菱形证明专题训练

1、-作者xxxx-日期xxxx菱形证明专题训练【精品文档】绝密启用前乐学教育菱形证明专题训练1. 已知:如图,在四边形ABCD中,ABCD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DFBE,AC平分BAD.求证:四边形ABCD为菱形. 【答案】ABCD, BAE=DCF. DFBE, BEF=DFE, AEB=CFD. 又AE=CF, AEBCFD, AB=CD. ABCD, 四边形ABCD是平行四边形. AC平分BAD, BAE=DAF. 又BAE=DCF,

2、0;DAF=DCF, AD=CD, 四边形ABCD是菱形.2. 如图，矩形ABCD中，点O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若COB=60°，FO=FC.  求证:(1)四边形EBFD是菱形;【答案】连接OD.点O为矩形ABCD的对角线AC的中点， B,D, O三点共线且BD=DO=CO=AO. 在矩形ABCD中，ABDC，AB=DC，FCO=EAO. 在CFO和AEO中， CFOAEO，FO=EO. 又BO=DO，四边形BE

3、FD是平行四边形. BO=CO，COB=60°， COB是等边三角形.OCB=60°. FCO=DCB-OCB=30°. FO=FC，FOC=FCO=30°. FOB=FOC+COB=90°. EFBD.平行四边形EBFD是菱形.(2)MBOE=32.【答案】BO=BC，点B在线段OC的垂直平分线上. FO=FC，点F在线段OC的垂直平分线上. BF是线段OC的垂直平分线.   FMO=OMB=90°. OBM=30

4、°.OF=BF. FOC=30°，FM=OF. BM=BF-MF=2OF-OF=OF. 即FO=EO，BMOE=32.3. 如图,在ABC中,ABC=90°,BD为AC边上的中线,过点C作CEBD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.求证:四边形BGFD是菱形. 【答案】FGBD,BD=FG,四边形BGFD是平行四边形. CFBD,AGBD,CFAG.又ABC=90°,点D是AC的中点,BD=DF=AC, 平行四边形BGFD是菱形.4

5、. 如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DEAC,CEBD,连接OE. 求证:OE=BC. 【答案】DEAC,CEBD, 四边形OCED是平行四边形. 四边形ABCD是菱形, ACBD,OB=OD, BOC=COD=90°, 四边形OCED是矩形, ODE=90°,OB=OD,BOC=ODE=90°, BC=,OE=, DE=OC. OE=BC.5. 2015·兰州中考,25 (9分)如图,四边形ABCD中,ABCD,ABCD,BD=

6、AC. (1)求证:AD=BC;【答案】作BMAC,BM交DC的延长线于点M,则ACD=BMD.1分  ABCD,BMAC, 四边形ABMC为平行四边形.2分 AC=BM. BD=AC,BM=BD. BDM=BMD. BDC=ACD. 在BDC和ACD中,  BDCACD.4分 BC=AD.5分(2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.【答案】连接EG,GF,FH,HE.6分 E,H为AB,BD的中点,EH=AD

7、. 同理FG=AD,EG=BC,FH=BC. BC=AD,EG=FG=FH=EH.8分 四边形EGFH为菱形, EF与GH互相垂直平分.9分6. 2015·长春中考,18 (7分)如图,CE是ABC外角ACD的平分线,AFCD交CE于点F,FGAC交CD于点G,求证:四边形ACGF是菱形. 【答案】因为AFCD,FGAC, 所以四边形ACGF是平行四边形, 又因为ACE=ECG,ECG=AFC, 所以ACE=AFC,所以AC=AF, 由得四边形ACGF是菱形.7. 2010·

8、上海中考，23已知梯形ABCD中，ADBC，ABAD(如图所示)，BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE. (1)在图中，用尺规作BAD的平分线AE(保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED是菱形；【答案】  BAEDAE， DAEBEA， BAEBEA，ABBEAD， ADBE，四边形ABED的平行四边形，又ABAD， 四边形ABED为菱形(2)ABC60°，EC2BE，求证：EDDC.【答案】过D作DFAE，则DFCF1， C30°，而DEC60°， EDC90&

9、#176;，EDDC.8. 2010·沈阳中考，19如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形. 【答案】点E，F分别为AB，AD的中点 AEAB，AFAD(2分)  又四边形ABCD是菱形 ABAD AEAF(4分) 又菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O O为BD的中点 OE，OF是ABD的中位线(6分) OEAD，OFAB 四边形AEOF是平行四边形(8分) AEAF&#

10、160;四边形AEOF是菱形(10分)9.  2010·安徽中考，20如图，ADFE，点B,C在AD上，12，BFBC. (1)求证：四边形BCEF是菱形；【答案】ADFE，FEB2. 12，FEB1. BFEF BFBC，BCEF. 四边形BCEF是平行四边形 BFBC， 四边形BCEF是菱形(5分)(2)若ABBCCD，求证：ACFBDE.【答案】EFBC，ABBCCD，ADFE， 四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形，AFBE，FCED.(8分) 又AC2BCBD，(9分

11、) ACFBDE.(10分)10. 2013·长沙中考，24如图，在ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，AND90°，连接CM交DN于点O. (1)求证：ABNCDM；【答案】ABNCDM，ABCD， BNBCADDM， ABNCDM(SAS).(2)过点C作CEMN于点E，交DN于点P，若PE1，12，求AN的长.【答案】M，O分别为AD，ND的中点， ANMO且AN2MO， MODAND90°，即平行四边形CDMN是菱形， 在RtMOD与RtNEC中， 12，MDNC，RtM

12、ODRtNEC， MONE. 根据菱形的性质可知，MNDCND，1CND，所以MNDCND230°，所以在RtENP中NEPE÷tan30°， 即AN2.11. 如图,在ABC中,A=90°,AHBC于点H,B的平分线交AC于点D,交AH于点E,DFBC于点F,求证:四边形AEFD是菱形. 【答案】ABD=FBD,BD=BD,BAD=DFB=90°, ABDFBD,AD=DF,AB=FB. 又ABE=FBE,BE=BE, ABEFBE. BAE=BFE. 

13、又BAE=90°-ABC=C, BFE=C,EFAD. DFBC,AHBC,AEDF. 四边形AEFD是平行四边形. 又AD=DF,四边形AEFD是菱形.12. 2012·南宁中考,25如图,已知矩形纸片ABCD,AD2,AB4,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.  图1图2(1)如图1,求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；【答案】证法一：  证明：在矩形ABCD中,CDAB 13(1分) 由折叠可知：

14、AGEG,12 23 EFEG(2分) EFAG 四边形AGEF是菱形(3分) 证法二： 证明：连接AF,由折叠可知  OAOE,AGEG(1分) 在矩形ABCD中,ABCD AEFEAG AOGEOF AOGEOF(ASA)(2分) AGEF 四边形AGEF是菱形(3分)(2)如图2,当AED的外接圆与BC相切于点N时,求证,点N是线段BC的中点；【答案】证明：连接ON,O是RtADE外接圆圆心.  O与BC相切于点N ON

15、BC(4分) 在矩形ABCD中,DCBC,ABBC CDONAB (5分) OAOECNNB 即N为BC的中点(6分)(3)如图2,在第2问的条件下,求折痕FG的长.【答案】解法一： 过点O作OMAB于点M,则四边形OMBN是矩形  设O半径为x,则OAOEONx(7分) AB4,AD2AM4x 由第2问得,NBOM1 在RtAOM中,OA2AM2OM2 x2(4x)212x(8分) AM4 FEOOAM 又FOEOMA90° 

16、;RtEFORtAOM (9分) OFFG2OF(10分) 解法二： 延长NO交AD于点M  四边形ABNM是矩形 AMBNAD1 O为RtADE外接圆圆心 OAOEON 设ON为x,则OM4x(7分) 在RtAMO中,AM2OM2OA2 即12(4x)2x2 x(8分) OM4 FGAE,MNDCFEOMOAAMOEOF90° EOFOMA (9分) OFFG2OF(10分)13. 2013·葫

17、芦岛中考,20 (本小题满分8分) 如图,四边形ABCD中,ADBC,BAAD,BC=DC,BECD于点E. (1)求证:ABDEBD;【答案】如图,  ADBC, 1=DBC. BC=DC,2=DBC. 1=2.2分 又BAD=BED=90°, BD=BD,ABDEBD.4分(2)过点E作EFDA,交BD于点F,连接AF.求证:四边形AFED是菱形.【答案】由第1问得,AD=ED,1=2. EFDA,1=3,2=3. EF=ED.5分 EF=AD.6分&

18、#160;四边形AFED是平行四边形. 又AD=ED. 四边形AFED是菱形.8分14. 2013·贵阳中考，20 已知：如图，在菱形ABCD中，F为BC上的任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC. (1)求证：AEEC；【答案】  证明：连接AC. BD是菱形ABCD的对角线， BD垂直平分AC. AEEC.(2)当ABC60°，CEF60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由.【答案】点F是线段BC的中点. 理由：菱形ABCD中，ABBC， 

19、;又ABC60°. ABC是等边三角形，BAC60°. AEEC，CEF60°，EAC30°. AF是ABC的角平分线. AF交BC于点F， AF是ABC的BC边上的中线. 点F是线段BC的中点.15. 2012·上海中考,23已知：如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,BAFDAE,AE与BD交于点G. (1)求证：BEDF；【答案】四边形ABCD为菱形, ABADBCCD, ABDADBCBDCDB, ABEADF 

20、BAFDAE, 且BAFBAEEAF, DAEDAFEAF BAEDAF. ABEADF(ASA). BEDF.(2)当时,求证：四边形BEFG是平行四边形.【答案】在菱形ABCD中,ADBC, DAEBEA,ADBEBD. AGDEGB. . 又,BEDF,  GFBE. DGFDBC. DBCCDB, DGFGDF, GFDF, BEGF. BEGF, 四边形BEFG是平行四边形.16. 2013·乌鲁

21、木齐中考,19如图,在ABC中,ACB90°,CDAB于D,AE平分BAC,分别与BC,CD交于E,F,EHAB于H,连接FH.求证：四边形CFHE是菱形. 【答案】AE平分BAC,CAEEAH,而ACB90°,CDAB, CEACAEAFDEAH90°,又APDCFE, CFECEF,CFCE. 又AE平分BAC,ACB90°.EHAB,CEEH, CFEHCE,CDAB,EHAB,CFEH, 四边形CFHE是菱形.17. 如图所示,在菱形ABCD中,CEAB于点E,CFAD于点F,求证:AE

22、=AF. 【答案】证法1：如图所示,连接AC,  四边形ABCD是菱形, AC平分BAD,即BAC=DAC. 在ACE和ACF中, AEC=AFC=90°,BAC=DAC,AC=AC, ACEACF(AAS),AE=AF. 证法2：四边形ABCD是菱形, BC=DC=AD=AB,B=D. 又在BCE和DCF中,BEC=DFC=90°, BCEDCF(AAS),BE=DF,AE=AF.18. 2013·南宁中考，23如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E

23、，F分别是边BC，AD的中点. (1)求证：ABECDF；【答案】在菱形ABCD中，ABBCCDDA(或ABCD，BCDA). BD. 点E，F分别是边BC，AD的中点， BEDF. ABECDF.(2)若B60°，AB4，求线段AE的长.【答案】解法一：ABBC，B60°， ABC是等边三角形. 点E是BC边的中点. AEBC. 在RtABE中，sinB. AEAB·sinB4×. 解法二：ABBC，B60°， ABC是等边

24、三角形. 点E是BC边的中点，AEBC. BAE30°. 在RtABE中，BEAB2. AE.19. 2012·温州中考,19(本题8分) 如图,ABC中,B90°,AB6cm,BC8cm,将ABC沿射线BC方向平移10cm,得到DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连接AD.求证：四边形ACFD是菱形. 【答案】法一：B90°,AB6cm,BC8cm. AC10cm. 由平移变换的性质得CFAD10cm,DFAC, ADCFACDF, 四边形ACF

25、D是菱形. 法二：由平移变换的性质得ADCF, ADCF10cm, 四边形ACFD是平行四边形, B90°,AB6cm,BC8cm, AC10cm, ACCF, ACFD是菱形.20. 2011兰州中考，27(本小题满分12分) 已知：如图17所示的一张矩形纸片ABCD(ADAB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F.分别连接AF和CE. (1)求证：四边形AFCE是菱形；【答案】由题意可知OAOC，EFAO.  ADBC，AEO

26、CFO，EAOFCO， AOECOF，AECF，又AECF， 四边形AECF是平行四边形(2分) ACEF，四边形AECF是菱形.(4分)(2)若AE10 cm，ABF的面积为24 cm2，求ABF的周长；【答案】四边形AECF是菱形， AFAE10 cm. 设ABa，BFb， ABF的面积为24 cm2, a2b2100，ab48(6分) (ab)2196，ab14或ab14(不合题意，舍去)(7分) ABF的周长为ab1024 cm(8分)(3)在线段

27、AC上是否存在一点P，使得2AE2AC×AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.【答案】存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点(9分) 证明：AEPAOE90°，EAOEAP， AOEAEP， AE2AO×AP(11分) 四边形AECF是菱形， AOAC，AE2AC×AP， 2AE2AC×AP.(12分)21. 2013·营口中考,19如图 ,ABC中,AB=AC,AD是ABC一个外角的平分线,且BAC=ACD. (1)求证:ABCCDA;【答案】AB=AC,B=ACB 又FAC是ABC的一个外角, FAC=B+ACB FAC=2ACB2分 又AD是FAC的角平分线,FAC=2CAD, ACB=CAD3分 又AC=CA,BAC=DCA ABCCDA4分(2)若ACB=60°,求证:四边形ABCD是菱形.【答案】BAC=ACD ABCD5分 又ACB=CAD, ADBC. 四边形ABCD是平行四边形.6分 AB=AC,ACB=60