激光电弧复合焊数值模拟

1、激光电弧复合焊接数值模拟NUMERICAL SIMULATION OF LASER-ARC HYBRID WELDING 摘要焊接是一个涉及物理、传热、冶金和力学等学科的复杂过程。高强钢由于其良好的性能在造船等重型机械中得到广泛应用，但正因为其用途的特殊性，对其连接技术也提出了更高的要求。本文以7mm厚的高强钢为研究对象，结合数值计算的方法，并利用有限元分析理论，选用高斯分布的热源模型，解决了热源移动的模拟。通过确定物理参数的变化，解决相变潜热等问题。利用ANSYS模拟了整个焊接过程的温度场分布，模拟对比了不同激光功率、电弧电流、焊接速度下的的温度场分布，得到了相应的熔深和熔宽的大小，并通过试

2、验一一进行验证，模拟结果和试验测得的数据吻合良好。试验证明:复合焊接能实现良好的桥接性，焊缝硬度高于母材，但低于单独的激光焊接，焊缝均匀性好。电弧的引入明显增加了焊接的熔深和熔宽。随着激光功率的增大，熔深增大，但超过一定值反而下降。电弧电流、焊接速度、激光离焦量、激光与电弧的距离都对焊缝的成型有重要影响，当这些参数达到合理的配置时，焊接质量最好。在激光功率2kw，相应电弧电流1 OOA左右，焊接速度1 m/min时，焊缝形貌美观，熔深大。在离焦量为一1 mm，激光与电弧距离为2mm的条件下，熔池稳定，焊接效果好。关键词:激光电弧复合焊接数值模拟高强钢温度场工艺参数第一章绪论1.1引言 焊接是涉

3、及许多学科的复杂的物理、化学过程。焊接现象包括焊接时的电磁、传热过程、金属的熔化和凝固、冷却时的相变、焊接应力和变形等。焊接过程产生的焊接应力和变形，不仅影响焊接结构的制造过程，而且还影响焊接结构的使用性能。焊接热源的热能特性和力学特性直接影响着熔池和母材表面的热流分布、熔池的热传递和熔池内液态金属的流动，而熔池中液态金属的流动强烈地影响着熔池的几何形状，从而影响焊缝成形和质量，影响焊接接头的力学性能。由于高集中的瞬时热输入，在焊接过程中和焊后将产生相当大的残余应力和变形(残余变形、焊接收缩、焊接翘曲)，而且焊接过程中产生的动态应力和焊后残余应力影响构件的变形和焊接缺陷，而且在一定程度上还影响

4、结构的加工精度和尺寸的稳定性。 因此对焊接过程温度场和应力场以及焊接应力的分析就显得非常重要，它能帮助我们改善焊接工艺，提高焊接质量。传统的焊接温度场和应力预测依赖于试验和统计基础上的经验曲线或经验公式，以“理论试验生产”的模式来研究，但仅从实验角度研究焊接热应力和焊后残余应力和变形问题难度很大，无前瞻性，不能全面预测和分析焊接对整个结构的力学特性影响，客观评价焊接质量。并且大量的试验增加了生产成本，耗费人力物力，尤其在军工、航天、航海、核反应堆等大型重要焊接结构制造过程中，任何尝试和失败都将造成重大经济损失，而数值模拟将发挥其独特的能力和优势，采用“理论数值模拟生产”的模式，可以使这一问题得

5、到更好的解决。配合一定的工业试验，采用模拟技术，建立合适的分析模型既可以减少试验节省时间，更能大大降低成本，是目前焊接工程领域的一个研究热点随着有限元技术和计算机技术的飞速发展，为数值模拟技术提供了有力的工具，很多焊接过程可以采用计算机数值模拟。随着差分法、有限元法的不断完善，焊接热应力和残余应力模拟分析技术相应的发展起来。用有限元技术和计算机技术模拟焊接温度场和应力应变场，研究复合热源焊接工艺中小孔、等离子体以及热源的相互祸合作用对于扩大激光加工的应用领域和提高国防装备具有重要的意义。 激光电弧复合焊接技术是一种新兴的焊接技术，我国目前对激光复合焊接的研究工作虽然刚刚起步，但是焊接在材料加工

6、中一直占有重要地位，现代制造业对焊接质量的要求也越来越高，激光电弧复合焊接是复合了激光与电弧在焊接中的优点，因此认真研究这种新兴的焊接技术对改善焊接的质量将会有重要的意义。本文基于大型有限元分析软件ANSYS，对中厚板高强钢复合焊接的过程进行数值模拟。首先通过数学计算获得复合焊接的热源模型，求出解析解。然后利用ANSYS分析其焊接温度场的变化规律，对复合焊接的工艺过程进行参数化优化设计，并通过对高强钢样板的焊接试验来验证数值模拟的正确性，检验焊接质量。1.2.1电弧焊接技术 电弧焊接是一种熔化焊，是通过利用电极和工件之间引发的电弧，将电能转换成热能，熔化、结合被焊接金属的一种焊接方法。电弧焊接

7、分非熔化极电弧焊接和熔化极电弧焊接。典型的非熔化极电弧焊为TIG焊，此外还有等离子弧焊、碳弧焊、原子氢焊等;典型的熔化极电弧焊接为MIG焊，此外还有焊条电弧焊、埋弧焊和药芯焊等。TIG焊的电弧电流的传导是依靠保护气体电离产生的离子，是纯气体电弧;MIG焊电流的传导，绝大部分依靠金属蒸气所产生的金属离子，小部分依靠保护气体离子，是金属蒸气电弧。但是它们都以氢气、氦气或两者的混合气体作为保护气，它们都是常见的各种金属材料的焊接方法。电弧焊接作为最早最普遍应用在材料连接领域的技术方法，己经发展成为一种成熟的焊接技术，在目前的工业界成为最主要的焊接方法。但是电弧速度慢(通常约0.3m/mm，而激光焊可

8、达2-10m/min，且电弧焊接深宽比小、变形大、生产效率低，不过电弧的搭桥能力比较强，故对焊接工件的间隙要求不严格，可以达到工件厚度的10%，同时电弧能量的利用率达到输出功率的60%以上。1.2.2激光焊接技术 自1960年T.H.Maiman利用红宝石晶体受激辐射产生激光生产出第一台激光器以来，激光技术已经发展成了世界范围内的激光产业。激光焊接分为热传导焊和深熔焊，二者焊接机理不同。金属材料的激光加工主要是基于光热效应的热加工，一般指形成小孔达到深熔焊接为目的一种焊接方法。在不同激光功率密度的激光束照射下，材料表面温度升高、熔化、汽化、形成小孔和等离子体。激光深熔焊接是指能形成小孔和等离子

9、体的激光热加工，此时，激光功率密度达106-10'W/c耐。小孔效应即当激光功率密度足够大，达到加工金属的汽化闭值(通常1 O6W/cm2)时，金属在激光的照射下被迅速加热，其表面温度在极短的时间内升高到沸点，使金属熔化或汽化。当金属汽化时，所产生的金属蒸汽以一定的速度离开熔池，金属蒸汽的逸出对熔化的液态金属产生一个反冲压力，使熔池金属表面向下凹陷，在激光光斑下产生一个小凹坑。当凹坑底部继续被加热汽化时，所产生的金属蒸汽一方面压迫坑底的液态金属使小坑进一步加深;另一方面，向坑外逸出的蒸汽将熔化的金属挤向熔池四周。这个过程继续进行下去，便在液态金属中形成一个充满金属蒸汽的细长孔洞(Vap

10、or Capillary )，有文献称为热毛细孔(Thermo capillary )，常称为小孔(Kev hole )。 等离子体效应是指当激光功率密度大于等离子体的屏蔽阂值时，激光辐射金属材料使之表面强烈汽化，产生金属蒸汽，蒸汽中的起始自由电子通过反韧致(Fresenal)辐射吸收激光能量而被加速，直至有足够的能量碰撞电离材料和周围气体，使电子密度雪崩地增长，就形成了等离子体!Rl I ul0激光焊接的优点a、功率密度高，热输入低，焊接速度快，热变形量小，熔宽窄，熔深大，单位时间熔合面积大，热影响区窄;b、冷却速度快而得到微细焊缝组织，接头性能良好;e、可对密闭透明的封闭物体内部金属材料进

11、行焊接:f、可用光导纤维进行远距离传输，工艺适应性好，配合计算机和机械手，易实现焊接过程的自动化与精密控制，可达性好，通过光路接近常规方法难以接近的工件部位;g、光没有惯性，易与在高速焊接中急停和重新启动;h、激光焊接为非接触焊接，无接触应力，无机械变形;i、焊接过程一般不需要电极和填充材料，焊接区几乎不受污染;且激光深熔焊有纯化作用，可以形成较纯、低杂质焊缝;J、可以实施异种材料焊接，处理常规方法难焊的材料，如玻璃、陶瓷、有机玻璃等;k、通过分光装置，可以实现一机多用，两台及以上工作台可在一台激光器控下分别使用。激光焊接缺点: a、能量利用率低，设备昂贵，一次投资大，特别是随着焊接厚度增加，

12、焊接成本大幅提高; b、对焊接前准备工作要求高，对坡口的加工精度要求高; c、激光致等离子体的吸收、反射，散射降低激光穿透能力和效率，且随着厚度和功率增加等离子体加剧; d、冷却速度快，气体来不及溢出，易形成气孔;e、焊缝窄，对工件的装卡精度要求高。1.2.3激光电弧复合焊接技术激光电弧复合焊(以下简称复合焊)是将物理性质和能量传输机制截然不同的两种热源复合在一起，同时作用于同一加工位置，既充分发挥了两种热源各自的优势，又相互弥补了各自的不足，从而形成了一种全新高效的热源。激光与电弧的复合万法有曲种，一种是目丽研咒牧多，相对答易买现的撒尤电弧旁轴复合I, 5。这种方法的优点是研制简单，但存在热

13、源为非对称性，难以用于曲线或三维焊接，和电弧与激光聚焦光斑的相互位置对焊接过程稳定性影响大的缺点。另外一种就是激光电弧的同轴复合E, 71，这种方法的缺点是需要在钨极加工中心孔，大大增加了钨极的损耗，降低了电弧热效率，而且无法用于激光与MIG的复合焊接。随着电弧焊设备和激光器性能的提高，激光电弧复合焊技术发展更加多样化，随着复合焊研究的进展，参与复合焊的激光束类型和电弧类型也有所变化。参与复合的激光包括Nd: YAG激光、COZ激光，电弧包括TIG电弧、MIG/MAG电弧以及等离子弧，利用各种复合形式焊接所得结果也不尽相同。目前研究最多的是激光与MAG电弧复合焊接。复合焊可兼各热源之长而补各自

14、不足，具有1+1大于2或更多的所谓“协同效应”。具体来说，激光电弧复合焊接有以下特点(1)可降低工件装配要求，间隙适应性好; (2)复合焊接利用电弧的复合作用，在保证大熔深的同时适当增加熔池宽度，降低凝固速度，有利于减少气孔;(3)可以实现在较低激光功率下获得更大的熔深和焊接速度，有利于降低成本;(4)电弧对等离子体有稀释作用，可减小对激光的屏蔽效应，同时激光对电弧有引导和聚焦作用，使焊接过程稳定性提高;(5)利用电弧焊的填丝可改善焊缝成分和性能，对焊接特种材料和异种材料有重 由图1.3，复合焊接与单一热源焊接焊缝形貌有明显不同，复合焊接兼备了二者的优点，见表1-1 从图1.3中可以看出，激光

15、一MIG复合焊的焊缝为明显的“图钉型”形貌，上部分为TIG电弧焊接成形，下部分为典型的激光焊接成形，其焊缝表面连续、平稳、深宽比大、热影响区窄、组织晶粒细小均匀、基本无下凹现象。与激光焊相比，可增大间隙装配裕度和热效率，扩大了激光焊的应用范围:与电弧焊相比，可提高电弧的稳定性和功率密度，从而进一步提高焊缝熔深及焊接速度，改善焊缝质量。采用激光-MIG复合焊焊接合金材料能在较宽的工艺参数范围内焊接，得到质量良好的焊缝和抗剪强度较高的焊接接头。 第三章温度场的解析解 在工业上人们非常关心焊缝及热影响区的焊接残余应力、抗拉强度等指标，而这些问题都直接与焊接热熔化过程的热循环密切相关。对于低碳钢、低合

16、金钢、高强钢来说，焊接加热过程中特别是高温停留时间、以及温度由8000C冷却到5000C的时间，对给定成分的材料的组织性能有决定性作用，而温度由4000C冷却到150的时间对氢的扩散及焊接冷裂纹的产生具有重要影响。要想准确测量焊接过程残余应力、焊缝强度，必须首先保证焊接热循环计算的准确性。为了计算焊接热循环，弄清楚焊接热循环的特点，人们提出了一系列计算模式，从本章开始将分别使用数学方法和软件模拟的方法对焊接热循环过程进行研究分析。3.1数值模拟方法 数值模拟的方法有很多种，如差分法、有限元法、数值积分法、蒙特卡罗法等。特别是有限元法，现已广泛应用于焊接热传导、焊接热弹朔性应力和应变分析的研究。

17、1)数值积分法 在微分方程的求解中，最自然的求解方法就是利用微积分学知识，找求积函数的原函数，然后用牛顿一莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式来计算积分值。但是对于复杂的函数，寻找其原函数是相当困难的，甚至是不可能的。数值积分将积分区间离散成若干个积分点，通过被积函数在这些积分点上的数值来逼近连续函数在这个积分区间的积分值，从而避免了求原函数。但是边界条件不好处理是数值积分的突出缺点。常用的数值积分方法有两类:插值求积公式和高斯求积公式。插值求积公式的节点是等距离离散的，意义相对简单，比如梯形公式、Simpson, Newton-Cotes公式等。高斯求积公式的节点间距是不等的，可以采

18、用了更少的节点，节省时间，因而一般用于复杂函数。2)有限差分法 有限差分法是把求解区域离散处理，近似的用差分、差商来代替微分、微商，从而将微分方程和边界条件的求解归结为求解一个线性代数方程组。对于具有规则的几何特性和均匀的材料特性问题差分法的程序设计简单，收敛好，计算过程简单。但是它局限于规则的差分网格(正方形、矩形、正三角形)划分，显得比较死板。同时它只考虑节点但没有考虑单元的作用，因而更简单，研究也比较早，比有限元法更成熟。3)有限元法 有限元法考虑了单元本身的贡献，具有更大的灵活性和适应性。单元的选取比较任意，适合于复杂形状的物体。对于几种材料组成的物体，可以利用分界面作为单元的界面，可

19、以同时在不同的区域配置不同密度的节点，从而在不过多增加节点总数的情况下提高计算精度。对于内部节点和边界节点采取同样的计算方法，因此，边界条件能自然的吸收进去，使各节点在精度上都比较协调。常用的有限元法有基于变分法和权余值法两种。变分法是把有限元法归结为求泛函数的极值问题;权余值法是直接从微分方程出发求近似解4J。本文使用有限元法对焊接温度场进行研究，而有限元法如何在焊接传热学中应用，焊接温度场有什么特点，如何利用有限元求解焊接温度场，下面做详细介绍与计算。3.2焊接温度场分析理论 焊接热过程虽然复杂，但是归根结底还是一种热现象，其热的传播仍然是热传导、对流和辐射这三种基本方式。三种基本热传递方

20、式: 1、热传导当物体内部存在温差，即存在温度梯度时，热量从物体的高温部分传递到低温部分;而且不同物体相互接触时热量会从高温物体传向低温物体。这种热量递的方式称为热传导。在激光电弧复合焊接中，由于功率密度高，小孔的形成时间相当短，当小孔形成并与电弧有效复合并形成稳定的熔池后，焊接过程主要传热方式是热传导。 2、热对流 热对流指固体的表面与它周围接触的流体之间，由于温差的存在引起的热量交换。高温物体(如暖气片)表面常常发生对流现象。这是因为高温表面附近的空气因受热而膨胀，密度降低并向上流动。与此同时，密度较大的冷空气下降并代替原来的受热空气，如图: 热对流分为两种:自然对流和强制对流。热对流用牛

21、顿冷却方程来描述: 本文的复合焊接中忽视焊件与卡具及机床之间的热传导，把工件理解为无限大，远离焊缝的一面施加绝热边界条件，焊件的上下表面施加热对流。 3、热辐射 热辐射指物体发射电磁能，并被其他物体吸收转变为热的热量交换过程。物体温度越高，单位时间辐射的热量越多。热传导和热对流都需要有传热介质，而热辐射无须任何介质。实质上，在真空中热辐射效率最高。 在工程中通常考虑两个和两个以上物体之间的辐射，系统中每个物体同时辐射并吸收热量。它们之间的净热量传递可以用斯蒂芬一波尔兹曼方程来计算:ANSYS提供的是人机交互界面或者程序界面，但是这个“黑匣子”里面的基本理论仍然遵循傅立叶定律、牛顿定律冷却方程、

22、斯蒂芬一波尔兹蔓定律和热力学第一定律(能量守衡定律)。对一个封闭的系统，即没有质量的流入或流出的系统，有:根据热分析理论，ANSYS热分析分为稳态传热分析和瞬态传热分析。稳杰传热时系统的静热流率为0，即流入系统的热量加上自身产生的热量等于流出系统的热量: 在稳杰分析中仟一节点的混度不随时间'c化，育长量平衡方程为: 瞬态传热过程是指系统在整个加热冷却过程中系统的温度、热流率、热边界条件以及系统内能随时间都有明显变化的过程。根据能量守衡原理，瞬态平衡方程表达为: 4、热传导微分方程(Laplace方程) 实际的焊接热传递过程中以上的传热过程是同时存在的，并非单纯以一种方式进行。那对于整个

23、焊接过程来讲，以哪种传热方式为主呢?普遍的研究认为，热源传给焊件，除电阻焊和摩擦焊以外，主要是辐射和对流为主:而焊件和焊条获得热量后，热的传播主要是热传导。因此，研究焊件温度场，以热传导为主，适当的考虑辐射、对流。而各种温度场的描述主要由热传导微分方程来推导得到。根据傅立叶公式和能量守衡定律(热力学第一定律)，对均匀、各向同性的连续体介质，且其材料特征值与温度无关时，得到热传导微分方程式: 3.3复合焊接热源模型的解析解 建立热源的目的是为了寻找符合相应焊接参数条件下的热流分布形式，使模拟的溶池边界线(液固)与实际的焊缝熔合线相吻合，并且温度场的分布与实际的情况一致，模拟得到的热循环曲线与实际

24、的热循环曲线一致，这也是模拟评定的准则。 选取热源要遵循的两个准则:一是要求热流的总功率与热源的有效输入功率相等，满足功率平衡方程;二是要求生热质点基本分布在焊接熔池区域内，而熔池以外的区域为固体导热区域;体热源模型应当选取生热质点大体上位于相似于熔池形状的区域内的热源形式 14 :1510 3.3.1电弧焊接热源解析模型so，一14 焊接热源温度场的研究之初，就是基于电弧焊接的。雷卡林公式体系也是在电弧焊接基础上建立起来的。在经典的焊接热源研究中，通常都将电弧焊接热源处理为集中点热源和高斯面热源。电弧热源的这种处理，较为科学的反映了实际的焊接热源，因此，在现代的研究中也就沿用了经典理论当中的

25、处理方法，尤其是高斯面热源。 J. A. Goldak提出了双椭球热源模型，给出了热源密度的数学模型，但是没有计算温度场的数学解析式。1999年，清华大学张华对TIG焊接温度场进行了研究，对实时检测的温度场分布和双椭圆高斯分布热源、高斯分布面热源、线状连续移动热源数值积分计算结果分别做了比较，看出双椭圆高斯分布热源模型计算的温度场与实际检测的温度场最为接近，高斯分布面热源模型计算的温度场相差较大，而线状连续移动热源模型计算的温度场误差则更大。近年来，人们研究了体热源的解析模型。基本思想是由点、线、面热源积分，得到体热源的温度场分布数学模型。发展过程从无限体到半无限体，再到有限体。 双椭圆高斯分

26、布热源热源模型为:单椭球热源解析模型(近似解):双椭球热源解析模型(近似解): 可见，电弧焊接热源解析模型研究发展过程和主要阶段性成果为:点热源、线热源、高斯面热源、双高斯面热源，双椭球体热源。3.3.2激光焊接热源解析模型 熊建钢曾对激光焊接的热源模型进行了总结，解析模型主要是“线”“点+线”“点+线+面”几种【”J。点、线的温度场数学模型在雷卡林公式体系中己经给出，面的数学模型近年许多学者进行了研究，如拉达伊对半无限体和无限板移动和固定圆形高斯热源进行了研究，吴圣川在论文中采用了面热源的温度场解析模型，体热源的温度场模型建立复杂，目前的研究较少。 但是近年来，许多学者对体热源解析模型进行了

27、研究，主要提出柱状热源、锥状热源、旋转高斯体热源、双椭球热源。庄其仁介绍一种激光深熔焊二维温度场解析计算方法，将激光作用下形成的小孔区域作为均匀吸收介质，导出了介质热源的功率分布二维解析式。同时，推导了由该热源引起的无限大薄板的温度场分布二维解析式。2004年，吴魁提出了新的旋转Gauss曲面体热源模型，并进行了实际的数值模拟与测量试验。与已有的其它热源模型相比，证明旋转Gauss曲面体热源模型可以更准确地模拟焊接温度场:37一:1910 N.T.NGUYEN等人提出了一种可以推导任何形状的热源温度场模型的方法，只要知道热源的热流密度分布形式，就可以推导出该热源的温度场解析模型，文中以单椭球和

28、双椭球热源模型为例详细推导求解了他们在有限体内温度场分布数学模型。因此，采取这种方法便也可以推导出旋转Gauss曲面体热源模型的温度场数学模型。3.3.3 COZ-MIG复合焊接热源解析模型的建立1978年来，人们对激光电弧复合焊接的工艺研究较多，但是建立复合焊接解析热源模型的研究还鲜见报道。涉及到这方面研究的主要有:19%年，华中科技大学的张立文，做过电弧加强激光的研究，但没有进行复合焊接温度场的建模;2002年，哈尔滨工业大学的方俊飞的硕士论文“同轴激光一TIG电弧复合热源焊接温度场的数值模拟”中提出了“TIG电弧面热源+纵向衰减的激光线热源”模型。结果的求解还是用有限元软件来完成的;20

29、03年，哈尔滨工业大学的陈彦宾的“激光一TIG复合热源焊接物理特性研究”博士论文中研究提出“激光和作用于小孔内的电弧一起做体热源十小孔周围的电弧形成的面热源”复合成“点+线”的热源模型，但是，结果仍然是采用的有限元方法来求解的;2004年，华中科技大学的吴圣川建立了“点+线+面”的复合热源解析模型，并利用数值分析的方法编制程序来求解绘出了焊缝轮廓图，与实际的焊缝对比得到了很好的结果，该文也进行了有限元模拟求解，但是解析模拟和ANSYS有限元模拟采用的模型不一致，有限元模拟中采用的是分段常值面热源作为表面热源和矩形面热源作为体热源来处理的，这与实际的热源和建立的体热源模型都是不同的，必定带来相应

30、的误差。 综上所述，针对性的做过“复合焊接热源解析模型研究”的只有华中科技大学的吴圣川、辜磊等人，他们采用了经典热源“点十线+面”的组合。本文根据电弧焊接、激光焊接和激光电弧复合焊接的特点，分析了目前焊接热源研究中被认为最优的双椭球高斯体热源和旋转高斯体热源及其组合热源方案，但是双椭球高斯体热源较难计算，不容易收敛，而旋转高斯体热源计算量小又能较好的模拟出复合焊接中的钉头形状，所以本文采用旋转高斯体热源。图3.3为各种热源的建模比较。由于激光复合焊接过程的监测和观察困难，很难得到精确的热源形状，通常理解成瞬时熔池和小孔形状;根据文献分析知道复合焊接时小孔近似兽角，熔池近似双椭球但是更圆滑，近似

31、图3.4所示。 旋转高斯体热源能够模拟出激光电弧复合焊接中典型的“钉头”和“深熔”的现象，与实际的焊缝截面具有很好的一致性，能弥补椭球类热源模拟的焊缝截面轮廓始终为椭圆这种缺点。从直观上看，尽管旋转高斯体热源不能直接反映熔池的形状，但是根据初步的模拟结果显示，熔池形成双椭圆形状很大程度上是由于焊接速度的影响，而非热源本身的形状，不应该人为的去迁就熔池而改变热源形状，这可能不是一种正确的发展方向。加之旋转高斯体热源相对更简单，更易求解，物理意义也更明确，所以本文通过对比分析其他多人的研究结果并通过初步的数值模拟，选用旋转高斯体来做复合焊接热源。经过计算与对比，发现此热源模型很好的与试验结果取得吻合。由文献27知任意形状热源温度场模型求解方程式为:3.4温度场解析模型的求解 求解温度场的解析解，是用数学计算的方法得到其温度场分布