立体几何压轴小题(含答案)

1、学习必备欢迎下载一、选择题1如图，已知正方体ABCDA1B1C1 D1 的棱长为 4，点 E ， F 分别是线段AB ， C1D1 上的动点，点 P 是上底面 A1B1C1 D1内一动点，且满足点P 到点 F 的距离等于点P 到平面 ABB1 A1 的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（）A5B4C42D25【答案】 D【解析】试题分析：因为点P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点，且点P 到点 F 的距离等于点 P 到平面 ABB1 A1 的距离，所以，点 P 在连接 A1D1 , B1C1 中点的连线上为使当点P 运动时， PE 最小，须 PE 所在平面平行于平面AA1 D1D ,

2、 PE42( 4)22 5,选D2考点： 1平行关系； 2垂直关系； 3几何体的特征2如图在一个二面角的棱上有两个点A ， B ，线段 AC, BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 AB ， AB=4cm，AC 6cm, BD8cm,CD2 17cm ，则这个二面角的度数为（）CABDA 30B 60C 90D 120【答案】 B【解析】uuur uuuruuuruuur uuur uuur试题分析：设所求二面角的大小为 ，则 BD,AC，因为 CD DB BA AC，所以uuur 2uuuruuuruuuruuur 2uuur 2uuur 2uuuruuuruuur uuuruu

3、ur uuurCD(DBBAAC)2DBBAAC2DB BA2DB AC2BA ACBDAB, ACuuuruuuruuuruuur0而依题意可知AB ，所以 2DB BA0,2BA ACuuuruuuruuuruuuruuuruuur174262822 86cos所以 |CD |2|DB |2|BA |2| AC |2 2BDAC即4所以 cos10, ，所以60，故选 B.，而2学习必备欢迎下载考点： 1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用 .cm）可得这3已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：个几何体的体积是（）222主视图侧视图112俯视图4 cm38

4、 cm3C 3cm3D 4cm3A 3B 3【答案】 B 【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，体积V1Sh122 28333考点：空间几何体的体积计算4如图， P 是正方体 ABCDA1B1C1D1 对角线 AC1上一动点，设AP 的长度为 x ，若PBD 的面积为f (x) ，则 f (x) 的图象大致是（）【答案】 A【解析】试题分析：设AC 与 BD 交于点 O ,连接 OP .易证得 BD面 ACC1 A1 ,从而可得 BDOP .设正方体边长26AOP 中OA2x3 ,由余弦定为 1,在 Rt ACC1 中 cos C1 AC.在,设 AP x, 0332学习必备欢迎

5、下载2理可得OP2x222x26x22 3 x1,所以OPx22 3 x1. 所 以2236262f x2x22 3 x1 .故选 A.262考点： 1 线面垂直 ,线线垂直 ;2 函数图象 .5如图所示，正方体ABCD A B C D 的棱长为1， E,F 分别是棱 AA ， CC 的中点，过直线E,F 的平面分别与棱 BB 、 DD交于 M,N ，设 BMx ， x0,1 ，给出以下四个命题：（ 1）平面 MENF平面 BDD B ；1（ 2）当且仅当x= 2 时，四边形MENF 的面积最小；（ 3）四边形 MENF 周长 Lf ( x) ， x0,1 是单调函数；（ 4）四棱锥 CMEN

6、F 的体积 V h( x) 为常函数；以上命题中假命题 的序号为（）A （ 1）（ 4）B（ 2）C（3）D（ 3）（ 4）【答案】 C【解析】试题分析：（ 1）由于 EF / AC ，ACBD, ACBB ，则 AC平面BBDD，则EF 平面BBDD，又因为 EF平面 EMFN ， 则 平 面 MENF平面 BDD B ；（2）由于四边形 MENF 为菱形，1x1SMENFMN ，EF2 ，要使四边形MENF 的面积最小， 只需 MN 最小，则当且仅当2EF时，2MF( 1x) 21f ( x) 4 ( x1 ) 21四边形 MENF 的面积最小；（3）因为2，2， f ( x) 在0,1上

7、不是单调函数； （ 4） VC MENFVF MCE1CE 11VF CNE，SCME=24，F 到平面 CME的距离为1，学习必备欢迎下载VF CME1 1 1S CNE1CE11VF CNE1 1 1h( x)13412 ，又24 ，34 12，6 为常函数 .故选（ 3）考点： 1.面面垂直的判定定理； 2.建立函数模型 .6已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为（）C1A 1B1CDAB（ A ）3（ B ）5（ C）7（D） 34444【答案】 D.【解析】试题分析：连接

8、 A1 B ； AA1 / CC1 ,A1 AB 是异面直线 AB 与 CC1 所成的角或其补角； 在 RtADA1 中，设AA1， 则31Rt BDA中 ，21；在 ABA中 ，AD, A1D； 在A1 B12121211133cosA1 AB2211；即面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为.44考点：异面直线所成的角.7一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1 的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为正视侧视图俯视A123B12C4 3D3【答案】 D【解析】学习必备欢迎下载试题分析： 由三视图可知， 该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面， 底面是正方形，

9、 将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，2r3 ， r3，因此 S表面积4 r 23 ，故答案为 D.2考点：由三视图求外接球的表面积.8如图，棱长为 1 的正方体 ABCD -A 1B 1C1D 1 中， P 为线段 A 1 B 上的动点，则下列结论错误的是（）A DC1D1PB平面 D1 A1P平面 A1APCAPD1 的最大值为 90oD APPD1 的最小值为22【答案】 C【解析】试题分析：A1D1DC1 ，A1 BDC1 ，A1D1 A1BA1 ，DC1平面 A1 BCD1 ，D1P平面 A1BCD1因此 DC1D1P ，A 正确； 由于 D1 A1 平面 A1

10、ABB1 ， D1 A1平面 D1 A1P ，故平面 D1 A1 P平面 A1 AP故B正确，当 0A1P2APD1 为钝角， C 错；将面 AA1 B 与面 A1BCD1 沿 A1 B 展成平面图形，时，2线段 AD1 即为 APPD1 的最小值，利用余弦定理解AD122 ，故 D 正确，故答案为C考点：棱柱的结构特征学习必备欢迎下载9下列命题中，错误的是（）A 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B平行于同一平面的两条直线不一定平行C如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D若直线 l 不平行于平面，则在平面内不存在与l 平行的直线【答案】 B【解析】试

11、题分析 : 由直线与平面的位置关系右知 A 正确 ;平行于同一个平面的两条直线可以相交、 平行或异面， 故 B 错，所以选 B.考点 :直线、平面平行与垂直的判定与性质.10已知如图所示的正方体ABCD A 1B 1C1D1，点 P、Q 分别在棱BB 1、DD 1 上，且=，过点 A 、P、Q 作截面截去该正方体的含点A 1 的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）【答案】 A【解析】试题分析：当 P、B1 重合时，主视图为选项B ；当 P 到 B 点的距离比 B 1 近时，主视图为选项C；当 P到 B点的距离比 B1 远时，主视图为选项D，因此答案为 A.考点：组合体的三

12、视图11一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）学习必备欢迎下载A.B.C.D.【答案】 C【解析】试题分析：由三视图可知： 该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC ，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6 的直角三角形，高PE=4设其外接球的球心为O，O 点必在高线 PE 上，外接球半径为R，则在直角三角形BOE 中， BO2=OE 2+BE 2=（ PE-EO）2+BE 2，即 R2=（ 4-R） 2+（ 32 ） 2，解得： R= 17 ，故选 C.4考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力12如右图，在长方体ABCDA1B1C

13、1D1 中，AB=11，AD=7 ，AA1 =12，一质点从顶点A 射向点 E4，312，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将i1次到第i 次反射点之间的线段记为Lii2,3,4，L1AE，将线段L1, L2, L3 , L4 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）学习必备欢迎下载【答案】 C【解析】试题分析：因为 37 ，所以 A1 E 延长交 D1 C1 于 F ，过 F 作 FM 垂直 DC 于 M . 在矩形 AA1 FM 中分析反射情况：由于411AM3510 ，第二次反射点为 E1 在线段 AM 上，此时 E1 M5E2 在线段 FM 上，此时5,第三次反射点为3E2

14、M4,第四次反射点为 E3 在线段 A1 F 上 ,由图可知，选 C.考点：空间想象能力13一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】 B【解析】试题分析：由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图 ,侧视图 ,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r,则 8r6r8262r2 ,故选B.学习必备欢迎下载考点：三视图内切圆球 三棱柱14已知二面角l为 60 ， AB， ABl ， A 为垂足， CD， Cl ，ACD135 ，则异面直线AB 与

15、 CD 所成角的余弦值为A 1B2C3D 14442【答案】 B.【解析】试题分析：如图作BE于E ，连结 AE，过 A作 AGCD，作 EGAG于 G ，连结 BG ，则BGAG.设 AB2a 在ABE 中，BAE60 ,AEB90 ,Q AB2a,AE a. 在 Rt AEG 中，GAE90CAG 45 ,AGE90 ,AGa cos 452 a.在Rt ABG中，2AG2 a22cos2, 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为，故选 BBAG2a44ABBDCGAEl考点： 1.三垂线定理及其逆定理；2. 空间角（异面直线所成角）的计算15在空间直角坐标系Oxyz 中 ,已知 A(

16、2,0,0) B(2, 2,0), C (0, 2,0), D (1,1,2).若S1 , S2 , S3 分别是三棱锥DABC 在xOy, yOz, zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A S1S2S3B S2S1且 S2S3CS3S1且S3S2DS3S2且 S3S1【答案】【解析】D试题分析：三棱锥DABC 在平面xoy 上的投影为ABC ，所以 S12 ，设D在平面yoz 、zox平面上的投影分别为D2 、D1 ，则DABC 在平面yoz 、zox上的投影分别为OCD2 、OAD1 ，因为D1 (0,1,2) ， D2 (1,0,2) ，所以S2S12 ，故选学习必备欢迎下载考点

17、：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.16正方形 ABCD 的边长为2，点 E 、 F 分别在边 AB 、 BC 上，且 AE 1， BF1，将此正方形沿 DE 、 DF 折起，使点A 、 C 重合于点 P ，则三棱锥 PDEF 的体积是（2）A 1B5C2 3D 23693【答案】 B【解析】试题分析：解：因为DPEDPF90o , 所以 DPPE , DPPF又因为 PE平面 PEF , PF平面 PEF ,且 PE I PFP,所以 DP平面 PEF3 ,EF2在 PEF 中， PE1,PFEB 2BF 212152223252122225所以 cos EPF22EPF13, sin3

18、32132所以 S PEF1 PEPFsinEPF1 135522234V三棱锥 P DEFV三棱锥 D PEF1 DPS PEF1 2553346所以应选 B.考点： 1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理与余弦定理；3、棱锥的体积 .17高为的四棱锥 S ABCD 的底面是边长为1 的正方形，点S，A ， B，C，D 均在半径为1 的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（）A.B.C.D.【答案】 A【解析】试题分析： 由题意可知ABCD是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱锥的一条侧棱，学习必备欢迎下载最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD

19、的中心与顶点 S 之间的距离解：由题意可知 ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点 S， A ， B， C，D 均在半径为1 的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面 ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为：=故选 A点评：本题是基础题， 考查球的内接多面体的知识， 能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力18二面角l为 60°，A 、B 是棱 l 上的两点， AC 、BD 分别在半平面,内， ACl ， BDl ，且 AB AC a ， BD 2a ，则

20、 CD 的长为 ()A 2aB 5aC aD 3a【答案】 A【解析】EF222，对于本题中， da ，试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式dm n2mn cosm a ， n2 ，o2a222a 60 ，故 CDa2a2 a 2a cos60o考点：异面直线上两点间距离,空间想象能力19长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则对角线的长是（） 14B 4C 32D2 3【答案】 B【解析】试题分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积，十二条棱长度之和，然后可得对角线的长度考点：长方体的结构特征，面积和棱长的关系.20已知棱长为l 的正方体 ABCDA1B1C1 D1 中，

21、E， F， M 分别是AB 、 AD 、 AA1 的中点，又P、Q 分别在线段、 A D 上 ,且 A P=AQ=x,0<x<1 ，设面MEFI面 MPQ=l，则下列结论中不成立的是()A1 B11 111A l / / 面 ABCDB lACC面 MEF 与面 MPQ 不垂直学习必备欢迎下载D当 x 变化时， l 不是定直线【答案】 D【解析】试题分析：解：连结AC, BD, AC 1, B1D1,AC, BD交于点OAC, B DO1111 1交于点 1由正方体的性质知，BD / / B1D1，AC / / AC11, AC BD , AC11B1D1因为 E, F 是 AD

22、, AB 的中点，所以EF / /BD因为 A1PA1Q ,所以 PQ / / B1 D1所以 PQ /EF ,所以 PQ /平面 MEF ,EF /平面 MPQ ,由 MEFI面 MPQ= l ， EF平面 MEF ，所以 EF / /l ，而 EF平面 ABCD , l平面 ABCD ,所以， l / / 面 ABCD，所以选项 A 正确；由 ACBD， EF /BD 得 EFAC 而 EF / / l ，所以 lAC ，所以选项 B 正确；连 MB1, MD1, O1M ,则 O1M / / AC1 ,而 AC1A1B, AC1BD，BD / / EF , A1B / /MF所以， O1

23、MEF , O1MMF ,所以 O1 M平面 MEF ，过直线 l 与平面 MEF 垂直的平面只能有一个，所以面 MEF 与面 MPQ 不垂直，所以选项C 是正确的；因为 EF / /l ， M 是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l 是唯一的，故选项 D 不正确考点： 1、直线平面的位置关系； 2 、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质21如图，等边三角形ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G ，已知A ED 是 ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是()A 动点 A 在平面 ABC 上的射影在线段AF 上B恒有平

24、面 A GF 平面 BCDEC三棱锥 AEFD 的体积有最大值D异面直线A E 与 BD 不可能垂直【答案】 D【解析】试题分析：由于A'G DE ,FGDE 所以 DE 平面 A' FG 经过点 A' 作平面 ABC 的垂线垂足在AF 上所以 A 选项正确 由 A 可知 B 选项正确 当平面 A' DE 垂直于平面 BCDE 时，三棱锥 AEFD的体积最大，所以C 正确因为BD PEF ，设 AC 2a 所以 EFA ' E a ，当 A' F2a 时，学习必备欢迎下载2a A ' G GF (A ' G GF3 a)2 所以异

25、面直线 A E 与 BD 可能垂直所以 D 选项不正确考点： 1线面位置关系 2面面的位置关系 3体积公式 4异面直线所成的角 5空间想象力22已知棱长为l 的正方体 ABCDA1B1C1 D1 中， E， F， M 分别是AB 、 AD 、 AA1 的中点，又P、Q 分别在线段、 A D 上 ,且 A P=AQ=x,0<x<1 ，设面MEFI面 MPQ=l，则下列结论中不成立的是()A1 B11 111A l / / 面 ABCDB lACC面 MEF 与面 MPQ 不垂直D当 x 变化时， l 不是定直线【答案】 D【解析】试题分析：解：连结AC, BD, AC,BD ,AC,

26、 BD交于点OAC1,BD 交于点 O1 11 111 11由正方体的性质知，BD / / B1D1，AC / / AC11, AC BD , AC11B1D1因为 E, F 是 AD , AB 的中点，所以EF / /BD因为 A1PA1Q ,所以 PQ / / B1 D1所以 PQ /EF ,所以 PQ /平面 MEF ,EF /平面 MPQ ,由 MEFI面 MPQ= l ， EF平面 MEF ，所以 EF / /l ，而 EF平面 ABCD , l平面 ABCD ,所以， l / / 面 ABCD，所以选项 A 正确；由 ACBD， EF /BD 得 EFAC 而 EF / / l ，

27、所以 lAC ，所以选项 B 正确；连 MB1, MD1, O1M ,则 O1M / / AC1 ,而 AC1A1B, AC1BD，BD / / EF , A1B / /MF所以， O1M EF , O1MMF ,所以 O1 M平面 MEF ，过直线 l 与平面 MEF 垂直的平面只能有一个，所以面 MEF 与面 MPQ 不垂直，所以选项C 是正确的；因为 EF / /l ， M 是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l 是唯一的，故选项 D 不正确考点： 1、直线平面的位置关系； 2 、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质23把四个半径都是 1 的

28、球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离（）A 学习必备欢迎下载BCD 3【答案】 A【解析】由题意，四球心组成棱长为2 的正四面体的四个顶点，则正四面体的高而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为，选 A24如图所示，四边形ABCD 为正方形， QA 平面 ABCD ， PD QA ， QA AB PD.则棱锥 Q ABCD的体积与棱锥P DCQ 的体积的比值是（）A. 2:1B. 1:1C. 1:2D. 1:3【答案】 C【解析】设 AB a.

29、由题设知 AQ 为棱锥 Q ABCD 的高，所以棱锥Q ABCD 的体积 V 1.易证 PQ面 DCQ ，而 PQ， DCQ 的面积为，所以棱锥 P DCQ 的体积 V 2.故棱锥 Q ABCD 的体积与棱锥PDCQ 的体积的比值为1:1，选 C.25正四面体 ABCD ，线段 AB / / 平面，E，F 分别是线段 AD 和 BC 的中点，当正四面体绕以AB 为轴旋转时，则线段AB 与 EF 在平面上的射影所成角余弦值的范围是（）A 0，2 B 2 ，1C 1 ，1D1，2 22222【答案】 B【解析】学习必备欢迎下载试题分析：如图，取 AC 中点为 G，结合已知得GF / / AB ，则

30、线段 AB 、EF 在平面上的射影所成角等于GF与 EF在平面上的射影所成角， 在正四面体中， ABCD ，又 GE / / CD，所以 GEGF,所以 EF 2GE 2GF 2，当四面体绕 AB 转动时，因为 GF / / 平面，GE 与 GF 的垂直性保持不变， 显然，当 CD 与平面垂直时，GE 在平面上的射影长最短为0，此时 EF 在平面上的射影 E1F1 的长取得最小值1 ，当 CD 与平面平2行时，GE 在平面上的射影长最长为1 ，E1F1 取得最大值2，所以射影 E1F1 长的取值范围是1 ， 2 ，2222而 GF 在平面上的射影长为定值1，所以 AB 与 EF 在平面上的射影

31、所成角余弦值的范围是2 ，1.22故选 B考点： 1 线面平行； 2 线面垂直。26已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，线段 B1A1, B1C1上（不包括端点） 各有一点 P, Q ，且 B1PB1Q ，下列说法中，不正确的是（）A、 C、 P、 Q 四点共面B. 直线 PQ 与平面 BCC1B1所成的角为定值C. PAC32D. 设二面角PACB 的大小为，则tan的最小值为2【答案】D【解析】试题分析：如下图：PG /AC / /AC ，11A、C、 P、 Q 四点共面，故A 正确；直线PQ与平面 BCC1B1所成的角为PQB1为定值，故B正确；P在 A1B1上移动，则4A1AC

32、PACB1 AC ，而A1 AC, B1AC，PAC，故 C 正确；二2332面角 PAC B 的平面角即为面PQCA 与面 ABC 所成的夹角，P 从 B1 移动到 A1 （不在 A1 ,B1 处），二面角在增大，但无最大值和最小值，故D 不正确，则选 D.学习必备欢迎下载考点：1.线面平行；2.线面角；2.二面角的平面角.27如图，正方体ABCDA1B1C1 D1 的棱长为3 ，以顶点A 为球心，2 为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于()A 5B 2CD 7636【答案】 A【解析】?试题分析：由题得, 圆弧 GF 在以 B 为圆心 ,半径为BG 的圆上，而圆弧EF 在以 A 为圆心 ,半径为 AE=2?12BG1AG2AB2AA13300,的圆上 .故 GF =42,由于 cos A1 AEA1 AE42AE2故EAF300则?300所以?5EF022GF +EF =.故选 A.,63603考点：圆弧长度的计算球28将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角ABDC ，有如下四个结论： AC BD ; ACD 是等边三角形 ; AB 与平面 BCD 所成的角为 60