清华大学断裂力学讲义ch3

1、第三章：线弹性断裂力学第三章：线弹性断裂力学断裂模式及对称性分析断裂模式及对称性分析三型裂纹裂尖场的渐近解三型裂纹裂尖场的渐近解复变函数（回顾）复变函数（回顾）三型裂纹裂尖场的解三型裂纹裂尖场的解应力强度因子应力强度因子KK-G关系关系计算计算K的常用方法的常用方法讨论讨论0,3, 3321u332032 u反平面剪切问题（一个相对简单的问题）反平面剪切问题（一个相对简单的问题）整理可得调和方程（或由整理可得调和方程（或由NavierNavier方程直接简化）方程直接简化）渐近解渐近解为什么有如此渐近的形式？为什么有如此渐近的形式？M.L. Williams. On the stress di

2、stribution at the base of a stationary crack. Journal of Applied Mechanics 24, 109-115 (1957). 133uru0 as0iur分离变量法分离变量法 33,urR r u222333322210uRRRuuurrrr2223333222110uuuurrrr2222322321101urRrRRrRru George Rankine IrwinG.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a

3、plate. Journal of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).应力强度因子应力强度因子KI,II,III与与G之间的关系之间的关系G 与裂纹延伸时与裂纹延伸时能量的变化能量的变化有关有关KI,II,III仅与仅与裂纹尖端区域的场强度裂纹尖端区域的场强度有关有关KI,II,III与与G之间的关系之间的关系?1eeUUGABa 2212032,0lim2,0,0IIIrIIIKrKrrKr首先假设固定位移加载首先假设固定位移加载针对针对III型裂纹型裂纹1x2xu uu u aB113210lim2,0IIIxKxx1+-+23313131122,=

4、2,=IIIKuuaxuaxuaxax A1x2x a32131000321311001limlim,021lim,0,aABaaaaUUGxu dxaaxuaxdxa 3211,02IIIKxx22IIIKG针对针对I、II、III型裂纹型裂纹2222IIIIIIKEKKG如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？ 1x2x a1x2xu uu u a 2112MiKaOxxIIIIIIMi3, 2, 111111,2,124MiiiiIIKaaaxuuaxuaxuaxIIII 211002111001lim,021lim,0,aiiaa

5、iiaGxu dxaxuaxdxa 【作业题作业题3-5】21110,0,aiitipG axuaxdxwa 复合型裂纹复合型裂纹dddFUaGFddUdawtip1x2x a1x2xu uu u aFF可由能量平衡来理解可由能量平衡来理解逐渐放松保持力过程逐渐放松保持力过程这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。 裂纹扩展裂纹扩展q 能量释放率和应力强度因子关系是假定能量释放率和应力强度因子关系是假定裂纹呈直线延伸裂纹呈直线延伸下得下得到的。到的。q 在在II型和型和III型加载下裂纹扩展往往会发生拐折和分叉。对很型加载下裂纹扩展往往会发生

6、拐折和分叉。对很多材料的实验观察表明，多材料的实验观察表明，裂纹实际的扩展路径会逐渐转向为裂纹实际的扩展路径会逐渐转向为I型断裂占优的路径。型断裂占优的路径。q 此外，此外，I型断裂最为危险。型断裂最为危险。2222IIIIIIKEKKGEKGI2平面应变断裂韧性：平面应变断裂韧性：实验测量应力强度因子实验测量应力强度因子电测法电测法光弹法光弹法热弹性法（热弹性法（Thermoelastic Method）数字图像相关（数字图像相关（Digital image correlation）裂尖应变裂尖应变裂尖温度场裂尖温度场裂尖位移场裂尖位移场裂尖主应力裂尖主应力临界状态安全ICIKK基于应力强度

7、因子的断裂准则基于应力强度因子的断裂准则KIC 材料的断裂韧性材料的断裂韧性（Fracture toughness）实验测量实验测量KICASTMCompact tension (CT)Single edge notch bend (SENB)22.5ICyKB22.5ICyKa平面应变平面应变Crack mouth opening displacement (CMOD)QQPaKfWB W此前，只讨论了裂尖的渐近解，这里将讨论如何结合几何和载此前，只讨论了裂尖的渐近解，这里将讨论如何结合几何和载荷条件来确定应力强度因子。主要有以下一些方法：荷条件来确定应力强度因子。主要有以下一些方法：v W

8、estergaard应力函数法（应力函数法（ Westergaard stress function）v 权函数法（权函数法（Weight function）v 线性叠加法线性叠加法 （Principle of superposition）0 ,2lim12101xxKixM应力强度因子求解应力强度因子求解应力强度因子的计算：应力强度因子的计算：IIIIIIMi3, 2, 1Westergaard应力函数法（应力函数法（ Westergaard stress function）之前的解析函数构造时只关心裂尖处的之前的解析函数构造时只关心裂尖处的渐近场渐近场及边界条件，及边界条件，Westerg

9、aard应力函数方法将满足所有边界，并能给出应力函数方法将满足所有边界，并能给出全场解。全场解。I、II型裂纹型裂纹40F ReFzzz dz112212Re 2Re 2Imzzz122Re2Imuzuz34Planestrain3Planestress1应力函数应力函数应力场应力场位移场位移场Westergaard应力函数法（应力函数法（ Westergaard stress function） dzzzzFRe00112，x,1x 0ImIm0022 xxzzzzzz,2FF Azzzx 02yvxuxvyu zzAz zzZI 2在前面的平面问题求解中在前面的平面问题求解中,需要确定两个

10、解析函数需要确定两个解析函数 (z)和和 (z) ，其实在对称和，其实在对称和反对称特例下，可利用反对称特例下，可利用Westergaard函数进一步简化为一个解析函数的求解。函数进一步简化为一个解析函数的求解。以以I型问题为例：型问题为例： 利用了对称性利用了对称性A为实常数为实常数解析延拓（定义见下页）：解析延拓（定义见下页）： I型裂纹的型裂纹的Westergaard应力函数：应力函数： AZxZIIImRe211 AZxZIIImRe222 IZx Re212 121ImRe212AxZxdzZuII 222ReIm212AxZxdzZuII用用Westergaard应力函数表示应力、

11、位移应力函数表示应力、位移应力场应力场位移场位移场 zzZI 2 2IzzAZz112212Re 2Re 2Imzzz122Re2Imuzuz当当 x2= 0时剪应力为零，这意味着时剪应力为零，这意味着裂纹面是主平面裂纹面是主平面。I型裂纹型裂纹012, 02122axxi AZxZIIImRe222 0Re1 AxZI12,0 xa xax1 22IR zR zZAAzazaza1122,z 例：双轴载荷下含中心裂纹的无穷大板例：双轴载荷下含中心裂纹的无穷大板是是ZI(z)两个枝点，可猜测两个枝点，可猜测无穷远处的边界条件：无穷远处的边界条件：自由裂纹表面：自由裂纹表面：22IzzZzaza

12、za AZxZIIImRe211 AZxZIIImRe2221x2x【作业题作业题3-6】双轴加载，但水双轴加载，但水平与竖直方向远平与竖直方向远场应力不同场应力不同一旦一旦Westergaard函数已知，便可知道全场解函数已知，便可知道全场解12,0 xa x22IzZza1221221ReIxZxxa转换坐标到裂尖转换坐标到裂尖1rxaI型裂纹：型裂纹：1xra1220011lim,0lim22rrxaarxaxarar220lim2,0IrKrra IKa112ReImIIZxZ222ReImIIZxZ IZx Re2121212ReIm2IIuZ dzxZ2212ImRe2IIuZ d

13、zxZ应力场应力场位移场位移场裂纹面上裂纹面上221ReIZx21Im4IuZ dz lim2IIzaKZzza2sin21sin2IZaWzW还可用还可用Westergaard函数法考察共行和共列多个裂纹的相互作用（参见函数法考察共行和共列多个裂纹的相互作用（参见Koiter，1959的工作）。的工作）。如何猜测如何猜测Westergaard函数？函数？【题题3-7】对于周期性分布的共行、共列裂纹，如何提边界条件？并利对于周期性分布的共行、共列裂纹，如何提边界条件？并利用用Westergaard函数证明裂尖应力强度因子。函数证明裂尖应力强度因子。2tan2IWaKaaW 2x1x共行裂纹的交

14、互作用为共行裂纹的交互作用为加强各自的应力强度因子加强各自的应力强度因子，而共列裂纹则起，而共列裂纹则起相互屏相互屏蔽作用蔽作用。ab1122Im2IIZ22111222IIIIiiZx Z 12242IIIIIIuiuiZz dziZz dzx Zz II裂纹的裂纹的Westergaard应力函数应力函数 2IIZziz裂纹面上裂纹面上应力场应力场位移场位移场12ReIIZ11Im4IIuZ dz22IIzZzaII型中心裂纹承受远场均匀剪切型中心裂纹承受远场均匀剪切IIKa2211111,04uxaxxa lim2IIIIzaKi Zzza3231IIIiZ3ImIIIuZIII型型裂纹的

15、复变函数表示方法裂纹的复变函数表示方法应力场应力场位移场位移场III型中心裂纹承受远场均匀剪切型中心裂纹承受远场均匀剪切22IIIzZza2231111,0uxaxxa IIIKa为了统一为了统一 lim2IIIIIIzaKZzza根据边界条件猜测根据边界条件猜测Westergaard函数函数边界条件边界条件32120,0 xa x321231,0 x x 3231IIIiZ11Re00 ,IIIZzxixaIIIZz 11IIIIIIZzazaZzaza 22IIIzZza裂纹面裂纹面无穷远无穷远III型裂纹面上承受集中力型裂纹面上承受集中力1IIIZzaza1IIIZzaza 0IIIZz

16、 0IIITZzbizb0IIITZzbizb22IIITTZzaza zbzazb0IIITzbiZizb2222IIITabZzazb0IIITzbiZizb 附：复变函数的性质附：复变函数的性质22zaIII型半无限场裂纹面上承受集中力型半无限场裂纹面上承受集中力10IIIZzziIIITZzbezbiIIITZzbezbIIITZz zbiIIITzbeZizbIIITbZz zbiIIITzbeZizb dAhfdhtKA权函数法权函数法顾名思义，加权累加，所以要求线弹性顾名思义，加权累加，所以要求线弹性Bueckner, H.F., “A Novel Principle for t

17、he Computation of Stress Intensity Factors.” Zeitschrift f r Angewandte Mathematik und Mechanik, Vol. 50, 1970, pp. 529545.Rice, J.R., “Some Remarks on Elastic Crack-Tip Stress Fields.” International Journal of Solids and Structures, Vol. 8, 1972, pp. 751758.James R. Rice为什么用机械总势能？（勒让德变换来改变变量）为什么用机械

18、总势能？（勒让德变换来改变变量） 12P0P2122aK2EPK,*K*u*2PuEhKa dAhfdhtKA2;PuKhxaaE把上述想法连续化，可得如下求解步骤：把上述想法连续化，可得如下求解步骤：（1 1）对一裂纹几何，若已知一种载荷下的解）对一裂纹几何，若已知一种载荷下的解权函数定义为权函数定义为（2 2）利用权函数可计算其它载荷下的应力强度因子）利用权函数可计算其它载荷下的应力强度因子不需要知道权函数的全场值，只不需要知道权函数的全场值，只需计算与需计算与t 、f 载荷功共轭的部分载荷功共轭的部分权函数的分布值。权函数的分布值。（3 3）该载荷下的位移场满足）该载荷下的位移场满足权函

19、数是唯一的，与加载状态无关，仅表示裂纹构型的特征！权函数是唯一的，与加载状态无关，仅表示裂纹构型的特征！左端还是右端的应力强度因子？左端还是右端的应力强度因子？ 【题题3-8】如何计算左端的应力强度因子？（仍用此坐标系表达）如何计算左端的应力强度因子？（仍用此坐标系表达）无限长裂纹无限长裂纹半无限长裂纹半无限长裂纹Green函数函数权函数方法也可用于三维裂纹权函数方法也可用于三维裂纹线性叠加法线性叠加法对于对于线弹性材料线弹性材料，只要，只要断裂模式是一致的断裂模式是一致的，应力强度因子也可以叠加。，应力强度因子也可以叠加。( )( )( )( )abcbIIIIKKKK已知已知b、c的应力强

20、度因子，如何求的应力强度因子，如何求a的强度因子？的强度因子？线性叠加法线性叠加法思考题？思考题？讨讨 论论渐近解渐近解与与全场解全场解的比较的比较2211,02IKxxa1221221,0 xxxa渐近解渐近解全场解全场解K主导区域主导区域222222FKKF43KKa坐标在裂纹中心KKll为最小的特征尺度小小 结结 （二）（二）vK与与G之间的关系之间的关系v求解求解K的方法的方法Westergaard函数法、权函数法、线函数法、权函数法、线性叠加法性叠加法v讨论关于渐近解与全场解的比较讨论关于渐近解与全场解的比较作作 业业 题题【作业题作业题3-5】：仿照讲义中：仿照讲义中III型裂纹型裂纹KIII与与G之间的推导，独立推导之间的推导，独立推导I、II型裂纹型裂纹KI 、KII与与G之间的关系。之间的关系。（1）给出）给出A图中裂尖使裂纹闭合的应力表示；图中裂尖使裂纹闭合的应力表示；（2）给出）给出B图中裂尖上下表面的位移差表示；图中裂尖上下表面的位移差表示；（3）代入如下公式计算）代入如下公式计算KI 、KII与与G之间的关系。之间的关系。211002111001lim,021lim,0,aiiaaiiaGxu dxaxuax