx12P xXx21()( )F xF x可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数1x2xx 21P XxP Xx 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数数 F(x) 的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间 内的概率内的概率,(xxoxXX 上页下页铃结束返回首页分布函数完整地描述了分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性随机变量的统计规律性. .)()(1221xFxFxXxP因此可以认为12P

8、 xXx21()( )F xF x可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。1x2xx 21P XxP Xx 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量.()x 为X 的分布函数分布函数。设 X 是一个随机变量，定义定义1 1( )(),F xP Xxx上页下页铃结束返回首页解解:例1. 已知随机变量X 的分布律为1612131Xkp02求分布函数( )F x( )F xP Xx当 时, 0 x Xx ( )0F x当 时, 01x( )F xP Xx0P X13当 时, 12x( )F x 1136( )F x 1.1201P XP X12P XP X

9、0P X 2x 当时，x210( )F x 所以，0,0 x 1,2x 1/ 2,12x1/ 3,01x上页下页铃结束返回首页0,01/ 3,01( )1/ 2,121,2xxF xxx概率函数图概率函数图1 312x()P Xx1 61 21 6OOO1)(xF分布函数图分布函数图画分布函数图画分布函数图012111362X210()x ( )(),F xP Xx上页下页铃结束返回首页 的图形是阶梯状的图形,在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).0,01/ 3,01( ),1/ 2,121,2xxF xxx1 312x1 61 21

10、6OOO1)(xF012111362X210F(x)右连续( )()F xP Xx 一般,设离散型随机变量X的分布律为kkpxXP,2, 1k则由概率的可加性可得分布函数为xxkxxkkkpxXPxXPxF)(1 312x1 61 21 6OOO1)(xF210上页下页铃结束返回首页12xx若二、分布函数的性质 单调不减性：()lim( )0,xFF x (0)lim( )( ).txF xF tF x 右连续性： ，且，则()lim( )1;xFF x 上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数的充要条件。( )(),F xP Xx2112()( )0,F xF xP xXx12()x

11、x事实上,0( )1F x12()()F xF xx上页下页铃结束返回首页例例1 1 设随机变量X的分布律为Xkp1 2 3412141求X的分布函数,并求,21XP32 XP解解 由概率的可加性,得所求的分布函数为 3,41214132,214121,411,0)(xxxxxXPxF上页下页铃结束返回首页313(3)(2)2 1424FFP X 412121FXP因此3,41214132,214121,411, 0)(xxxxxXPxF23PX2323PXP XP X(3)(2)FF( )()F xP Xxox23上页下页铃结束返回首页 例例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任

12、一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数.解：解：（1） 若 x 3出现的次数),则)32, 3( BY故所求的概率为2720323132)2(333223CCYP 例例3 3 设随机变量.5 , 2UX现在对X进行三次独立的观测，求至少有两次观测值大于3的概率.解：解：3231)3(53dxXP上页下页铃结束返回首页例2.4.3设随机变量 服从区间 上的均匀分布,求方程X0,524420tXtX有实根的概率.解: 因为当2161620XX 时方程有实根,即或1X 2X 时方程有实根,所以所求概率为12P XX 或

13、12P XP X 52105dx3.5上页下页铃结束返回首页二二. .指数分布指数分布( (Exponential Distribution) )如果随机变量X的概率密度为0, 00,)(xxexfx)(EX则称 X 服从参数为参数为的指数分布的指数分布.0 其其中中为常数为常数, 01.0 xxf xedxe 1,0( )0,0 xexF xP Xxx 例例若若X 服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布, 则其则其分布函数分布函数为为证：证：事实上事实上 , xF xf t dt 0 x xx xF xf t dt 00 xdt 0 x 当当 时时,0 x 当当 时时, xF xf t

14、dt 00dt 0 xtedt 0, 00,)(xxexfx上页下页铃结束返回首页易知，若),(EX则其分布函数为1,0( )0,0 xexF xx 指数分布在排队论和可靠性理论中有广泛的应用，常常用它来作为各种“寿命”的分布的近似.例如,电子元件的寿命,电话的通话时间,微生物的寿命,随机服务系统中的服务时间等都可认为是近似服从指数分布.上页下页铃结束返回首页 指数分布的一个重要性质就是“无后效性无后效性”或“无记忆性无记忆性”.具体叙述如下.),(EX设则对于任意的 s 0, t 0,有|tXPsXtsXP事实上，有,|sXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP)(tXPeeetsts1,

15、0( )0,0 xexF xx 上页下页铃结束返回首页 假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工作的寿命,则上式表明,在该元件已工作了s小时的条件下,它还能继续工作t小时的概率与已经工作过的时间s无关.换句话说,如果元件在时刻s还“活着”,则它的剩余寿命的分布还是原来寿命的分布,而与它已工作了多长的时间无关.所以有时又称指数分布是“永远年轻永远年轻”的.值得指出的是,我们可以证明,指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布.上页下页铃结束返回首页 下面的例子说明了泊松分布和指数分布之间的关系。即 服从参数为 指数分布。X=1te ,0( )( )0,0 xe

16、xf xF xx()( )!ktP N tkek上页下页铃结束返回首页三三.正态分布正态分布(Normal Distribution)若随机变量 X 的概率密度为22()21( )2xfxe 则称 服从参数为参数为X2,的正态分布.记为).,(2NX 称相应的分布函数为正态分布正态分布,相应的概率密度为正态密度正态密度.服从正态分布的随机变量统称为正态变量正态变量. .正态变量的分布函数为22()21( )2txF xedt 正态分布是概率论中最重要最重要的一个分布.高斯在研究误差理论时曾用它来刻划误差,所以又称为高斯分布.经验表明,许多实际问题中的随机变量,如测量误差,炮弹落点的分布,人的身

17、高,学生考试的成绩,农作物的产量,产品的尺寸等都可以认为服从正态分布.三三.正态分布正态分布(Normal Distribution)若随机变量 X 的概率密度为22()21( )2xfxe 则称 服从参数为参数为X2,的正态分布.记为).,(2NX+ ( )f x dx22 tIedt记2212xttedt令2212tedt22(22)xyIedxdy22002rderdr2I( )1.f x dx若随机变量 X 的概率密度为22()21( )2xfxe 则称 服从参数为参数为X2,的正态分布.记为).,(2NX22200red 202 .d ;12 dxxf ;01 xf曲线曲线 关于关于

18、 轴对称；轴对称； fx 3函数函数 在在 上单调增加上单调增加, ,在在 上上 fx 4(, ,) 单调减少单调减少, ,在在 取得最大值取得最大值x 正态分布的概率密度曲线图正态分布的概率密度曲线图: :xyo1.222()21( )2xf xe; 0)(,)5(xfx时当 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形中决定了图形中峰的陡峭程度峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布),(2N22()21( )2xf xe概率密度曲线特点概率密度曲线特点: :当固定时,越大,曲线的峰越低,落在附近的概率越小,取值就越分散,是反映X的取值分散性的一个指标。 正态分布正态分布),(2N

19、22()21( )2xf xe;,)(,)9(轴作平移变换着只是沿图形的形状不变的大小时改变当固定xxf概率密度函数图形特点概率密度函数图形特点: : 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯一确定，唯一确定， 当当和和不同时，是不同的正态分布。不同时，是不同的正态分布。下面我们介绍一种下面我们介绍一种最重要最重要的正态分布的正态分布若随机变量 X 的概率密度为22()21( )2xfxe 则称 服从参数为参数为X2,的正态分布.记为).,(2NX标准正态分布标准正态分布上页下页铃结束返回首页),1 ,0( NX若则称X服从标准正态分布标准正态分布. 其概率密度函数通常用)(x表示,

20、分布函数记作).(x2221)(xexxtdtex2221)(若随机变量 X 的概率密度为22()21( )2xfxe 则称 服从参数为参数为X2,的正态分布.记为).,(2NX标准正态分布标准正态分布上页下页铃结束返回首页-3-2-1012300.050.10.150.20.250.30.350.4 标准正态密度 的图形)(x221( )2xxe12上页下页铃结束返回首页公式:)(1)(xx 1xx ()yx()x()x 0yxxx221( ),2xxe221( )2xtxedt1(0)2上页下页铃结束返回首页标准正态分布的分布函数)(x可通过查书后的附表得到.但是表中只列出了0 x时的分布

21、函数值,对于0 x时的情形,可利用下面的公式计算)(1)(xx问题：问题：对于一般的正态分布),(2N,如何计算其分布函数的值?设),(2NX其分布函数为),(xF则22()21( )2txF xedt)(tux2212xuedu221( )2xtxedt上页下页铃结束返回首页于是,有 P aXbF bF a 通常称这个公式为正态概率计算公式正态概率计算公式,它把一般正态变量的概率计算转换为标准正态分布来计算.设),(2NX其分布函数为),(xF则22()21( )2txF xedtx2212xueduba 上页下页铃结束返回首页若),(2NX则(0,1)XZN定理定理XP ZxPx)(xx证

22、明：P Xx更进一步的，还有下面的结论。( )xP XxF x 若若 XN(0,1),)(bXaP)()()(abbXaP)()(ab若),(2NX则(0,1)XZN)(bZaPaXbP设),(2NX,则有%26.68) 1() 1 (|XP)(1)(xx|1XPXP若),(2NX则(0,1)XZN(1)( 1) ()yx()x()x 0yxxx 11XP 68.26%查表可得查表可得 11PZ 2 (1) 1 设),(2NX,则有%26.68) 1() 1 (|XP%44.95)2()2(2|XP%74.99)3()3(3|XP即, X落在 内几乎是肯定的事.这就是所谓的“ ”法则.)3,3

23、(399.74%3268.26%2395.44%解解P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的h . .看一个应用正态分布的例子看一个应用正态分布的例子: 例例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在头机会在 0.01 以下来设计的以下来设计的. .设人的身高设人的身高XN( (170, ,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定? ? 设车门高度为设车门高度为h cm, ,按设计要求按设计要求因为因为 XN( (170, ,62),),故故 P(X0.99因而因而 = =

24、 2.33, ,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使人与车门碰头的人与车门碰头的机会不超过机会不超过0.01. .P(X h ) 0.99求满足求满足的最小的的最小的 h .) 1 , 0(6170NX 所以所以 . .17017066XhP 1706h 6170h上页下页铃结束返回首页 例5 由历史记录知,某地区总降雨量(单位:mm).求(1)明年降雨量在400mm700mm之间的概率；(2)明年降雨量至少为300mm的概率;(3)明年降雨量小于何值的概率为0.1?解 1)6568. 0)33. 1()67. 0(1506004001

25、50600700700400 XP)150,600(2N2)15060030013001300XPXP9772. 0)2(1 (1)2(1上页下页铃结束返回首页 设该值为, a则有, 1.0)( aXP即1 . 0150600)( aaXP查表得28.1150600a从而mma408 例5 由历史记录知,某地区总降雨量(单位:mm).求(1)明年降雨量在400mm700mm之间的概率；(2)明年降雨量至少为300mm的概率;(3)明年降雨量小于何值的概率为0.1?)150,600(2N解:3)离散型随机变量离散型随机变量函数函数的分布的分布解：解： 当当 X 取值取值 1，2，5 时时， Y

26、取对应值取对应值 5，7，13，例例1设设X3 . 055 . 02 . 021求求 Y= 2X + 3 的概率函数的概率函数. 3013502075.Y而且而且X取某值与取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率件，两者具有相同的概率.故故上页下页铃结束返回首页第五节第五节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布一一. .离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布关键是要确定两点：1) 可能的取值可能的取值; ;2) 取任一值的概率取任一值的概率. . 本节的基本任务本节的基本任务:已知随机变量X的分布(分布律或概率密度),求)(XgY的概率

27、分布.上页下页铃结束返回首页例例1 1 已知 X 的概率分布为求 Y 1= 2X 1 与 Y 2= X 2 的分布律解解:Y 1pi-3 -1 1 321418181X pk-1 0 1 221418181上页下页铃结束返回首页Y 2pi1 0 1 421418181X pk-1 0 1 221418181求 Y 1= 2X 1 与 Y 2= X 2 的分布律解解:Y 2pi0 1 4218381上页下页铃结束返回首页 例例2 2 设随机变量 X 的分布律为nn21412121并且,2sinXY求Y 的分布律. 解解 Y 的可能取值为-1,0,1,并且111415216118121)14()

28、1(kkkkXPYP314114121)2()0(112kkkkXPYP) 1(YP158)0() 1(1YPYP上页下页铃结束返回首页所以158) 0() 1(1) 1(YPYPYP111415216118121)14() 1(kkkkXPYP314114121)2()0(112kkkkXPYP上页下页铃结束返回首页例：设随机变量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度。, 04( )80, Xxxfx其他2( )YFyP YyP Xy 0( )0;YyFy当时， 16 ( )1YyFy当时， 016 y当时,( )0YFyPXy0816ytydt1, 016( )16

29、0, Yyfy其他Y在区间(0,16)上均匀分布。( ) ( )XYFxFy，解：分别记X,Y的分布函数为二二.连续型随机变量的分布连续型随机变量的分布问题问题: :已知 X 的概率密度 求Y=g(X)的概率密度),(xfX).(yfY上页下页铃结束返回首页二二.连续型随机变量的分布连续型随机变量的分布基本步骤基本步骤:问题问题: :已知 X 的概率密度 求Y=g(X)的概率密度),(xfX).(yfY1.确定Y的取值范围.如果其取值的范围为区间),(ba则当),( bay时,. 0)(yfY2. 当),( bay时,先求分布函数,)(yYPyFY然后再对分布函数求导即得概率密度.上页下页铃结

30、束返回首页例： 2( ) ( ).YXf xxYXYfy 设 的概率密度为，求 的概率密度( )YYFy解：设 的概率分布函数为 0( )YyFy当时，()P Yy2()P Xy( )yyf t dt00( )( )yyf t dtf t dt( )( )YYfyFy1 ()(), 02 0 , 0fyfyyyy( )( )( )( ) ( )( ( ) ( )xau xadf xf t dtf xdxdf t dtf u x u xdx连续时，()PyXy从中可以看到，在求P(Yy) 的过程中，关键的一步是设法从 g(X) y 中解出X, 从而得到与 g(X) y 等价的X 的不等式 .三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布解解 设设Y的分布函数为的分布函数为 FY(y)，例例2设设 X 求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.