模糊控制理论基础

1、第一节 引言一、模糊控制的发展一、模糊控制的发展二、模糊控制的特点二、模糊控制的特点1、无需知道被控对象的数学模型、无需知道被控对象的数学模型2、是一种反映人类智慧思维的智能控制。、是一种反映人类智慧思维的智能控制。3、易于被人们所接受（核心：控制规则）、易于被人们所接受（核心：控制规则）4、构造容易、构造容易5、鲁棒性好。、鲁棒性好。 模糊控制采用人类思维中的模糊量，如模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高高”、“中中”、“低低”等，且控制量由模糊推理导出。等，且控制量由模糊推理导出。三、模糊控制器构造技术三、模糊控制器构造技术1、硬件：采用传统的单片机、硬件：采用传统的单片机 软件：实现模

2、糊推理和控制软件：实现模糊推理和控制2、模糊单片机或集成电路芯片、模糊单片机或集成电路芯片3、可编程门阵列、可编程门阵列第二节第二节 模糊集合论基础模糊集合论基础一、模糊集的概念一、模糊集的概念二、模糊集合的运算二、模糊集合的运算三、隶属函数的建立三、隶属函数的建立四、模糊关系四、模糊关系一、模糊集的概念一、模糊集的概念 集合：具有某种特定属性的对象的全集合：具有某种特定属性的对象的全体。体。 集合中的个体通常用小写英文字母如：集合中的个体通常用小写英文字母如：u表示；表示； 集合的全体又称为论域通常用大写英集合的全体又称为论域通常用大写英文字母如：文字母如：U表示。表示。 u U表示表示元素

3、元素（个体）（个体）u在集合在集合论域论域（全体）（全体） U内。内。集合表示法集合表示法(经典集合经典集合)：(1)列举法：将集合的元素全部列出的方法。列举法：将集合的元素全部列出的方法。(2)定义法：用集合中元素的共性来描述集定义法：用集合中元素的共性来描述集 合的方法。合的方法。(3)归纳法：通过一个递推公式来描述一个归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的方法。集合的方法。(4)特征函数表示法：利用经典集合论非此特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼的明晰性来表示集合。因为某一集合即彼的明晰性来表示集合。因为某一集合中的元素要么属于这个集合，要么就不属中的元素要么属于这个集合，要么就不

4、属于这个集合。于这个集合。例例1 设集合设集合U由由1到到5的五个自然数组成，的五个自然数组成，用上述前三种方法写出该集合的表达式。用上述前三种方法写出该集合的表达式。解：解：(1)列举法列举法 U=1,2,3,4,5(2)定义法定义法 U=u|u为自然数且为自然数且1 u 5(3)归纳法归纳法 U=ui+1=ui+1, i=1,2,3, 4, u1=11( )0UuUTuuU特征函数表示法：集合特征函数表示法：集合U通过特征函数来通过特征函数来TU(u)表示表示 经典集合论中任意一个元素与任意一经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的关系，只是个集合之间的关系，只是“属于属于”或或“不不

5、属于属于”两种，两者必居其一而且只居其一。两种，两者必居其一而且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素的组合。它描述的是有明确分界线的元素的组合。 用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。 对于诸如对于诸如“速度的快慢速度的快慢”、“年龄的年龄的大小大小”、“温度的高低温度的高低”等模糊概念没等模糊概念没有明确的界限。有明确的界限。经典集合对事物只用经典集合对事物只用1、0简简单地表示单地表示“属于属于”或或“不属于不属于”的分的分类；而模糊集合则用类；而模糊集合则用“隶属度隶属度(Degree of membership)”来描述元素的隶属程来描述元素的隶

6、属程度，隶属度是度，隶属度是0到到1之间连续变化的值。之间连续变化的值。模糊集合模糊集合特征函数特征函数隶属度函数（隶属度函数（01连续变连续变化值）化值）例：人对温度的感觉例：人对温度的感觉(0 C 40 C的感觉的感觉)：“舒适舒适”的温度：的温度：15 C 25 C“热热”：25 C以上以上“冷冷”：15 C 以下以下经典集合对温度的定义经典集合对温度的定义0 15 25 40冷热(T)1.0舒适温度C0 15 25 40(T)1.0冷热舒适温度C模糊集合对温度的定义模糊集合对温度的定义经典集合：经典集合：14.99 C属于属于“冷冷”；15.01 C属于属于舒适。舒适。与人的感觉一致吗

7、？与人的感觉一致吗？设设U为一可能是离散或连续的集合，用为一可能是离散或连续的集合，用u表示，表示，论域（论域（Universe of Discourse）：）： U 所有元素组成的全集所有元素组成的全集 元素：元素：u 定义定义2-1 模糊集合：论域模糊集合：论域U中的模糊中的模糊集合集合F用一个在区间用一个在区间0,1上的取值的隶上的取值的隶属函数属函数 F来表示，即：来表示，即： F ：U 0,1u F （映射）（映射）（隶属函数（隶属函数 F：u隶属于隶属于F的程度）的程度） F (u)=1：u完全属于完全属于U； F (u)= 0：u完全不属于完全不属于U；0 F (u)021100

8、1u可算出可算出 F (5)=0.2, F (10)=0.5, F (20)=0.8可见可见 F (u)是是U到闭区间到闭区间0,1的映射。的映射。510200.20.50.8U0,1F (u) 1、论域、论域U为离散域（即论域为离散域（即论域U是有限集合）是有限集合）(1)查德表示法查德表示法F =1()/niiFiu u1.00.90.750.50.20.1012345F 模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法：例：集合例：集合F表示接近于表示接近于0的整数（已知论域的整数（已知论域U=0,1,2,3,4,5）(2)序偶表示法序偶表示法F =(u1, (u1),(u2 , (u2),(un

9、, (un)(3)向量表示法向量表示法F = (u1), (u2), (un) （元素（元素u按次序排列）按次序排列）例：例：F =(0,1.0), (1 ,0.9), (2 ,0.75), (3,0.5),(4 ,0.2), (5 ,0.1) 例：例：F =1.0 ,0.9, 0.75,0.5,0.2 ,0.1 /FFu例例 以年龄为论域，取以年龄为论域，取Zadeh给出了给出了“年年轻轻”的模糊集的模糊集F，其隶属函数为，其隶属函数为0,100U 121025( )251251005Fuuuu02040608010012000.10.20.30.40.50.60.70.80.91X Yea

10、rsDegree of membership2102525100251/1 () /5uuuFuu 模糊集合表示为：模糊集合表示为：模糊集合的表示方法：( )0 ()AAuuU 二、模糊集合的运算二、模糊集合的运算（1）空集）空集 模糊集合的空集的隶属度为模糊集合的空集的隶属度为0，即，即（2）全集）全集 模糊集合的全集的隶属度为模糊集合的全集的隶属度为1，即，即( )1 ()AAUuuU 定义：定义：（4）等集）等集 两个模糊集两个模糊集A和和B，若对所有元素，若对所有元素u，它们的，它们的隶属函数相等，则隶属函数相等，则A和和B也相等。即也相等。即)()(uuBABA（3）子集（包含于）子

11、集（包含于） 若若B为为A的子集，则的子集，则( )( ) ()BABAuuuU( ,( )A BF U 设设A、B为为U中的两个模糊子集，隶属中的两个模糊子集，隶属函数分别为函数分别为 A 和和 B，则模糊集合中的并、，则模糊集合中的并、交、补等运算按如下定义：交、补等运算按如下定义： AB= A(u) B(u) 式中，符号式中，符号“ ”为取为取大值运算。大值运算。并（析取）：并并（析取）：并(AB)的隶属函数的隶属函数 AB对对所有的所有的u U 被逐点定义为被逐点定义为取大运算取大运算，即：，即： AB= A(u) B(u) 式中，符号式中，符号“ ”为为取小值运算。取小值运算。补：模

12、糊集合补：模糊集合A的补隶属函数的补隶属函数 对所有的对所有的u U 被逐点定义为：被逐点定义为：交（合取）：交交（合取）：交(AB)的隶属函数的隶属函数 AB对所对所有的有的u U 被逐点定义为被逐点定义为取小运算取小运算，即：，即： =1- A(u)则则A、B的并运算：的并运算：123450.60.510.40.3Auuuuu123450.50.60.30.40.7Buuuuu123450.60.50.50.610.30.40.40.30.7ABuuuuu123450.60.610.40.7uuuuu例例3 设论域设论域U=u1, u2, u3, u4, u5中的两个模中的两个模糊子集为：

13、糊子集为：则则A、B的交运算：的交运算：123450.60.50.50.610.30.40.40.30.7ABuuuuu123450.50.50.30.40.3uuuuuA的补运算：的补运算：123451 0.61-0.51-11-0.41-0.3Auuuuu123450.40.500.60.7uuuuu()()ABCABC()()()ABCABACAUAA模糊集运算的基本定律：设模糊集运算的基本定律：设U为论域，为论域，A，B，C为为U中的任意模糊子集中的任意模糊子集,则下列等式成立则下列等式成立：（2）分配律）分配律（1）结合律）结合律()()ABCABC()()()ABCABAC（3）同

14、一律）同一律（4）零一律）零一律、上面定义的模糊集合运算是采用Zadeh算子来进行的。AUUAA引入概率算子和有界算子：引入概率算子和有界算子：定义：定义： 称称 、+ 为为概率算子概率算子，对，对 a,b 0,1,有：有：a b=aba+b=a+b-ab由定义可知，如由定义可知，如a,b 0,1,则则a b 0,1, a+b 0,1。引入概率算子和有界算子：引入概率算子和有界算子：定义：定义： 设A,B F(U),则定义代数运算：(1)A与与B的的代数积代数积记作记作A B，运算规则，运算规则由下式确定：由下式确定： A B(u)= A(u) B(u) u U A + B(u)= A(u)+

15、 B(u)- A(u) B(u) u U(2)A与与B的的代数和代数和记作记作A + B，运算规则，运算规则由下式确定：由下式确定：定义：定义：称 、为有界算子，对a,b0,1,有：a b= max(0,a+b-1)a b= min(1,a+b)可以证明： a,b0,1, 0 max(0,a+b-1)1、 0 min(1,a+b)1定义定义10 :设A,B F(U),则定义有界运算：(1)A与B的有界积记作A B，运算规则由下式确定：A B(u)=max (0, A(u)+B(u) -1) u U(2)A与B的有界和记作A B，运算规则由下式确定：A B(u)= min(1, A(u)+B(u

16、) ) u U模糊集合是用隶属函数描述的模糊集合是用隶属函数描述的。三、隶属度函数的建立三、隶属度函数的建立隶属度函数：模糊集合的特征函数隶属度函数：模糊集合的特征函数 （取值范围在（取值范围在0,1区间）区间） 确定隶属度函数的方法具有主观性，但确定隶属度函数的方法具有主观性，但主观的反映和客观的存在有一定的联系，主观的反映和客观的存在有一定的联系，是受客观制约的。是受客观制约的。 由于模糊集理论的研究对象具有由于模糊集理论的研究对象具有”模糊模糊性性”和经验性和经验性,因此找到一种统一的隶属度因此找到一种统一的隶属度计算方法是不现实的。计算方法是不现实的。确定隶属函数应确定隶属函数应遵守的

17、一些基本原则遵守的一些基本原则：1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合例例:适中速度的集合是模糊集合。可表示为适中速度的集合是模糊集合。可表示为:“适中速度适中速度”= 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70 从最大隶属度函数点向两边延伸时从最大隶属度函数点向两边延伸时,其其隶属函数的值是必须是单调递减的隶属函数的值是必须是单调递减的,而不允而不允许有波浪形。许有波浪形。凸模糊集合：隶属函数呈单峰馒头形。凸模糊集合：隶属函数呈单峰馒头形。0 x凸模糊集合非凸模糊集合203050709500.20.40.60.81速度（语言变量）

18、速度（语言变量）Degree of membership适中适中低低高高51002、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。很低很低很高很高标称名：语标称名：语言值言值(个数适中：个数适中：39个（奇个（奇数）数）)语言值的语言值的个数和规个数和规则数成正则数成正比。比。00 . 1适中高很高32)/(1hkm速度3、隶属度函数要符合人们的语言顺序，避免不恰当的重叠、隶属度函数要符合人们的语言顺序，避免不恰当的重叠注意：间隔的两个模糊集合隶属度函数尽量不注意：间隔的两个模糊集合隶属度函数尽量不相交。相交。围附近模糊隶属函数的范重叠范围重叠率12()2()U

19、AALdxUL重叠鲁棒性重叠指数：衡量隶属度函数重叠指数：衡量隶属度函数与模糊控制器性能关系的一与模糊控制器性能关系的一个重要指标。个重要指标。重叠重叠指数：重叠率、重叠鲁棒性指数：重叠率、重叠鲁棒性重叠指数的定义附近隶属函数的范围LUA1A2x00.51.0重叠范围LU(0.20.6为宜为宜)(0.30.7为宜为宜)5 . 01A2A2030405010)/(1hkm速度30例：例：333. 030/10重叠率40301100.52(4030)20dx重叠鲁棒性 重叠率和重叠鲁棒性越重叠率和重叠鲁棒性越大，模糊控制模块模糊性越大，模糊控制模块模糊性越强，规则越多，越复杂，精强，规则越多，越复

20、杂，精度越高。度越高。解：求重叠率和重叠鲁棒性求重叠率和重叠鲁棒性 通常的方法是，初步确立粗略的隶属函通常的方法是，初步确立粗略的隶属函数，然后在通过数，然后在通过“学习学习”和不断的实践来和不断的实践来修整、完善。修整、完善。隶属度函数确立的方法：隶属度函数确立的方法：四种方法：四种方法： 1、模糊统计法、模糊统计法 基本思想：论域基本思想：论域U上的一个确定的元素上的一个确定的元素v0是否属于一个可变动的清晰集合是否属于一个可变动的清晰集合A*作出清作出清晰的判断晰的判断。 对于不同的实验者，清晰集合对于不同的实验者，清晰集合A*可以可以有不同的边界。但它们都对应于同一个模有不同的边界。但

21、它们都对应于同一个模糊集糊集A。年轻人17-30岁20-35岁模糊集模糊集A清晰集A1*清晰集A2*所有人论论域域Uv0隶属度函数确立的方法：00AvAvn 的次数对 的隶属频率试验总次数计算步骤：在每次统计中，计算步骤：在每次统计中，v0是固定的是固定的（如某一年龄），（如某一年龄），A*的值是可变的，作的值是可变的，作n次试验次试验,则则模糊统计公式：模糊统计公式：A(1.56)?隶属度函数确立的方法：例：求中等身材的集合例：求中等身材的集合A及及 A (1.64)选选10人，每人确定人，每人确定A*的元素，假设的元素，假设10个人所确定的个人所确定的A*分别是：分别是：1.601.69

22、1.631.70 1.651.75 1.561.70 1.621.73 1.651.72 1.641.73 1.601.69 1.691.75 1.691.77110A(1.56)=0.1310A(1.60)=0.3610A(1.64)=0.6110A(1.77)=0.10.11.56AF0.30.610.50.1=+1.601.641.691.73 1.77610A(1.64)=0.6随着随着n的增大，隶属频率会趋向稳定，的增大，隶属频率会趋向稳定，这个稳定值就是这个稳定值就是v0对对A的隶属度。的隶属度。计算量大。计算量大。模糊统计法的特点：模糊统计法的特点：2、例证法、例证法 ：从有限个

23、隶属度值，来估计：从有限个隶属度值，来估计U上的模糊集上的模糊集A 的隶属度函数。的隶属度函数。3、专家经验法：、专家经验法：根据专家的经验对每一现根据专家的经验对每一现象产生的各种结果的可能性程度，来决定象产生的各种结果的可能性程度，来决定其隶属度函数。其隶属度函数。4、二元对比排序法、二元对比排序法 通过对多个事物之间的两两对比，来确定某通过对多个事物之间的两两对比，来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些事物对该特征种特征下的顺序，由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大体形状。的隶属函数的大体形状。 二元对比排序法分为：相对比较法、对比平均二元对比排序法分为：相对比较法、对比平均法、优先

24、关系定序法、相似优先对比法。法、优先关系定序法、相似优先对比法。相对比较法：相对比较法： 论域论域U中元素中元素v1, v2, vn ，要对论域中的元素按某种，要对论域中的元素按某种特征进行排序，首先，在二元对比中建立比较等级，特征进行排序，首先，在二元对比中建立比较等级，然后用一定的方法进行总体排序，以获得各元素对于然后用一定的方法进行总体排序，以获得各元素对于该特性的隶属函数。该特性的隶属函数。相对比较法的具体步骤：相对比较法的具体步骤： 设论域设论域U中的一对元素中的一对元素(v1, v2)， 在在v1和和v2的二元对比中，的二元对比中，v1具有某特征的程度用具有某特征的程度用gv2(v

25、1)表示，表示，v2具有某特征的具有某特征的程度用程度用gv1(v2)表示。表示。且满足：且满足： 0 gv2(v1) 1 、 0 gv1(v2) 1 令：且定义且定义g(vi /vj ) =1，当，当i=j时。时。以以g(vi /vj ) (i , j=1,2)为元素构造相及矩阵为元素构造相及矩阵G: 1)/()/(11221vvgvvgG21122112( )(/)max( ) ,() )vvvgvg vvgvgv 推广：推广： n个元素个元素 的相及矩阵的相及矩阵G:12(,)nvvv1213121232313231231(/)(/)(/)(/)1(/)(/)(/)(/)1(/)(/)(

26、/)(/)1nnnnnng vvg vvg vvg vvg vvg vvGg vvg vvg vvg vvg vvg vv 对矩阵对矩阵G的每一行取最小值，然后按大小的每一行取最小值，然后按大小排序，可得各元素对某特征的隶属函数。排序，可得各元素对某特征的隶属函数。例：例： 设论域设论域U= v1,v2,v3,v0,其中其中v1表示长表示长子，子，v2表示次子，表示次子，v3表示三子，表示三子，v0表示父亲。表示父亲。长子和次子与父亲的相长子和次子与父亲的相似程度：似程度：次子和三子与父亲的相次子和三子与父亲的相似程度：似程度：长子和三子与父亲的相长子和三子与父亲的相似程度：似程度：长子：长子

27、：0.8次子：次子：0.5次子：次子：0.4三子：三子：0.7长子：长子：0.5次子：次子：0.3求与父亲相似的隶属度函数。求与父亲相似的隶属度函数。解：二元对比关系：解：二元对比关系：( gv2(v1) , gv1(v2)=(0.8,0.5) gv1(v1)=1 ( gv3(v2) , gv2(v3)=(0.4,0.7），），gv2(v2)=1 ( gv3(v1) , gv1(v3)=(0.5,0.3），），gv3(v3)=1 21122112( )(/)max( ) ,() )vvvgvg vvgvgv0.810.812212112()(/)max( ) ,() )vvvgvg vvgvg

28、v0.550.88130.5(/)10.5g vv310.33(/)0.55g vv230.44(/)0.77g vv320.7(/)10.7g vv计算相及矩阵计算相及矩阵G,=在相及矩阵中取每一行的最小值，按大在相及矩阵中取每一行的最小值，按大小排列：小排列：13/54/7结论：长子最象父亲结论：长子最象父亲(1)；三子次之；三子次之(0.6)；次子；次子最不象最不象(0.57)。321vvv321vvvG115/37/418/5111由此确定出隶属度函数：由此确定出隶属度函数：12314/73/5Fvvv模糊控制中，隶属度函数基本图形分为三模糊控制中，隶属度函数基本图形分为三大类：大类：

29、1.左大右小的偏小型下降函数（左大右小的偏小型下降函数（Z函数）：适用于函数）：适用于输入值比较小时的隶属度函数确定。输入值比较小时的隶属度函数确定。0 x1.0(x)矩形分布矩形分布0 x1.0 (x)梯形分布梯形分布0 x1.0(x)曲线分布曲线分布模糊控制中，隶属度函数基本图形分为三大类：2.左小右大的偏大型上升函数（左小右大的偏大型上升函数（S函数）：函数）：适用于输入值比较大时的隶属度函数确定。适用于输入值比较大时的隶属度函数确定。01.0(x)x矩形分布0 x1.0(x)梯形分布0 x1.0曲线分布模糊控制中，隶属度函数基本图形分为三大类：3.对称型凸函数（对称型凸函数（ 函数函数

30、）：适用于输入值位）：适用于输入值位于中间时隶属度函数确定。于中间时隶属度函数确定。01.0(x)x矩形分布(x)0 x1.0三角形分布01.0(x)梯形分布x01.0(x)曲线分布x四、模糊关系（用于模糊推理决策）四、模糊关系（用于模糊推理决策）1.模糊关系的定义模糊关系的定义关系：客观事物间的相互联系。关系：客观事物间的相互联系。普通关系：二元关系（是、否）普通关系：二元关系（是、否）例：父子、师生、同事例：父子、师生、同事模糊关系：父子相像。模糊关系：父子相像。 A、B两集合的直积：两集合的直积：BbAabaBA,),(, )a b序偶：序偶：例：设例：设A=0,1，B=a,b,c则则A

31、B=(0,a)，(1,a)，(0,b)，(1,b)，(0,c)，(1,c)BA=(a, 0)，(a, 1)，(b, 0)，(b, 1)，(c, 0)，(c, 1)注意：注意： AB BA关系关系R：AB的子集，记为的子集，记为RAB例：甲、乙、丙例：甲、乙、丙3人参加考试，考试的成绩为优、人参加考试，考试的成绩为优、良、中、差，则良、中、差，则A=甲甲,乙乙,丙丙，B=优优,良良,中中,差差AB：12种序偶的集合。种序偶的集合。一次考试：一次考试：R=(甲甲,优优)，(乙乙,中中)，(丙丙,差差)A、B间的关系可通过矩阵形式直观地表示间的关系可通过矩阵形式直观地表示出来，关系之间地运算可转换为

32、矩阵间运算。出来，关系之间地运算可转换为矩阵间运算。矩阵：矩阵：100000100001RMA 甲甲 乙乙 丙丙B优优 良良 中中 差差关系关系对应对应模糊关系模糊关系R：以：以AB为论域的一个模糊子集为论域的一个模糊子集且且(,)ab有：有：:0,1(,)(,)RRABabab( , )( )( )RABa bab且定义：且定义： 一致(一一对应)123nB bbbb111213121222323132333123()(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)RRRRnRRRRnRRRRnRmRmRmRmnm na ba ba ba ba

33、 ba ba ba ba ba ba ba babababab123mAaaaa模糊矩阵：模糊矩阵：12, ,mAa aa有限集有限集A，B，有有12, ,nBb bb(,)(,)ijRijabab即序偶即序偶模糊矩阵中的元素模糊矩阵中的元素记为记为( )ijr模糊矩阵模糊矩阵R记为记为:( )ij mnR r(,)0,1Rijab其中; 3 / 2 . 02 / 7 . 01 / 1/ )(;4, 3 , 2, 1;3 , 2, 1uuVUA4/2 . 03/4 . 02/6 . 01/8 . 0/ )(vvB例设例设求模糊关系求模糊关系RAB，模糊矩阵，模糊矩阵3 4()ijr)4,3/(

34、2 . 0)3 ,3/(2 . 0)2,3/(2 . 0) 1 ,3/(2 . 0)4 , 2/(2 . 0)3 , 2/(4 . 0)2,2/(6 . 0) 1 , 2/(7 . 0)4, 1/(2 . 0)3, 1/(4 . 0)2, 1/(6 . 0) 1 , 1/(8 . 0 BA解：解：求求3 4()ijr0.80.60.40.20.70.60.40.20.20.20.20.2123U1234V3 4( )ijr方法方法1：方法方法2：3 4( )ijrA B10.70.80.60.40.20.2对应元素取小对应元素取小0.8 0.6 0.4 0.20.7 0.6 0.4 0.20.

35、2 0.2 0.2 0.2。慢快100/080/060/040/3 . 020/7 . 00/1;100/180/160/7 . 040/3 . 020/00/0CA例已知两个模糊集合例已知两个模糊集合A、B的隶属度函数分别为的隶属度函数分别为求它们的模糊关系求它们的模糊关系CA其中，其中，C，A分别属于两个不同的论域分别属于两个不同的论域 U，V RCA10.70.3000.30.71 1000000.30.711000.30.70.70.7000.30.30.30.3000000000000000000解：解：模糊关系作用：模糊关系作用：模糊推理ABR=ABA/B/ =?B/=A / R模

36、糊关系实际上反映的是模糊系统的输入输出关系。模糊关系实际上反映的是模糊系统的输入输出关系。定义定义 笛卡尔积笛卡尔积 若若A1 、A2分别是论域分别是论域U1、U2 中的模糊集，则中的模糊集，则A1 、A2的笛卡儿积是在积空间的笛卡儿积是在积空间U1 U2中的一个模中的一个模糊子集，其隶属度函数为糊子集，其隶属度函数为直积（极小算子）：直积（极小算子）： A1 A2 (u1, u2 )=min A1 (u1), A2 (u2) 代数积代数积 ： A1 A2 (u1, u2 ) = A1 (u1) A2 (u2)R=A B =定义定义 笛卡尔积笛卡尔积对于连续情况，关系矩阵可定义为：对于连续情况

37、，关系矩阵可定义为：R=A B =为了区分直积、代数积为了区分直积、代数积 ，用用 min表示直积；用表示直积；用 AP表示代数积。表示代数积。记号记号t算子：表示笛卡儿积算子：表示笛卡儿积),/()()(),/(),(vuvtuvuvuBARBVUAVUR定义定义14 模糊关系的合成：如果模糊关系的合成：如果R和和S分别为笛分别为笛卡儿空间卡儿空间U V和和V W上的模糊关系，则上的模糊关系，则R和和S的合成是定义在空间的合成是定义在空间U W上的模糊关系，并上的模糊关系，并记为记为RS。其隶属度函数的计算方法：。其隶属度函数的计算方法：模糊关系的合成可用模糊矩阵的合成来表示模糊关系的合成可

38、用模糊矩阵的合成来表示2、模糊关系的合成、模糊关系的合成WwVvUuwvvuSRV,) ),(, ),(min(maxminsup( , )sup( , )( ,) ),R SRSVR Su wu vv wu U v V w W上确界（上确界（Sup)算子算子1 . 06 . 08 . 02 . 0RS祖祖父父祖祖母母父父0.50.7母母0.1001 . 07 . 05 . 0S用模糊矩阵用模糊矩阵S可表示为可表示为R父母子0.20.8女0.60.1例例8某家中子女与父母的长像相似关系某家中子女与父母的长像相似关系R为模糊关系，为模糊关系，可表示为可表示为也可以用模糊矩阵也可以用模糊矩阵R来表

39、示来表示该家中父母与祖父母的相似关系也是模糊关系，可表示为该家中父母与祖父母的相似关系也是模糊关系，可表示为求孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度？（即求求孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度？（即求 ）R S0.20.80.50.70.60.10.10R S 解：解：(0.20.5)(0.80.1)(0.20.7)(0.80)(0.60.5)(0.10.1)(0.60.7)(0.10)0.20.20.50.6 此模糊关系表明：孙子与祖父、祖母的相似程度此模糊关系表明：孙子与祖父、祖母的相似程度为为0.2、0.2;孙女与祖父、祖母的相似程度为孙女与祖父、祖母的相似程度为0.5、0.6。ijij n m

40、RSrs模糊关系运算：模糊关系运算：ijijn mRSrs1ij n mRr例：例：0.20.40.50.8R0.50.30.10.7S,RS求：求：,RSR0.20.50.40.30.50.10.80.7RS0.20.50.40.30.50.10.80.7RS1 0.21 0.41 0.51 0.8R0.50.40.50.80.80.60.50.20.20.30.10.7解：解：TSRTSR)()(结合律：结合律：() () ()R T SR TR S()()()R TSR ST S分配律：分配律：模糊关系合成算子模糊关系合成算子sup-min的性质：的性质：第三节第三节 模糊逻辑、模糊逻辑

41、推理和合成模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成一、二值逻辑一、二值逻辑二、模糊逻辑及其基本运算二、模糊逻辑及其基本运算三、模糊语言逻辑三、模糊语言逻辑四、模糊逻辑推理四、模糊逻辑推理五、模糊关系方程的解五、模糊关系方程的解第三节模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成第三节模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成一、二值逻辑（真假命题）一、二值逻辑（真假命题）命题：能够判断它的涵义是真是假的句子。命题：能够判断它的涵义是真是假的句子。 如：等边三角形必是等腰三角形。如：等边三角形必是等腰三角形。常用的命题联结词：析取常用的命题联结词：析取、合取、合取、否认、蕴涵、否认、蕴涵、等价。等价。命命题题简单命题：一个句子简单命题：一

42、个句子复合命题：两个或两个以上的句子用联结复合命题：两个或两个以上的句子用联结词联结起来词联结起来二、模糊逻辑及其基本运算二、模糊逻辑及其基本运算模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑。模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑。模糊命题：含有模糊概念或者是带有模糊性的模糊命题：含有模糊概念或者是带有模糊性的 陈述句。陈述句。模糊命题的真值：隶属度函数（表示这个命题模糊命题的真值：隶属度函数（表示这个命题多大程度隶属于多大程度隶属于“真真”，0,1间连续取值）。间连续取值）。例：他是一个高个子。例：他是一个高个子。模糊概念常常用很、略、非常等模糊语气来修饰。模糊概念常常用很、略、非常等模糊语气来修饰。 模糊逻辑运算：

43、记P、Q、R为三个模糊单命题),min( QPQP2）模糊逻辑合取（）模糊逻辑合取（“与与”）：）：),max(QPQP3）模糊逻辑析取（）模糊逻辑析取（“或或”）：）：1)1 (QPQP4）模糊逻辑蕴含：如果）模糊逻辑蕴含：如果P是真的，那么是真的，那么Q也是真的，也是真的，_PP11）模糊逻辑补：用来表示对某个命题的否定，）模糊逻辑补：用来表示对某个命题的否定，模糊逻辑运算也是真值的运算，也就是隶属度函数的运算。 )()(PQQPQP5）模糊逻辑等价：）模糊逻辑等价：(1) 0 max(1 , 0)PQP QP Q 6）模糊逻辑限界积：）模糊逻辑限界积：) 1 ,min(1)(QPQPQP

44、7）模糊逻辑限界和：）模糊逻辑限界和：8）模糊逻辑限界差：）模糊逻辑限界差：0)(QPQP7 . 0),min(QPQP8 . 0),max(QPQP11)1 (QPQP例例9设有模糊命题设有模糊命题P：他是个和善的人，真值：他是个和善的人，真值P0.7; Q：他是个热情的人，真值：他是个热情的人，真值Q0.8QP ：他既是和善的人又是热情的人的真值：他既是和善的人又是热情的人的真值QP ：他是个和善的人或是个热情的人的真值：他是个和善的人或是个热情的人的真值则：QP ：如果他是个和善的人，则他是个：如果他是个和善的人，则他是个热情的人的真值热情的人的真值三、模糊语言逻辑三、模糊语言逻辑人工语

45、言：格式紧密，概念清晰，程序设计语言属人工语言：格式紧密，概念清晰，程序设计语言属 人工语言。人工语言。模糊语言：具有模糊性的语言模糊语言：具有模糊性的语言模糊语言逻辑是由模糊语言构成的一种模拟人思维的逻辑。模糊语言逻辑是由模糊语言构成的一种模拟人思维的逻辑。语言分类：语言分类：（具有不确定性；含模糊化词，如：很高、较大）（具有不确定性；含模糊化词，如：很高、较大）概念：概念：定义定义15模糊数（模糊子集）：连续论域模糊数（模糊子集）：连续论域U中的一模中的一模糊数糊数F是一个是一个U上的正规凸模糊集。上的正规凸模糊集。正规集合：隶属度函数的最大值为正规集合：隶属度函数的最大值为1，即，即1)

46、(maxuFUu凸集合：凸集合：,xab ( ,)ab U),)(),(min()(baxFFF在隶属度函数曲线上任意两点之间曲线上的任一点所在隶属度函数曲线上任意两点之间曲线上的任一点所表示的隶属度值都大于或者等于两点隶属度值中较小表示的隶属度值都大于或者等于两点隶属度值中较小的一个。的一个。例：例：“大约大约5”、“10左右左右”等具有模糊概念的数值。等具有模糊概念的数值。921,eee定义定义16语言值：在语言系统中语言值：在语言系统中,那些与数值有直接联系的那些与数值有直接联系的词，如长、短、多、少、高、低、重、轻、大、小等或者由词，如长、短、多、少、高、低、重、轻、大、小等或者由它们

47、再加上语言算子（如很、非常、较、偏等）而派生出来它们再加上语言算子（如很、非常、较、偏等）而派生出来的词组，如不太大、非常高、偏重等都被称为语言值。的词组，如不太大、非常高、偏重等都被称为语言值。语言值可以用模糊数来表示。语言值可以用模糊数来表示。例：成年男子身高的论域例：成年男子身高的论域E130，140，150，160，170，180，190，200，210在论域在论域E上定义语言值：上定义语言值：;/ 1/95. 0/8 . 0/6 . 0/4 . 0/2 . 0 987654eeeeee个子高54321/1 . 0/3 . 0/5 . 0/7 . 0/1eeeee个子矮定义定义17 语

48、言变量：语言变量是用一个五元素的语言变量：语言变量是用一个五元素的集合集合(X，T(X)，U，G，M)来表征的。来表征的。X：语言变量名，如速度、年龄、颜色等；：语言变量名，如速度、年龄、颜色等；T(X)：语言变量：语言变量X的项集合（语言值的集合）的项集合（语言值的集合）U：语言变量：语言变量X的论域的论域G：产生：产生X数值名的数值名的(用于产生语言变量值用于产生语言变量值)M：与每个语言变量含义相联系的算法规则（决定隶属度）：与每个语言变量含义相联系的算法规则（决定隶属度）语言值：模糊子集语言值：模糊子集语言值：用模糊数语言值：用模糊数(模糊子集模糊子集)来表示。来表示。1x2x3x4x

49、5x6x7x)(x0 . 1030507090105120很慢慢较慢中等较快快很快1/hkmU论域速度语言变量语言变量X语言值规则语言值规则G语言值集合语言值集合T(X)算法规则算法规则M图10语言变量元素之间的关系示意图例：例：“速度速度”为一语言变量，可以赋予很慢、慢、为一语言变量，可以赋予很慢、慢、较慢、中等、较快、快、很快等语言值。较慢、中等、较快、快、很快等语言值。（修饰词）（修饰词）语言算子：语言算子：“较较”、“很很”、“非常非常”、“稍微稍微”、“大约大约”、“有点有点”等等判定化算子判定化算子语言算子语言算子语气算子语气算子模糊化算子模糊化算子1.语气算子语气算子 集中化算子

50、（强化算子）集中化算子（强化算子）对于论域对于论域U，若存在单词，若存在单词w，有隶属函数，有隶属函数 ，则，则在单词在单词w前面加上模糊量词前面加上模糊量词s后有：后有： ,则称则称s为为集中化算子。集中化算子。( )wu( )swu)(x0 x温度高温度很高图图11强化算子的作用示意图强化算子的作用示意图强化算子使得模糊值的隶属度函数的分布向强化算子使得模糊值的隶属度函数的分布向中央集中，在图形上有使模糊值尖锐化的倾中央集中，在图形上有使模糊值尖锐化的倾向。向。集中化算子三个档次：集中化算子三个档次：1. 极极 2. 非常、很非常、很 3. 相当相当4AA极3AA非常1.5AA相当2AA很

51、例例 “年老年老” 200501)11(50)5xxxx 年老“年老”（x50220050( )( )111(50)5xxxx很老“很老”x50420050( )( )111(50)5xxxx极老“极老”x500.8年老(60)0.4极老(60)0.64很老(60) 松散化算子（淡化算子）松散化算子（淡化算子）对于论域对于论域U，若存在单词，若存在单词w，有隶属函，有隶属函数数 ，则在单词，则在单词w前面加上模糊量词前面加上模糊量词Q后有：后有： ,则称则称Q为松散化算子。为松散化算子。( )wu( )Qwu)(x0 x温度高温度较高图12淡化算子的作用示意图淡化算子使得模糊值的隶淡化算子使得

52、模糊值的隶属度函数的分布由中央向属度函数的分布由中央向两边弥散，在图形上有使两边弥散，在图形上有使模糊值平坦化的倾向。模糊值平坦化的倾向。松散化算子三个档次：1. 比较、较 2. 有点、略 3. 稍微0.8AA比较0.6AA略0.4AA稍例 “年老” 200501)11(50)5xxxx年老“年老”（x500.820050( )( )111(50)5xxxx较老“较老”x500.620050( )( )111(50)5xxxx略老“略老”x500.8年老(60)0.83较老(60)0.87略老(60)有点老年老很老x0图2-13 “有点”和“很”的比较(x)2、模糊化算子、模糊化算子作用：作用

53、：清晰概念的单词清晰概念的单词如如“大概大概”、“近似于近似于”、“大约大约”等等精确数：精确数：5例例11设论域设论域X上的清晰集上的清晰集A(x)的特征函数为的特征函数为5051)(xxxA2(5)5( )05xexxx大约是5“大约是大约是5”（模糊数）（模糊数）) (x0555x图214模糊数5参数参数的取值大小决定于模糊化算子的强弱程度的取值大小决定于模糊化算子的强弱程度越大，模糊化程度越？越大，模糊化程度越？越强越强模糊词模糊词在模糊控制中，实际系统的输入采样值一在模糊控制中，实际系统的输入采样值一般总是精确量，要利用模糊逻辑推理方法，般总是精确量，要利用模糊逻辑推理方法，就必须首

54、先把精确量进行模糊化，而模糊就必须首先把精确量进行模糊化，而模糊化过程实质上是使用模糊化算子来实现的。化过程实质上是使用模糊化算子来实现的。3、判定化算子（清晰化算子）、判定化算子（清晰化算子）作用：作用：模糊词模糊词清晰概念的词清晰概念的词例如：例如：“倾向于倾向于”、“大半是大半是”、 “偏向偏向”等等判定化算子与模糊判定化算子与模糊化算子的作用相反化算子的作用相反P表示：表示： ，0,1一般取一般取 ，即，即 ，表示，表示“倾向于倾向于”0.50.5P0.50,( )0.51,( )0.5xPx3、判定化算子（清晰化算子）200501)11(50)5xxxx年老“年老”（x50例：例：求

55、倾向于老：求倾向于老：0.5P21)0.511(50)5xx年老（21(50)15x55x 0.50,551,55xPx年老“倾向于老” （(x)）模糊控制器的设计 模糊控制器的设计包括以下几项内容：模糊控制器的设计包括以下几项内容： 根据本次采样得到的系统的输出值，根据本次采样得到的系统的输出值，计算所选择的系统的输入变量；计算所选择的系统的输入变量； 将输入变量的精确值变为模糊量；将输入变量的精确值变为模糊量； 根据输入变量根据输入变量(模糊量模糊量)及模糊控制规及模糊控制规则，按模糊推理合成规则计算控制量则，按模糊推理合成规则计算控制量(模糊模糊虽虽)； 由上述得到的控制量由上述得到的控

56、制量(模糊量模糊量)计算精计算精确的控制量。确的控制量。 模糊控制器的设计也包括几个主要部分模糊控制器的设计也包括几个主要部分 精确量的模糊化精确量的模糊化 模糊控制算法设计模糊控制算法设计 模糊量到精确量的转换模糊量到精确量的转换精确量的模糊化 基于推理合成规则进行模糊推理基于推理合成规则进行模糊推理 (2)量化因子与比例因子量化因子与比例因子 (3)语言变量值的选取语言变量值的选取 (4)语言变量论域上的模糊子集语言变量论域上的模糊子集 (5)语言变量的赋值表语言变量的赋值表 (6)一个确定数的一个确定数的Fuzzy化化模糊控制算法设计 常见的模糊控制规则常见的模糊控制规则 单输入单输出模

57、糊控制器控制规则形式单输入单输出模糊控制器控制规则形式为：为： if A then B if A then B else C 双输入单输出模糊控制器控制规则形式双输入单输出模糊控制器控制规则形式为：为： if E and C then U 多输入单输出模糊控制器控制规则形多输入单输出模糊控制器控制规则形式为：式为：If A and B and and N then U模糊控制算法设计 双输入多输出模糊控制器控制规则形双输入多输出模糊控制器控制规则形式为：式为：If E and EC then UAnd if E and EC then V And if E and EC then W 模糊关系

58、的确定模糊关系的确定 模糊控制器的控制规则是由一组彼此间通过模糊控制器的控制规则是由一组彼此间通过“或或”的关系连结起来的模糊条件语句来描的关系连结起来的模糊条件语句来描述的。其中每一条模糊条件语句，当输入、述的。其中每一条模糊条件语句，当输入、输出语言变量在各自论域上反映各语言值的输出语言变量在各自论域上反映各语言值的模糊子集为已知时，都可以表达为论域积集模糊子集为已知时，都可以表达为论域积集上的模糊关系上的模糊关系 在计算每一条模糊条件语句决定的模糊关系在计算每一条模糊条件语句决定的模糊关系Ri 之后，考虑到此等模糊条件语句间的之后，考虑到此等模糊条件语句间的“或或”关系，可得描述整个系统

59、的控制规则的关系，可得描述整个系统的控制规则的总模糊关系总模糊关系R为为121mmiiRRRRR模糊量到精确量的转换 基于推理合成规则进行模糊推理基于推理合成规则进行模糊推理 输出信息的去模糊判决输出信息的去模糊判决模糊控制理论在一、概述一、概述二、在汽车上的应用方面二、在汽车上的应用方面三、举例说明在汽车空调当中的应用三、举例说明在汽车空调当中的应用四、简要介绍在其他方面的应用四、简要介绍在其他方面的应用2、为什么为什么采用模糊控制？采用模糊控制？ 传统的自动控制控制器的综合设计都要建传统的自动控制控制器的综合设计都要建立在被控对象准确的数学模型立在被控对象准确的数学模型( (即传递函数即传

60、递函数模型或状态空间模型模型或状态空间模型) )的基础上，但是在实的基础上，但是在实际中，很多系统的影响因素很多，油气混际中，很多系统的影响因素很多，油气混合过程、缸内燃烧过程等合过程、缸内燃烧过程等) ) ，很难找出精，很难找出精确的数学模型。这种情况下，模糊控制的确的数学模型。这种情况下，模糊控制的诞生就显得意义重大。因为模糊控制不用诞生就显得意义重大。因为模糊控制不用建立数学模型不需要预先知道过程精确的建立数学模型不需要预先知道过程精确的数学模型。数学模型。 2、为什么为什么采用模糊控制？采用模糊控制？ 要研制智能化的汽车，就离不开模糊控要研制智能化的汽车，就离不开模糊控制技术制技术如汽